2023年12月31日发(作者：雄县高考数学试卷题型分析)
长方体与正方体单元测试A卷
一．选择题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1．（2分）从一个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体的一个角上挖掉一个棱长1cm的小正方体，它的表面积（ ）
A．比原来大 B．比原来小 C．不变 D．无法确定
【分析】观察图形可知，从一个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体的一个角上挖掉一个棱长1cm的小正方体，表面积减少3个小正方体的面的面积同时也增加了3个面的面积，所以表面积不变，据此即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得，从一个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体的一个角上挖掉一个棱长1cm的小正方体，它的表面积不变．
故选：C．
【点评】解答此题的关键是明确切割后的图形表面积增加了或减少了哪几个面．
2．（2分）把两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了（ ）cm2．
A．100 B．200 C．400
【分析】根据题意可知，把两个棱长都是10cm的正方体拼成一个长方体后，有两个面重合在一起，所以长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体的两个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答．
【解答】解：10×10×2
1
＝100×2
＝200（平方厘米）
答：表面积减少了200平方厘米．
故选：B．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体表面积的意义及应用．
3．（2分）如图中能围成正方体的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正方体展开图的11种特征，图形A、图形B、图形D都不属于正方体展开图，都不能围成正方体；图形C属于正方体展开图的“3﹣3”型，能围成正方体．
【解答】解：、、不能围成正方体．
能围成正方体．
故选：C．
【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第2
三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
4．（2分）一个长方体的体积是100立方厘米，已知它的长是10厘米，宽是2厘米，则高是（ ）厘米．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷a÷b，把数据代入公式解答．
【解答】解：100÷10÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
答：高是5厘米．
故选：C．
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
5．（2分）一个长方体挖掉一个小正方体（如图），下面说法正确的是（ ）
A．体积减少，表面积减少 B．体积减少，表面积增加
C．体积减少，表面积不变
D．体积不变，表面积不变
3
【分析】根据长方体的体积、表面积的意义，在长方体的顶点处挖掉一个小正方体后，体积减少了，表面积不变，因为在顶点处的小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以表面积不变．据此解答．
【解答】解：由分析得：在长方体的顶点处挖掉一个小正方体后，体积减少了，表面积不变．
故选：C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的体积、表面积的意义及应用．
6．（2分）一根长方体木料长2米，宽和高都是2分米，把它锯成3段，表面积至少增加（ ）平方分米．
A．12 B．16 C．24 D．36
【分析】根据题意可知，把这根长方体木料锯成3段，需要锯2次，每锯一次增加两个截面的面积，所以锯成3段表面积增加4个截面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答．
【解答】解：2×2×4
＝4×4
＝16（平方分米）
答：表面积至少增加16平方分米．
故选：B．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义，关键是明4
白：把这根长方体木料锯成3段，需要锯2次，每锯一次增加两个截面的面积．
7．（2分）一个长方体的棱长之和是120厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是（ ）
A．12 B．40 C．30
【分析】根据长方体的特征，长方体的12条棱中互相平行的一组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长宽高）×4，本题实质就是求（长宽高）的值，由此解答．
【解答】解：120÷4＝30（厘米），
答：相交于一个顶点的三条棱的长度和是30厘米．
故选：C．
【点评】此题主要考查长方体的特征和棱长总和的求法．关键是理解题意．
8．（2分）做一个长方体的木箱，求需要多少木板，这是求木箱的（ ）
A．体积 B．表面积 C．容积
【分析】根据长方体的特征以及长方体的表面积的意义，做一个长方体的木箱，求需要多少木板，这是求木箱的表面积．据此解答．
【解答】解：做一个长方体的木箱，求需要多少木板，这是求木箱的表面积．
故选：B．
5
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及长方体的表面积的意义．
9．（2分）下面的问题中，（ ）与棱长和有关．
A．包装一个长方体礼盒需要多少彩带
B．一个玻璃球沉入装有水的杯子中，溢出多少水
C．做一个无盖的玻璃鱼缸需要多少玻璃
D．油漆大厅里的柱子，需要多少油漆
【分析】根据题意，对各选项进行依次分析，进而得出结论．
【解答】解：A、包装一个长方体礼盒需要多少彩带，是求彩带的长度，与棱长和有关系；
B、一个玻璃球沉入装满水的杯子中，溢出多少水，溢出水的量就是玻璃球的体积，所以与体积有关系；
C、做一个无盖的玻璃鱼缸需要多少玻璃，是求玻璃缸5个面的面积和，与棱长和无关；
D、油漆大厅里的柱子，需要多少油漆，要先求出柱子的侧面积，与棱长和无关；
故选：A．
【点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．
10．（2分）一个长26cm、宽、厚的物体，最有可能是（ ）
A．普通手机 B．橡皮
6
C．新华字典 D．数学
书
【分析】根据生活实际，一本数学书，长约26厘米，宽约厘米，厚度约厘米．由此推测可能是数学书．
【解答】解：一个长26厘米、宽厘米、高厘米的物体，最有可能是数学书．
故选：D．
【点评】解答此题的关键是结合生活实际，明白1厘米实际有多长．
11．（2分）一个长方体的底面是面积为9cm2的正方形，它的侧面展开正好是一个正方形，这个长方体侧面展开的面积是（ ）cm2．
A．9 B．81 C．144
【分析】先根据正方形面积公式：S＝a2，求出底面的边长；长方体的侧面展开图的宽为长方体的高，长为长方体的底面周长，因为侧面展开正好是一个正方形，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出侧面展开图的面积即可．
【解答】解：因为3×3＝9
底面边长为3cm．
长方体的侧面展开图的宽为长方体的高，长为长方体的底面周长，
因为侧面展开正好是一个正方形，
则，侧面展开图的面积：
（4×3）2
＝12×12
7
＝144（cm2）
答：这个长方体侧面展开的面积是144cm2．
故选：C．
【点评】本题综合考察了长方体的侧面展开图、正方形的面积及周长公式，明确长方体的侧面展开图的长和宽与长方体高和底面的关系，是本题解题的关键．
12．（2分）量筒里原有180毫升的水，现在将15个棱长都是1厘米的正方体铁块放入量筒内（正方体全部浸没在水中），水面上升到（ ）毫升的位置．
A．180 B．185 C．195 D．205
【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，求出这15正方体的体积，再根据体积与容积的换算方法，把15个正方体的体积换算成用容积单位，然后用量筒中原来水的数量加上这15个正方体的体积即可．
【解答】解：1×1×1×15＝15（立方厘米）
15立方厘米＝15毫升
18015＝195（毫升）
答：水面上升到195毫升的位置．
故选：C．
【点评】此题主要考查正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算．
二．填空题（共10小题，满分22分）
8
13．（1分）一个正方体的棱长是6cm，表面积是 216
cm2．
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答．
【解答】解：6×6×6
＝36×6
＝216（平方厘米）
答：它的表面积是216平方厘米．
故答案为：216．
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
14．（1分）一块体积为32m3的长方体大理石，底面积是8m2，高是
4 米．
【分析】长方体体积＝底面积×高，已知体积和底面积，那么高就等于体积除以底面积．
【解答】解：32÷8＝4（米）
答：高是4米．
故答案为：4．
【点评】解答此题要知道长方体的体积＝底面积×高．
15．（1分）一个正方体的棱长为2厘米，棱长扩大到原来的3倍后，它的表面积増加了 192 平方厘米．
【分析】根据正方体的体积公式：V＝6a2，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．据此解答．
9
【解答】解：2×2×6＝24（平方厘米）
3×3＝9
24×9﹣24
＝216﹣24
＝192（平方厘米）
答：它的表面积增加了192平方厘米．
故答案为：192．
【点评】此题主要考查正方体的表面积公式、因数与积的变化规律的应用，关键是熟记公式．
16．（2分）用48厘米长的铁丝焊接成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是 4 厘米，体积是 64 立方厘米．
【分析】因为正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答．
【解答】解：48÷12＝4（厘米）
4×4×4＝64（立方厘米）
答：这个正方体的棱长是4厘米，体积是64立方厘米．
故答案为：4、64．
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
17．（2分）用一个正方体只能画出 1 种正方形，用一个长方体最10
多能画出 3 种不同的长方形．
【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等．正方体6个面都相等．据此解答．
【解答】解：用一个正方体只能画出1种正方形，用一个长方体最多能画出3种不同的长方形．
故答案为：1，3．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，明确：在长方体中，相对的面是完全相同的．
18．（2分）把60升水倒入长5分米，宽4分米，高4分米的长方体鱼缸中，水的高度是 3 分米，水离缸口还有 1 分米．
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，据此求出水的高，然后用鱼缸的高减去水面的高即可．
【解答】解：60升＝60立方分米
60÷（5×4）
＝60÷20
＝3（分米）
4﹣3＝1（分米）
答：水的高是3分米，水离缸口还有1分米．
故答案为：3、1．
【点评】此题主要考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，关键是11
熟记公式．注意：容积单位与体积单位之间的换算．
19．（3分）认一认，数一数，填一填．
长方体有 2 个，正方体有 3 个，圆柱有 3 个，球有 2
个．
【分析】（1）正方体：
有8个顶点，6个面．每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）．有12条棱，每条棱长的长度都相等．
（2）长方体：
有8个顶点，6个面．每个面都由长方形或相对的一组正方形组成．有12条棱，相对的4条棱的棱长相等．
（3）圆柱：
上下两个面为大小相同的圆形．有一个曲面叫侧面．
（4）球：
球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体．
由此进行求解．
【解答】解：长方体有2个，正方体有3个，圆柱有3个，球有2个．
12
故答案为：2，3，3，2．
【点评】认识常见的立体图形的特征，正确的识别常见的立体图形．
20．（3分）做一个长为5分米，宽为4分米，高为2分米的长方体框架，要用铁丝 44 分米，如果做一个同样大的无盖铁盒需铁皮 56 平方分米，该铁盒最多可装 40 升水．
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等；6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．
第一问是求长方体的棱长和，用长方体的棱长总和＝（长宽高）×4计算，
第二问是求长方体的表面积，公式是长方体的表面积＝（长×宽长×高宽×高）×2，已知这个铁盒无盖，也就是求它的5个面的面积和．缺少的是长×宽的面，
第三问是求长方体的体积，公式是长方体的体积＝××宽×高，把数据代入公式解答．
【解答】解：（542）×4
＝11×4
＝44（分米）；
5×4（5×24×2）×2
13
＝20（108）×2
＝2021×2
＝2036
＝56（平方分米）；
5×4×2
＝20×2
＝40（立方分米）
答：要用铁丝44分米，如果做一个同样大的无盖铁盒需铁皮56平方分米，该铁盒最多可装40升水．．
故答案为：44，56，40．
【点评】此题主要考查正方体的特征，以及棱长总和、表面积的计算，直接把数据代入棱长总和公式、表面积公式解答．
21．（5分）长方体和正方体都有 6 个面， 12 条棱， 8 个顶点，相对的面的面积 相等 ，相对棱的长度 相等 ．
【分析】据长方体、正方体的特征，长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点．长方体的6个面都是长方形（特殊情况下有一组相对的面是正方形）．长方体相对的面面积相等、相对的棱长度相等．正方体的6个面的面积都相等，12条棱的长度都相等．
【解答】解：长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点．长方体的6个面都是长方形（特殊情况下有一组相对的面是正方形）．长方体相对的面面积相等、相对的棱长度相等．正方体的6个面的面积都相等，1214
条棱的长度都相等．
故答案为：6、12、8，相等、相等．
【点评】此题考查的目的理解掌握长方体、正方体的特征．
22．（2分）一个长方体，棱长总和是80cm，长和宽都是8cm，这个长方体高是 4
cm，这个长方体体积是 256立方厘米 ．
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长宽高）×4，用棱长总和除以4再减去长和宽即可求出高，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．
【解答】解：80÷4﹣8×2
＝20﹣16
＝4（厘米）
8×8×4＝256（立方厘米）
答：这个长方体的高是4厘米，体积是256立方厘米．
故答案为：4，256立方厘米．
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
三．解答题（共12小题，满分54分）
23．（4分）一个长方体的长、宽、高分别是三个连续的奇数，已知它的体积是315立方米，它的表面积是多少平方米
【分析】把315分解成3个连续的奇数相乘的形式，确定这个长方体的长、宽、高各是多少，再根据长方体表面积的计算方法进行解答．
15
【解答】解：315＝5×7×9
所以这个长方体的长、宽、高分别是9米、7米、5米．
（9×79×57×5）×2
＝（634535）×2
＝143×2
＝286（平方米）
答：它的表面积是286平方米．
【点评】本题的关键是求出这个长方体的长、宽、高各是多少厘米，再根据长方体的表面积的计算方法进行计算．
24．（4分）如图是12根小棒搭成的长方体．小明最多从这个长方体框架上拿走 9 根小棒，他还能看出长方体的大小．请在图中描出剩下的那几根．
【分析】根据长方体的特征，一般情况长方体的12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，所以小明最多从这个长方体框架上拿走9根小棒，只要剩下相较于一个顶点的三条棱就能看出长方体的大小．据此解答．
【解答】解：12﹣3＝9（根）
小明最多从这个长方体框架上拿走9根小棒，他还能看出长方体的大小．如下图：
16
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用．
25．（4分）学校运来的沙子，铺在一个长5m、宽38dm的沙坑里，可以铺多厚
【分析】要求这些沙土可以铺多厚，即相当于求长方体的高，用沙土的体积除以沙坑的底面积，依条件列式解答即可．
【解答】解：38分米＝米
÷（5×）
＝÷19
＝（m）；
答：可以铺厚．
【点评】此题属于长方体体积的实际应用，根据长方体的高＝体积÷底面积，代入公式计算即可．
26．（4分）一个长方体的无盖水族箱，长是6m，宽是60cm，高是．这个水族箱的占地面积有多大需要用多少平方米的玻璃它的体积是多少
【分析】（1）水族箱的占地面积即长方体的底面积＝长×宽；
（2）做这个水族箱至少需要玻璃多少平方米，就是求长方体5个面的面积；
17
（3）水族箱的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高；据此解答．
【解答】解：60厘米＝米
6×＝（平方米）；
6×（6××）×2
＝
＝（平方米）；
6××＝（立方米）；
答：这个水族箱的占地面积是平方米，需要要用平方米的玻璃，它的体积是立方米．
【点评】此题主要考查长方形的面积和长方体的表面积和体积的计算方法，关键是明白这个木箱的占地面积，就是木箱最大底面的面．
27．（5分）修路队计划给一条长千米、宽8米的路面上铺20厘米厚的三合土，共需三合土多少立方米用3辆运量是10立方米的汽车来运三合土，每辆车需运多少次
【分析】根据长方体的体积公式：v＝abh，把数据代入公式即可求出需要三合土多少立方米，然后用三合土的数量除以汽车的辆数再除以每辆汽车的载重量即可．
【解答】解：千米＝1500米，20厘米＝米，
1500×8×
＝12000×
＝2400（立方米），
18
2400÷3÷10
＝800÷10
＝80（次），
答：共需要三合土2400立方米，每辆车需运80次．
【点评】此题主要考查长方体的体积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式．
28．（5分）把一个底面积是64cm2，高是4cm的长方体铁块，锻造成一个截面是正方形的长方体，截面的边长是5cm，锻造后的长方体的长是多少厘米（耗损忽略不计）
【分析】把长方体铁块锻造成一个截面是正方形的长方体，只是形状改变了，但体积没有变；根据长方体的体积公式：v＝Sh，求出铁块的体积，再根据长方体的体积公式：v＝h，用体积除以锻造后长方体的底面积即可求出高；由此列式解答．
【解答】解：64×4÷（5×5）
＝256÷25
＝（厘米）；
答：锻造后的长方体的长是厘米．
【点评】此题解答的关键是理解把长方体铁块锻造成其它形状后，只是形状改变了，但体积没有变；根据长方体的体积公式解决问题．
29．（5分）如图，一个长方体体积是32cm3，已知它的A面面积是8cm2，B面面积是4cm2．C面面积是多少平方厘米？
19
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，前面（A）的面积＝长×高，右面（B）的面积＝宽×高，所以用体积除以前面的面积就是宽，用用体积除以右面的面积即可求出长，上面（C）的面积＝长×宽，由此解答即可．
【解答】解：宽：32÷8＝4（厘米）
长：32÷4＝8（厘米）
C面的面积：8×4＝32（平方厘米）
答：C面面积是32平方厘米．
【点评】此题考查的目的是掌握长方体的体积公式，关键是搞清长方体的长、宽、高与各面的长和宽的关系．
30．（5分）棱长是6dm的正方体容器装满水，把容器里的水全部倒入一个长方体水箱，水箱从里面量长6dm，宽5dm，高，这时倒入水箱里面的水深是多少分米再要注满水箱还应倒入多少升水
【分析】首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体容器内水的体积，再根据长方体的体积公式：V＝h，用水的体积除以长方体水箱的底面积即可求出水深，然后用长方体的底面积乘水箱空的高即可．
【解答】解：6×6×6÷（6×5）
＝216÷30
＝（分米）；
6×5×（﹣）
20
＝30×
＝39（立方分米）
＝39（升）；
答：这时倒入水箱里面的水深是分米，再要注满水箱还应倒入39升水．
【点评】此题主要考查正方体、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
31．（4分）求下面各立方体的表面积和体积：
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（abahbh）×2，体积公式V＝abh以及正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式积：V＝a3，代入数据解答即可．
【解答】解：（1）长方体的表面积：
（4×24×32×3）×2
＝（8126）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）；
体积：4×2×3＝24（立方厘米）；
（2）正方体的表面积：2×2×6＝24（平方厘米）；
体积：2×2×2＝8（立方厘米）；
21
答：长方体的表面积是52平方厘米，体积是24立方厘米；
正方体的表面积是24平方厘米，体积是8立方厘米．
【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积和体积公式及其计算．
32．（4分）一个长方体，高截去3厘米，表面积减少了60平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原长方体的体积是多少？
【分析】根据题意，高截去3厘米，表面积减少了60平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出一个面的面积，再用一个面的面积除以3厘米，即可求出原来长方体的长和宽，然后根据长方体的体积＝长×宽×高解答即可．
【解答】解：原来长方体的长和宽是：
60÷4÷3
＝15÷3
＝5（厘米）
53＝8（厘米）
5×5×8＝200（立方厘米）
答：原来长方体的体积是200立方厘米．
22
【点评】此题主要考查了长方体的体积公式的应用，解答此题的关键是首先分析出表面积减少的只是4个侧面的面积，进而求出长方体的长、宽是多少．
33．（5分）一个正方体的铁皮油箱，棱长是6分米，这个油箱可以盛油多少升做这个油箱要用多少铁皮
【分析】这个正方体的棱长是6分米，
根据正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可求出油箱的容积；
求做油箱需要的铁皮面积，实际上是求油箱的表面积，利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6代入数据求解即可．
【解答】解：6×6×6＝216（立方分米）
216立方分米＝216升
6×6×6＝216（平方分米）
答：这个油箱可以盛油216升，做这个油箱至少要用216平方分米铁皮．
【点评】掌握正方体的表面积公式：S＝6a2；正方体的体积公式：V＝
a3是解题的关键．
34．（5分）丁师傅要制作一个无盖的长方体铁皮水箱，长12分米，宽5分米，高4分米．
（1）至少需要多少平方米的铁皮
（2）如果每升水重1千克，那么这个铁皮水箱大约能装多少千克的水
23
【分析】（1）至少需要多少平方米的铁皮，那么无盖的一面应该是长12分米，宽5分米，这样可以求得铁皮水箱的表面积，即为需要铁皮的大小．
（2）求出水箱的体积长×宽×高，即可求得装水的重量．
【解答】解：（1）无盖的一面为长12分米，宽5分米，
12×5（12×45×4）×2
＝60（4820）×2
＝6068×2
＝60136
＝196（平方分米）
196平方分米＝平方米
（2）12×5×4÷1×1
＝60×4
＝240（千克）
答：（1）至少需要平方米的铁皮．（2）这个铁皮水箱大约能装240千克的水．
【点评】在这道题中，要求至少需要的铁皮数，要将最大的面做为无盖的一面，考查的长方体的表面积和体积，属于简单题型．
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长方体,正方体,体积
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