2023年12月2日发(作者：社旗县小学升初中数学试卷)

普通高等学校单独招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知|a|1,|b|2,且(ab)与a垂直，则a与b的夹角是（A600）D450B300C13502、若直线l上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l与平面α的位置关系（）A．lαB．lαC．l∥α)D．以上都不对）D．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面(A．相交B．重合C．相交或重合4、等差数列{an}的前n项和Sn2n2n，那么它的通项公式是（A、an2n1B、an2n1C、an4n1）C、仅有一个交点）D、an4n15、曲线y|x|与ykx1的交点情况是（A、最多有两个交点B、有两个交点D、没有交点6、已知集合M{x|3x2},P{x||x|2},则MP（A、{x|3x2或2x2}C、{x|3x2}B、RD、{x|2x2}7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（（A）60%）（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD中，E为AB中点，F为CD的中点，则异面直线EF与SA所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）2A．215B．56C．46D．3211.抛物线(x2)2(ym2)的焦点在x轴上，则实数m的值为（）A．012.已知椭圆x23B．2C．2D．312ya22（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（）A．0a322B．0a3282a2或2C．a3282a2或23282a2D．2二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)B(2,)C(2,)CD4，4，D(2,)，弧AB，BC1.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，，所(1,)AB，曲线M2是弧BC在圆的圆心分别是(1,0)，2，(1,)，曲线M1是弧，曲线M3是弧CD.（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|3，求P的极坐标.2.设x,y,zR，且xyz1.222(x1)(y1)(z1)（1）求的最小值；（2）若(x2)2(y1)2(za)2n213成立，证明：a3或a1.n23、设（1+x）＝a0+a1x+a2x+…+anx，n≥4，n∈N*．已知a3＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）＝a+bn，其中a，b∈N*，求a﹣3b的值．224、在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，Bn＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令Mn＝An∪Bn∪∁n．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．5、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．6、已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？）．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．参考答案：一、选择题：1-5题答案:DBCCA6-10题答案:ADCCC11-12题答案:BB二、填空题：1、42、12，203、134、①②⑤三、大题：1.解：（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos.π3ππ2cos02sin4，M2的极坐标方程为4，4所以M1的极坐标方程为3π2cosπM34.的极坐标方程为（2）设P(,)，由题设及（1）知若0ππ4，则2cos3，解得6；π3ππ2π4，则2sin3，解得3或3；若43π5ππ6.若4，则2cos3，解得ππ2π5π3,3,3,3,6336.综上，P的极坐标为或或或2[(x1)(y1)(z1)]2．解：（1）由于(x1)2(y1)2(z1)22[(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)]2223(x1)(y1)(z1)，43，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2511z3时等号成立．当且仅当x=3，y=–3，4所以(x1)(y1)(z1)的最小值为3.222（2）由于[(x2)(y1)(za)]2(x2)2(y1)2(za)22[(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)]2223(x2)(y1)(za)，2(2a)2(x2)(y1)(za)3故由已知，22当且仅当x4a1a2a2yz3，3，3时等号成立．(2a)2222因此(x2)(y1)(za)的最小值为3．(2a)2133，解得a3或a1．由题设知3、设（1+x）＝a0+a1x+a2x+…+anx，n≥4，n∈N*．已知a3＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）＝a+bnn2n2，其中a，b∈N*，求a﹣3b的值．22【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）＝C+Cx+Cx+…+Cx，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝）＝2•2）＝a﹣b5，再由平方差公式，计算n2n，a4＝C＝•，，a32＝2a2a4，可得（解得n＝5；（2）方法一、（1+5）＝C+C5+C（）+C（2）+C（3）+C（4）＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a﹣3b＝76﹣3×44＝﹣32；方法二、（1+＝a+b（1﹣）52222）＝C+C5+C（）+C（2）+C（3）+C（4）5，）＝C+C（﹣5）+C（﹣）+C（﹣2）+C（﹣3）+C（﹣4＝C﹣C+C（）﹣C（52）+C（，3）﹣C（4），5由于a，b∈N*，可得（1﹣可得a﹣3b＝（1+225）＝a﹣b5）•（1﹣）＝（1﹣3）＝﹣32．5【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．4、在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，Bn＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令Mn＝An∪Bn∪∁n．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．，2，，由古典概率的【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，；，X的概率分布为P（X＝1）＝P（X＝2）＝＝；P（X＝＝；P（X＝＝；）＝＝）＝（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是且P（X＝）＝，P（X＝或）＝，，）＝1﹣．可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．5、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．）．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得又bsinA=acos（B﹣∴asinB=acos（B﹣=cosBcos∴tanB=+sinBsin，．，，由bsinA=acos（B﹣）．），即sinB=cos（B﹣=cosB+，），得bsinA=asinB，又B∈（0，π），∴B=（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=由余弦定理得b=∵a＜c，∴cosA=，，=），得sinA=，∴sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cosA﹣1=，2∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．6、已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0，1，2，3，所以随机变量的分布列为：XP随机变量X的数学期望E（X）==；0123，k=0，1，2，3．（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1），故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=．所以事件A发生的概率：．


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