2023年12月11日发(作者：河南中考预测数学试卷2)
2023 新高考 I 卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分第1题已知集合
M={−2,−1,0,1,2},
N={x∣x2−x−6⩾0}, 则
M∩N=A.
{−2,−1,0,1}B.
{0,1,2}C.
{−2}D.
{2}答案C第2题已知
z=1−i2+2i, 则
z−¯z=A.
−iB.
i答案A第3题已知向量
a=(1,1),b=(1,−1)A.
λ+μ=1B.
λ+μ=答案D第4题设函数
f(x)=2x(x−a) 在区间
A.
(−∞,−2]B.
[−2,答案DC.
0. 若
(a+λb)⊥(a+μb), 则C.
λμ=11) 单调递减, 则
a 的取值范围是C.
(0,2]D.
1.
λμ=−1.
[2,+∞)−1D(0,0)D2x2x第5题设椭圆
C1:2+y2=1(a>1),C2:+y2=1 的离心率分别为
e1⋅e2、 若a4e2=√3e1, 则
a=2√3A.
3答案B.
√2C.
√3D.
√6A第6题过点
(0,−2) 与圆
x2+y2−4x−1=0 相切的两条直线的夹角为
α, 则
sinα=A.
1答案√15B.
4√10C.
4√6D.
4B第7题记
Sn 为数列
{an} 的前
n 项和, 设甲:
{an} 为等差数列: 乙:
{Sn} 为等差数列, 则nA. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 用是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C第8题已知
sin(α−β)=11,cosαsinβ=, 则
cos(2α+2β)=361B.
91C.
−9D.
−797A.
9答案B二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分第9题有一组样本数据
x1,x2,⋯,x6, 其中
x1 是最小值,
x6 是最大值, 则A.
x2,x3,x4,x5 的平均数等于
x1,x2,⋯,x6 的平均数B.
x2,x3,x4,x5 的中位数等于
x1,x2,⋯,x6 的中位数C.
x2,x3,x4,x5 的标准差不小于
x1,x2,⋯,x6 的标准差D.
x2,x3,x4,x5 的极差不大于
x1,x2,⋯,x6 的极差答案BCD第10题噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级
, 其中常数
p0(p0>0) 是听觉下限阈值,
p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:声源 与声源的距离 /m 声压级/dB 燃油汽车1060∼90 混合动力汽车1050∼60 电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
10 m 处测得实际声压分别为
p1,pA.
p1⩾p2B.
p2>10p3C.
p3=100p0D.
答案ACD第11题已知函数
f(x) 的定义域为
R ,
f(xy)=y2f(x)+x2f(y), 则A.
f(0)=0B.
f(1)=0C.
f(x) 是偶函数D.
x=0 为
f(x) 的极小值点答案×lgpp0, 则100p2Lp=202,p3p1⩽ABC第12题下列物体中, 能够被整体放入棱长为 1 (单位:
m ) 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为 1.4m 的四面体C. 底面直径为 0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体答案ABD三、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分第13题某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或3 门课, 并且每类选修课至少选修1门, 则不同的选课方案共有
答案 种 (用数字作答).64第14题在正四棱台
ABCD−A1B1C1D1 中,
AB=2,
A1B1=1,
AA1=√2, 则该棱台的体积为
答案 .7√66第15题已知函数
f(x)=cosωx−1(ω>0) 在区间
[0,2π] 有且仅有 3 个零点, 则
ω 的取值范围是
答案 .2⩽ω<3x2y2第16题已知双曲线
C:2−2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为
F1,F2. 点
A 在
C 上,ab→→→2→点
B 在
y 轴上,
F1A⊥F1B ,
F2A=−F2B, 则
C 的离心率为 .3答案3√55四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分第17题已知在
△ABC(1). 求
sinA .(2). 设
AB=5, 求
AB答案(1).
3√1010(2). 6解析(1). 由题意得所以(2). 因为
sinB=sin(所以由面积法可知 中,
A+B=3C,2sin(A−C)=sinB . 边上的高 .+B=3C⇒A+B+C=4C=π⇒sin(A−π4)=sin(34π−A)⇒sinAA+C)=2√5, 所以由正弦定理可知bsinB=csinC⇒b=2√10=12⋅b⋅c⋅sinA=12⋅c⋅h⇒h=bsin=π43√1010=6AC2=SA第18题如图, 在正四棱柱
ABCD−A1B1C1D1 中,AB=2,
AA1=4. 点
A2,B2,C2,D2 分别在棱
AA1,BB1,
CC1,
DD1 上,
AA2=1,
BB2=DD2=2,CC2=3(1) 证明：
B2C2//A2D2 .(2) 点
P 在棱
BB1 上, 当二面角
P−A2C2−D2 为
150∘时, 求
B2P .答案(1). 建系易证(2).
B2P=1解析以 C 为原点, CD 为
x 轴, CB 为
y 轴, CC1 为
z 轴建立空间直角坐标系, 所以B2:(0,2,2),
C2:(0,0,3),
A2:(2,2,1),
D2:(2,0,2)(1). 因为
B→→2C2=(0,−2,1),
A2D2所以
B→=A→=(0,−2,1)2C22D2, 所以
B2C2//A2D2.(2). 设
P:(0,2,t), 其中
2⩽t⩽4所以
PA→→→→2=(2,0,1−t),
PC2=(0,−2,3−t),
D2C2=(−2,0,1),
D2A2=所以面
PA2C2 法向量
→n1=(t−1,3−t,2), 面
D2A2C2 法向量
n→2=(1,1,2)因为二面角
P−A2C2−D2 为
150∘, 所以√6∘√2t2−8t+14=|cos150|=√32⇒t=1(舍)||t=3所以
B2P=1第19题已知函数
f(x)=a(ex+a)−x.(1). 讨论
f(x) 的单调性.(2). 证明: 当
a>0 时,
f(x)>2lna+32.答案见解析(0,2,−1) .解析(1). 对
f(x) 求导得
f′(x)=a⋅ex−1, 故①
a⩽0 时,
f′(x)⩽−1<0, 函数
f(x) 单调递减②
a>0 时, 令
f′(x)=0 得
x0=−lna, 故(−∞,−lna)−lna(−lna,∞)f′(x)−0+f(x)↘极小值↗(2).
fmin=f(−lna)=a2+1+lna令
g(a)=a2−lna−12, 求导得
g′(a)=2a−1a令导数为
0 解得
a=√22, 所以(0,√22)√222(√2,∞)g′(a)−0+g(a)↘极小值↗所以
g√min=g(2ln2)=22>0故
g(a)>0, 所以
f(x)>2lna+32第20题设等差数列
{an} 的公差为
d, 且
d>1, 令
bn=n2+nan, 记
Sbn} 的前
n 项和.3a2=3a1+a3,
S3+T3=21, 求
{an} 的通项公式.{bn} 为等差数列, 且
S99−T99=99, 求
d.答案(1).
an=3n(2).
d=5150解析(1). 由题意得
3a2=3a1+a3,
2a2=a1+a3, 解得a2=2a1,a3=3a1,n,Tn 分别为数列
{an}{(1). 若
(2). 若 n+1又因为
{an} 为等差数列, 所以
an=a1⋅n, 所以
bn=a1因为
S3+T3=21, 所以6a1+91=21⇒a1=3||a1=(舍)a12所以
an=3n(2). 设
an=da⋅n+pa ,
bn=db⋅n+pb , 其中
da>1记
cn=an−bn=(da−db)n+pa−pb , 故
{cn} 也为等差数列, 所以S99−T99=c1+c2+⋯+c99=所以
c50=1(c1+c99)⋅99=99⋅c50=992n2+n因为
bn=, 所以代入可得ann2+ndbn+pb=⟹n2+n=da⋅db⋅n2+(da⋅pb+db⋅pa)n+pa⋅pbdan+pa所以可得方程组da⋅db=1da⋅pb+db⋅pa=1⎨pa⋅pb=0⎩50(da−db)+pa−pb=1⎧解得
d=da=5150第21题甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6, 乙每次投篮的命中率均为 0.8, 由抽签确定第 1 次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲,乙的概率各为 0.5 .(1). 求第 2 次投篮的人是乙的概率.(2). 求第
i 次投篮的人是甲的概率.(3) 设随机事件
Y 为甲投球次数,
Y=0,1,⋯,n, 求
E(Y).答案35i−1112(2).
⋅()+563(1). n−1(3).
E(Y)=n3+518−19⋅(25)解析(1).
P=1⋅2143a25+2⋅5=5(2). 记
i 为第
i 次投篮的人是甲的概率, 所以ai=35⋅ai−1+1215(1−ai−1)=5ai−1+5所以i−1ai−13=2115(ai−1−3)⇒ai=6⋅(25)+13(3).E(Y)=a1+a2+⋯+an01n=16[(25)+(25)+⋯+(2−1n5)]+31−(2n=1⋅5)61−2+n3=n5n−13+518−19⋅(25)第22题在直角坐标系
xOy 中, 点
P 到
x 轴的距离等于点
P 到点
(0,12) 的距离, 记动点
轨迹为
W .(1). 求
W 的方程.(2). 已知矩形 ABCD 有三个顶点在
W 上, 证明: 矩形 ABCD 的周长大于
3√3.答案(1).
W:x2=y−14解析P 的1), 这是由标准抛物线方程211x2=2py 向上平移 个单位得到的, 故可设为
x2=2py−4411因为焦点到准线的距离为
p, 所以
p=, 所以
W:x2=y−.24(1). 由题意得
W 为抛物线, 且准线为
y=0, 焦点为
(0,(2). 不妨设 A,B,C 在抛物线上, 且 AB ⊥ BC, 所以22x2x2yB−yCyB−yAB−xCB−xA⋅=−1⇒⋅=−1⇒(xB+xA)(xB+xC)=−1xB−xCxB−xAxB−xCxB−xA令
xB+xA=m,
xB+xC=−1, 由对称性, 不妨设
|m|⩽1m所以周长可表示为12⋅周长===⩾⩾==令
f(x)=(1+x)3k(0所以
f(x)⩾f(12)=+BC(yA−yB)2+(xA−xB)2+√(yC−yB)2+(xC−xB)2A−xB|⋅√1+m2+|xC−xB||m|⋅√1+m21+m2⋅(|xA−xB|+|xC−xB|)1+m2⋅|xA−xC|1+m2⋅m+1m(1+m2)3m2x<1), 则
f′(x)=(x+1)2(2x−1)x2, 故(0,112)(122,1)f′(x)−0+f(x)↘极小值↗274, 当且仅当
|m|=√22, 所以有周长>2⋅√274=3√3AB√|x√√√√<
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