2019年安徽省高考数学试卷(文科)及答案(Word解析版)

2023年12月3日发(作者：关谷分校模拟中考数学试卷)

数学试卷

2019年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）

[试卷总评]

2019年安徽文科卷相对于2019年安徽文科卷的难度来说有所加大。

从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题的形式出现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第19题；另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第9,13,17,21题），转化思想的考查（第8,10,20题），数形结合的考查（第6，8，10题）等等；（3）注重理论联系实际，如第17题概率统计；（4）注重对创新意识的考查，如第21题。

从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。第1题考查复数，难度不大；第2题考查集合的交与补以及不等式求法；第3题程序框图，简单；第4题充分必要条件，容易题；第5题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第6题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第7题等差数列基本量的求解，简单；第11题考查函数定义域的求法，简单；第12题常规的线性规划题，难度不大；第14题，抽象函数解析式的求解，难度中等。选择题第8,9,10题，填空题第13,15题难度加大。第8题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第9题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第10题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第13题平面向量，数量积的运算，需要细心；第15题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第16题三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第17题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好；大题第18题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第19题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第20题函数：题型新颖，考查考生对新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第21题：难度较大，计算量大，点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。

[详细解析]

一．选择题选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项数学试卷

中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i是虚数单位，若复数a（A）-3

【答案】D

【解析】a所以a=3，

故选择D

【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.

（2）已知Ax|x10,B2,1,0,1，则(CRA)B

（A）2,1 （B）2

（D）0,1

（ ）

（B）-1

10(aR)是纯虚数，则a的值为

3i （C）1 （D）3

（ ）

1010(3i)10(3i)10(3i)aaaa(3i)(a3)i，23i(3i)(3i)9i10 （C）1,0,1

【答案】A

【解析】A：x1，CRA{x|x1}，(CRA)B{1,2}，所以答案选A

【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.

（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为

3

411 （C）

12（A）

1

625 （D）

24 （B）

数学试卷

【答案】C

11；

221113

n4,s,s；

224433111

n6,s,s

4461211

n8,s，输出

12【解析】n2,s0,s0所以答案选择C

【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.

（4）“(2x1)x0”是“x0”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】(2x1)x0,x0或1，所以答案选择B

2【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.

（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被

录用的概率为 数学试卷

22 (B)

3539 (C) （D）

510 （A）【答案】D

【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率p3331

10【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.

22（6）直线x2y550被圆xy2x4y0截得的弦长为

（A）1 （B）2

（C）4 （D）46

【答案】C

【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d1+4-5+55=1，半径r5，所以最后弦长为2(5)2124.

【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.

（7）设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=

（A）6 （B）4

（C）2 （D）2

【答案】A

【解析】

S84a3a60d2

8(a1a8)4a3a3a6a32a9a72d6

【考点定位】考查等差数列通项公式和前n项公式的应用，以及数列基本量的求解.

(8) 函数yf(x)的图像如图所示，在区间a,b上可找到n(n2)个不同的数x1,x2,,xn，数学试卷

使得f(x1)f(x2)x1x2f(xn)，则n的取值范围为

xn (A)

2,3 (B)

2,3,4

(C)

3,4 (D)

3,4,5

【答案】B

【解析】

f(x1)f(x1)0表示(x1,f(x1))到原点的斜率；

x1x10f(x1)f(x2)x1x2f(xn)(x2,f(x2))，，(xn,f(xn))与原点连线的斜率，表示(x1,f(x1))，xn(x2,f(x2))，，(xn,f(xn))在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的而(x1,f(x1))，交点有几个，很明显有3个，故选B.

【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.

(9) 设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若bc2a,3sinA5sinB,则角C=

2 (B)

3335(C) (D)

46(A)

【答案】B

【解析】3sinA5sinB由正弦定理，所以3a5b,即a 因为bc2a，所以c5b；

37a，

3数学试卷

a2b2c212，答案选择B

cosC，所以C2ab23【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.

（10）已知函数f(x)xaxbxc有两个极值点x1,x2，若f(x1)x1x2，则关于x的方程

3(f(x))2af(x)b0的不同实根个数为

（A）3 (B) 4

(C) 5 (D) 6

【答案】A

2【解析】f\'(x)3x2axb，x1,x2是方程3x2axb0的两根，

2232由3(f(x))2af(x)b0，则又两个f(x)使得等式成立，x1f(x1)，x2x1f(x1)，其函数图象如下：

2

如图则有3个交点，故选A.

【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.

二．填空题

（11） 函数yln(1)1x的定义域为_____________.

【答案】0,1

1x2数学试卷

110x0或x1【解析】，求交集之后得x的取值范围0,1

x21x01x1【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0.

（12）若非负数变量x,y满足约束条件【答案】4

【解析】

由题意约束条件的图像如下：

xy1，则xy的最大值为__________.

x2y4

当直线经过(4,0)时，zxy404，取得最大值.

【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z取最大.

（13）若非零向量a,b满足a3ba2b，则a,b夹角的余弦值为_______.

【答案】1

32222【解析】等式平方得：a9ba4b4ab

b|cos，即04b43|b|2cos 则aa4b4|a||得cos

222213数学试卷

【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.

（14）定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x).若当0x1时。f(x)x(1x)，

则当1x0时，f(x)=________________.

【答案】f(x)x(x1)

2【解析】当1x0，则0x11，故f(x1)(x1)(1x1)x(x1)

又f(x1)2f(x)，所以f(x)x(x1)

2【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.

（15）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。

①当0CQ②当CQ1时，S为四边形

21时，S为等腰梯形

231③当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R

43

④当3CQ1时，S为六边形

46

2⑤当CQ1时，S的面积为数学试卷

【答案】①②③⑤

【解析】（1）CQ1，S等腰梯形，②正确，图如下：

2

（2）CQ1，S是菱形，面积为236，⑤正确，图如下：

22

（3）CQ31，画图如下：C1R，③正确

43

（4）3CQ1，如图是五边形，④不正确；

4数学试卷

（5）0CQ1，如下图，是四边形，故①正确

2

【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。

三．解答题

（16）（本小题满分12分）

设函数f(x)sinxsin(x3).

（Ⅰ）求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；

（Ⅱ）不画图，说明函数yf(x)的图像可由ysinx的图象经过怎样的变化得到.

【解析】（1）f(x)sinxsinxcos3cosxsin3

sinx1333sinxcosxsinxcosx

2222数学试卷

当sin(x33()2()2sin(x)3sin(x)

2266342k,x2k,(kZ)

66234所以，f(x)的最小值为3，此时x 的集合{x|x2k,kZ}.

3)1时，f(x)min3，此时x(2)ysinx横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y3sinx；

然后y3sinx向左平移6个单位，得f(x)3sin(x6)

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.

（17）（本小题满分12分）

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

甲 乙

7 4 5

5 3 3 2 5 3 3 8

5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5

8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9

7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8

2 0 9 0

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；

（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1,x2，估计x1x2的值.

【解析】（1）30300.05n600

n0.05数学试卷

p

255

306740135042460926709228052902

302084 =

30540145031760103370102080590

x2302069 =

3x2x10.5

303030（2）x1【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60.已知PBPD2,PA6 .

（Ⅰ）证明：PCBD

（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积.

【解析】

数学试卷

（1）证明：连接BD,AC交于O点

PBPD

POBD

又ABCD是菱形

BDAC

而ACPOO

BD⊥面PAC

BD⊥PC

(2) 由（1）BD⊥面PAC

S△PEC2113

S△PAC623sin45=63222

VPBECVBPEC1111SPECBO3

2322【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.

（19）（本小题满分13分）

设数列an满足a12，a2a48,且对任意nN*，函数

f(x)(anan1an2)xan1cosx-an2sinx 满足f\'()0

2 (Ⅰ)求数列an的通项公式；

（Ⅱ）若bn（2an

【解析】

由a12

a2a48

f(x)(anan1an2)xan1cosx-an2sinx

1，求数列bn的前n项和Sn.

）an2x）an-an1an2-an1sinx-an2cosx

f（

f\'()an-an1an2-an10

2 所以，2an1anan2

an是等差数列.

而a12

a34

d1

an2（n-1）1n1

（2）bn（2an111

）（2n1）（2n1）ann1n222数学试卷

11（1-n）（22n1）n22

Sn121-212n

1n23n1-n2=（nn3）1-【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.

（20）（本小题满分13分）

设函数f(x)ax(1a)x，其中a0，区间Ix|f(x)0.

22（Ⅰ）求I的长度（注：区间(,)的长度定义为；

（Ⅱ）给定常数k0,1，当1ka1k时，求I长度的最小值.

【解析】

2（1）令f(x)xa（-1a）x0

解得

x10

x2a

21aaIx|0x

21a

I的长度x2-x1a

21a（2）

k0,1 则01ka1k2

由 （1）Ia

1a21a2I\'0，则0a1

22(1a)故I关于a在(1k,1)上单调递增，在(1,1k)上单调递减.

I11-k11-k21-k

222kk数学试卷

1k

21（1k）1-k

Imin

222kk

I2【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.

（21）（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆C:221(ab0)的焦距为4，且过点P(2，3).

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点A(0,22),连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

【解析】

（1）因为椭圆过点P(2，3)

22321 且a2b2c2

2ab22x2y21



a8

b4

c4 椭圆C的方程是84（2）

由题意，各点的坐标如上图所示， 数学试卷

8x0y0则QG的直线方程：

8y0x0x0x2化简得x0y0x(x08)y8y00

22x2y8，

00又x2y21 所以x0x2y0y80带入84求得最后0

所以直线QG与椭圆只有一个公共点.

【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.