2024年1月8日发(作者：4年级数学试卷推荐书单)

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第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

201 (1)141

183201 解

141

183 2(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644

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abc (2)bca

cababc 解

bca

cab acbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

111 (3)abc

a2b2c2111 解

abc

a2b2c2 bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

xyxy (4)yxyx

xyxyxyxy 解

yxyx

xyxy x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3

3xy(xy)y33x2 yx3y3x3

2(x3y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

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(1)1 2 3 4

解 逆序数为0

(2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3    (2n1) 2 4    (2n)

n(n1) 解 逆序数为

2 3 2 (1个)

5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个)

     

(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6    (2n1)(2n2) (n1个)

(6)1 3    (2n1) (2n) (2n2)    2

解 逆序数为n(n1) 

3 2(1个)

5 2 5 4 (2个)

     

(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6    (2n1)(2n2) (n1个)

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4 2(1个)

6 2 6 4(2个)

     

(2n)2 (2n)4 (2n)6    (2n)(2n2) (n1个)

3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项

解 含因子a11a23的项的一般形式为

(1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42

所以含因子a11a23的项分别是

(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44

(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42

4 计算下列各行列式

41 (1)15142

0720214c2c34210c7c103074123020211041102122(1)43

1410314041 解

1004110c2c39910

1220020

10314c112c317171423 (2)151120423611

22收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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23 解

15112042361c4c2213215211204230112042360r4r222310221121423402

00r4r123

10020

00abacae (3)bdcdde

bfcfefabacaebce 解

bdcddeadfbce

bfcfefbce111

adfbce1114abcdef

111a1 (4)001b1001c100

1da1 解

001b1001c10r1ar201ab01b101d00a1c100

1d1aba0c3dc21abaad

(1)(1)211c11c1cd

01001d

5 证明:

abadabcdabcdad1

(1)(1)32111cd收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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a2abb2 (1)2aab2b(ab)3;

111 证明

a2abb2c2c1a2aba2b2a2

2aab2b2aba2b2a

00111c3c11222ababaaba(ab)3 

(ba)(ba)1

(1)2ba2b2a31axbyaybzazbxxyz (2)aybzazbxaxby(a3b3)yzx;

azbxaxbyaybzzxy 证明

axbyaybzazbx

aybzazbxaxby

azbxaxbyaybzxaybzazbxyaybzazbx

ayazbxaxbybzazbxaxby

zaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbx

a2yazbxxb2zxaxby

zaxbyyxyaybzxyzyzx

a3yzxb3zxy

zxyxyzxyzxyz

a3yzxb3yzx

zxyzxy收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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xyz

(a3b3)yzx

zxy

a2b2 (3)2cd2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)220;

(c3)(d3)2 证明

a2b2

2cd2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)22(c4c3 c3c2 c2c1得)

(c3)(d3)2a22b

c2d2a22b

c2d2

1a (4)a2a41bb2b42a12b12c12d12a12b12c12d11cc2c41d

d2d42a32b32c32d322222a52b5(c4c3 c3c2得)

2c52d5220

22 (ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);

证明

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1a

a2a41bb2b41cc2c41d

d2d411110bacada

0b(ba)c(ca)d(da)

0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)111cd

(ba)(ca)(da)b

222b(ba)c(ca)d(da)111cbdb

(ba)(ca)(da)0

0c(cb)(cba)d(db)(dba)1

(ba)(ca)(da)(cb)(db)c(c1ba)d(dba)

=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)

x0 (5)  0an

1x  0an101  0an2          0000  xna1xn1    an1xan 

x1a2xa1 证明 用数学归纳法证明

x1x2axa 命题成立 当n2时

D2a122xa1 假设对于(n1)阶行列式命题成立 即

Dn1xn1a1 xn2    an2xan1

则Dn按第一列展开 有

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1

DnxDn1an(1)n1 

x 

101   

1   

  

  

  

00   

x00

  

1 xD n1anxna1xn1    an1xan 

因此 对于n阶行列式命题成立

6 设n阶行列式Ddet(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转 依次得

an1  anna1n  annann  a1n

D1      

D2       

D3      

a11  a1na11  an1an1  a11证明D1D2(1)n(n1)2D D3D 

证明 因为Ddet(aij) 所以

a11an1  ann

D1      (1)n1an1  a11  a1na21        a1nann

  a2na11a21

(1)n1(1)n2an1  a31          a1na2nann   

  a3nn(n1)2

(1)12  (n2)(n1)D(1) 同理可证

D

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D2(1)

D3(1)

n(n1)2a11  an1n(n1)n(n1)T      (1)2D(1)2D

a1n  annn(n1)2D2(1)n(n1)2(1)n(n1)2D(1)n(n1)DD

7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)

(1)Dn都是0

解

a0

Dn0  010a0  0000a  00            000  a0100(按第n行展开)

  0aa1 

1a, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素0an1

(1)0  000a  0000  0          000  a1a0(1)2na 

0  a(n1)(n1)0(n1)(n1)ananan2an2(a21)

an1n(1)(1)

 

a(n2)(n2)

x (2)Dn

a aax  a        aa;

  x收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得

xaaaxxa0

Dnax0xa      ax00  a  0  0

    0xa再将各列都加到第一列上 得

x(n1)aaa0xa0

Dn00xa      000an(a1)nan1(a1)n1 (3)Dn1    aa111  a  0  0[x(n1)a](xa)n1

    0xa  (an)n  (an)n1;

      an  1 解 根据第6题结果 有

11a1n(n1)a

Dn1(1)2      an1(a1)n1an(a1)n此行列式为范德蒙德行列式

Dn1(1)

(1)

(1)n(n1)2n1ij1n(n1)2  1  an     

n1  (an)  (an)n[(ai1)(aj1)]

n1ij1n(n1)2[(ij)]

n(n1)  12(1)n1ij1(ij)

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ann1ij1(ij)

 

 

bn 

 

(4)D2ncna1b1c1d1;

dnbn 解

an 

 

 

 

D2ncna1b1c1d1(按第1行展开)

dnan1 

 

ancn10a1b1c1d1 

 

bn10

dn100dn 

 

bn10an1 

 

(1)2n1bncn1cna1b1c1d1

dn10 再按最后一行展开得递推公式

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D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2

于是

D2n(aidibici)D2

i2n而

D2a1b1adbc

c1d11111ni1所以

D2n(aidibici)

(5) Ddet(aij) 其中aij|ij|;

解 aij|ij|

01

Dndet(aij)23  n10      n2n3n4            n1n2n3

n4  01r1r211

1r2r3     

n11c2c111

1c3c1     

n11a11 (6)Dn11a2    111111  n211  11  11  11        n3n4  111

1  0            000

0  n1000200220222      2n32n42n5 (1)n1(n1)2n2

  1  1, 其中aa    a0

12n      1an收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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解

1a11

Dn11a2    11  1  1

      1ana1c1c2a2

0c2c3  0   

00a2a3  00011  0000a3  00001  00  0  0  0      an1  0            000  10010101

    an11an1an11

a1a2  an0  000a1110a210a3

    11an1111an100

a1a2  an  0010  0001  0          000  0000  1a111a21a3  1an1ni1

000  001ai1

(a1a2an)(11)

i1ai

8 用克莱姆法则解下列方程组

n收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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x1x2x3x45x12x2x34x42 (1)

2x13x2x35x423xx2x11x01234 解 因为

1

D1231231111214142

51152

D1201

D3123所以

x112311112114142

D12521135220111214284

51112315220114426

D14251131231111252142

20DD1DD1

x222

x333

x441

DDDD15x16x20x15x26x3 (2)x25x36x40

x35x46x50x45x51

解 因为

51

D000651000665

65收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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10

D11507

D2510006510001145

6551

D300051

D510703

D406050100212

10001000395

65所以

x11507

x21145

x3703

x4395

x4212

665665665665665x1x2x30 9 问

取何值时 齐次线性方程组x1x2x30有非x12x2x30零解？

解 系数行列式为

11

D11

121 令D0 得

0或1

于是 当0或1时该齐次线性方程组有非零解

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(1)x12x24x30 10 问取何值时 齐次线性方程组2x1(3)x2x30有x1x2(1)x30非零解？

解 系数行列式为

124134

D231211

111101 (1)3(3)4(1)2(1)(3)

(1)32(1)23

令D0 得

0

2或3

于是 当0

2或3时 该齐次线性方程组有非零解

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

x12y12y2y3x23y1y25y3

x33y12y23y3求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换

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解 由已知

x1221y1

x2315y2

x323y231y1221x1749y1故

y2315x2637y2

y323x3243y32y17x14x29x3

y26x13x27x3

y33x12x24x3 2 已知两个线性变换

x12y1y3

x22y13y22y3

x34y1y25y3 解 由已知

y13z1z2y22z1z3

y3z23z3求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换

x1201y120131

x2232y223220x415y4150123613z1

1249z2

10116z30z11z2

z33x16z1z23z3所以有x212z14z29z3

x310z1z216z3111123 3 设A111

B124 求3AB2A及ATB

111051收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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111123111 解

3AB2A31111242111

11105111105811121322

3056211121720

2901114292111123058

ATB111124056

111051290 4 计算下列乘积

4317 (1)1232

5701431747321135 解

123217(2)2316

5701577201493 (2)(123)2

13 解

(123)2(132231)(10)

12 (3)1(12)

32(1)2222 解

1(12)1(1)12133(1)32342

6收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

102140 (4)111344313012 

12102140 解

113414313012678

205612a11a12a13x1 (5)(x1x2x3)a12a22a23x2

aaa132333x3 解

a11a12a13x1

(x1x2x3)a12a22a23x2

aaa132333x3x1 (a11x1a12x2a13x3

a12x1a22x2a23x3

a13x1a23x2a33x3)x2

x322

a11x12a22x2a33x32a12x1x22a13x1x32a23x2x3

1 5 设A12

B1130 问

2 (1)ABBA吗?

解 ABBA

3 因为AB44

BA1362 所以ABBA

8 (2)(AB)2A22ABB2吗?

解 (AB)2A22ABB2

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__________________________________________________

2 因为AB22

522252814

142952

(AB)223868101016

但

A22ABB2411812341527所以(AB)2A22ABB2

(3)(AB)(AB)A2B2吗?

解 (AB)(AB)A2B2

2 因为AB22

AB00520052

16

92

(AB)(AB)2200138102而

A2B2411341故(AB)(AB)A2B2

8

7 6 举反列说明下列命题是错误的

(1)若A20 则A0

0 解 取A01 解 取A0 解 取

1 则A20 但A0

01 则A2A 但A0且AE

0 (2)若A2A 则A0或AE

(3)若AXAY 且A0 则XY 

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__________________________________________________

1

A00

X11

Y111001

1则AXAY 且A0 但XY 

10 求A2 A3    Ak 7 设A1101010 解

A21121101010

A3A2A21131      

10

Akk110 8 设A01 求Ak

00 解 首先观察

1010221

A20101022

00000023323

A3A2A0332

00344362

A4A3A0443

004554103

A5A4A0554

005收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

     

kkk1k(k1)k22k

A0kkk100k 用数学归纳法证明

当k2时 显然成立

假设k时成立，则k1时，

 

kkk1k(k1)k2102

Ak1AkA0kkk101

0000kk1(k1)k1(k1)kk12

0k1(k1)k1

k100由数学归纳法原理知

kkk1k(k1)k22

Ak0kkk1

00k 9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵

证明 因为ATA 所以

(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB

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__________________________________________________

从而BTAB是对称矩阵

10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

证明 充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以

(AB)T(BA)TATBTAB

即AB是对称矩阵

必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以

AB(AB)TBTATBA

11 求下列矩阵的逆矩阵

1 (1)22

512 |A|1 故A1存在 因为

解

A25A11A2152

A*21

AA122252

故

A11A*21|A|cossin (2)sincoscossin |A|10 故A1存在 因为

解

AsincosAAcossin

A*A11A21sincos

1222cossin

所以

A11A*sincos|A|收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

121 (3)342

541121 解

A342 |A|20 故A1存在 因为

541A11A21A31420

A*A12A22A321361

32142AAA13233321013111所以

AA*3

|A|221671a1a02 (4)(a1a2  an 0) 

0ana10a2 解 A 由对角矩阵的性质知

0an1a101a2

A110an 12 解下列矩阵方程

2 (1)15X46

213收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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2 解

X15463546223

2112210831211113 (2)X210432

111211113 解

X432210

11111011131232

3432330221

82

5331 (3)14X221031

10111 解

X1431201120

11243110

1110112126

131261101101

024010100143 (4)100X001201

001010120010143100 解

X100201001

001120010收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

11

__________________________________________________

010143100210

100201001134

001120010102 13 利用逆矩阵解下列线性方程组

x2x23x311 (1)2x12x25x32

3x15x2x33 解 方程组可表示为

123x11

225x22

351x33x112311故

x222520

x3513031x11从而有

x20

x30xxx2123 (2)2x1x23x31

3x12x25x30 解 方程组可表示为

111x12

213x21

325x03x111125故

x221310

x325033收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

1

__________________________________________________

x51故有

x20

x33 14 设AkO (k为正整数) 证明(EA)1EAA2  Ak1

证明 因为AkO  所以EAkE 又因为

EAk(EA)(EAA2  Ak1)

所以 (EA)(EAA2  Ak1)E

由定理2推论知(EA)可逆 且

(EA)1EAA2  Ak1

证明 一方面 有E(EA)1(EA)

另一方面 由AkO 有

E(EA)(AA2)A2  Ak1(Ak1Ak)

(EAA2  A k1)(EA)

故 (EA)1(EA)(EAA2  Ak1)(EA)

两端同时右乘(EA)1 就有

(EA)1(EA)EAA2  Ak1

15 设方阵A满足A2A2EO 证明A及A2E都可逆 并求A1及(A2E)1

证明 由A2A2EO得

A2A2E 即A(AE)2E

或

A1(AE)E

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__________________________________________________

由定理2推论知A可逆 且A11(AE)

2 由A2A2EO得

A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E

或

(A2E)1(3EA)E

4由定理2推论知(A2E)可逆 且(A2E)11(3EA)

4

证明 由A2A2EO得A2A2E 两端同时取行列式得

|A2A|2

即 |A||AE|2

故 |A|0

所以A可逆 而A2EA2 |A2E||A2||A|20 故A2E也可逆

由 A2A2EO A(AE)2E

A1A(AE)2A1EA11(AE)

2又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E

 (A2E)(A3E)4 E

所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1

(A2E)11(3EA)

4 16 设A为3阶矩阵

|A|1 求|(2A)15A*|

2 解 因为A11A* 所以

|A|收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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|(2A)15A*||1A15|A|A1||1A15A1|

222 |2A1|(2)3|A1|8|A|18216

17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A1)*

证明 由A11A* 得A*|A|A1 所以当A可逆时 有

|A| |A*||A|n|A1||A|n10

从而A*也可逆

因为A*|A|A1 所以

(A*)1|A|1A

11又A1(A)*|A|(A)* 所以

1|A| (A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*

18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明

(1)若|A|0 则|A*|0

(2)|A*||A|n1

证明

(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得

AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 

所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0

(2)由于A11A* 则AA*|A|E 取行列式得到

|A| |A||A*||A|n

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若|A|0 则|A*||A|n1

若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立

因此|A*||A|n1

033 19 设A110 ABA2B 求B

123 解 由ABA2E可得(A2E)BA 故

233033033

B(A2E)1A110110123

1211231101101 20 设A020 且ABEA2B 求B

101 解 由ABEA2B得

(AE)BA2E

即 (AE)B(AE)(AE)

001 因为|AE|01010 所以(AE)可逆 从而

100201

BAE030

102 21 设Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求B

解 由A*BA2BA8E得

(A*2E)BA8E

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__________________________________________________

B8(A*2E)1A1

8[A(A*2E)]1

8(AA*2A)1

8(|A|E2A)1

8(2E2A)1

4(EA)1

4[diag(2 1 2)]1

4diag(1, 1,

1)

22 2diag(1 2 1)

10 22 已知矩阵A的伴随阵A*10且ABA1BA13E 求B

解 由|A*||A|38 得|A|2

由ABA1BA13E得

ABB3A

0103001000

08 B3(AE)1A3[A(EA1)]1A

3(E1A*)16(2EA*)1

210

610010300100600060606031006000

0114

10 求A11 23 设P1AP 其中P1102收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

解 由P1AP 得APP1 所以A11 A=P11P1.

1 |P|3

P*11而

110114

P1114

1311010



02112142731273214101133故

A021111683684

11331111 24 设APP 其中P102

1

1115求(A)A8(5E6AA2)

解

()8(5E62)

diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]

diag(1158)diag(1200)12diag(100)

(A)P()P1

1P()P*

|P|111100222

2102000303

111000121111

4111

111 25 设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵

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__________________________________________________

证明 因为

A1(AB)B1B1A1A1B1

而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1(AB)B1可逆

即A1B1可逆

(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A

10 26 计算002100102001101003031121

0230031 解 设A102

A21

B31

B23

2031212031A1EEB1A1A1B1B2则

OOBOAB

A22221而

A1B1B202

A2B202312352

121032412343

30309252124

0430091A1EEB1A1A1B1B20所以

OBOAB0OA2222010即

0021001020011010300311121002300030252124

0430091 27 取ABCD00 验证AB

|A||B|

CD|C||D|1收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

1 解

AB0CD100101101002100110020100100020104

002011|A||B|11而

0

|C||D|11|A||B|故

AB

CD|C||D|34O4384 28 设A 求|A|及A

20O2234

A20 解 令A143222A1O则

AOA

28OAO8A故

A118

OA2OA28888816

|A8||A

||A||A||A|101212540O4054O4A1

A

44OA2O260422 29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求

OA (1)BOOAC1C2 解 设BOCC 则

34收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

11

__________________________________________________

OAC1C2AC3AC4EnO

BOCCBCBCOE341s2AC3EnC3A1由此得

AC4OC4O

C1OBC1OBCE12sC2B1OAOB

1所以

BOAO1AO (2)CBAOD1D2 则 解 设CBDD3411AD2EnOAOD1D2AD1

CBDDCDBDCDBDOE

341324sD1A1AD1EnD2OAD2O由此得



CD1BD3OD3B1CA1DB1CDBDE24s41AOA

11O所以

1CBBCAB1 30 求下列矩阵的逆阵

52 (1)002100008500

322

B83 则

5215 解 设A2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

5

A12212

B18255111323

5821520012001于是

2103A1000A200852BB10010 (2)1200210012310

4 解 设A10012

B314

C2112 则

0001

11221001123104AOCBA1B1CA1BO11000110

22011102

163185241124

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5000

02538

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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1 把下列矩阵化为行最简形矩阵

1021 (1)2031

30431021 解

2031(下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 )

30431021 ~0013(下一步 r2(1) r3(2) )

0020收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

1021 ~0013(下一步 r3r2 )

00101021 ~0013(下一步 r33 )

00031021 ~0013(下一步 r23r3 )

00011021 ~0010(下一步 r1(2)r2 r1r3 )

00011000 ~0010

00010231 (2)0343

04710231 解

0343(下一步 r22(3)r1 r3(2)r1 )

04710231 ~0013(下一步 r3r2 r13r2 )

001302010 ~0013(下一步 r12 )

00000105 ~0013

0000收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

13 (3)2313233534442231

0113 解

2310 ~0010 ~0010 ~0013233534442231(下一步 r3r r2r r3r )

2131410113430488(下一步 r(4) r(3)  r(5) )

2340366051010100010003111422232(下一步 r3r rr rr )

12324222023122

0000002313712024 (4)

32830237432313712024 解

(下一步 r12r2 r33r2 r42r2 )

328302374301 ~001287111024(下一步 r2r r8r r7r )

21314189127811收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

__________________________________________________

01 ~0010 ~0010 ~0012001102(下一步 rr r(1) rr )

1224314140110001021(下一步 rr )

23402100210023

40010101123 2 设100A010456 求A

001001789010 解

100是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身

001101

010是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是

001101 E(1 2(1))

010

001010123101

A100456010

001789001456101452

123010122

789001782 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵

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321 (1)315

323321100321100 解

315010~014110

3230010021013203/201/23007/229/2 ~010112~010112

002100011/201/211007/62/33/2 ~010112

0011/201/2723632故逆矩阵为112

1120232010221 (2)

12320121

3201100002210100 解

12320010012100011232001001210001 ~

0495103002210100收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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1232001001210001 ~

00111034002101021232001001210001 ~

0011103400012161012000100 ~0010000110 ~000100001010121221`01

136161010故逆矩阵为120112400101

01136121610124101

136161041213 4 (1)设A221

B22 求X使AXB

31131 解 因为

41213r100102

(A, B)221 22~

010 153

31131001124102所以

XA1B153

124收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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021123 求X使XAB (2)设A213

B231334 解 考虑ATXTBT 因为

02312r10024

(AT, BT)21323~

01017

134310011424所以

XT(AT)1BT17

14211

从而

XBA1474110 5 设A011 AX 2XA 求X

101 解 原方程化为(A2E)X A 因为

110110

(A2E, A)011011

101101100011

~010101

001110011所以

X(A2E)1A101

110 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?

解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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可能存在等于0的r阶子式

1000 例如

A0100 R(A)3

001000000

是等于0的2阶子式

100是等于0的3阶子式

00010 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样?

解 R(A)R(B)

这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩

8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是

(1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)

解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵

11100

010000

00此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量

9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式

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3102 (1)1121;

13443102 解

1121(下一步 r1r2 )

13441121 ~3102(下一步 r23r1 r3r1 )

13441121 ~0465(下一步 r3r2 )

04651121 ~0465

0000矩阵的秩为2

314是一个最高阶非零子式

1132131 (2)21313

7051832132 解

21313(下一步 r1r2 r22r1 r37r1 )

7051813441 ~071195(下一步 r3r )

02133271513441 ~071195

0000032收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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32矩阵的秩是2

7是一个最高阶非零子式

21

218230 (3)3251033775

80203775(下一步 r2r r2r r3r )

142434802075(下一步 r3r r2r )

213100218230 解

32510301210363 ~0242103200 ~0100 ~01100317016(下一步 r16r r16r )

243201420100271

0007

1010 ~00010032002100075矩阵的秩为3

580700是一个最高阶非零子式

320 10 设A、B都是mn矩阵 证明A~B的充分必要条件是收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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R(A)R(B)

证明 根据定理3 必要性是成立的

充分性 设R(A)R(B) 则A与B的标准形是相同的 设A与B的标准形为D 则有

A~D D~B

由等价关系的传递性 有A~B

123k 11 设A12k3 问k为何值 可使

k23 (1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3

k123kr11 解

A12k3~ 0k1k1k2300(k1)(k2) (1)当k1时 R(A)1

(2)当k2且k1时 R(A)2

(3)当k1且k2时 R(A)3

12 求解下列齐次线性方程组:

x1x22x3x40 (1)2x1x2x3x40

2x12x2x32x40 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有

01121101 A2111~0131

22120014/3收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

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x4x134x3x4于是

2

4x3x4x34x4故方程组的解为

4x13x3

2k4(k为任意常数)

x3x431x12x2x3x40 (2)3x16x2x33x40

5x110x2x35x40 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有

12111201 A3613~0010

510150000x12x2x4x2x2于是



x30xx44故方程组的解为

x121x102

k1k2(k1 k2为任意常数)

00x301x4收集于网络，如有侵权请联系管理员删除


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