2024年1月10日发(作者：南充二诊2019数学试卷)
一 分 数 乘 法
一、分数乘整数
1.分数乘整数的意义。
求几个相同加数的和的简便运算。
2.分数乘整数的计算方法。
用分数的分子与整数相乘的积作分子,分母不变。当整．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数与分母能约分时,可以先约分,再计算,结果不变。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3.分数乘整数的计算方法同样适用于整数乘分数。
4.一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少。
5.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算,即这个数乘几分之几。
6.单位“1”的量×比较量占单位“1”的几分之几=比较量。
二、分数乘分数
1.分数乘分数的意义。
求一个分数的几分之几是多少。
2.分数乘分数的计算方法。
用分子和分子相乘的积作分子,分母和分母相乘的积作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．分母。计算分数乘分数时,能约分的应先约分,再计算。
．．．3.分数乘分数的特殊情况。
(1)分数乘分数的计算方法也适用于小数乘分数,即先把小数化成分数,再计算。例如,0.5×=×=。
(2)分数乘分数,这里的分数也可以是带分数,计算时要先把带分数化成假分数。例如,1×=×=。
4.因数与积的关系。
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数;
一个数(0除外)乘大于0且小于1的数,积小于这个数;
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
三、分数连乘
1.连续求一个数的几分之几是多少的实际问题,解题关键是理清每一步中谁是单位“1”,谁是谁的几分之几,同时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．明确题中的数量关系。
．．．．．．．．．．2.一般题目中和“谁”比,“谁”就是单位“1”的量。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1)一种是题目里有典型特征的“比”字,“比”后面的量,即为单位“1”的量。
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。
易错点:分数与整数相乘时,误将分子与整数约分,这是不对的,一定要注意是分母与整数约分。
举例:计算×6。
错解:×6=×=
正解:×6=×=
举例:计算×。
错解:×=
正解:×=
易错点:混淆单位“1”的量。
举例:甲数的正好是乙数,这句话中单位“1”的量是( )。
错解:乙数
正解:甲数
(2)另一种是题目中没有“比”字,但是题目中的两个数量可以看作两数的比较关系,如“占”“是”“相当于”后面的量即为单位“1”的量。
3.分数连乘的计算方法:用分子相乘的积作分子,用分母．．．．．．．．．．相乘的积作分母;如果有整数,用整数与分子相乘的积作分子,用分母相乘的积作分母。计算过程中能约分的,要先约分,再计算。
四、倒数
1.倒数的意义。
乘积是l的两个数互为倒数。“互为倒数”是指两个数．．．．之间是相互依存的,一个数不能称为倒数。
例如,×=1,可以说和互为倒数,也可以说的倒数是,或者说的倒数是。
2.求一个数的倒数的方法。
(1)求真分数、假分数的倒数:调换分子、分母的位置。
．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)求整数的倒数:先把整数(0除外)看作分母是的假．．．．．．．1．．．分数,再调换分子、分母的位置。
．．(3)求带分数的倒数:先把带分数化为假分数,再求假分数．．．．．．．．．．．．．．．．的倒数。
．．．．3.真分数的倒数大于,假分数的倒数等于或小于它本．．．．．．．．1．．．．．．．．．．．．．．．身。
．．4. 1的倒数是,0没有倒数。
．．．．．1．．．．．．．．
易错点:倒数表示的是乘积是1的两个数相互依存的关系,不是数值相等的两个数的数量关系,因此不能把互为倒数的两个数用等号连接。
举例:写出的倒数。
错解:=。
正解:的倒数是。
二 分 数 除 法
一、分数除法的意义和分数除以整数
1.分数除法的意义。
分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。
2.一个带分数除以整数,先把这个带分数化成假分数,再按照分数除以整数的计算方法进行计算。例如,4÷4=×=。
二、一个数除以分数
1.一个数除以分数的计算方法。
(1)计算方法:一个数除以分数,等于乘分数的倒数。
(2)将除法转化成乘法的要点。
无论是分数除以整数,还是分数除以分数,都可以转化成被除数乘除数的倒数。
易错点:在除法算式中,易忽略除数不能为0这个条件。
举例:
判断:甲数除以乙数,等于甲数乘乙数的倒数。( )
①被除数不变。②除号变乘号。③除数变成它的倒数。
2.被除数与商的规律。
(1)当被除数不等于0时,0<除数<1,商>被除数。例如,÷>。除数=1,商=被除数。例如,÷1=。除数>1,商<被除数。例如,÷<。
(2)当被除数=0,除数≠0时,商=被除数。例如,0÷=0。
三、分数除法的计算方法
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的简单实际问题
1.“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的简单实际问题的解题方法。
(1)方程法。
①找出单位“1”,设单位“1”的量为x。
②找出题中的等量关系式。
③列出方程并解答。
列方程解题的关键是找出题中的等量关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)算术法。
①找出单位“1”。
②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几。
③列出除法算式并解答。
用算术法解除法应用题的关键是找准已知量占单位“1”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的几分之几。
．．．．．．2.算术法与方程法的区别。
用算术法解分数除法的实际问题需要逆向思考,从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系;用方程法解分数除法的实际问题,只要根据分数乘法的意义顺向思考,找到等量关系式列出方程并解答即可,方程法比算术法更易于理解。
五、分数四则混合运算及简便算法
1.分数四则混合运算的运算顺序。
(1)分数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序相同。
如果算式中含有两级运算,要先算乘、除法,后算加、减法;如果只含有同一级运算,要按照从左到右的顺序计算;如果有括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
(2)在计算过程中能约分的要先约分,这样可以使计算简错解:√
正解:✕
分析:此题错在忽略了除数不能为0这个条件。
易错点:用算术法解分数除法应用题时,先找准单位“1”的量,再根据分数除法的意义列式解答。易把除法算式列为乘法算式。
举例:小丽家养了一些兔子,灰兔有12只,正好是白兔只数的。白兔有多少只?
错解:12×=9(只)
答:白兔有9只。
正解:12÷=16(只)
答:白兔有16只。
易错点:同一级运算,按照从左到右的顺序计算。带括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。同级混合运算(没有括号)要按照从左到右的顺序计算。
举例:计算×8÷×8。
错解:×8÷×8
=×÷×
便。
2.整数乘法运算定律在分数四则混合运算中的运用。
整数乘法运算定律在分数四则混合运算中同样适用。在分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．数四则混合运算中,适合整数乘法运算定律的,使用整数乘法运算定律,可以使计算简便。
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)c=ac+bc
=3÷3
=1
正解:×8÷×8
=×××8
=64
三 百 分 数
一、百分数的意义及读、写方法
1.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数,．．叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。
．．．．．．．2.百分数的写法:百分数通常不写成分母是100的分数形．．式,而是在原来分子的后面添上百分号“%”来表示。写百分数时,百分号前面的数按整数、小数的写法来写,在写出的数的后面加百分号。
3.百分数的读法:读百分数时,百分号前面的数按整数、小．．数的读法来读,只是在前面加“百分之”。
二、百分数和分数的联系与区别
1.百分数和分数的联系:都可以表示两个数之间的倍数关系。
2.百分数和分数的区别。
(1)意义不同,百分数只表示两个数之间的倍数关系,不能带单位名称;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数之间的倍数关系,表示具体的数时可以带单位名称。
(2)百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数;百分数不可以约分,分数一般要约分成最简分数。
(3)应用范围不同,百分数在生产和生活中常用于调查、统计、分析和比较,分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。
拓展提高
1.表示一个数是另一个数的千分之几的数,叫作千分数,千分数也叫作千分率。与百分数一样,千分数也有千分号,千分号
“%”的书写:两个小圈写得要小些,以免与数字0混淆。
易错点:读百分数时,当百分号前是小数时,易漏读小数点前面的0,把小数读成整数。写百分数时,易把分子写错。
举例:读、写出下面各百分数。
0.645%读作: ,
百分之五百写作: 。
错解:百分之六百四十五
5%
正解:百分之零点六四五
500%
易错点:百分数只能表示两个数之间的倍数关系,不能表示具体数量,不能带单位名称。
举例:
判断:一块布长27%米。 ( )
错解:√
用“‰”表示。
2.认识成数。
(1)成数的意义。
“成数”广泛应用于工农业生产和日常生活,用来表示增减情况。如“今年小麦比去年增产10%”,可以说成“今年小麦比去年增产一成”。
(2)成数与百分数的关系。
几成表示十分之几,也就是百分之几十。如“一成”是十分之一,改写成百分数就是10%;“二成”是十分之二,改写成百分数就是20%;“三成五”是十分之三点五,改写成百分数就是35%。
3.认识折扣。
(1)折扣的意义。
“折扣”是指商家降价出售商品,即按原价的百分之几十或百分之几出售。
(2)折扣与百分数的关系。
几折就是原价的百分之几十,几几折就是原价的百分之几十几。如七五折就是75%,九折就是90%。
三、百分数和小数、分数的互化
1.百分数和小数的互化。
正解:✕
现价=原价×折扣
易错点:把百分数化成小数,去掉百分号后,把小数点向左移动两位,位数不够时,用“0”补足,易出现漏补“0”的情况。
举例:把5.4%化成小数。
错解:5.4%=0.54
正解:5.4%=0.054
易错点:把小数化成百分数,是把小数点向右移动两位,而不是去掉小数(1)百分数化成小数的方法:把百分号去掉,同时把小数点向．．．．．．．．．．．．．．点。
举例:把0.0326化成百分数。
左移动两位,位数不够时,用“0”补足。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．错解:0.0326=326%
(2)小数化成百分数的方法:把小数点向右移动两位,同时在正解:0.0326=3.26%
．．．．．．．．．．．．．．
后面添上百分号,位数不够时,用“0”补足。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.百分数和分数的互化。
(1)分数化成百分数的方法:先把分数化成小数,除不尽时,通
．．．．．．．．．．．．．．．
常保留三位小数,再化成百分数。
．．．．．．．．．．．．．．．
(2)百分数化成分数的方法:先把百分数化成分数,再把能约
．．．．．．．．．．．．．．分的约成最简分数。分子是小数的百分数化成分数,先用分数．．．．．．．．．的基本性质,把百分数化成分子是整数的分数,再化简。如12.5%===。
四、生活中的百分数
1.求一个数是另一个数的百分之几的实际问题。
求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一个数是另一个数的几分之几的解题方法相同,用“一个数÷另一个数”,然后将计算结果化成百分数。
2.求百分率。
出勤率是百分率的一种,公式本身应该用百分数的形式表示。如果不乘
拓展提高
1.生活中各种百分率的意义。
发芽率:发芽种子数占试验种子总数的百分之几。
出米率:出米的质量占稻谷的质量的百分之几。
及格率:及格人数占考试总人数的百分之几。
2.各种百分率的计算方法。
100%,公式只是分数形式,乘100%既保持数值不变,又是百分数的形式。
出勤率、成活率、合格率、发芽率等最高是100%,完成率、增长率、利润率等可以超过100%。
四 解 决 问 题
一、“求一个数的几分之几(或百分之几)是多少”的实际问题
1.“已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个部分量是多少”的实际问题的解题方法。
(1)单位“1”的量-单位“1”的量×一个部分量占单位“1”的几分之几=另一个部分量。
(2)单位“1”的量×(1-一个部分量占单位“1”的几分之几)=另一个部分量。
2.“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的实际问题的解题方法。
(1)单位“1”的量+单位“1”的量×一个数比单位“1”的量多的几分之几=这个数。
(2)单位“1”的量×(1+一个数比单位“1”的量多的几分之几)=这个数。
3.“已知一个数比另一个数少几分之几,求这个数”的解题思路与“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的解题思路相同,只不过在列式时把加法换成减法。
二、“已知一个数的百分之几(或几分之几)是多少,求这个数”的实际问题
分之几,求另一个部分量是多少”的实际问题的解题方法与“已知一个部分量占总量的几分之几,求另一个部分量是多少”的实际问题的解题方法相同。
“已知一个数比另一个数多百分之几,求这个数”的解题方法与“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的解题方法相同。
易错点:在解答百分数问题时,一定要找准单位“1”,单位“1”的量未知,可以用除法求出单位“1”的量。
举例:李强六月份的生活费为
“已知一个部分量占总量的百
1.简单的“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的问题的解题方法。
(1)方程法。
255元,比计划节省了15%,节省了多少钱?
错解:
255×15%=38.25(元)
答:节省了38.25元。
正解: 255÷(1-15%)-255
=300-255
=45(元)
答:节省了45元。
求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实质上就是求两个数的差是另一个数(单位“1”)的百分之几。
易错点:相同的差和不同的标准量比较,结果不同;两个不同的数和同一个标准量比较,结果也不同。
举例:甲数比乙数多25%,乙数比甲数少( )。(甲、乙两数均不为0)
错解:25%
正解:20%
易错点:解答工程问题时,不要认为只要分子是“1”的分数就表示工作效率。
举例:一项工程,甲单独做小时完成,乙单独做小时完成。如果两个人合作,几小时可以完成?
错解:
1÷=(时)
①找出单位“1”,设单位“1”的量为x。
②找出题中的等量关系。
③列出方程并解答。
(2)算术法。
①找出单位“1”。
②找出己知量和己知量占单位“1”的百分之几。
③列除法算式解决问题。
2.稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的问题的解题方法。
(1)找出题中的等量关系,设单位“1”的量为x,列出方程并解答。
(2)找到题中的单位“1”,计算出已知量是单位“1”的几分之几,根据分数除法的意义列式解答。
用算术法的解题关键:找准单位“1”,还要看清所求问题与单位“1”的关系并计算出已知量是单位“1”的几分之几。
三、“求一个数比另一个数多(或少)百分之几”的实际问题
1.求甲数比乙数多百分之几的解题方法。
(1)(甲数-乙数)÷乙数。
．(2)甲数÷乙数-1。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.求乙数比甲数少百分之几的解题方法。
(1)(甲数-乙数)÷甲数。
．(2)1-乙数÷甲数。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、工程问题
工程问题的解题方法:
1.把工作总量看作单位“1”,用工作总量除以完成工作的时间,就是工作效率。
2.根据数量关系式“工作总量=工作效率×工作时间”解决工．．．．．．．．．．．．．．程问题。
五、利率和纳税
1.利息和利率。
(1)了解储蓄。
①储蓄的意义:把钱存入银行就是储蓄。
②储蓄的好处:可以支援国家建设;可以使个人钱财更安全;可以增加一些收入。
(2)理解本金、利息、利率的意义。
答:小时可以完成。
正解: l÷=1÷(3+4)
=(时)
答:小时可以完成。
计算利息时,易忘记乘存期。
税收取之于民,用之于民,依法纳税是每个公民应尽的义务。
税收的种类不同,税率也各不相同。每种税的税率都是由国家财政部门规定的。
①本金的意义:存入银行的钱叫作本金。
②利息的意义:取款时,银行除归还本金外,还要多付一些钱,多付的钱叫作利息。
③利率的意义:利息占本金的百分之几叫作利率。一般情况下,利率根据计量的期限标准不同而不同,表示方法有年利率、月利率和日利率。
(3)存款的方式。
①活期:可以随时支取,随时存入。
②定期。
整存整取:一起存入一定钱数,存期到时支取。
零存整取:每月存入一定钱数,存期到时支取。
③定活两便:存款时不确定存期,一次性存入本金,随时可以一次性支取。
(4)利息的计算公式。
利息=本金×利率×存期
．．．．．．．．．．．2.纳税。
(1)纳税的意义。
纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
(2)税收的用途。
税收是国家收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防等事业,不断提高人民的物质和文化水平,保卫国家安全。
(3)税收的种类。
税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等几类。
(4)税收的相关概念。
税款:集体或个人收入中的一部分要上缴给国家,上缴的钱叫作税款。
应纳税额:缴纳的税款叫作应纳税额。
税率:应纳税额与各种收入(销售额、营业额……)的比率叫作
税率。
(5)应纳税额=应纳税所得额×税率。
五 圆
一、圆的认识
1.圆的意义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。
2.圆的画法。(用圆规画圆的方法)
(1)把带有针尖的脚固定在圆心上。
(2)定好两脚间的距离,即半径。
(3)把装有铅笔的脚旋转一周,就画出一个圆。
(4)用圆规画圆时,应注意以下两点:
①带有针尖的脚不能移动。②两脚间的距离不能改变。
3.圆的各部分名称及特征。
(1)认识圆各部分的名称。
①认识圆心。
圆心的意义:用圆规画圆时,固定的一点叫作圆心。
圆心的字母表示法:圆心一般用字母O表示。
圆心的作用:圆心决定圆的位置。
．．．．．．．．．
圆是由一条曲线围成的封闭图形,长方形、三角形、正方形都是由线段围成的封闭图形。
圆心决定圆的位置,半径(或直径)决定圆的大小。
判断半径的方法:半径是一端在圆
心,另一端在圆上的线段。
②认识半径。
半径的意义:连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径。
半径的字母表示法:半径一般用字母r表示。
直径是圆内最长的线段。
半径的作用:半径决定圆的大小。半径越长,圆越大;半径．．．．．．．．．判断圆的直径的方法:①看是否通越短,圆越小。
过圆心。②看线段的两端是否都在圆
上。
③认识直径。
半径和直径都是线段。直径所在的直径的意义:通过圆心并且两端
直线是圆的对称轴。
．．．．．．圆的半径和直径都分别相等必须是都在圆上的线段叫作直径。
．．．．在同圆或等圆中。
直径的字母表示法:直径一般用字母d表示。
(2)在同圆或等圆中半径和直径的关系。
在同圆或等圆中,半径的长度是直径的,直径的长度是半
．．．．．．．．
径的2倍。用字母表示为d=2r或r=。
．．．．．．．
(3)圆的对称性。
圆是轴对称图形,直径所在的直线都是圆的对称轴,圆有无．．．．．．．．．．
数条对称轴。
．．．．．
拓展提高
1.等圆:两个半径相等的圆叫作等圆,等圆经过平移可以完
全重合。
2.同心圆:圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。
3.在同圆或等圆中,半径扩大到原来的几倍,直径也扩大到原来的几倍;半径缩小到原来的几分之一,直径也缩小到原来的几分之一。
二、圆的周长
1.圆的周长的认识及计算公式。
(1)圆的周长的意义:围成圆的曲线的长叫作圆的周长。
(2)圆的周长的测量方法。
①绕绳法。
先把一根绳子绕圆一周,剪去多余的部分或在重叠处做好标记,再拉直量出它的长度,就是这个圆的周长。
②滚动法。
在圆上找一个点并做好标记。把圆放在直尺上,标记点对准直尺的0刻度,滚动一周后标记点所对的刻度就是圆的周长。
(3)圆周率。
任何一个圆的周长除以它的直径,得到的商是一个固定的数,这个数叫作圆周率。
圆周率用希腊字母“π”表示,π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……在实际应用中,通常取它的近似值,即π≈3.14。
(4)圆的周长的计算公式。
①根据圆的周长与直径之间的关系推导圆的周长的计算公式。
=圆周率 圆的周长=圆周率×直径
．．．．．．．．．．．．．．．②圆的周长的计算公式的字母表达式。
如果用字母C表示圆的周长,r表示圆的半径,d表示圆的直径,那么圆的周长的计算公式为圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2,用字母表示为C=πd或2πr。
．．．．．C=．．．．．．2.圆的周长的计算公式的应用。
(1)已知直径,求周长,根据C=πd来计算。
．．．．．．．．(2)已知半径,求周长,根据C=2πr来计算。
．．．．．．．．．拓展提高
1.圆的周长与它的半径、直径的关系。
(1)如果圆的半径、直径扩大到原来的若干倍,那么它的周长也扩大到原来的若干倍。例如,一个圆的半径扩大到原来的3倍,它的周长也扩大到原来的3倍。
(2)如果圆的半径、直径缩小到原来的几分之一,那么它
π是一个固定的数,不随周长和直径的改变而改变。
易错点:圆周率是一个无限不循环小数,在实际应用中常常只取它的近似值。
举例:
判断:因为一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些,所以π=3.14。( )
错解:√
正解:✕
在判断时,圆周长是它直径的π倍,而不是3.14倍。
计算圆周长的关键是确定半径。
一个圆的半径增加a厘米,周长就增加2πa厘米。
一个圆的直径增加b厘米,周长就增加πb厘米。
的周长也缩小到原来的几分之一。例如,一个圆的半径缩小到原来的,它的周长也缩小到原来的。
2.两个圆的半径之比等于它们的直径之比,也等于它们的周长之比。
3.半圆的周长指的是圆的周长的一半加上一条直径的长或两条半径的长,半圆的周长的计算公式是=πd+d或半圆．．．．．．．．．．．．．．．C．．．．．
理解半圆的周长时,可以结合半圆的图形来理解。
把圆的面积转化为平行四边形的面积,体现了转化的数学思想。
易错点:周长和面积不是同类量,无法进行比较。
举例:
判断:半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等。( )
错解:√
正解:✕
圆的面积的大小与半径的长短有关,因为S=πr2
易错点:在计算圆的面积时,不要把r2计算成r×2,r2应该是r×r。
举例:一颗圆形纽扣的半径是1.5厘米,它的面积是多少?
错解:3.14×1.52=3.14×3=9.42(平方厘米)
答:它的面积是9.42平方厘米。
正解:
3.14×1.52
=3.14×2.25
=7.065(平方厘米)
C=πr+2r。
半圆．．．．．．．．．． 4.圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份,其中一份的长度,圆的周长的一半的计算公式是C圆的周长的—半=πr或C圆的周长的—半=。
三、圆的面积
1.探究圆的面积的计算方法和公式。
(1)通过正多边形求圆的面积。
在圆内画正多边形,如果把正多形的边数分得越来越多,不可求的部分变得越来越少,那么正多边形的面积就越来越接近圆的面积。通过此种方法,可近似地求出圆的面积。
(2)借助方格求圆的面积。
在圆内画小方格,小方格的面积可以求出,余下的边边角角的面积不知道怎么求。如果分割得越多,小方格越来越小,那么可以求出来的小方格的面积和就越来越接近圆的面积。通过此种方法,可近似地求出圆的面积。
(3)转化成平行四边形,推导圆的面积计算公式。
①转化演示。
把圆分成8、16、32……等份(偶数份),剪开后,用这些近似的等腰三角形拼一拼,会拼成一个近似的平行四边形。如下图:
8等份:16等份:32等份:
发现:把圆等分的份数越多,每一份就越小,曲边就越接近直边,拼出来的图形就越接近平行四边形。
②探究拼成的近似平行四边形的底和高与圆的周长和半径之间的关系。
答:它的面积是7.065平方厘米。
易错点:如果圆的直径扩大到原来的a(a不为0)倍,那么它的面积就扩大到原来的a2倍。
举例:大圆直径是小圆直径的4倍,大圆面积就是小圆面积的(
)倍。
错解:4
正解:16
圆环的面积实际是两个同心圆的面积差。
易错点:已知内圆直径和环宽,求外圆直径,应该用内圆直径加上2个环宽;已知外圆直径和环宽,求内圆直径,应该用外圆直径减去2个环宽。
举例:在一个直径为6米的圆形花坛周围铺一条2米宽的环形小路,这条小路的面积是多少平方米?
错解:6+2=8(米)
3.14×(8÷2)2-3.14×(6÷2)2=21.98(平方米)
答:这条小路的面积是21.98平方米。
正解:6+2×2=10(米)
3.14×(10÷2)2-3.14×(6÷2)2=50.24(平方米)
答:这条小路的面积是50.24平方米。
扇形是圆的一部分。
判断一个图形是不是扇形,主要看圆心角的顶点在不在圆心上,如果顶点不在圆心上,就不是扇形。
③公式推导。
圆的面积=平行四边形的面积
=底×高
=×r
=πr×r
=πr2
如果用表示圆的面积,那么圆的面积计算公式是．．．S．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．S=πr。
．．．．．2.运用圆的面积计算公式解决实际问题。
(1)已知圆的半径,可直接运用圆的面积计算公式S=πr2求出圆的面积。
(2)已知圆的周长,则圆的面积S=π×(C÷π÷2)2。
(3)已知圆的直径,则圆的面积S=π×(d÷2)2。
拓展提高
1.如果一个圆的半径(直径或周长)扩大到原来的n倍,那么圆的面积就扩大到原来的n2倍。例如,若圆的半径扩大到原来的5倍,则圆的面积就扩大到原来的52倍,即25倍。
2.如果一个圆的半径(直径或周长)缩小到原来的,那么圆的面积就缩小到原来的。例如,若圆的半径缩小到原来的,即。 ,则圆的面积就缩小到原来的四、圆环的面积
1.圆环的意义:两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环,也叫作环形。
2.圆环面积的计算方法:用R表示外圆半径,用r表示内圆半径,用S表示圆环的面积,那么圆环的面积计算公式是2222．．．．S=πR-πr或π(R-r)。
．．．．．．．．S=．．．．．．．．．3.圆环是轴对称图形,它有无数条对称轴。通过圆心的直线都是它的对称轴。
五、扇形
1.弧的认识:圆上任意两点之间的部分叫作弧。
2.圆心角的认识:顶点在圆心的角,叫作圆心角。
3.扇形的意义。
由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形,叫作扇形。
4.扇形的对称性。
扇形是轴对称图形,只有一条对称轴。
左边探究圆的面积的计算方法,(1)和(2)虽然都能近似地求出圆的面积,但计算难度大,操作性差,且误差大,不能作为通用的求圆的面积的方法。在剪拼的过程中,图形的形状虽然改变了,但面积的大小并没有改变,因此圆的面积等于拼成的近似平行四边形的面积。
六 扇形统计图
一、扇形统计图的特点及绘制方法
1.扇形统计图的意义:用整个圆表示总数,用圆内大小不等的扇形表示各部分数量与总数之间的关系。
2.扇形统计图的特点:可以清楚地表示出各部．．．．．．．．．．分数量与总数之间的关系。
．．．．．．．．．．．．
当扇形统计图中有“其他”部分时,要注意“其他”部分具有不确定性。
每种统计图都有各自不同的特点,在选择时要充分利用它们的特性,以达到更好的展示效果。
3.扇形统计图的绘制方法。
(1)算出各部分数量占总数的百分比。
(2)算出表示各部分数量所对应的扇形的圆心角度数。
(3)画一个大小适中的圆,并按照算出的圆心角的度数在圆里画出各个扇形。
(4)在各个扇形中标明所表示的数量的名称和所占的百分比,并用不同的颜色或底纹把各个扇形区分开,也可以用图例注明。
(5)写上统计图的名称和制图日期。
二、统计图的选择
1.要清楚地表示出每个项目的具体数量,一般选择条形统计图。
2.要清楚地反映事物的变化规律,一般选择折线统计图。
3.要清楚地反映各部分数量与总数量之间的关系,一般选择扇形统计图。
七 数学百花园
一、黄金螺旋线
1.了解黄金螺旋线。
自然界中存在着许多美丽的图案,鹦鹉螺外壳上的优美曲线被称为黄金螺旋线。黄金螺旋线可以用大小不同的扇形的弧线画出来。
2.明确黄金螺旋线的画法。
(1)画一个边长为1厘米的正方形,以正方形的右下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
(2)在正方形的右边画一个同样大小的正方形,以正方形的左下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
(3)以组成的长方形的长为边长画—个正方形,以正方形的左上顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
(4)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的右上顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
(5)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的右下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
(6)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的左下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。
3.观察扇形的半径,发现其中的规律,如下表所示。
扇形编号
半径/厘米
一
二
三
四
五
六
……
1
1
2
3
5
8
……
黄金螺旋线在生活中应用广泛。在摄影方面,可利用黄金螺旋线进行拍照;在设计方面,有不少设计师从黄金螺旋线中获得了灵感,创造出了许多优秀的作品。
第一个扇形的半径:1
第二个扇形的半径:1
第三个扇形的半径:2=1+1(第二个扇形的半径+第一个扇形的半径)
第四个扇形的半径:3=2+1(第三个扇形的半径+第二个扇形的半径)
第五个扇形的半径:5=3+2(第四个扇形的半径+第三个扇形的半径)
第六个扇形的半径:8=5+3(第五个扇形的半径+第四个扇形的半径)
由此得出规律:从第三个扇形起,每个扇形的半径都是它前面两个相邻扇形的半径之和,所以,第七个扇形的半径=第六个扇形的半径+第五个扇形的半径=8+5=13(厘米)。
4.验证规律是否正确。
方法一:画出半径是13厘米的扇形,刚好符合黄金螺旋线的画法。(画图略)
方法二:观察图形发现,从第三个正方形起,每个正方形的边长都是它前面两个相邻正方形的边长之和,所以每一个扇形的半径都是它前
面两个相邻扇形的半径之和。
由此得出:规律正确。
5.根据发现的规律,将这串数继续写下去。
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……这个数列就是著名的“斐波那契数列”。
拓展提高
斐波那契数列,从第8项开始,每相邻两项的比值都接近0.618,≈0.618,≈0.618,≈0.618,分割数。
二、铁链的长度
1.明确解题思路。
一个铁环,内直径是8厘米,外直径是10厘米。把10个这样的铁环连成一条铁链,求拉直后有多长,就是用10个铁环的长度减去铁环连接处重复计算部分的长度。
2.计算铁环连接处的长度。
铁环的内直径为8厘米,外直径为10厘米,因此每个铁环的壁厚=(外直径-内直径)÷2=(10-8)÷2=1(厘米),所以两个铁环连接处的长度是2厘米,也就是重合部分的长度为2厘米。
3.探究铁链长度的求法。
(1)用第一个铁环的长度依次加上增加的长度。
≈0.618,≈0.618……0.618为黄金
通过用不同的方法探索铁链拉直后的长度,认识解决问题的多样性。
①发现:第一个铁环的长度是10厘米,增加一个铁环后,因为有2厘米的连接处是重合部分,需要减去2厘米,所以增加的长度是8厘米。增加几个铁环,长度就增加几个8厘米,由此可以推出,n个铁环连在一起拉直后的长度的计算公式为10+(n-1)×8。
②当n=10时,10+(10-1)×8=82(厘米),所以10个铁环连在一起拉直后的长度为82厘米。
(2)用铁环的总长度减去连接处的长度。
①发现:第一个铁环的长度是10厘米,每增加一个铁环,就增加一个2厘米的连接处,增加几个铁环,就增加几个2厘米的连接处,用铁环的总长度减去连接处的长度,就是几个铁环连在一起拉直后的长度,所以,n个铁环连在一起拉直后的长度的计算公式为10n-(n-1)×2。
②当n=10时,10×10-(10-1)×2=82(厘米),所以10个铁环连在一起拉直后的长度为82厘米。
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