2023年12月2日发(作者：2022沈阳中考数学试卷应用题)
2019年高考文科数学模拟试卷及答案（共三套）
2019年高考文科数学模拟试卷及答案（一）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)
1、设集合U1 ， 2 ， 3 ， 4，集合AxNx25x40，则CUA等于（ ）
A．1 ，B．1 ，C．2 ，D．1 ， 2
4
4
3 ， 4
2、记复数z的共轭复数为z，若z1i2i（i为虚数单位），则复数z的模z（）
A．2 B．1 C．22 D．2
3、命题p:∃x∈N,x3 A. p假q真 B. p真q假 C. p假q假 D. p真q真 4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（） A．18 B．20 C．21 D．25 5、已知 ，且 ，则 A. B. C. D. ， 6、已知 ， ，若 ，则 A. B.—8 C. D. —2 7、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为 A. B. C. D. 8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( ) A. B. C. D. 9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7π D. 第1页（共50 页） 10、一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ） A．126cm3 B．46cm3 C.272cm3 D．92cm3 11、已知 ，曲线 在点 (1,f(1)) 处的切线经过点 ，则 有 A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 12、对实数 和 ，定义运算“ ”： ．设函数 ， ．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（共4小题；共20分） 13、 设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 ． 14、已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为 15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 . 16、如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上， ABAC，侧面BCC1B1是半球 底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为． 三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 第2页（共50 页） π11π17、（本小题满分12分）已知函数f(x)23sin2x2sinxcosx3，x[，]． 324（1）求函数f(x)的值域；（2）已知锐角△ABC的两边长分别为函数f(x)的最大值与最小值， 且△ABC的外接圆半径为 18、（本小题满分12分）高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）： 女性消费情况： 消费金额 人数 男性消费情况： （0，200） 5 [200，400） 10 [400，600) 15 [600，800) 47 [800，1000) x 32，求△ABC的面积． 4消费金（0，[200，[400，[600，[800，600) 800) 1000) 额 200） 400） y 2 3 10 2 人数 （1）现从抽取的100名且消费金额在[800，1000](单位：元)的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率； （2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面22列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?” 女性 男性 总计 第3页（共50 页） 网购达人 非网购达 人 总计 n(adbc)22附：（k，其中nabcd） (ab)(cd)(ac)(bd)P(k2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD， SAAB2，点M是SD的中点，ANSC，且交SC于点N． （1）求证:SB∥平面ACM； （2）求点C到平面AMN的距离． x2y220、（本小题满分12分）椭圆E:221ab0的左、右焦点分别为F1，F2． ab（1）若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率； 2，直线AF1，AF2与椭圆的另一个交点分别为点B，C，且△ABC的面（2）若椭圆E过点A0，积为 21、（本小题满分12分）已知函数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间和极值； 第4页（共50 页） 50c，求椭圆E的方程． 9 （2）求证：当 时，关于 的不等式 在区间 上无解．（ ） 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 xt在直角坐标系xOy中，直线l:（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极y52t坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos240． （1）写出曲线C的直角坐标方程； （2）已知点A0，5，直线l与曲线C相交于点M、N，求 23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)|3x1|ax3． （1）若a1，解不等式f(x)≤4； （2）若f(x)有最小值，求实数a的取值范围． 11的值． AMAN第5页（共50 页） 参考答案 1. B2. A 3. A 4. C 5. B 6.A7. C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. D 13. 14. 7 15. 16. 2 ππ11π17.（1）f(x)23sin2x2sinxcosx32sin(2x) 又≤x≤， 3324ππ7π3π2]． ≤sin(2x)≤1，∴函数f(x)的值域为[3，∴≤2x≤，∴233312（2）依题意不妨设a3，b2，△ABC的外接圆半径r32， 4sinAa363b2221，cosA，sinB，cosB， 2r32332r3233226， 3sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB∴S△ABC116absinC232． 22318. （1）按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名． ∴x80(5101547)3，y20(23102)3 抽取的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为A，B，C； 两位男性设为a，b． 从5名任意选2名，总的基本事件有(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)(B,C)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)，共10个． 设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件A”． 则事件包含的基本事件有(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)共6个． ∴P(A)63． 105（2）22列联表如下表： 网购达人 非网购达人 总计 2女性 50 30 80 男性 5 15 20 总计 55 45 100 n(adbc)2100(5015305)29.0916.635，且P(k2≥6.635)0.010． 则k(ab)(cd)(ac)(bd)80205545第6页（共50 页） 所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别无关”． 19. （1）证明：连结BD交AC于E，连结ME． ∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB． 又∵ME平面ACM，SB平面ACM，∴SB∥平面ACM． （2）由条件有DCSA，DCDA，∴DC平面SAD，∴AMDC． 又∵SAAD，M是SD的中点，∴AMSD．∴AM平面SDC．∴SCAM． 由已知SCAN，∴SC平面AMN．于是CN面AMN，则CN为点C到平面AMN的距离， 在Rt△SAC中，SA2，AC22，SCSA2AC223， 于是AC2CNSCCN4343，∴点C到平面AMN的距离为． 3320.（1）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列， ∴2bac，4b2a22acc2，4a2c2a22acc2， ∴3a25c22ac0，两边同除以a2得，5e22e30，解得ec3． a52x2y21，得a2c2x22a2cx0， （2）由已知得b2，把直线AF2:yx2代入椭圆方程2a4c4c2c4c2c2a2c，y． ∴x222．∴C2c2acc2由椭圆的对称性及平面几何知识可知，△ABC面积为： 2212224cc24cc50，∴2S2xy2x2c，解得c21，∴a25． 2ccc2cc2922x2y21． 故所求椭圆的方程为5421. （1） 因为 ， 所以 令 ，当 时， ． ，得 ， ， 极大值 极小值 所以 ， 随 的变化情况如下表： 第7页（共50 页） 所以 在 处取得极大值，极大值为 ， 在 处取得极小值，极小值为 ． 函数 的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 ． （2） “不等式 在区间 上无解”等价于“ 在区间 上恒成立”，即函数 在区间 上的最大值小于或等于 ．由（1）可得 ， ． 因为 ，所以 ．当 时， 对 成立，则函数 在区间 上单调递减， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，所以不等式 在区间 上无解； 当 时， ， 随 的变化情况如下表： 极小值 所以函数 在区间 上的最大值为 或 ． ， ，令 ，得 ． 因为 ，所以 ． 综上，当 时，关于 的不等式 在区间 上无解． 22. （1）2cos22sin240x2y240y2x24； 1xt，5（2）将直线l的参数方程化为标准形式：（t为参数）， y52t53tt1111124． 代入曲线C的方程得t24t10，则5AMANt1t2t1t2 23. （1）a1时，f(x)|3x1|x3≤4，即|3x1|≤1x， 11x1≤3x1≤1x，解得0≤x≤，所以解集为[0，]． 22第8页（共50 页） 1(3a)x2，x≥a3≥03（2）因为f(x)，所以f(x)有最小值的充要条件为， a3≤0(a3)x4，x13即3≤a≤3． 2019年高考文科数学模拟试卷及答案（二） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ） A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} 2．（5分）在复平面内，复数z=C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=54，则a2+a4+a9=（ ） A．9 B．15 C．18 D．36 5．（5分）某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（ ） A．80m B．100m C．40m D．50m 6．（5分）若x=A． B．﹣ ，则sin4x﹣cos4x的值为（ ） C．﹣ D． 7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第9页（共50 页） A．10 B．5 C．20 D．30 8．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（ ） A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥11 9．（5分）已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q） 10．（5分）设函数f（x）=（ ） A．{0，1} ﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{1，1} 11．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（ ） A．π B．π C．π D．π 12．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（ ） A．﹣2≤t≤2 B．D． C．t≥2或t≤﹣2或t=0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知P（x，y）满足14．（5分）在△ABC中，AB=，则z=x﹣y最小值是 ． ，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ． 第10页（共50 页） 15．（5分）设x，y为正数，且x，a1，a2， y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是 ． 16．（5分）图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得 一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+． （Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn； （Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20． 18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点． （1）证明：平面PBE⊥平面PAC； （2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由； （3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B﹣PEF的体积． 19．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分100分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[50，100]内作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）． （1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值； 第11页（共50 页） （2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率． 20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）． （1）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式； （2）当a=时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围． 21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上． （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4． （1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求 [选修4-5；不等式选讲]． 23．已知函数f（x）=|x﹣a| （1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值 （2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2） 第12页（共50 页） 的值． 第13页（共50 页） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ） A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} 【解答】解：集合A={x|x＞2}， B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}， 则A∩B={x|2＜x＜3}． 故选：B． 2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（ ） C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：z=在复平面内，复数z=故选：C． 3．（5分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（ ） A． B． C． =D． =， ==． =， 对应的点的坐标为：（，﹣1），位于第三象限． 【解答】解：∵=3+2=5，两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]， ∴=， ==， ∴与的夹角为故选：B． 4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=54，则a2+a4+a9=（ ） A．9 B．15 C．18 D．36 第14页（共50 页） 【解答】解：由等差数列的求和公式可得：S9=（a1+a9）=54， 又由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，即9a5=54， 解得a5=6，而a2+a4+a9=a5+a4+a6=3a5=18． 故选：C． 5．（5分）某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（ ） A．80m B．100m C．40m D．50m 【解答】解：由已知易得： l从甲地到乙=500 l途中涉水=x， 故物品遗落在河里的概率P==1﹣= ∴x=100（m）． 故选B． 6．（5分）若x=，则sin4x﹣cos4x的值为（ ） A． B．﹣ C．﹣ D． 【解答】解：∵x=， ∴sin4x﹣cos4x=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x=﹣cos=﹣， 故选：C． 7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（第15页（共50 页） ） A．10 B．5 C．20 D．30 【解答】解：由空间几何体的三视图得： 该几何体是倒放的四棱锥S﹣ABCD， 其中，ABCD是矩形，AB=4，AD=5，BC⊥底面ABS， △ABS中，AB∥BS，BS=3， ∴该几何体的体积： V= = =20． 故选：C． 8．（5分）程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（ A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥11 【解答】解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…， ∵程序运行的结果为S=132， ∴终止程序时，k=10， 第16页（共50 页） ） ∴不满足判断框的条件是k≥11，退出循环． 故选：D． 9．（5分）已知命题p：∃φ∈R，使f（x）=sin（x+φ）为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x+4sinx﹣3＜0，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q） 【解答】解：∵当φ=所以命题p为真命题； ∵y=cos2x+4sinx﹣3 =1﹣2sin2x+4sinx﹣3 =﹣2sin2x+4sinx﹣2 =﹣2（sinx﹣1）2， 当sinx=1时y=0， 时，f（x）=sin（x+φ）=cosx，此时f（x）为偶函数， 所以y≤0即cos2x+4sinx﹣3≤0 所以命题q为假命题；￢q为真命题； 所以p∨￢q为真命题 故选C 10．（5分）设函数f（x）=（ ） A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{1，1} ﹣，[x]表示不超过x的最大整数， ﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是【解答】解：函数f（x）=∴f（x）=﹣， 分析可得，﹣＜f（x）＜， ∴[f（x）]={0，﹣1}， 故选B； 第17页（共50 页） 11．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（ ） A．π B．π C．π D．π 【解答】解：在△ABC中， ∵AB=AC=2，∠BAC=120°， ∴BC==2， 由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径）， r==2， 又∵球心到平面ABC的距离d=R， ∴球O的半径R=∴R2= π， ， 故球O的表面积S=4πR2=故选：D． 12．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（ ） A．﹣2≤t≤2 B．D． C．t≥2或t≤﹣2或t=0 【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1， ∴1≤t2﹣2at+1， 当t=0时显然成立 当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1] 令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1] 当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2 当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2 第18页（共50 页） 综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0 故选C． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是 ﹣1 ． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图， 根据目标函数z=x﹣y，即y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过A时z最小， 由得到A（0，1）， 所以z=x﹣y的最小值是0﹣1=﹣1． 故答案为：﹣1； 14．（5分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 2 ． 【解答】解：∠A=75°，∠B=45°， =60°则∠C=180°﹣75°﹣45°， 由正弦定理可得， =， 即有AC==2． 故答案为：2． 第19页（共50 页） 15．（5分）设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是 4 ． 【解答】解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y； 由等比数列的性质知b1b2=xy， 所以当且仅当x=y时取等号． 故答案为：4． 16．（5分）图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得 一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭 ． ， 圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c， 由题意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2， ∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac， ∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac， ∴e2﹣e﹣1=0，解得e=由e＞1，则e=， ， ，或e=， 故黄金双曲线的离心率e=故答案为：， 第20页（共50 页） 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+． （Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn； （Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20． 【解答】解：（Ⅰ）由an+1=3an，得， 又a1=1，∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列， 则， ； （Ⅱ）∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13， ∴b3﹣b1=10=2d，则d=5． 故 18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点． （1）证明：平面PBE⊥平面PAC； （2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由； （3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥B﹣PEF的体积． ． 第21页（共50 页） 【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABC，BE⊂底面ABC， ∴PA⊥BE． 又∵△ABC是正三角形，且E为AC的中点， ∴BE⊥CA． ∵PA∩CA=A， ∴BE⊥平面PAC． ∵BE⊂平面PBE， ∴平面PBE⊥平面PAC； （2）解：取CD的中点F，连接EF，则F即为所求． ∵E，F分别为CA，CD的中点， ∴EF∥AD． 又EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF， ∴AD∥平面PEF； （3）解：在等边三角形ABC中， ∵AB=2，E、F分别为AC、DC的中点， ∴BF=，EF=又PA=2， 由等积法可得VB﹣PEF=VP﹣BEF=S△BEF•PA ==． ， 第22页（共50 页） 19．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（满分100分），得分取整数，抽取得学生的分数均在[50，100]内作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出的频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）． （1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值； （2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率． 【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n=y==0.004， =50， x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.004=0.030． （2）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人． 从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“升级学科基础知识竞赛”， 基本事件总数n==21， 所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内包含的基本事件个数： m==10， ． ∴所抽取的2名学生中恰有1人得分在[90，100]内的概率p=第23页（共50 页） 20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）． （1）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式； （2）当a=时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围． 【解答】解：（1）由g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b， 且g（x）在x=2处取得极值﹣2． ∴，可得解得a=，b=2． 所求g（x）=x2﹣2x，（x∈R）． （2）∵h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2﹣bx， h′（x）=（x＞0）． ＜0（x＞0），即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0， 依题存在x＞0使h′（x）=∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于b＞x+， ∵x+≥2∴b＞2． 所求b∈（2，+∞）． 21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点=2，当且仅当x=1时取等号， 满足：F2在线段PF1的中垂线上． （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围． 【解答】解：（1）解法一：椭圆C的离心率点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0）， 又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴第24页（共50 页） ，得，其中椭圆C的左、右焦 解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为解法二：椭圆C的离心率，得，其中．…（6分） 椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0）， 设线段PF1的中点为D，∵F1（﹣c，0），，∴， 又线段PF1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1， ∴椭圆方程为 （2）由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2），且k≠0， 联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0， 由△=8（1﹣2k2）＞0，得设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，且k≠0 ，， ， ，（*） ∵∠NF2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴又F2（1，0），∴∴将（*）代入得， ． …（12分） ，即，整理得2x1x2﹣3（x1+x2）+4=0， ，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4． 第25页（共50 页） （1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ）， 可得直角坐标方程：x2+y2﹣4x+4y=0． ，展开可得：ρ2=4的值． ×ρ（cosθ﹣（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t﹣4=0． t1+t2=﹣2则 ，t1t2=﹣4， =====． [选修4-5；不等式选讲]． 23．已知函数f（x）=|x﹣a| （1）若f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值 （2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2） 【解答】解：（1）∵f（x）≤m， ∴|x﹣a|≤m， 即a﹣m≤x≤a+m， ∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}， ∴，解得a=2，m=3． （2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|， 则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|． 当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾． 当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤，成立． 当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立． 综上不等式的解集为（﹣∞， 第26页（共50 页） ]． 2019年高考文科数学模拟试卷及答案（三） 一、选择题：（本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z=A．﹣1 （i为虚数单位），则z的虚部是（ ） B．1 C．﹣i D．i 2．满足M⊆{1，2，3，4，5}，且M∩{1，2，3}={1，3}的集合M的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ） A． B． C． D． 5．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，则这个样本的方差是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 第27页（共50 页） 6．以下判断正确的个数是（ ） ①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强． ②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”． ③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件． ④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是A．4 B．2 C．3 D．1 7．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ） A． B． C． D． 8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（ ） A． B． C． D． =λ，若•≥•，则λ=1.23x+0.08． 9．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点的最大值是（ ） A． B． C．1 D． 10．已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2an=39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（ ） A．637 B．559 C．481+25 D．492+24 +=（ ） 11．已知函数f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），则A． B．1 C．2 D．4 12．已知O是坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF，则双曲线的方程为（ ） 为直径的圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且A． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） B． C． D． 13．已知角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），则角α的最小正值为 ． 第28页（共50 页） 14．已知等比数列{an}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为 ． 15．设关于x、y的不等式组求得m的取值范围是 ． 16．已知函数f（x）=（a∈R）的图象与直线x﹣2y=0相切，当函数g（x）=f（f（x））﹣t表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，恰有一个零点时，实数t的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2+c2=ab+bc+ca． （1）证明△ABC是正三角形； （2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=，求sin∠BAD的值． 18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号． （1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号； （下面摘取了第7行到第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 （2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表： 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42 ①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值： 人数 优秀 地理 优秀 7 数学 良好 20 第29页（共50 页） 及格 5 良好 及格 9 a 18 4 6 b ②在地理成绩及格的学生中，已知a≥11，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率． 19．等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE． （Ⅰ）证明EF⊥平面PAE； （Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求V（x）的最值． 20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且． （1）求抛物线的方程； （2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值． 21．已知函数f（x）=lnx﹣x． （1）证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）|＞（2）设m＞n＞0，比较 [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线M的直角坐标方程为x﹣2y+2=0（x＞0） （1）以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程； 第30页（共50 页） ； 与的大小，并说明理由． （2）设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和． [选修4-5：不等式选讲] 23．（1）若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜，求实数m的取值范围． （2）已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy． 第31页（共50 页） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z=A．﹣1 （i为虚数单位），则z的虚部是（ ） B．1 C．﹣i D．i 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【解答】解：复数z=故选：A． 2．满足M⊆{1，2，3，4，5}，且M∩{1，2，3}={1，3}的集合M的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】根据M∩{1，2，3}={1，3}得到1，3∈M，即可得到结论． 【解答】解：依题意集合M可能为{1，3}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，4，5}． 故选：D 3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（ ） ====﹣i，则z的虚部是﹣1． A．2 B．3 C．4 D．5 第32页（共50 页） 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当n=1时，a=当n=2时，a=当n=3时，a=当n=4时，a=，b=4，满足进行循环的条件， ，b=8满足进行循环的条件， ，b=16满足进行循环的条件， ，b=32不满足进行循环的条件， 故输出的n值为4， 故选C． 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ） A． B． C． D． 【考点】L7：简单空间图形的三视图． 【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论． 【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示， 该几何体的俯视图为D． 故选：D． 第33页（共50 页） 5．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项，则这个样本的方差是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】BC：极差、方差与标准差． 【分析】由已知条件求出a=1，b=4，由此能求出S2． 【解答】解：∵样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2n﹣2}（n∈N*）的第2项和第4项， ∴a=22﹣2=1，b=24﹣2=4， ∴S2= [（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]=5， 故选：C． 6．以下判断正确的个数是（ ） ①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强． ②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”． ③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件． ④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是A．4 B．2 C．3 D．1 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】①根据相关系数r的大小与相关性强弱的关系进行判断． ②特称命题的否定是全称命题进行判断 ③根据复合命题与充分条件和必要条件的定义进行判断， ④根据回归方程的性质代入进行求解判断． 【解答】解：①相关系数|r|值越小，变量之间的相关性越弱，故错误． ②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，故错误． ③“p∨q”为真时，“¬p”为假不一定成立，故“p∨q”为真是“¬p”为假的不充分条件， “¬p”为假时，“p”为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要条件， 故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故正确； ④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则a=5﹣1.23×4=0.08，则回归直线方程是=1.23x+0.08，故正确； 故选：B 第34页（共50 页） =1.23x+0.08． 7．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型． 【分析】设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可． 【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y， 以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间， 建立平面直角坐标系（如图） 则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示 ∴所求概率P=1﹣故选：D． =； 8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（ ） A． B． C． D． 【考点】L2：棱柱的结构特征． 【分析】分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP∥平面A1BC1，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积． 【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P， 则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN， ∴平面EMNGQP∥平面A1BC1， ∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1， ∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP， 第35页（共50 页） ∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1， ∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=∴E到PN的距离d=∴动点F的轨迹所形成的区域面积： S=2S梯形PNME=2×故选：C． =． ，PN==， ， 9．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点的最大值是（ ） A． B． C．1 D． =λ，若•≥•，则λ【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件运用向量的数量积的坐标表示和二次不等式的解法，即可求出λ的最大值． 【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1， ∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴， CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图： C（0，0），A（1，0），B（0，1），由=λ， =（﹣λ，λ）， =﹣=（λ﹣1，1﹣λ）， =（﹣1，1）， ∴λ∈[0，1]，=（1﹣λ，λ），若•≥•， ∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ． 2λ2﹣4λ+1≤0， 第36页（共50 页） 解得：1﹣≤λ≤1+， ∵λ∈[0，1]， ∴λ∈[1﹣，1]． 则λ的最大值是1． 故选：C． 10．已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2an=39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（ ） A．637 B．559 C．481+25 D．492+24 【考点】8E：数列的求和；7F：基本不等式． 【分析】由已知条件推导出a1=1，a3=39，a5=1，a7=39，…，a47=39，a49=1，a2a4=39，所以a2+a4，当且仅当的最小值． 【解答】解：∵各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2an=39（n∈N*）， ∴a1=1，a3=39，a5=1，a7=39，…，a47=39，a49=1， a2a4=39，∴a2+a4∴当偶数项都是，当且仅当时，S50取最小值， =481+25． 时取等号， 时取等号，故当偶数项都是时，S50取最小值，由此能求出S50∴（S50）min=12×（1+39）+1+25故选：C． 11．已知函数f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），则+=（ ） 第37页（共50 页） A． B．1 C．2 D．4 【考点】4N：对数函数的图象与性质． 【分析】由题意，函数f（x）=|lnx|，f（m）=f（n）（m＞n＞0），可知m与n关于x=1对称，即m+n=2． f（m）=f（n），即lnm=﹣lnn，可得mn=1．即可求解则+的值． 【解答】解：由题意，函数f（x）=|lnx|，f（m）=f（n）（m＞n＞0）， 可知：m与n关于x=1对称，即m+n=2． ∵f（m）=f（n），（m＞n＞0）， 可得lnm=﹣lnn，即lnm+lnn=0， ∴mn=1． 那么：故选C． 12．已知O是坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF，则双曲线的方程为（ ） +==， 为直径的圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且A． B． C． D． 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】求出双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=﹣x上，建立方程关系求得A的坐标，设B（m，n），运用向量的坐标关系，结合B在渐近线上，可得a，c的关系，再由a=1，即可得到c，b，进而得到所求双曲线的方程． 【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程 l1，y=x，l2，y=﹣x， F（c，0）， 第38页（共50 页） 圆的方程为（x﹣）2+y2=得（x﹣）2+（x）2=即当x=x2=cx，则x=0或x=，y═•=，将y=x代入圆的方程， ， ， ，）， ，即A（设B（m，n），则n=﹣•m， 则∵∴（则=（﹣m，， ﹣m，﹣n）=（c﹣），， ﹣2c）=﹣+， ，﹣）， ）， ﹣n），=（c﹣，﹣）， ﹣m=2（c﹣﹣2c，n==﹣•（=， ﹣n=2•（﹣即m=即即则c2=3a2， 由双曲线则双曲线的方程为x2﹣故选：B． 可得a=1，c==1． ，b=n==． 第39页（共50 页） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），则角α的最小正值为 115° ． 【考点】G9：任意角的三角函数的定义． 【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得角α的最小正值． 【解答】解：∵角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），为第二象限角， 且tanα==﹣cot25°=﹣tan65°=tan=tan115°， 则角α的最小正值为115°， 故答案为：115°． 14．已知等比数列{an}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为 16 ． 【考点】88：等比数列的通项公式． 【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq，得a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入能求出结果． 【解答】解：∵等比数列{an}，且a6+a8=4， ∴a8（a4+2a6+a8）==故答案为：16． 15．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，=（a6+a8）2=16． 求得m的取值范围是 （﹣∞，﹣） ． 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，从而解得． 【解答】解：由题意作出其平面区域， 第40页（共50 页） 则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方， 故﹣m﹣2m＞2， 解得，m＜﹣； 故答案为：（﹣∞，﹣）． 16．已知函数f（x）=（a∈R）的图象与直线x﹣2y=0相切，当函数g（x）=f（f（x））﹣t恰有一个零点时，实数t的取值范围是 {0} ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先利用函数f（x）=（a∈R）的图象与直线x﹣2y=0相切，求出a，再作出f（x）的图象，利用当函数g（x）=f（f（x））﹣t恰有一个零点时，即可实数t的取值范围． 【解答】解：由题意，f′（x）=取切点（m，n），则n==， ∴m=，a=e．∴f（x）=， ， ，m=2n， ， f′（x）=函数f（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）上单调递减， f（1）=0，x→+∞，f（x）→0， 第41页（共50 页） 由于f（e）=1，f（1）=0， ∴当函数g（x）=f（f（x））﹣t恰有一个零点时，实数t的取值范围是{0}， 故答案为：{0}． 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2+c2=ab+bc+ca． （1）证明△ABC是正三角形； （2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=，求sin∠BAD的值． 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）由已知利用配方法可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，从而可求a=b=c，即△ABC是正三角形． （2）由已知可求AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD 【解答】解：（1）证明：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc， ∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc， （a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0， 第42页（共50 页） ∴a=b=c ∴△ABC为等边三角形 （2）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD， ∴AC=2CD，∠ACD=120°， ∴在△ACD中， 由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD， 可得：7=4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，解得CD=1， 在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD===． 18．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号． （1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号； （下面摘取了第7行到第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 （2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表： 成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42 ①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值： 人数 优秀 地理 优秀 良好 及格 7 9 a 数学 良好 20 18 4 第43页（共50 页） 及格 5 6 b ②在地理成绩及格的学生中，已知a≥11，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率． 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）从第8行第7列的数开始向右读，利用随机数法能求出最先检查的3个人的编号． （2）①由题意得，由此能求出a，b的值．． ②a+b=31，a≥11，b≥7，由此利用列举法能求出数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率． 【解答】解：（1）从第8行第7列的数开始向右读，最先检查的3个人的编号分别为：785，667，199． （2）①，解得a=14， ∴b=100﹣30﹣（20+18+4）﹣（5+6）=17． ②a+b=100﹣（7+20+5）﹣（9+18+6）﹣4=31， ∵a≥11，b≥7，∴基本事件（a，b）的总数n=14，分别为： （11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14）， （18，13），（19，12），（20，21），（21，10），（22，9（，（23，8），（24，7）． 设a≥11，b≥7，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，a+5＜b． 事件A包括：（11，20），（12，19），共2个基本事件， ∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为P（A）= 19．等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边． 上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE． （Ⅰ）证明EF⊥平面PAE； （Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求V（x）的最值． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）证明EF⊥PE，而AB∩PE=E，EF⊥AB，即可证明EF⊥平面PAE； （Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求出底面面积，可得体积，即可求V（x）的最值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°， 第44页（共50 页） 故EF⊥PE，而AB∩PE=E， 所以EF⊥平面PAE． （Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF， ∴PE⊥平面ABC，即PE为四棱锥P﹣ACFE的高． 由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴由题意知∴而PE=EB=x，∴∴当x=6时V（x）max=V（6）=． =，． ， 20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且． （1）求抛物线的方程； （2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值． 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系． 【分析】（1）求得P和Q点坐标，求得丨QF丨，由题意可知， +=×即可求得p的值，求得椭圆方程； 第45页（共50 页） （2）设直线方程，代入抛物线方程，由韦达定理x1x2=﹣4，求导，根据导数的几何意义，求得切线方程，联立求得M点坐标，根据点到直线距离公式，求得M到l的距离，利用三角形的面积公式，即可求得△ABM与△CDM的面积之积的最小值． 【解答】解：（1）由题意可知P（4，0），Q（4，），丨QF丨=+， 由，则+=×，解得：p=2， ∴抛物线x2=4y； （2）设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0， 则x1x2=﹣4， 由y=x2，求导y′=， 直线MA：y﹣=（x﹣x1），即y=x﹣， 同理求得MD：y=x﹣， ，解得：，则M（2k，﹣1）， ∴M到l的距离d==2， ∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM•S△CDM=丨AB丨丨=（丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）•d2， =y1y2d2=•×d2， =1+k2≥1， 当且仅当k=0时取等号， 当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1． 21．已知函数f（x）=lnx﹣x． 第46页（共50 页） CD丨•d2， （1）证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）|＞（2）设m＞n＞0，比较与； 的大小，并说明理由． 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，求出f（x）的最大值，从而求出|f（x）|的最小值，设G（x）=，根据函数的单调性证明即可； （2）问题转化为比较ln与的大小，令t=（t＞1），作差设G（t）=lnt﹣=lnt﹣，根据函数的单调性求出G（t）＞0，从而比较其大小即可． 【解答】（1）证明：因为f′（x）=的， f（x）max=f（1）=ln1﹣1=﹣1，|f（x）|min=1， 设G（x）=，则G′（x）=， ，故f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是减少故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是减少的，故G（x）max=G（e）=＜1， G（x）max＜|f（x）|min， 所以|f（x1）|＞对任意的x1，x2∈（0，+∞）恒成立； （2）解： ==•，且=×， ∵m＞n＞0，∴﹣1＞0，故只需比较ln与的大小， 令t=（t＞1），设G（t）=lnt﹣=lnt﹣， 则G′（t）=﹣=， 因为t＞1，所以G′（t）＞0，所以函数G（t）在（1，+∞）上是增加的， 第47页（共50 页） 故G（t）＞G（1）=0，所以G（t）＞0对任意t＞1恒成立， 即ln＞， 从而有 ＞． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线M的直角坐标方程为x﹣2y+2=0（x＞0） （1）以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程； （2）设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）联立，能求出曲线M的参数方程． ，求出A与B，由此能求（2）求出曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，联立出直线OA与直线OB的斜率之和． 【解答】解：（1）联立， 得到曲线M的参数方程为，（k为参数）． （2）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ， ∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4， 联立，得或， ∴直线OA与直线OB的斜率之和： kOA+kOB==4． 第48页（共50 页） [选修4-5：不等式选讲] 23．（1）若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜，求实数m的取值范围． （2）已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy． 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；R6：不等式的证明． 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可． （2）展开（ax+by）（bx+ay）利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：（1）由|x﹣m|＜1得﹣1＜x﹣m＜1，即m﹣1＜x＜m+1， 若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜， 则（，）⊊（m﹣1，m+1）， 即，得，即≤m≤， 即实数m的取值范围是≤m≤． （2）证明：∵a，b是正数，且a+b=1， ∴（ax+by）（bx+ay）=abx2+（a2+b2）xy+aby2 =ab（x2+y2）+（a2+b2）xy ≥ab⋅2xy+（a2+b2）xy =（a+b）2xy =xy， ∴（ax+by）（bx+ay）≥xy成立． 第49页（共50 页）
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