2023年12月10日发(作者：海南小学数学试卷真题答案)
直角三角形全等的判定“ＨＬ
项目
课题
教学目标
设计内容
12.2直角三角形全等的判定“ＨＬ ” （第五课时）
教科书第41——43页相关内容
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
熟练地运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
多媒体课件
说明
重点
难点
使用多媒体
教学过程
复
习
旧
知
，
导
入
新
课
教师活动 学生活动 说明或
设计意图
1．回顾旧知：（课件出示问题）
我们已经学了哪些判断两个三角形全等的方法呢？
2．思考：如下图（1），△ABC中，∠ C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______。
B
1．思考课件问题，举
手回答问题.
SSS、SAS、ASA、AAS.
2．回忆直角三角形的特点，回答问题.
A C
图（1）
我们把直角△ABC记作：Rt△ABC。
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个三角形就全等了？
2．这节课我们继续来学习 12.2三角形全等的判定——直角三角形的判定.
出示课题并板书课题.
1．如下图（2），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
图（2）
（1）你能帮他想个办法吗？
1．前后桌同学讨论。
（1）方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.
(ASA)或(AAS)
（2）抢答.
问
题
激
趣
，
合
作
探
究
（2）若∠B=∠F=Rt ∠
①若AB=DF，∠A=∠D，则利用 可判定全等；
②若AB=DF，∠C=∠E，则利用 可判定全等；
③若AC=DE，∠C=∠E，则利用
可判定全等；
④若AC=DE，∠A=∠D，则利用 可判定全等；
⑤若AC=DE，∠A=∠D，AB=DF，
则利用 可判定全等
如果工作人员只带了一条尺，能完成这项任务吗？
工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的
直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定2．观看示范，按照下“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗 面的步骤画Rt△A´B´２．观察下图中的△ABC，画一个△A′B′C′，使A′B′C´
=AB , ∠A ′=∠A，∠B′ =∠B ⑴作∠MC´N=90°;
教师演示作图．（图略）作法见右 ⑵ 在射线C´M上取段 观察：△A′B′C′与 △ABC 全等吗？怎么验证？ B´C´=BC;
师用电脑演示重合的过程. ⑶ 以B´为圆心,AB说明：当一个直角三角形的一条直角边和斜边确定后，那为半径画弧，交射线C么它的形状和大小也被确定. ´N于点A´;
由作图可得出什么结论？ ⑷ 连接A´B´.
斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为将自己的图形剪下来“斜边、直角边”或“HL”。 加以验证.
A
数学语言：（如右图3）
∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中
B
AB=A´B´（已知 ）
C
BC=B´C´（已知）
A ´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´（HL）
通过刚才的探索，发现工作人员的做3．我能用５种办法来B ´
法是完全正确的。 判定两个三角形全C´
3.你能够用几种方法说明两个直角等．
三角形全等？ 图（3） SSS、SAS、ASA、AAS、4.例题教学： HL.
如下图（4）：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD. 4．先自己分析，试着 求证，如有困难，再 顺着老师的思路去 想．
把过程写在课堂练习 图（4） 本上．
分析：要证BC=AD，但BC和AD是两条线段，且在两个直解题过程见课本第42角三角形中，因此只要证Rt△ABC≌ Rt △BAD就可以了. 页.．
板书过程．
５．及时演练．
如右（5）， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，５．口答．
还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括
D C
A
B 号内填写出判定它们全等的理由。
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
D
A
C
B
图（5）
课
堂
小
结
课
堂
练
习
，
巩
固
提
升
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？
判断两个直角三
角形全等的方法有：
（１）SSS
（２）SAS
（３）ASA
（４）AAS
（５）HL
1．如下图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，借助课本第43页的图以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两进行解题．
地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？
D
A
E
C
B
C
F
A
D
E
B
第１题图 第２题图
2、如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC， CE=BF. 求证：AE=DF.
师巡视，等学生做完后再讲评．
布
置作业
1.教科书第43页习题12.2第6、7、8题．
2.选用作业设计题.
板
书
设
计
12.2直角三角形全等的判定 HL
直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
数学语言：（如右图）
∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中
A
AB=A´B´（已知 ）
A ´
BC=B´C´（已知）
B
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´（HL）
C
B ´
判定两个直角三角形全等的方法有：（１）
C´
SSS ，（２）SAS，（３）ASA，（４）AAS，（５）HL.
例题：如下图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.
D C
B
A
解： 练习解析：
作
业
设
计
1.如下图（1）， AB⊥BC，AD⊥DC，且AD=AB ．求证：BC=DC .
A
D
O
C
B
C
D
A
B
图（1） 图（2） 图（３）
2. 如上图（2）：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：OA=OB.
3．如上图（3），有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的 长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？为什么？
教
学
反
思
15.2.2 分式的加减
教学目标
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
重点难点
1．重点：熟练地进行分式的混合运算.
2．难点：熟练地进行分式的混合运算.
3．认知难点与突破方法
教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
教学过程
例、习题的意图分析
1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.
二、课堂引入
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解
（教科书）例7 计算
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
（教科书）例8 计算：
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
四、随堂练习
计算：
ab11x24x2)()
) (1)
( （2）(abbaabx22x2x （3）(312212)()
a2a4a2a2 五、课后练习
1．计算：
(1)(1 (2)(yx)(1)
xyxya2a1a24a)2
22aa2aa4a4a111xy (3)()
xyzxyyzzx 2．计算(
114)2，并求出当a-1的值.
a2a2a六、答案：
四、（1）2x （2） 五、1.(1)ab （3）3
ab11xy (2) （3）
za2x2y21a2 2.原式=2，当a-1时，原式=-.
3a4
13.3.1 等腰三角形 教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
（二）能力训练要求
1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
2．探索并掌握等腰三角形的性质．
（三）情感与价值观要求
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
重点难点
重点：1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学方法
探究归纳法．
教具准备
师：多媒体课件、投影仪；
生：硬纸、剪刀．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
AABIBCI 作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．
……
[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
（演示课件）
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．
[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．
[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．
[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．
[生齐声]它们是同一条直线．
[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．
[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
[师]很好，大家看屏幕．
（演示课件）
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
ABDC （投影仪演示学生证明过程）
[生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
ABAC,
BDCD,
ADAD, 所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
ABAC,
BADCAD,
ADAD,A 所以△BAD≌△CAD．
DC1 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
2 [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．
A （演示课件）
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
D [师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
CB∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．
[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
（课件演示）
[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本练习 1、2、3．
练习
1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．
B 36120(1)(2)
答案：（1）72° （2）30°
2.如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？
ABDC
答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．
3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠BA和
∠C的度数．
答：∠B=77°，∠C=38.5°．
BCD
（二）阅读课本，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．课后作业
（一）习题13.3 第1、3、4、8题．
（二）1．预习课本．
2．预习提纲：等腰三角形的判定．
Ⅵ．活动与探究
如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．
求证：AE=CE． BDAEC
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．
结果：
证明：延长CD交AB的延长线于P，如图，在△ADP和△ADC中，
12,
ADAD,
ADPADC,P ∴△ADP≌△ADC．
B ∴∠P=∠ACD．
D 又∵DE∥AP，
∴∠4=∠P．
∴∠4=∠ACD．
ACE ∴DE=EC．
同理可证：AE=DE．
∴AE=CE．
板书设计
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一
三、例题分析
四、随堂练习
五、课时小结
六、课后作业
备课资料
参考练习
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A．某一条边上的高 B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线 D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50°
答案：1．C 2．C
3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．解得x=4． 所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．
15.2.2 分式的加减
教学目标
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
重点难点
1．重点：熟练地进行分式的混合运算.
2．难点：熟练地进行分式的混合运算.
3．认知难点与突破方法
教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
教学过程
例、习题的意图分析
1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.
二、课堂引入
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.
三、例题讲解
（教科书）例7 计算
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
（教科书）例8 计算：
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
四、随堂练习
计算：
ab11x24x2)()
) (1)
( （2）(abbaabx22x2x （3）(312212)()
a2a4a2a2 五、课后练习
1．计算：
(1)(1 (2)(yx)(1)
xyxya2a1a24a)2
22aa2aa4a4a111xy (3)()
xyzxyyzzx 2．计算(
114)2，并求出当a-1的值.
a2a2a六、答案：
四、（1）2x （2） 五、1.(1)ab （3）3
ab11xy (2) （3）
22za2xy1a2 2.原式=2，当a-1时，原式=-.
3a4
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