2023年12月2日发(作者：光明区今年数学试卷答案)
绝密★启用前
试卷类型：A
2023年普通高等学校招生统一考试（全国甲卷）
文科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一项选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则NCUM=（ ）
A．{2,3,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5}
D．{2,3,4,5}
【解析】 由CUM={2,3,5}，N={2,5}⊆{2,3,5}，得NCUM=CUM={2,3,5}，
故选A．
5(1+i3)=（ ） 2．
(2+i)(2－i)1
B．1
C．1－i
D．1+i A．－35(1+i)3=1－i，故选C． 【解析】 由(2+i)(2－i)=5
，i=－i，所以，(2+i)(2－i) 3．已知向量a=(3,1)，b=(2,2)，则cos
A．175251 B． C． D．
175517【解析】 因为a+b=(5,3)，a－b=(1,－1)，
所以cos
5－317，故选B．
=173424．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．1112 B． C． D．
36232【解析】 从这4名学生中随机选2名，共有C4种不同选法，
从高一的2名学生中选1人有C2种选法，再从高二的2名学生中选1人有C2种选法．选出2名学生来自不同年级的选法为C2×C2种．
11C2×C242 所以，选出2名学生来自不同年级的概率为==．故选D．
2C4631111
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【解析】 因为a2+a6=2a4=10，所以a4=5，
又a4a8=45，所以a8=9，于是公差d=a8－a49－5==1，
8－44所以S5=
a1+a5×5=5a3=5(a4－d)=20，故选C．
26．执行下面的程序框图，则输出的B=（ ）
A．21 B．34
C．55 D．89
【解析】
n=1时判断为“是”，
执行3个处理框后，A=3,B=5,n=2；
，
n=2时判断为“是”执行3个处理框后，A=8,B=13,n=3；
，
n=3时判断为“是”执行3个处理框后，A=21,B=34,n=4；
，输出34，故选B．
n=4时判断为“否”
开始
输出B
结束
x27．设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点，P在C上，若PF1•PF2=0，则5PF1PF2=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
222【解析】 由c=a－b=4，所以F1F2=2c=4，
又PF1+PF2=2a=25，PF1⊥PF2，
所以PF1+PF222=F1F22=16，
即(PF1+PF2)2－2PF1PF2=16，
所以PF1PF2=2，故选B．
exe8．曲线y=在点(1,)处的切线方程为（ ）
x+12 A．y=eeeee3e
x B．y=x C．y=x+ D．y=x+424424【解析】 观察四个选项，只有B C选项给出的直线过切点，故淘汰A D， xexee 又y′，可知曲线在点处的切线斜率为，淘汰B，故选C．
=(1,)(x+1)224
x2y29．已知双曲线2－2=1(a>0,b>0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆ab(x－2)2+(y－3)2=1相交于A,B两点，则AB=（ ）
A．5253545 B． C． D．
5555x2y2【解析】 由双曲线2－2=1(a>0,b>0)的离心率为5，
ab可得双曲线的渐近线方程为2x±y=0．
又圆心(2,3)到2x+y=0的距离为所以2x+y=0与圆不相交，
75，大于圆的半径1，
圆心(2,3)到2x－y=0的距离为d=所以2x－y=0与圆相交，
1，小于圆的半径r=1，
5所以
AB=2r2－d2=21－(
12445．故选D．
)==55510．在三棱锥P－ABC中，ABC是边长为2的等边三角形，
PA=PB=2，PC=6，则该棱锥的体积为（ ）
P
A．1 B．3
C．2 D．3
【解析】 由AB=BC=AC=2，
PA=PB=2，PC=6，
PO=CO=3
A
O
B
C 可知AB⊥CO,AB⊥PO，CO⊥PO，
所以该棱锥的体积为
VP－ABC=VA－POC+VB－POC
11．已知函数f(x)=e
－(x－1)2112=××3×2=1，故选A．
32，记a=f(236)，b=f()，c=f()，则( )
222A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
x21)， 【解析】 由于e在R上是增函数，考虑二次函数g(x)=－(x－
g(x)在(0,1)上是增函数，因为236∈(0,1)，
∈(0,1)，∈(0,1)，2－222366+3266+2－(2－)=－2>0，－(2－)=－2<0
222222263<2－<<1， 所以0<222即，g(263263) 222222263) 12．已知f(x)为函数y=cos(2x+)在向左平移个单位所的函数，则y=f(x)与66y= 11x－的交点个数为 ( ) 22A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 先通过平移得到 y=f(x)=cos(2(x+)+)=cos(2x+)=－sin2x， 662即f(x)=－sin2x． 分别作y=－sin2x和y= O y 11x－的图象，如图， 22π x 3131314))=－1>×(－)－，即>=， 424282831313312， －sin(2×)=1>×－，即<=424282811由图可知y=－sin2x与y=x－的交点个数为3．故选C． 22因为－sin(2×(－ 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．记Sn为等比数列{an}的前n项和,若8S6=7S3，则{an}的公比为 1， 【解析】 设{an}的公比为q，显然q≠a1(1－q6)a1(1－q3)=7×由题意，有8×， 1－q1－q11=0，解之q=－或q3=1舍去， 即8q－7q－8633所以q=－ 11，应填－． 2214．若y=(x－1)+ax+sin(x+)为偶函数，则a= 221)+ax+sin(x+【解析】 因为y=(x－22)=x2+cosx+1+(a－2)x． 2而x+cosx+1是偶函数，所以a=2，应填2． －2x+3y≤315． 设x,y满足约束条件 3x－2y≤3 ，设z=3x+2y，则z的最大值x+y≥1为 【解析】 作出满足约束条件的点(x,y)的可行域， 由z=3x+2y=(3,2)•(x,y) 所以，当x=3,y=3时，z取得最大值15． 故填15． y O x 16． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，O为AC1的中点，则该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 【解析】 设正方体的棱长为4，O为球心， 于是，球心O棱的最小距离为OM=22， D A1 O D1 B1 C1 最大距离为OA=23， A C M B 所以球O的半径的取值范围是[22,23]，故填[22,23]． 16. 在ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD= BCAB=【解析】在ABC中，由正弦定理知， ， sin∠BACsin∠ACB即sin∠ACB=AB×sin∠BAC=BC32=，所以∠ACB=45°， 26于是∠ABC=75°， 在ABD和ACD中，分别由正弦定理知， AD6－CDADCD6+2==， ，sin75°， =sin45°sin30°sin75°sin30°4由ADCD=，得2CD=2AD， sin45°sin30°由AD6－CD=，得(6－2)AD=26－2CD， sin75°sin30°解得AD=2，故填2． 三、解答题：本题共5小题,共60分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． b2+c2－a217.（12分）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 =2．cosA（1）求bc； （2）若acosB－bcosAb－=1，求ABC的面积． acosB+bcosAcb2+c2－a2【解析】 （1）由余弦定理，得cosA=，得 2bcb2+c2－a2b2+c2－a2=2=2，所以bc=1； b+c2－a2cosA2bc（2）利用余弦定理，得 a2+c2－b2b2+c2－a2－b×acosB－bcosAba×b2ac2bc－=－a2+c2－b2b2+c2－a2acosB+bcosAcc a×+b×2ac2bc2a2－2b22222ba－bba－b－bc2c=－=－==1， ccc2cc2即b+c－a=－bc， 222b2+c2－a213=－，sinA=所以cosA=， 2bc22所以，ABC的面积为 18.（12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°． （1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； （2）设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1－BB1C1C的高． 【解析】 （1）由A1C⊥底面ABC，BC⊂底面ABC， 所以BC⊥A1C， 1133． bcsinA=×bc×=2224C1 又∠ACB=90°，所以BC⊥AC， A1 B1 A1C,AC⊂平面ACC1A1，且A1CAC=C， C 所以，BC⊥平面ACC1A1． A B 又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C． （2）在RtA1BC和RtABC中，AB=A1B，BC为公共边， 所以AC=A1C，AC⊥A1C，即A1CA为等腰直角三角形， 又斜边AA1=2，所以AC=A1C=A1C1=由（1）知，平面ACC1A1⊥平面BB1C1C， 所以A1到平面BCC1B1的距离为1， 即四棱锥A1－BB1C1C的高为1． 19.（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后，统计每只小白鼠体重的增加量（单位：），试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （1）计算实验组样本的平均数； （2）（i）求 40 只小鼠体重的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 试验组 2 ． ≥m （ii）根据（i）中的列联表，能否有 95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ n(ad－bc)2附：K=， (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2k0 0.10 0.05 0.010 P(k2≥k0) 0.706 3.841 6．635 【解析】 （1）实验组样本的平均数为－12.2－10.8－8.6－7.6－6.8－4.5－3.5－2－1.2－0.8－0.2+0.2+1.6+2.8+3.6+3.9+5.1+8.2+12.3+16.520+20=20－0.2=19.8 （2）（i） 40 只小鼠体重的中位数m=完成下面 2×2 列联表为 对照组 实验组 合计 23.2+23.6=23.4． 2 6 14 20 ≥m 14 6 20 合计 20 20 40 (6×6－14×14)2×40=6.400>3.841， （ii）计算K=20×20×20×202所以，有 95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异． sinx20.（12分）21.（12分）已知f(x)=ax－，x∈(0,)． 2cos2x（1）若a=1，讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)+sinx<0，求a的取值范围． sinx【解析】 （1）由a=1，f(x)=x－， cos2xcos3x+2sin2xcosxcos3x+cos2x－2f′(x)=1－= 43cosxcosx(1－cosx)(cos2x+2cosx+2)=－<0． cos3x所以f(x)在(0,)单调递减． 22）构造函数g(x)=f(x)+sinx=ax－sinx+sinx， cos2xcos2x+2sin2x(x)=a－+cosx 则g(0)=0，且g′cos3x(0)=a－1+1=a≤0． 所以g′sinxsin3x+sinx=－2<0，满足题意， 若a=0，则f(x)+sinx=－cos2xcosxsinxsin3x+sinx=ax－2<0，满足题意，若a<0，则f(x)+sinx=ax－ 2cosxcosx所以，a的取值范围是(－∞,0]． 21.（12分）已知直线x－2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点，AB=415． （1）求p的值； （2）设F为y2=2px的焦点，M,N为C上的两点，且MF•NF=0，求MNF面积的最小值． 【解析】 （1）将x=2y－1=0代入y=2px，得y－4py+2p=0， 22设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=4p，y1y2=2p， 于是，AB=(x1－x2)2+(y1－y2)2 =5(y1－y2)2=5(y1+y2)2－4y1y2 =516p2－8p=415． 所以，p=2， （2）F为y2=4x的焦点，∴F(1,0)， 设M(y22M4,yN(yNM),4,yN),由MF•NF=0，得 222(1－y4,－yyy2MNyMNM)•(1－4,－yN)=0，即(1－4)(1－4)+yMyN=0， y22MyN16－14(y22M+yN)+yMyN+1=0，即4(y2M－yN)=(yMyN+4)2， 设直线MN的方程为x=my+n，与抛物线方程联立，得 y2=4(my+n)，即y2－4my－4n=0， 于是有，yM+yN=4m，yMyN=－4n， 且=16m2+16n>0，m2+n>0． 将4(yM－yN)2=(yMyN+4)2变为4(y2M+yN)－16yMyN=(yMyN+4)2，即4(4m)2－16(－4n)=(－4n+4)2，4(m2+n)=(n－1)2>0， 4m2=n2－6n+1≥0，解得n≥3+22或n≤3－22， 即yMyN=－4n≥82－12． 记MNF面积为S，则S=12MFNF 2=1yMy2NyNyMyMy24－4+y1NM－yN=2yM－yN4+1 =118yM－yNyMyN+4=16(yMyN+4)2 ≥116(82－12+4)2=4(2－1)2=12－82． 所以记MNF面积的最小值为12－82． 四、选做题：本题共2小题,任选一道作答，共10分． 22 〖选修4－4：坐标系与参数方程〗（10分） 已知p(2,1)，直线l:x=2+tcosy=1+tsin(t为参数），为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B，PAPB=4． （1） 求的值； （2） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程． 【解析】 （1）因为令y=0，得，t1=－11，所以PA=t1=， sinsin22PB=t=令x=0，得，t2=－，所以， 2coscos由PAPB=4，得2=4，即sin2=1，sin2=±1， sincos由题意3<<，所以=． 2422t，y=1+t，所以x+y=3， 22（2） 由（1）知x=2－l的极坐标方程为cos+sin=3． 23 〖选修4－5：不等式选讲〗（10分） 设a>0，函数f(x)=2x－a－a． （1）求不等式f(x) （2）若曲线y=f(x)与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a． 【解析】 （1）由f(x) 两边平方，4x－8ax+4a 222210ax+3a<0，(3x－a)(x－3a)<0， 即3x－22因为a>0，所以aa 33y （2）因为a>0，当x≥a时，f(x)=2x－3a； a A 当x O B 作出函数图象，得A(0,a),B(a,0)， -a 2C(3a2,0),D(a,－a)．函数图象与坐标轴围成的面积为2，3a2即 S26AOB+SBCD=4=2，所以a=3． a C x D
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