2008年河南专升本高等数学真题+真题解析

2023年12月3日发(作者：数学试卷资料在哪找好点)

2008河南省普通高等学校

选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学试卷

一、选择题 （每小题2 分，共50 分）

1．函数f(x)ln(1x)x2的定义域是（ ）

A．2,1 B．2,1 C．2,1

【答案】C

【解析】由1x0可得2x1，故选Cx20．

2．lim12cosx（

x3sin ）

x3 A．1 B．0 C．2

【答案】D

【解析】lim12cosxlim2sinx3，故选D．

x3sinxx33cosx3

13．点xx0是函数y311的（ ）

3x1 A．连续点 B．跳跃间断点 C．可去间断点

【答案】

11x【解析】lim3x1131x013x111，xlim011，故选B．

3x1

4．下列极限存在的是（ ）

A．xxlime B．limsin2xx0x C．1xlim0cosx

【答案】B

【解析】limsin2xx0x2，其他三个都不存在，应选B．

D．2,1

D．3

D．第二类间断点．x2D2xlimx3

5．当x0时，ln(1x2)是比1cosx的（ ）

A．低阶无穷小

C．等价无穷小

B．高阶无穷小

D．同阶但不等价无穷小

【答案】D

【解析】x0时，ln(1x2)~x2，1cosx~

12x，故选D．

211(x1)sin,x1x16．设函数f(x)1,1x0，则f(x)（ ）

arctanx,x0

A．在x1处连续，在x0处不连续

B．在x0处连续，在x1处不连续

C．在x1,0处均连续

D．在x1,0处均不连续

【答案】A

【解析】limf(x)1，limf(x)1，f(1)1f(x)在x1处连续；limf(x)1，x1x1x0x0limf(x)0，f(0)1f(x)在x0处不连续，应选A．

7．过曲线yarctanxex上的点(0,1)处的法线方程为（ ）

A．2xy10 B．x2y20 C．2xy10 D．x2y20

【答案】D

【解析】y1ex，y21xx0112，法线的斜率k，法线方程为y1x，即22x2y20，故选D．

8．设函数f(x)在x0处满足，f(x)f(0)3x(x)，且limx0(x)x则f(0)（ ）

0，D．3 A．1 B．1 C．3 【答案】C

【解析】f(0)limx0f(x)f(0)3x(x)(x)lim3lim3，应选C．

x0x0x0xx

9．若函数f(x)(lnx)x(x1)，则f(x)（ ）

A．(lnx)x1

C．(lnx)xln(lnx)

B．(lnx)x1(lnx)xln(lnx)

D．x(lnx)x

【答案】B

11【解析】f(x)(lnx)xexln(lnx)，f(x)(lnx)xxln(lnx)(lnx)xln(lnx)x

lnxx(lnx)x1(lnx)xln(lnx)，故选B．

xcos3td2y10．设函数yy(x)由参数方程确定，则2|（ ）

3dxt4ysint A．2 B．1 C．42

3D．42

3【答案】D

d2yddy1dydydt3sin2tcostsint11【解析】，

dxdxdt3cos2tsintcostdx2dtdxdxcos2x3cos2tsintdt42d2y1，，故选D．

|2t4dx33costsint4

11．下列函数中，在区间1,1上满足罗尔定理条件的是（ ）

A．yex B．yln|x| C．y1x2

D．y1

2x【答案】C

【解析】验证罗尔定理得条件，只有y1x2满足，应选C．

12．曲线yx35x2的拐点是（ ）

A．x0 B．(0,2) C．无拐点 D．x0,y2 【答案】B

【解析】y3x25，y6x，令y0，得x0，当x0时，y0，当x0时，y0，故拐点为(0,2)，应选B．

13．曲线y

1（ ）

|x1|A．只有水平渐进线

B．既有水平渐进线，又有垂直渐近线

C．只有垂直渐近线

D．既无水平渐进线，又无垂直渐近线

【答案】B

【解析】lim故选B．

14．如果f(x)的一个原函数是xlnx，那么x2f(x)dx（ ）

A．lnxC B．x2C C．x3lnxC D．Cx

11曲线有水平渐近线y0；lim曲线有垂直渐近线x1，0，，x|x1|x|x1|【答案】D

【解析】f(x)(xlnx)1lnx，f(x)

15．

dx（ ）

x24x31x3A．ln

C

2x11，x2f(x)dxdxxC，应选D．

2xB．lnx1C

x3C．ln(x3)ln(x1)C D．ln(x1)ln(x3)C

【答案】A

【解析】

16．设I1dx，则I的取值范围为（ ）

01x41dxdx1111x3dxlnC，应选A．

x24x3(x3)(x1)2x3x12x1 A．0I1 B．1I1 C．0I D．I1

244【答案】B

【解析】因0x1，11121x41，根据定积分的估值性质，有2I1，故选B．

17．下列广义积分收敛的是（ ）

A．1x3dx B．lnx1xdx C．1xdx D．0exdx【答案】D

【解析】D项中exdxex001，故收敛．

18．331xdx（ ）

A．231x130dx B．3(x1)dx1(1x)dx

C．1(1x)dx3331(x1)dx D．13(1x)dx1(x1)dx

【答案】D

【解析】31xdx11xdx31xdx1(133313x)dx1(x1)dx，故选D．

19．若f(x)是可导函数，f(x)0，且满足f2(x)ln222xf(t)sint01costdt，则f(x)（

A．ln(1cosx) B．ln(1cosx)C

C．ln(1cosx) D．ln(1cosx)C

【答案】A

【解析】对f2(x)ln222xf(t)sint01costdt两边求导有2f(x)f(x)2f(x)sinx1cosx，即

f(x)sinx1cosx，从而f(x)sinx1cosxdxd(1cosx)1cosxln(1cosx)C．

由初始条件f(0)ln2，代入得C0，应选A．

20．若函数f(x)满足f(x)x11121f(x)dx，则f(x)（ ）

）

1A．x

3B．x1

2C．x1

21D．x

3【答案】C

11【解析】令af(x)dx，则f(x)x1a，

121111从而af(x)dxx1adx2a，得a1，故f(x)x，应选C．

1122

21．若Ix3f(x2)dx，则I（ ）

0e A．xf(x)dx

0e2B．xf(x)dx

0e1e2C．xf(x)dx

20D．1exf(x)dx

20【答案】C

【解析】Ix3f(x2)dx0e1e21e21e2222，令，则xf(x)dxtxItf(t)dtxf(x)dx，故022020选C．

22．直线L:

x2y4z与平面:4x3y7z5的位置关系是（ ）

591A．斜交 B．垂直 C．L在内 D．L

【答案】D

【解析】直线的方向向量s(5,9,1)，平面的法向量n(4,3,7)，由sn0得sn，而点(2,4,0)不在平面内，故平行，应选D．

23．limx0y0x2y2xy1122（ ）

A．2 B．3 C．1 D．不存在

【答案】A

(x2y2)(x2y211)【解析】故选A．

limlimlim(x2y211)2，2222x0x0x0xyxy11y0y0y0x2y2

24．曲面zx2y2在点(1,2,5)处的切平面方程为（ ）

A．2x4yz5 B．4x2yz5 C．x2y4z5 D．2x4yz5

【答案】A 【解析】令F(x,y,z)x2y2z，Fx(1,2,5)2，Fy(1,2,5)4，Fz(1,2,5)1，得切平面方程为2(x1)4(y2)(z5)0，即2x4yz5，故选A．

2z25．设函数zxyxy，则（ ）

yx33 A．6xy B．3x23y2 C．6xy D．3y23x2

【答案】B

z2z32【解析】x3xy，3x23y2，应选B．

yyx

26．如果区域D被分成两个子区域D1,D2，且f(x,y)dxdy5，f(x,y)dxdy1，则D1D2f(x,y)dxdy（ ）

D A．5 B．4 C．6 D．1

【答案】C

【解析】根据二重积分的可加性，f(x,y)dxdy6，应选C．

D

xtsint27．如果L是摆线上从点A(2,0)到点B(0,0)的一段弧，则曲线积分y1cost132x(xy3xe)dxxysinydy（ ）

L3

A．e2(12)1

2B．2e(12)1

2D．4e(12)1

2C．3e(12)1

【答案】C

【解析】因xxPQx2，从而此积分与路径无关，取直线段，x从2变成0，则

y0yx0200132xx(xy3xe)dxxysinydy3xedx3xdex3(xexex)L223

23e(12)1．

28．通解为Cex（C为任意常数）的微分方程为 （ ）

A．yy0 B．yy0 C．yy1 D．yy10

【答案】B

【解析】yCex，yCex，从而yy0，故选B．

29．微分方程yyxex的特解形式应设为y* （ ）

A．x(axb)ex B．axb C．(axb)ex D．x2(axb)ex

【答案】A

【解析】特征方程为r2r0，特征根为r10，r21，1是特征方程的单根，应设y*x(axb)ex，应选A．

30．下列四个级数中，发散的是（ ）

1A．

n1n!2n3B．

1000nn1nC．n

n12D．1

2nn1【答案】B

2n32n31【解析】lim发散，应选B．

0，故级数n1000n500n11000n

二、填空题 （每小题 2分，共 30分）

31．limf(x)A的________条件是limf(x)limf(x)A．

xx0xx0xx0【答案】充分必要（或充要）

【解析】显然为充分必要（或充要）．

32．函数yxsinx在区间(0,2)内单调________，其曲线在区间0,内的凸凹性为2________的．

【答案】增加（或递增），凹

【解析】y1cosx0在(0,2)内单调增加，ysinx在0,内大于零，应为凹的．

2 33．设方程3x22y2z2a（a为常数）所确定的隐函数为zf(x,y)，则【答案】

【解析】F(x,y,z)3x22y2z2a，则Fx6x，Fz2z，故

34．dx1x________．

Fz3xx．

xFzzz________．

x【答案】2x2ln(1x)C

【解析】令tx，则dx2tdt，

1

dxx2t1dt21dt2t2ln(1t)C2x2ln(1x)C．

2t1t35．3xdx________．

1cosx3【答案】0

xxdx0． 【解析】y在区间,上是奇函数，故31cosx1cosx333

36．在空间直角坐标系中以点A(0,4,1)，B(1,3,1)，C(2,4,0)为顶点的ABC面积为________．

【答案】6

2ijk【解析】AB(1,1,0)，AC(2,0,1)，ABAC110(1,1,2)，

201故ABC的面积为S

116．

ABAC(1)2(1)2(2)2222x2y2137．方程9在直角坐标系下的图形为________．

4x2【答案】两条平行直线

【解析】椭圆柱面与平面x2的交线，为两条平行直线．

38.函数f(x,y)x3y33xy的驻点________．

【答案】

f3x23y0x【解析】由，可得驻点为(0,0)，(1,1)．

f23y3x0y

39．若zx2ye1xxy32tan【答案】0

【解析】z(x,0)0

40yz，则|________．

xx(1,0)zz0|0．

xx(1,0)x40．dx4【答案】cosydy________．

y2

24x40【解析】dx

ycosycosy4dydydx4cosydysiny000yy402．

241．直角坐标系下二重积分f(x,y)dxdy（其中D为环域1x2y29）化为极坐标形式D为________．

【答案】df(rcos,rsin)rdr

0123【解析】f(x,y)dxdydf(rcos,rsin)rdr．

D0123

42．以yC1e3xC2xe3x为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为________．

【答案】y6y9y0

【解析】由通解yC1e3xC2xe3x可知，有二重特征根3，从而微分方程为y6y9y0．

43．等比级数aqna0，当________时级数收敛；当________时级数发散．

n0【答案】q1，q1

【解析】级数aqn是等比级数，当q1时，级数收敛，当q1时，级数发散．

n0

1展开成x的幂级数________．

x2x211【答案】n1(1)n1xn，1x1

3n0244．函数f(x)【解析】f(x)11111111

xx231x2x31x61x2211xn11nn(1)xnn1(1)n1xn，1x1．

3n06n023n02

n245．是敛散性为________的级数．

nn1n【答案】发散

n22【解析】limlim1nnnnnn(2)2e20，级数发散．

三、计算题（每小题5 分，共40 分）

x2246．求lim2xx3x252．

【答案】e

52x2【解析】lim2xx32x2525lim12xx3x2525lim12xx3x235x255x232e．

52

47．limx0x4x2．

20t1tdt3【答案】

【解析】limx0x4x2lim2x04x3x230t1tdt31x2x4lim21x4x032．

48．已知ylnsin(12x)，求【答案】2cot(12x)

【解析】

49．计算xarctanxdx．

【答案】

【解析】xarctanxdx1111arctanxdx2x2arctanx1dx

2221x2dy．

dxdydlnsin(12x)1cos(12x)(2)2cot(12x)．

dxdxsin(12x)1211xarctanx(xarctanx)C(x2arctanxxarctanx)C．

222

50．求函数zexcos(xy)的全微分．

【答案】excos(xy)sin(xy)dxexsin(xy)dy

【解析】zzexcos(xy)exsin(xy)，exsin(xy)，故

yxzzdzdxdyexcos(xy)sin(xy)dxexsin(xy)dy．

xy 51． 计算Dxd，其中D为由y2，yx，xy1所围成的区域．

y2【答案】17

24【解析】根据积分区域的特征，应在直角坐标系下计算积分，且积分次序为先积x后积y，2yxx1211171交点坐标为(2,2)，(1,1)，,2，故2ddy12dx2y22dy．

11yy2yy242yD

52．求微分方程yycosxesinx满足初始条件y(0)1的特解．

【答案】yesinx(x1)

cosxdxcosxdxsinxsinxQ(x)esinx，【解析】P(x)cosx，则通解为ye

edxC(xC)，ee又y(0)1，所以C1，特解为yesinx(x1)．

3nn53．求级数．

x的收敛半径与收敛区间（考虑端点）n1n011【答案】,

33an1113n1n1limn3，收敛半径R． 【解析】limnann233n1(1)n11当x时，级数为，该级数发散；当x时，级数为，该级数收敛，

n1n133n0n011故收敛域为,．

33

四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）

54．过曲线yx2上一点M(1,1)，作切线L，D是由曲线yx2，切线L及x轴所围成的平面图形．求：

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积．

【答案】（1）1 （2）

1230【解析】（1）曲线yx2在M(1,1)处的切线斜率为2，过M点的切线方程为y2x1，切1线与x轴的交点为,0，则平面图形D的面积

2111111Ax2dx1x31．

00223412（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积为

1111V(x2)2dx12x5032510630．

55．一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽（图略），要使等腰梯形的面积A最大，求腰长x和它对底边的倾斜角．

【答案】

【解析】由题意知梯形的上、下底分别为242x2xcos，242x(x0,0)．

1故A(242x2xcos242x)xsin24xsin2x2sinx2sincos，

2A24sin4xsin2xsincos，

xA24xcos2x2cosx2(cos2sin2)，

令AA0，联立解得，在定义域内唯一驻点x8，，

0，3x故当

3，x8cm时正截面面积A最大．

五、证明题 （6 分）

56．证明方程lnxx31cos2xdx在区间(e,e)内仅有一个实根．

e0【解析】令f(x)lnxf(e)x上连续，且

e,e31cos2xdx，显然f(x)在0e01cos2xdx220，f(e3)3e201cos2xdx6e20， 由零点定理得，在(e,e3)内至少存在一个，使得f()=0．

又f(x)113，在(e,e)内f(x)<0，所以在内单调减少．

xex31cos2xdx在区间(e,e)内仅有一个实根．

e0综上所述，方程lnx