大学高等数学下考试题库及答案

2023年12月2日发(作者：中招数学试卷在线做题)

. .

\"高等数学\"试卷6〔下〕

一.选择题〔3分10〕

1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2〔 〕.

A.3 B.4 C.5 D.6

2.向量ai2jk,b2ij，那么有〔 〕.

A.a∥b B.a⊥b C.a,b3 D.a,b4

3. 设有直线Lx1y5z8121和Lxy61:2:2yz3，那么L1与L2的夹角为〔

〔A〕6； 〔B〕4； 〔C〕3； 〔D〕2.

4.两个向量a与b垂直的充要条件是〔 〕.

A.ab0 B.ab0 C.ab0 D.ab0

5.函数zx3y33xy的极小值是〔 〕.

A.2 B.2 C.1 D.1

6.设zxsiny，那么zy＝〔 〕.

1,4A.22 B.22 C.2 D.2

7. 级数(1)n(1cos) (0)是〔 〕

n1n〔A〕发散； 〔B〕条件收敛； 〔C〕绝对收敛； 〔D〕敛散性与有关.

8.幂级数xn的收敛域为〔 〕n1n.

A.1,1 B1,1 C.1,1 D.1,1

n9.幂级数x2在收敛域的和函数是〔 〕.

n0A.11x B.22x C.211x D.2x

二.填空题〔4分5〕

-优选

〕 . .

1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，那么此平面方程为______________________.

2.函数zsinxy的全微分是______________________________.

2z_____________________________. 3.设zxy3xyxy1，那么xy3234. 设L为取正向的圆周：xy1，那么曲线积分22L(2xy2y)dx(x24x)dy____________.

(x2)n5. .级数的收敛区间为____________.

nn1三.计算题〔5分6〕

1.设zesinv，而uxy,vxy，求uzz,.

xyzz,.

xy2.隐函数zzx,y由方程x2yz4x2z50确定，求2223.计算222222D:xy4，其中.

sinxydD4. ．计算dy0y.

1ysinxdx

x试卷6参考答案

一.选择题 CBCAD ACCBD

二.填空题

1.2xy2z60.

xyydxxdy .

3.6xy9y1 .

224.

n01nxn.

2n12x5.yC1C2xe三.计算题

1. .

zzexyxsinxycosxy.

exyysinxycosxy ，yx-优选 . .

2.z2xxz1,zy2yz1.

3.220dsind62.

4.163R3 .

5.ye3xe2x.

四.应用题

1.长、宽、高均为32m时，用料最省.

2.y13x2.

\"高数\"试卷7〔下〕

一.选择题〔3分10〕

1.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2〔 〕.

A.12 B.13 C.14 D.15

2.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，那么两平面的夹角为〔A.6 B.4 C.3 D.2

3.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为〔 〕.

A.3 B.4 C.5 D.6

4.假设几何级数arn是收敛的，那么〔 〕.

n0A.r1 B.r1 C.r1 D.r1

8.幂级数n1xn的收敛域为〔 〕.

n0A.1,1 B.1,1 C.1,1 D.

1,1

9.级数sinna是〔

n1n4 〕.

A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定

10. ．考虑二元函数f(x,y)的以下四条性质：

-优选

. 〕. .

〔1〕f(x,y)在点(x0,y0)连续； 〔2〕fx(x,y),fy(x,y)在点(x0,y0)连续

〔3〕f(x,y)在点(x0,y0)可微分； 〔4〕fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在.

假设用\"PQ〞表示有性质P推出性质Q，那么有〔 〕

〔A〕(2)(3)(1)； 〔B〕(3)(2)(1)

〔C〕(3)(4)(1)； 〔D〕(3)(1)(4)

二.填空题〔4分5〕

(x3)n1. 级数的收敛区间为____________.

nn12.函数ze的全微分为___________________________.

3.曲面z2x4y在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.

22xy1的麦克劳林级数是______________________.

21x三.计算题〔5分6〕

1.设ai2jk,b2j3k，求ab.

4.2.设zuvuv，而uxcosy,vxsiny，求22zz,.

xy3.隐函数zzx,y由x3xyz2确定，求3zz,.

xy4. 设是锥面zx2y2 (0z1)下侧，计算xdydz2ydzdx3(z1)dxdy

四.应用题〔10分2〕

试用二重积分计算由yx,y2x和x4所围图形的面积.

试卷7参考答案

一.选择题 CBABA CCDBA.

二.填空题

1.x2y2z1.

112xy2.eydxxdy.

3.8x8yz4.

-优选 . .

4.1n03nx2n.

5.yx.

三.计算题

1.8i3j2k.

2.zz3x2sinycosycosysiny,2x3sinycosysinycosyx3sin3ycos3y .

xyzyzzxz,.

22xxyzyxyz3232a.

3232x3.4.

5.yC1eC2ex.

四.应用题

1.16.

312gtv0tx0.

22.

x\"高等数学\"试卷3〔下〕

一、选择题〔此题共10小题，每题3分，共30分〕

1、二阶行列式 2 -3 的值为〔 〕

4 5

A、10 B、20 C、24 D、22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，那么a与b 的向量积为〔 〕

A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k

3、点P〔-1、-2、1〕到平面x+2y-2z-5=0的距离为〔 〕

A、2 B、3 C、4 D、5

4、函数z=xsiny在点〔1，〕处的两个偏导数分别为〔 〕

4A、22222222,, B、,,

C、 D、22222222-优选 . .

5、设x2+y2+z2=2Rx，那么zz,分别为〔 〕

xy D、A、xRyxRyxRy, C、, B、,zzzzzz22xRy,

zz26、设圆心在原点，半径为R，面密度为xy的薄板的质量为〔 〕〔面积A=R〕

A、R2A B、2R2A C、3R2A D、n12RA

2xn7、级数(1)的收敛半径为〔 〕

nn1A、2 B、1 C、1 D、3

28、cosx的麦克劳林级数为〔 〕

2n2nx2nx2n1nxnxnA、(1) B、(1) C、(1) D、(1)

(2n)!(2n)!(2n)!(2n1)!n0n1n0n0n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是〔 〕

A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶

10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为〔 〕

A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2

二、填空题〔此题共5小题，每题4分，共20分〕

1、直线L1：x=y=z与直线L2： 直线L3：x1y3z的夹角为___________。

21x1y2z与平面3x2y6z0之间的夹角为____________。

21222d,D:xy1的值为___________。

D2、〔0.98〕2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。

3、二重积分xn的收敛半径为__________。

4、幂级数n!x的收敛半径为__________，n0n!n0n5、微分方程y`=xy的一般解为___________，微分方程xy`+y=y2的解为___________。

三、计算题〔此题共6小题，每题5分，共30分〕

1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3

x+7y-5z=2

-优选 . .

2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点〔1，1，1〕处的切线及法平面方程.

3、计算xyd，其中D由直线y1,x2及yx围成.

D4、问级数1n(1)sin收敛吗？若收敛，则是条件收敛还是绝对收敛？

nn15、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解

四、应用题〔此题共2小题，每题10分，共20分〕

1、求外表积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，〔比例系数为k〕t=0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M〔t〕随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B

10,A

二、填空题

1、arcos218,arcsin8 2、0.96，0.17365

213、л 4、0，+

5、ycex22,cx11

y三、计算题

1、 -3 2 -8

解： △= 2 -5 3 = 〔-3〕× -5 3 -2× 2 3 +〔-8〕2 -5 =-138

1 7 -5 7 -5 1 -5

17 2 -8

△x= 3 -5 3 =17× -5 3 -2× 3 3 +〔-8〕× 3 -5 =-138

2 7 -5 7 -5 2 -5 2 7

同理：

-优选 . .

-3 17 -8

△y= 2 3 3 =276 ,△z= 414

1 2 -5

所以，方程组的解为x2、解：因为x=t,y=t2,z=t3,

所以xt=1,yt=2t,zt=3t2，

所以xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3

故切线方程为：xyz1,y2,z3

x1y1z1

123法平面方程为：〔x-1〕+2(y-1)+3(z-1)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因为D由直线y=1,x=2,y=x围成，

所以

D： 1≤y≤2

y≤x≤2

故：xyd[xydx]dyD1y2221y31(2y)dy1

284、解：这是交织级数，因为

11Vnsin0，所以，Vn1Vn,且limsin0，所以该级数为莱布尼兹型级数，故收敛。nn111sin发散，从而sin发散。1n又sin当x趋于0时，sinx~x，所以，lim1，又级数n5nn1n1nn1n1n所以，原级数条件收敛。12131xxxn、解：因为

2!3!n!x(,)ew1x用2x代x，得：

6、解：特征方程为r2+4r+4=0

所以，〔r+2〕2=0

得重根r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x

-优选 . .

所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e-2x

四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z

那么2〔xy+yz+zx〕=a2

构造辅助函数

F〔x,y,z〕=xyz+(2xy2yz2zxa2)

求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：

yz+2(y+z)=0

xz+2(x+z)=0

xy+2(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=6a6

a2而体积最大的长方体的体积为Vxyz6a3所以，外表积为362、解：据题意

\"高数\"试卷4〔下〕一．选择题：31030

１．以下平面中过点〔１,１,1〕的平面是．

〔Ａ〕ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ 〔Ｂ〕ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ 〔Ｃ〕ｘ＝１

２．在空间直角坐标系中，方程x2y22表示．

〔Ａ〕圆 〔Ｂ〕圆域 〔Ｃ〕球面 〔Ｄ〕圆柱面

３．二元函数z(1x)2(1y)2的驻点是．

〔Ａ〕〔０,０〕 〔Ｂ〕〔０,１〕 〔Ｃ〕〔１,０〕 〔Ｄ〕〔１,１〕４．二重积分的积分区域Ｄ是1x2y24，那么dxdy．

D〔Ａ〕 〔Ｂ〕4 〔Ｃ〕3 〔Ｄ〕15

５．交换积分次序后1x0dx0f(x,y)dy．

-优选

ｘ＝３

〔Ｄ〕 . .

〔Ａ〕01dyf(x,y)dxy1

dyf(x,y)dx〔Ｂ〕00

11dy〔Ｃ〕001yf(x,y)dx

dyf(x,y)dx〔Ｄ〕00

x1６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是．

〔Ａ〕ｎ 〔Ｂ〕０ 〔Ｃ〕ｎ！ 〔Ｄ〕１

７．对于ｎ元线性方程组，当r(A)r(A)r时,它有无穷多组解,那么．

〔Ａ〕ｒ＝ｎ 〔Ｂ〕ｒ＜ｎ 〔Ｃ〕ｒ＞ｎ 〔Ｄ〕无法确定

８．以下级数收敛的是．

〔Ａ〕nn3(1)n11 〔Ｂ〕n 〔Ｃ〕 〔Ｄ〕

n12nnn1n1n1~(1)n1n1９．正项级数un和vn满足关系式unvn，那么．

n1n1〔Ａ〕假设un收敛，那么vn收敛 〔Ｂ〕假设vn收敛，那么un收敛

n1n1n1n1〔Ｃ〕假设vn发散，那么un发散 〔Ｄ〕假设un收敛，那么vn发散

n1n1n1n1１０．：11的幂级数展开式为．

1xx2，那么1x1x2〔Ａ〕1x2x4 〔Ｂ〕1x2x4 〔Ｃ〕1x2x4 〔Ｄ〕1x2x4

二．填空题：4520

１． 数zx2y21ln(2x2y2)的定义域为．

y２．假设f(x,y)xy，那么f(,1)．

x(x0,,y0)3,fyy(x0,y0)12,fxy(x0,y0)a那么 ３．(x0,y0)是f(x,y)的驻点，假设fxx当时，(x0,y0)一定是极小点．

４．矩阵Ａ为三阶方阵，那么行列式3AA

５．级数un收敛的必要条件是．

n1三．计算题(一)：6530

１．

２．

：zxy，求：zz，．

yx计算二重积分4x2d，其中D{(x,y)|0y4x2,0x2}．

D1３．：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝2201231012，Ｂ＝，求未知矩阵Ｘ．

1001-优选 . .

４．求幂级数(1)n1n1xn的收敛区间．

n５．求f(x)ex的麦克劳林展开式〔需指出收敛区间〕．

四．计算题(二)：

10220

１．求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．

２．

xyz1设方程组xyz1，试问：分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解．

xyz1参考答案

一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．

二．１．(x,y)|1x2y22 ２．四． 1．解：y ３．6a6 ４．２７ ５．limun0

nxzzyxy1xylny

xy24x22．解：4x2d0dx0Dx316224xdy(4x)dx4x

0330223．解：B1127210012,AB12415.

001(1)n1４．解：R1,当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得收敛，

nn1(1)2n11当x1时，得发散，所以收敛区间为(1,1].

nnn1n1xn(x)n(1)nnxxx(,).

x(,),所以en!n!n!n0n0n0ijk四．1．解：.求直线的方向向量:s121i3j5k,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所以５．解：.因为ex211交线的标准方程为:.x2yz

135111111111111~00110

2．解：A1111110111111110112100(1)(2)1(1) 当2时,r(A)2,(A)3,无解;

~-优选 . .

(2) 当1,2时,r(A)(A)3,有唯一解:xyz~1;

2x1c1c2~(3) 当1时,r(A)(A)1,有无穷多组解:yc1(c1,c2为任意常数)

zc2\"高数\"试卷5〔下〕

一、选择题〔3分/题〕

1、aij，bk，那么ab〔〕

A 0 B

ij C

ij D

ij2、空间直角坐标系中xy1表示〔〕

22

A 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面

3、二元函数zsinxy在〔0，0〕点处的极限是〔〕

xA 1 B 0 C

 D 不存在

14、交换积分次序后dx011xf(x,y)dy=〔〕

11 A

dyf(x,y)dx B

dyf(x,y)dx

00x011C

dy011yf(x,y)dx D

dyf(x,y)dx

00y5、二重积分的积分区域D是xy1，那么dxdy〔〕

DA 2 B 1 C 0 D 4

6、n阶行列式中所有元素都是1，其值为〔〕

A 0 B 1 C n D n!

7、假设有矩阵A32，B23，C33，以下可运算的式子是〔〕

A

AC B

CB C

ABC D

ABAC

8、n元线性方程组，当r(A)r(A)r时有无穷多组解，那么〔〕

A r=n B rn D 无法确定

9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式〔〕

A 必等于零 B 必不等于零

C 可以等于零，也可以不等于零 D 不会都不等于零

~-优选 . .

10、正项级数un1n和vn1n满足关系式unvn，那么〔〕

A 假设un1n收敛，那么vn1n收敛 B 假设vn1n收敛，那么un1n收敛

C 假设vn1n发散，那么un1n发散 D 假设un1n收敛，那么vn1n发散

二、填空题〔4分/题〕

1、 空间点p〔-1，2，-3〕到xoy平面的距离为

2、 函数f(x,y)x4y6x8y2在点处取得极小值，极小值为

223、

A为三阶方阵，A3，那么A

0x4、 三阶行列式x0yz5、 级数yz=

0un1n收敛的必要条件是

三、计算题〔6分/题〕

1、 二元函数zy2x，求偏导数zz，

xy2、 求两平面：x2yz2与2xyz4交线的标准式方程。

3、 计算二重积分Dx2dxdy，其中D由直线x2，yx和双曲线xy1所围成的区域。

2y2234、 求方阵A110的逆矩阵。

121(x1)n5、 求幂级数的收敛半径和收敛区间。

n5n1四、应用题〔10分/题〕

1、 判断级数(1)n1n11的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。

pn-优选 . .

x1x2x312、 试根据的取值，讨论方程组x1x2x31是否有解，指出解的情况。

xxx1231参考答案

一、选择题〔3分/题〕

DCBDA ACBCB

二、填空题〔4分/题〕

1、3 2、〔3，-1〕 -11 3、-3 4、0 5、limun0

n三、计算题〔6分/题〕

1、zz2xy2x1

2y2xlny，yxz0

5x2y0139 3、

4141 4、A1516 2、33

4 5、收敛半径R=3，收敛区间为〔-4，6〕

四、应用题〔10分/题〕

1、 当p0时，发散；

0p1时条件收敛；

p1时绝对收敛

2、 当1且2时，r(A)r(A)3，A0，方程组有唯一解；

当2时，r(A)3r(A)2，方程组无解；

当1时，r(A)r(A)13，方程组有无穷多组解。

~~~-优选