2024年3月17日发(作者：函授专升本数学试卷分析)

函数的单调性和导数

上课之前呢， 请同学们先回顾一下，

必修课当中我们学过的判断函数单调性的方法都有

哪些呢？我听到有同学说利用定义法证明函数的单调性，

还有同学说利用图像法，

那可以根

据图像上升或下降的趋势，来判断函数的单调性。

大家都很优秀，学习数学呢，我们就需要这种精神，对于学过的知识一定要内化于心，

灵活运用， 那我们发现， 这两种方法操作起来，步骤都比较繁琐，

那还有没有其他较为简单

的方法呢？

上节课我们学习了导数的时候说过，导数是研究函数的重要工具，那么函数的单调性，

和函数的导数之间有什么样的关系呢？这节课呢？我们就一起来讨论这个问题，

请同学们看

老师多媒体呈现的这

4 个函数， y=x， y 等于 x 方， y=x3 次方，和 y=1/x ，请同学们求出这

4

个函数的导函数，

然后拿出导学案， 观察同一坐标系内，

这 4 个函数与其对应的导函数的图

像，大家主要看看导函数的正负，与原函数的单调性有什么样的关系？

那在这里呢，老师给大家提示一下，

同学们可以利用列表的方法，

来呈现你们的发现，

那我

们的这个表格呢，大家可以这样来列，第一列表示自变量

x 的取值，第二行表示导数值

f’(x)

的正负，第 3 行表示函数值 f(x)的增减，那现在，同学们开始动手操作吧。

好，时间到了， 刚才老师在巡视的过程中啊，

发现同学们观察的都非常仔细，那不知道你们

有没有发现什么规律呢？下面请

4 位同学，将你们的表格投影到大屏幕上来，第

1

排

这 4

位女同学，请到黑板上来，展示你们的结果。

来，同学们，我们已经看到了这

4 位同学的答案，已经投影到了大屏幕上，那，表格做的非

常的清晰， 然后一目了然的展现了我们的目标数据之间的这种关系，

那同学们， 你们观察这

4 组表格，说一说，你们发现什么样的规律呢？啊，课代表你来说，那课代表说，他发现这

4 个函数的原函数，与对应导函数之间都有一个共同的特点，那就是，导函数为正时，对应

的区间上，原函数单调增，导函数为负时，对应的区间上原函数单调减。

哦，请坐，课代表刚才总结的很精彩， 将图表中呈现的规律啊， 展示得淋漓尽致， 很优秀啊，

那我们刚才发现的，

这 4 个导函数与原函数之间的这种特殊关系，

究竟是否具有一般性吗？

那下面我们就一起来论证一下我们刚才得出的这个结论，

是否具有普遍性？请同学们看大屏

幕上呈现的这个函数，

那我们在函数图像的右侧，

任取一点 (x0,f(x0))，那么根据导数的性质，

该点处导数值

f ’(x0)表示函数 f(x)在点 (x0,f(x0))处切线的斜率，那么

,在 x=x0 处，我们知道，

导数值

f ’(x0)大于 0，我们做出该点处的切线，发现她是左下右上的形式，那在这个时候，

函数值 f(x)在 x0 附近单调递增，那同样的道理，在函数图像的右侧任取一点

处，f ’(x1)小于 0，在这种情况下， 我们发现， 切线是左上右下的形式，

x1，那在 x=x1

那很显然， 函数值 f(x)

在 x1

附近单调递减，非常好啊，那到这里，我们同学就有疑问了，说我们刚才说到，函数

在 x0

或 x1 处附近是单调递增或单调递减，那这样我们能不能得到

应的区间上单调递增的结论呢？这里呢，

f ’(x0)大于零时， f(x)在对

同学们思考一下， 我们研究的这个函数， 他是一个

什么函数呢？对了， 我们的 f(x)它的定义域是连续函数，

所以说我们从附近的这个变化区域，

能够将它扩展到它的定义域内。嗯，那非常好啊，同学们，那我们这部分，相信大家都能够

理解了。

那没问题的话， 下面老师给同学们总结一下，

我们函数的单调性，

与导数的正负之间存在的

一种这样的关系，在某个区间（

a,b）内，如果 f ’(x)大于 0，那么函数 y 等于 f(x)在这个区间

内单调递增，如果

f’(x)小于 0，那么函数 y 等于 f(x)在这个区间内单调递减，那么老师教给

大家一个口诀，我们说，导函数看正负，原函数看增减，这个口诀大家记住了吗？好的，那

下面检测一下同学们对这节课知识的掌握情况，

请同学们利用三分钟时间，

独立完成多媒体

上的， 这个变式题组，请第 1 排的这位同学到黑板上进行表演，我看大家都已经完成了，我

们一起来检查一下黑板上这位同学的板演结果。

大家说，有问题，好，哦，对了，这位同学忽视了我们函数的定义域，所以他最后求出的增

区间不正确，那这里呀，大家要记住一句话，我们函数问题，定义域优先，千万不能忽视定

义域，那我们这节课的重点知识基本上就要结束了。

那哪位同学能给我说一下，自己这节课有哪些收获和体会呢？好，班长，你来分享一下吧，

班长说他知道可以利用导函数快速地判断函数的单调性，

间的步骤是：第 1

步，确定函数 y=f(x)的定义域，第

第 3 步，解不等式

而且掌握了利用导函数，

2 步，求导函数 y’等于 f ’(x)

求单调区

f’(x)大于零，解集在定义域的部分为单调增区间，解不等式

f ’(x)小于零，

解集在定义域的部分为单调减区间。

非常棒啊， 我们班长把这个步骤总结的非常的完整，

练的应用， 那我们这节课呢，就给大家讲到这里，

希望大家在以后的求解过程中也能够熟

请同学们下课之后思考这样一个问题，如

果在某个区间内，

f’(x)等于 0，那么，函数 y=f(x)有什么特点呢？

好，那我们这节课就上到这里，各位同学再见。


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