高考数学:极坐标与参数方程知识点总结

2024年3月9日发(作者：学霸写的高考数学试卷)

高考数学：极坐标与参数方程知识点总结

极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！

第一讲

一 平面直角坐标系

1．平面直角坐标系

(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．

(2)平面直角坐标系：

①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；

②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；

③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；

④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；

⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．

(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：

二 极坐标系

(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．

(3)图示

2．极坐标

(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．

若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．

3．极坐标与直角坐标的互化公式

如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．

三 简单曲线的极坐标方程

1．曲线的极坐标方程

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

2．圆的极坐标方程

(1)特殊情形如下表：

3．直线的极坐标方程

(1)特殊情形如下表：

第二讲

一 曲线的参数方程

1．参数方程的概念

2．圆的参数方程

二 圆锥曲线的参数方程

三 直线的参数方程

一

参数方程的基本概念

定义：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

并且对于t的每一个允许值，由于方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

二

直线的参数方程

定义：

经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠π/2)的直线L的普通方程是y-y0=tanα(x-x0)，它的参数方程的标准形式为：

直线参数方程标准形式中参数t的几何意义是：直线L以定点M0为起点，任意点M(x，y)为终点的有向线段的数量。

当M点在M0的上方时，t＞0；

当M点在M0的下方时，t＜0；

当M点与M0点重合时，t=0，

所以直线上动点M到定点M0的距离=￨t￨

备注：

过点M0(x0，y0)，斜率k=b/a，且a2+b2≠1，如果直线的参数方程为：

这个称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义。

例题：已知直线L：x+y-1=0与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M(-1，2)到A，B两点的距离之积。

解：

三

曲线的参数方程

圆的参数方程：

已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则它的参数方程为：

此处的θ为旋转角，它的范围为[0，2π)

椭圆的参数方程：

此处的θ为离心角，它的范围为[0，2π)

双曲线的参数方程：

抛物线的参数方程：

已知抛物线的方程为：y2=2px(p＞0)，则它的参数方程为：

解：

解：

四

参数方程和普通方程的互化

定义：

参数方程转化为普通方程的两种方法：

1.代数法：

通过将两参数方程的乘，除，乘方等运算进行适当的变形，通过两个方程的加，减等代数运算消去参数。

解：

备注：

在参数方程与普通方程的互化中，必须使值范围保持一致。

2.三角法：

利用如下的三角恒等式消去参数：① sin2θ+cos2θ=1

② sec2θ-tan2θ=1

③ 二倍角公式：

sin2θ=2sinθcosθ

cos2θ=2cos2θ-1

=cos2θ-sin2θ

=1-2sin2θ

解：

x，

y的取

五

渐开线和摆线

渐开线：

定义：

上图中紫色曲线表示的即为点M所形成的图像

摆线：

定义：

平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。

摆线的参数方程：

取定直线为x轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，设M点的坐标为(x，y)，则有：

这就是圆所产生的摆线的参数方程．

上图中紫色曲线表示的即为点M所形成的图像

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