2024年1月8日发(作者：latex怎么排数学试卷)

第一章行列式

1。利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201 (1）141

183201解141

1832（4)30(1)(1）118

0132（1）81(4）（1)

2481644。

abc (2)bca

cababc解bca

cabacbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3。

111 (3）abc；

a2b2c2111解abc

a2b2c2bc2ca2ab2ac2ba2cb2

（ab）(bc）（ca）

xyxy （4)yxyx

xyxyxyxy解

yxyx

xyxyx(xy)yyx(xy）（xy）yxy3(xy）3x3

3xy（xy)y33x2yx3y3x3

2(x3y3)

2。按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4；

解逆序数为0

（2）4 1 3 2；

解 逆序数为4： 41， 43， 42， 32。

(3）3 4 2 1

解 逆序数为5： 3 2， 3 1， 4 2 4 1， 2 1

（4）2 4 1 3；

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3。

(5）1 3  (2n1) 2 4  (2n)

解 逆序数为3 2 （1个)

5 2， 5 4（2个）

n(n1)：

2

7 2， 7 4， 7 6（3个）



（2n1)2， (2n1）4 （2n1)6， （2n1)（2n2)(n1个)

(6）1 3  (2n1) (2n) （2n2）  2。

解 逆序数为n(n1） 

3 2（1个）

5 2， 5 4 （2个）



（2n1)2， （2n1)4， （2n1）6， （2n1）（2n2)（n1个）

4 2(1个）

6 2， 6 4（2个）



（2n）2 （2n）4， (2n)6， (2n)（2n2）(n1个）

3。写出四阶行列式中含有因子a11a23的项

解 含因子a11a23的项的一般形式为

(1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42

所以含因子a11a23的项分别是

（1）ta11a23a32a44（1）1a11a23a32a44a11a23a32a44

（1）ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42

4。计算下列各行列式：

41（1）10041解151202142；

07123020211041102122(1)43

141031404c2c34210c7c1030744110c2c399101220020。

10314c112c317171423（2)1523解

151120112；

221c4c221321524230020

00112042360r4r222310221121423402

00r4r123101120abacae（3）bdcdde；

bfcfefabacaebce解

bdcddeadfbce

bfcfefbce111adfbce1114abcdef

111

a1(4）001b1001c100。

1da1 解

001b1001c10r1ar201ab01b101d00a1c100

1d1aba0c3dc21abaad(1)(1)211c11c1cd

01001dabadabcdabcdad1

(1)(1)32111cd 5。证明：

a2abb2 (1）2aab2b(ab）3；

111证明

a2abb2c2c1a2aba2b2a22aab2b2aba2b2a

00111c3c11222ababaaba（ab）3。

(ba)(ba)1(1)2ba2b2a31axbyaybzazbxxyz （2）aybzazbxaxby(a3b3)yzx；

azbxaxbyaybzzxy证明

axbyaybzazbxaybzazbxaxby

azbxaxbyaybz

xaybzazbxyaybzazbxayazbxaxbybzazbxaxby

zaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbxa2yazbxxb2zxaxby

zaxbyyxyaybzxyzyzxa3yzxb3zxy

zxyxyzxyzxyza3yzxb3yzx

zxyzxyxyz(a3b3)yzx

zxy

a2b2 （3)2cd2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)20；

(c3)2(d3)2证明

a2b2c2d2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)22(c4c3，c3c2c2c1得）

(c3)(d3)2a22bc2d22a12b12c12d12a32b32c32d32a52b5（c4c3c3c2得)

2c52d5

a22bc2d2

2a12b12c12d12222220。

221bb2b41cc2c41d

d2d41a （4）a2a4（ab)(ac）（ad)（bc）（bd)（cd）（abcd)；

证明

1aa2a41bb2b41cc2c41d

d2d411110bacada0b(ba)c(ca)d(da)

0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)111(ba)(ca)(da)bcd

222b(ba)c(ca)d(da)111(ba)(ca)(da)0cbdb

0c(cb)(cba)d(db)(dba)1(ba)(ca)(da)(cb)(db)c(c1ba)d(dba)

=(ab)（ac）(ad）（bc)（bd)（cd）（abcd)

x0 (5)  0an1x  0an101  0an2          0000  xna1xn1an1xan。

x1a2xa1

证明 用数学归纳法证明

x1x2axa，命题成立

当n2时，D2a122xa1 假设对于（n1）阶行列式命题成立，即

Dn1xn1a1xn2an2xan1

则Dn按第一列展开 有

1DnxDn1an(1)n1 

x 

101   

1   

  

  

  

00   

x00

  

1xDn1anxna1xn1an1xan

因此对于n阶行列式命题成立。

6设n阶行列式Ddet（aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转，依次得

an1  anna1n  annann  a1nD1      D2      ，D3      ，

a11  a1na11  an1an1  a11证明D1D2(1)n(n1)2DD3D。

证明 因为Ddet（aij），所以

a11an1  annD1      (1)n1an1  a11  a1na21        a1nann

  a2n

a11a21(1)n1(1)n2an1  a31          a1na2nann   

  a3nn(n1)2(1)12  (n2)(n1)D(1) 同理可证

D2(1)n(n1)2D

a11  an1n(n1)n(n1)      (1)2DT(1)2D。

a1n  annD3(1)

n(n1)2D2(1)n(n1)2(1)n(n1)2D(1)n(n1)DD

7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式)

（1）Dn是0

解

a0Dn0  010a0  0000a  00            000  a0100（按第n行展开）

  0aa1 

1a， 其中对角线上元素都是a未写出的元素都0an1(1)0  000a  0000  0          000  a1a0(1)2na 

0  a(n1)(n1)0(n1)(n1)

a(1)n1(1)n 

a(n2)(n2)ananan2an2(a21）。

x（2)Dn

a aax  a        aa;

  x解 将第一行乘（1)分别加到其余各行，得

xaaaxxa0Dnax0xa      ax00  a  0  0

    0xa再将各列都加到第一列上得

x(n1)aaa0xa0Dn00xa      000an(a1)nan1(a1)n1（3)Dn1    aa111  a  0  0［x（n1)a］(xa）n1

    0xa  (an)n  (an)n1;

      an  1 解 根据第6题结果 有

11a1n(n1)aDn1(1)2      an1(a1)n1an(a1)n  1  an     

n1  (an)  (an)n此行列式为范德蒙德行列式

Dn1(1)(1)(1)n(n1)2n(n1)2n1ij1[(ai1)(aj1)]

n1ij1n(n1)2[(ij)]

n(n1)  12(1)n1ij1(ij)

n1ij1(ij)。

an 

 

 

 

bn

(4)D2ncna1b1c1d1；

dn 解

anD2ncn 

 

 

 

bna1b1c1d1（按第1行展开）

dnan1ancn10 

 

a1b1c1d1 

 

bn10

dn100dn

0an1(1)2n1 

 

bncn1cna1b1c1d1 

 

bn1

dn10 再按最后一行展开得递推公式

D2nandnD2n2bncnD2n2， 即D2n（andnbncn)D2n2

于是

D2n(aidibici)D2

i2na1b1adbc

而D2c1d11111所以

D2n(aidibici)

i1n(5) Ddet（aij）其中aij｜ij｜；

解 aij|ij｜，

01Dndet(aij)23  n10      n2n3n4            n1n2n3

n4  01r1r2111r2r3     

n11111  n211  11  11  11        n3n4  111

1  0

1c2c1111c3c1     

n1000200220222      2n32n42n5            000

0  n1（1)n1（n1）2n2

1a11（6)Dn11a2    11  1  1, 其中aaa0。

12n      1an

解

1a11Dn11a2    11  1  1

      1ana1c1c2a20c2c3  0   

00a2a3  00011  0000a3  00001  00  0  0  0      an1  0            000  10010101

    an11an1an11a1a2  an0  000a1110a210a3

    11an1111an

100a1a2  an  0010  0001  0          000  0000  1a111a21a3  1an1ni1

000  001ai1(a1a2an)(11)

i1ain

8。用克莱姆法则解下列方程组

x1x2x3x45（1）x12x2x34x42

2x13x2x35x423xx2x11x01234 解 因为

1D1231231111214142

51152D1201D312312311112114142D12521135220111214284

51112315220114426D14251131231111252142

20所以

x1DD1DD1，x222，x333，x441

DDDD

15x16x20x15x26x3（2）x25x36x40

x35x46x50x45x51

解 因为

51D000651000665

6510D100151D300051D5510101507D2703D406050100212

651100010001145

65000395

65所以

x11507，x21145，x3703，x4395x4212

665665665665665x1x2x309。问，取何值时齐次线性方程组x1x2x30有非零解?

x12x2x30

解 系数行列式为

11D11

121 令D0，得

0或1

于是 当0或1时该齐次线性方程组有非零解。

(1)x12x24x3010。问取何值时，齐次线性方程组2x1(3)x2x30有非零x1x2(1)x30解？

解 系数行列式为

124134D231211

111101(1)3（3）4(1）2(1）（3)

(1）32(1）23。

令D0， 得

02或3

于是 当02或3时，该齐次线性方程组有非零解。

第二章 矩阵及其运算

1已知线性变换：

x12y12y2y3x23y1y25y3

x33y12y23y3求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换

解由已知：

x1221y1x315y

x2323y2231y1221x1749y1故

y2315x2637y2

y323x3243y32y17x14x29x3y26x13x27x3

y33x12x24x32。已知两个线性变换

x12y1y3y13z1z2x22y13y22y3y22z1z3

y3z23z3x34y1y25y3求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换。

解由已知

x1201y120131x232y23220x2415y241501230z11z2

z33

613z11249z2

10116z3x16z1z23z3所以有x212z14z29z3

x310z1z216z31111233设A111B124 求3AB2A及ATB

111051111123111解3AB2A31111242111

111051111058111213223056211121720

2901114292111123058AB111124056

111051290T4。计算下列乘积

4317（1）1232

5701431747321135解123217(2)2316

5701577201493（2）(123)2；

1

解

(123)32（132231)（10)

1（3)213(12)

解

2413(12)2(1)22213((1)12121)3236

（4）214013111134012；

40312131解

214011340113240122067586

（5)a11a12a(x13x11x2x3)a12a22a23xa2；

13a23a33x3解

a11a12a13x(x11x2x3)a12a22a23xa2

13a23a33x3(a11x1a12x2a13x3

a12x1a22x2a23x3

a13x1a23x2a33x3）a11x12a22x22a33x322a12x1x22a13x1x32a23x2x3

xx12x3

1 5。设A1(1）ABBA吗?

解ABBA

2B1130 问：

23 因为AB44BA1362 所以ABBA

8(2）（AB）2A22ABB2吗？

解 （AB）2A22ABB2

2 因为AB22(AB)2222522

52814

514293868101016

但

A22ABB2411812341527所以(AB）2A22ABB2

（3）（AB）（AB）A2B2吗？

解 （AB）(AB)A2B2

2 因为AB22(AB)(AB)22AB00520012

120056

98

738102而

A2B2411341故(AB）（AB）A2B2

6。举反列说明下列命题是错误的：

(1）若A20 则A0

0 解 取A01 解 取A0 解 取

1 则A20 但A0

01 则A2A，但A0且AE

0(2)若A2A，则A0或AE

(3）若AXAY，且A0，则XY

1A00X11Y111001

1则AXAY且A0，但XY

10，求A2A3Ak 7设A1101010

解A21121101010

A3A2A21131

10

Akk1108。设A01求Ak。

00解首先观察

1010221A20101022

0000002

3323A3A2A0332

00344362A4A3A0443

004554103A5A4A0554

005

kkk1k(k1)k22kA0kkk100k 用数学归纳法证明

当k2时显然成立



 假设k时成立，则k1时，

kkk1k(k1)k2102Ak1AkA0kkk101

0000kk1(k1)k1(k1)kk120k1(k1)k1

k100由数学归纳法原理知

kkk1k(k1)k22Ak0kkk1

00k9。设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵。

证明因为ATA 所以

（BTAB）TBT（BTA）TBTATBBTAB

从而BTAB是对称矩阵。

10设AB都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

证明充分性因为ATABTB 且ABBA 所以

(AB）T(BA）TATBTAB

即AB是对称矩阵。

必要性 因为ATABTB 且(AB)TAB 所以

AB(AB)TBTATBA

11求下列矩阵的逆矩阵：

1 （1)21解A22；

52。 |A|1，故A1存在因为

5A11A2152A*AA21

1222

52

故A11A*21|A|cossin；

(2)sincoscossin ｜A|10故A1存在因为 解AsincosA11A21cossinA*AAsincos

1222cossin

所以A11A*sincos|A|121 (3）342

541121解A342。 ｜A｜20，故A1存在。因为

541A11A21A31420A*A12A22A321361，

32142AAA13233321013111所以AA*3。

|A|221671a1a02 (4)（a1a2an0) 。

0an

a10a2解A由对角矩阵的性质知

0an1a101a2。

A110an 12。解下列矩阵方程

2（1)15X46；

2135463546223

21122108312解

X1211113（2）X210432；

111211113210 解

X43211111011131432232

3330221

825331(3)14X221031；

101

1 解

X14312011210

11243110

1110112126131261101101

024010100143（4)100X001201。

001010120010143100 解

X100201001

00112001011010143100210100201001134

00112001010213。利用逆矩阵解下列线性方程组：

x2x23x311 （1）2x12x25x32

3x15x2x33 解 方程组可表示为

123x11225x2

351x233x112311故

x222520

x3513031

x11从而有

x20

x30xxx2123 (2)2x1x23x31

3x12x25x30 解 方程组可表示为

111x12213x1

325x203x111125故

x221310

x3250331x51故有

x20

x33 14。设AkO(k为正整数）证明（EA）1EAA2Ak1

证明 因为AkO 所以EAkE 又因为

EAk（EA)(EAA2Ak1)

所以 （EA)（EAA2Ak1）E

由定理2推论知（EA）可逆 且

（EA）1EAA2Ak1

证明一方面 有E（EA）1（EA）

另一方面 由AkO 有

E（EA）（AA2)A2Ak1(Ak1Ak）

（EAA2Ak1)(EA）

故 （EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA）

两端同时右乘(EA)1就有

（EA)1（EA）EAA2Ak1

15。设方阵A满足A2A2EO，证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E）1。

证明 由A2A2EO得

A2A2E 即A（AE）2E

或

A1(AE)E

2由定理2推论知A可逆 且A11(AE)

2由A2A2EO得

A2A6E4E 即（A2E）（A3E)4E

或

(A2E)1(3EA)E

4由定理2推论知（A2E）可逆 且(A2E)11(3EA)

4

证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得

｜A2A｜2

即 ｜A||AE｜2，

故 ｜A｜0

所以A可逆，而A2EA2|A2E｜｜A2｜｜A｜20故A2E也可逆

由A2A2EOA（AE）2E

A1A(AE)2A1EA11(AE)

2又由A2A2EO（A2E)A3(A2E）4E

 （A2E)（A3E）4 E

所以 (A2E）1(A2E)（A3E）4（A2 E)1

(A2E)11(3EA)

4 16设A为3阶矩阵，|A|1，求|（2A)15A＊|。

2解因为A11A*所以

|A||(2A)15A*||1A15|A|A1||1A15A1|

222｜2A1|（2）3｜A1｜8｜A|18216。

17设矩阵A可逆，证明其伴随阵A＊也可逆，且（A*）1（A1)*。

证明由A11A*，得A*｜A｜A1， 所以当A可逆时 有

|A|｜A＊|｜A｜n｜A1｜｜A｜n10，

从而A*也可逆。

因为A＊｜A｜A1所以

(A＊）1|A|1A

11又A1(A)*|A|(A)* 所以

1|A|（A＊）1|A｜1A｜A｜1｜A｜（A1)*（A1）*

18。设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明：

（1）若|A｜0，则|A＊｜0

(2）｜A*｜|A|n1

证明

(1)用反证法证明。假设|A＊|0 则有A＊（A*)1E由此得

AAA＊（A*)1|A｜E(A*）1O

所以A*O 这与｜A＊|0矛盾，故当｜A|0时 有｜A＊｜0

(2）由于A11A* 则AA*｜A｜E 取行列式得到

|A| |A｜|A*｜｜A｜n

若｜A|0 则｜A＊|｜A|n1

若|A｜0 由（1)知|A＊|0 此时命题也成立

因此｜A＊|｜A｜n1

033 19。设A110，ABA2B 求B。

123解由ABA2E可得（A2E)BA故

233033033B(A2E)1A110110123

1211231101101 20 设A020 且ABEA2B 求B

101 解 由ABEA2B得

(AE）BA2E

即 （AE）B（AE)（AE）

001 因为|AE|01010 所以（AE）可逆 从而

100201BAE030

102 21 设Adiag（121)A＊BA2BA8E 求B

解 由A＊BA2BA8E得

(A＊2E)BA8E

B8(A＊2E）1A1

8［A(A＊2E)]1

8(AA＊2A）1

8（｜A｜E2A)1

8(2E2A)1

4（EA)1

4[diag（212)］1

4diag(12, 1,

12)

2diag(121）

10 22 已知矩阵A的伴随阵A*0100010031000

8且ABA1BA13E 求B

解 由｜A*||A｜38 得|A|2

由ABA1BA13E得

ABB3A

B3（AE)1A3[A(EA1）］1A

3(E12A*)16(2EA*)1

10016010060001001000300666003600

01 23。设P1AP，其中P11410，102，求解由P1AP得APP1 所以A11A=P11P1.

|P｜3P*1411P1131141

而1101011210

0211

A11。

142731273214101133故A021111683684

11331111 24 设APP 其中P1021

1115求（A）A8（5E6AA2）

解

（）8（5E62）

diag（1158）[diag（555）diag（6630)diag（1125)］

diag（1158)diag(1200)12diag（100）

（A）P（)P1

1P()P*

|P|1111002222102000303

1110001211114111

111 25 设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵

证明 因为

A1（AB）B1B1A1A1B1

而A1（AB）B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1（AB)B1可逆 即A1B1可逆

（A1B1)1［A1（AB)B1]1B（AB）1A

10 26 计算002100102001101003031121

0230031B31B23

12120331 解 设A102A2201A1EEB1A1A1B1B2则

OOBOAB

A22221而

A1B1B202A2B202312352

121032412343

30309252124

0430091A1EEB1A1A1B1B20所以

OBOAB0OA2222010即

0021001020011010300311121002300030252124

043009127取ABCD00验证AB

|A||B|

CD|C||D|11 解

AB0CD100101101002100110020100100020104

002011|A||B|110

而

|C||D|11

故

CADB

||CA||||DB||

34 28。设A43O，求|A8|及2A4

O202 解 令A340143A2222

则

AA1OOA2

8故

A8A1OOA2AO18OA28

|A8||A18||A28||A1|8|A2|81016

A44A1O540504OOA24O242620

4 29设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求OA1 （1)BO

解设OA1BOC1C2C 则3C4

OACBO1C2CAC3AC4EnO

3C4BC1BC2OEsAC3EnC3A1由此得

AC4OC4OBC1OBC2EsCO

1C2B1

1OAOB。

1所以BOAO1AO (2）CBAOD1D2 则

解 设CBDD3411AD2EnOAOD1D2AD1CBDDCDBDCDBDOE

341324sD1A1AD1EnD2OAD2O由此得



CD1BD3OD3B1CA1DB1CDBDE24s41AOA

11O所以

1CBBCAB1 30 求下列矩阵的逆阵

52 （1）002100008500

325 解 设A25A1212B8513 则

2323

2581212B18512552于是

00210000850120010AA12500

00233BB1005821

11 （2）210212003100

040B3120C2141 则

21 解 设A1

1121021200311010AOA1O

0CBB1CA1B1400。

0140011102211126315182412

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1 把下列矩阵化为行最简形矩阵

1021（1）2031

30431021解

2031（下一步r2(2）r1r3（3）r1)

30431021 ~0013（下一步r2（1)r3（2）)

00201021 ～0013（下一步r3r2)

00101021 ~0013(下一步r33)

0003

1021 ～0013（下一步r23r3）

00011021 ～0010（下一步r1(2）r2r1r3)

00011000 ～0010

00010231（2）0343

04710231解

0343（下一步r22(3)r1r3（2）r1 ）

04710231 ～0013(下一步r3r2，r13r2。 ）

001302010 ~0013(下一步：r12。 ）

00000105 ~0013

00001134333541（3）

2232033421

33解135423101(下一步：r23r1r32r1r43r1 ）

3233442211 ~0010344386386(下一步：r2(4）r3(3） ，r4(5)。00051010 ～01013300120014122(下一步：r13r2，r3r2r4r2 )

222 ~01010200001232000

000（4)2313213720824

2373403 解

2132013274（下一步：r12r2r33r2，r42r23223873 )

4031 ~010182191241（下一步：r22r1，r38r1r47r1。 ）

0028778110 ~1012101000121(下一步r1r2，r（1），r4r3。 ）

0001424）

10 ～0010 ~0001002100011021(下一步：rr。 ）

234001002100001023

40010101123 2 设100A010456 求A

001001789010 解

100是初等矩阵E（12） 其逆矩阵就是其本身

001101010是初等矩阵E（1 2(1)） 其逆矩阵是

001101E(1 2(1）)

010

001010123101A100456010

001789001456101452123010122

789001782 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵

321（1）315

323

321100321100解315010～014110

3230010021013203/201/23007/229/2 ~000102110121～0001011/2101 ~1007/62/33/20001011/21011/22

72361312故逆矩阵为2

10122320(2)022111232

0121

解

3022021110010000012132210000100

11232001 ～01210000104951030

02210100 ～012132210010001101000341

002101021/22

1232001001210001 ～

0011103400012161012000100 ~0010000110 ~000100001010121221`01

136161010故逆矩阵为120112400101

01136121610124101

136161041213 4（1）设A221B22 求X使AXB

31131解因为

41213r100102(A, B)221 22~

010 153

31131001124102所以

XAB153

1241021123 求X使XAB （2）设A213B231334 解 考虑ATXTBT 因为

02312r10024(AT, BT)21323~

01017

134310011424所以

XT(AT)1BT17

14211

从而

XBA1474110 5 设A011AX2XA 求X

101 解 原方程化为(A2E）XA 因为

110110(A2E, A)011011

101101100011~010101

001110011所以

X(A2E)1A101

1106 在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r1阶子式？ 有没有等于0的r阶子式?

解在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r阶子式

1000 例如A0100R(A)3

0010

00000是等于0的2阶子式100是等于0的3阶子式

000107 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问AB的秩的关系怎样?

解R(A）R（B）

这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩

8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是

（10100)（11000)

解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵

11100

010000

00此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量

9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式

3102（1）1121;

13443102解1121（下一步r1r2。 )

1344

1121 ~3102（下一步：r23r1，r3r1。 )

13441121 ～0465(下一步：r3r2 ）

04651121 ～0465

0000矩阵的秩为2314是一个最高阶非零子式

1132131(2)21313

7051832132 解

21313（下一步r1r2r22r1r37r1。 )

7051813441 ~071195(下一步：r3r。 ）

02133271513441 ～071195

000003232矩阵的秩是27是一个最高阶非零子式

21

218230(3）3251033775

8020

218230 解

3251033775（下一步：r2r，r2rr3r )

142434802075（下一步r3rr2r )

21310001210363 ～0242103200 ～0100 ～01100317016（下一步r16rr16r ）

243201420100271

0007

1010 ～00010032002100075矩阵的秩为3580700是一个最高阶非零子式

32010 设A、B都是mn矩阵 证明A～B的充分必要条件是R（A）R（B）

证明 根据定理3 必要性是成立的

充分性 设R（A）R（B) 则A与B的标准形是相同的 设A与B的标准形为D 则有

A~DD~B

由等价关系的传递性 有A～B

123k11 设A12k3 问k为何值 可使

k23(1）R（A)1(2）R（A)2(3)R（A)3

k123kr11

解

A12k3~

0k1k1k2300(k1)(k2)(1)当k1时R（A)1

（2）当k2且k1时R（A)2

（3）当k1且k2时R（A）3

12 求解下列齐次线性方程组：

x1x22x3x40 （1）2x1x2x3x40

2x12x2x32x40解 对系数矩阵A进行初等行变换 有

01121101A2111~0131

22120014/3x4x134x3x4于是

2

4x3x4x34x4故方程组的解为

4x13x3x2k4(k为任意常数）

3x431x12x2x3x40 （2）3x16x2x33x40

5x110x2x35x40 解 对系数矩阵A进行初等行变换有

12111201A3613～0010510150000

x12x2x4x2x2于是



x30xx44故方程组的解为

x121x102xk10k20（k1k2为任意常数）

301x42x13x2x35x403xx2x37x40 (3)12

4x1x23x36x40x2x4x7x01234解 对系数矩阵A进行初等行变换，有


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