2023年12月30日发(作者：数学试卷高中河北一模)

山东省大学生数学竞赛（专科）决赛试卷答案

（非数学类，2021）

一、单项选择题（每题3分，共5题，共15分）

1.D 2.D 3.A 4.C 5.B

二、填空题（每题5分，共5题，共25分）

1.y轴或x0 2.1 3.1lnx 4.2 5.C

ex

三、解答题（共6题，共60分）

1.解： 当x时，lim4x2x1x1xsinx24limxx11121xxx213..............3分1sinx12x当x时，lim4xx1x1xsinx224limxx11121xxx211...............7分1sinx12x故limx4x2x1x1xsinx x2不存在...................................................................8分

x111222 (3sinttcos)dt (3sinttcos)dt3sinxxcos 0 4分2.解： limlimlim x xx02x0ln(1x)(1cosx) ln(1t)dt2x0 ln(1t)dt 0 01lim2x03sinxx2cosx1x1lim(3sinxxcos1)1(30)3...............8分2x0xx22

x33.解：函数y的定义域为(，1)(1，).2(x1)x2(x3)y，令y0，得驻点x0及x3，和不可导点x1.3(x1)6xy，令y0，得x0............................................................................3分(x1)4（1）函数的单调增加区间为(，1)和(3，)，单调减少区间为(1，3)，极小值为yx327；....6分4（2）函数图形在区间(，0)内是凸的，在区间(0，1)，(1，)内是凹的，（0，0）是其拐点；.......9分

x3（3）由lim知x1是函数图形的铅直渐近线；x1(x1)2由limx知函数图形无水平渐近线......................................................12分x(x1)23

4.解： 由函数f(x)有一个原函数 π πsinxsinxxcosxsinx，得f(x)()...............4分2xxxππ2 πππxcosxsinxsinx4 xf(x) dx x df(x)xf(x) f(x) dx1.....10分ππ

π

πππxx222225.证 由积分中值定理得：存在0，x，使F(x) t2f(t) dt2f()x， 0 x从而F(1)2f()f(1)..............................................................................................4分设G(x)x2f(x)，则G(1)f(1)，而G()2f()f(1)，从而G(1)G()..............9，分对函数G(x)在，10 ， 1上使用罗尔定理得：至少存在一点(0 ， 1)，使f()2f()................................................................12分6.解：如右图所示，所求面积为SS1S2.S12xx2dxx2132221322x.1313

x33234S2x2xdxx.22332故所求图形面积为SS1S22......................4分

平面图形S1绕x轴旋转一周所得旋转体体积V1πx2xdx.2122平面图形S2绕x轴旋转一周所得旋转体体积V2πx2xdx.2232故所求旋转体体积VV1V2πx2xdx2132x5446π(4x4x3)π...........................10分

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