2019年山东专升本(数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2023年12月3日发(作者：高等数学试卷构成图解题)

2019年山东专升本（数学）真题试卷

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题

一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． 函数f(x)=x sin x

A．当x→∞时为无穷大

B．在(一∞，+∞)内为周期函数

C．在(一∞，+∞)内无界

D．当x→∞时有有限极限

正确答案：C

解析：采用排除法。当x→∞时，xsinx极限不存在，且不为无穷大，故排除选项A与选项D；显然xsinx非周期函数，故排除选项B；从而选项C正确。

2． 己知∫f(x)dx=x sin x2+C，则∫xf(x2)dx=

A．x cos x2+C

B．xsin x2+C

C．x2sin x4+C

D．x2cos x4+C

正确答案：C

解析：由∫f(x)dx=x sin x2+C，两边关于x求导得f(x)=sin x2+2x2+cos x2，进一步可知∫xf(x)2dx的导数为xf(x)2=x(sinx4+2x4 cosx2)，只需要将四个选项中的函数分别求导即可确定选项C正确。

3． 下列各平面中，与平面x+2y一3z=6垂直的是

A．2x+4y一6z=1

B．2x+4y一6z=12

C．=1

D．一x+2y+z=1

正确答案：D

解析：由平面方程x+2y一3z=6可知该平面的法向量为(1，2，一3)。由两平面垂直的条件是它们的法向量互相垂直，从而对应法向量内积为零。不难验证四个选项中只有选项D所表示平面的法向量(一1，2，1)与(1，2，一3)内积为零，故选项D正确。

4． 有些列关于数项级数的命题(1)若≠0，则必发散；(2)若un ≥0，un≥un+1(n=1，2，3，…)且必收敛；(3)若收敛，则必收敛；(4)若收敛于s，则任意改变该级数项的位置所得到的新的级数仍收敛于s．其中正确的命题个数为

A．0

B．1

C．2

D．3

正确答案：B

解析：由级数收敛的必要条件，即若级数un收敛，则=0，逆否命题为若≠0，则级数必发散。所以(1)正确；取un=可推出(2)错误；取un=(一1)n可推出(3)错误；交错级数所以(4)错误，所以选项B正确。

收敛，若调整为则发散，5． 己知F(x，y)=ln(1+x2+y2)+f(x，y)dxdy，其中D为xoy坐标平面上的有界闭区域且f(x，y)在D上连续，则F(x，y)在点(1，2)处的全微分为

A．

B．

C．

D．

正确答案：A

解析：因为二重积分为一常数， 进而和所以F(x，y)在点(1，2)的全微分为，故选项A正确。

二、填空题

6． 函数f(x)=

正确答案：解析的定义域为__________．

：由取交集得答案为

7． 设函数f(x)=

正确答案：-2

解析：由题意在x=0处连续，则a=__________．

知f(x)=f(0)，即a==－2

8． 无穷限积分∫-∞0xexdx=__________．

正确答案：一1

解析：∫-∞0xexdx=∫a0xexdx=(xex?a0－∫a0exdx)=(xex?a0－ ex?a0)=

9． 设函数f(x，y，z)=exyx2，其中z=z(x，y)是由三元方程x+y+z+xyz=0确定的函数，则f＇x(0，1，一1)=___________．

正确答案：1

10． 己知函数y=y(x)在任意点处的增量△y=是△x的高阶无穷小，若y(0)=π，则y(1)=_________.

正确答案：

三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。

+α，且当△x→0时，α11． 求极限

正确答案：

两次利用洛必达法则，得

12． 求曲线在t=2处的切线方程与法线方程

正确答案：当t=2时，由参数方程可得曲线上相应点的坐标为(2，4)曲线在该点的切线的斜率为=4故所求的切线方程为y一 4=4(x一2)，即y=4x一4法线方程为y一4=一(x一2)，即y=一

13． (1)验证直线L1：求经过L1与L2的平面方程

与直线L2：平行；(2)

正确答案：(1)L1的方向向量={1，2，一2}×{5，一2，一1}=-3{2，3，4)，这与L2的方向向量{2，3，4}方向相同，所以L1L2(2)法1：利用平面束方程(x+2y－2z－5)+λ(5x一2y—z)=0，以L2上的点(一3，0，1)代入，得λ=一于是得平面方程为17x一26y+11z+40=0或法2：在L1上任取一点，如它与L2上的点(－3，0，1)连接成向量3，4}×，，所求平面的法向量n={2，由点法式得平面方程为(z一1)=0，即17x一26y+11z+40=0

14． 设z=f(2x—y)+g(x，xy)，其中函数f(w)具有二阶导数，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求

正确答案：

15． 判别级数

正确答案：因由=e的敛散性.

=2f＇+g＇u+yg＇y，=一2f＂+x·g＂uy+g＇y+xy·g＂yy

＞1由正项级数的比值审敛法，原级数是发散的

16． 已知y=ex(C1cos√2+C2sin√2)(C1，C2为任意常数)是某二阶常系数线性微分方程的通解，求其对应的方程

正确答案：利用通解表达式可知，特征根为λ1,2=1±于是特征方程为(λ一1一)(λ一1+)=λ2—2λ+3=0故所求方程为y＂一2y＇+3y=0

17． 计算二重积分象限所围成的区域

，其中D由x2+y2≤a2(a＞0)，y=x及x轴在第一 正确答案：利用极坐标，积分区域D表示如下D={(r，θ)?0≤θ≤，0≤r≤a}于是，

综合题

18． 计算由y2=9一x，直线x=2及y=一1所围成的平面图形上面部分(面积大的那部分)的面积A

正确答案：所围成图形的面积A=∫-1√7(9一y2)dy一2×(√7+1)=或A=∫-1√7(9一y2—2)dy=

19． 求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+yln y的极值

正确答案：由fx＇(x，y)=2x(2+y2)=0，fy＇(x，y)=2x2y+ln y+1=0得驻点为(0，)又因为f＂xx(x，y)=2(2+y2)，f＂xy(x，y)=4xy，f＂yy(x，y)=2x2+则A=故存在极小值

证明题

=e于是，A＞0，AC—B2＞0，20． 证明当x＞0时，ln(1+x)＞

正确答案：证明：令函数f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctan x当x＞0时，f＇(x)=ln(1+x)+＞0故f(x)在(0，+∞)内单调递增，因此f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)一arctan x＞0即原不等式成立

21． 设函数f(x)在[0，1]上可微，当0≤x≤1时0＜f(x)＜1且f＇(x)≠1，证明有且仅有一点X∈(0，1)，使得f(x)=x

正确答案：证明：令函数F(x)=f(x)一x，则F(x)在[0，1]上连续，又由0＜f(x)＜1知，F(0)=f(0)一0＞0，F(1)=f(1)一1＜0，由零点定理知，在(0，1)内至少有 一点x，使得F(x)=0，即f(x)=x，假设有两点x1，x2∈(0，1)，x1≠x2，使f(x1)=x1，f(x2)=x2，则由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)使f＇(ξ)=

=1这与已知f＇(x)≠1矛盾，命题得证。