初中数学压轴题

2024年1月9日发(作者：祁阳小升初数学试卷总分)

【56】（浙江省慈溪中学保送生招生考试）已知：抛物线y＝ax

＋bx＋c经过点（－1，1），且对于22任意的实数x，有4x－4≤ax

＋bx＋c≤2x

－4x＋4恒成立．

（1）求4a＋2b＋c的值．

2（2）求y＝ax

＋bx＋c的解析式．

（3）设点M（x，y）是抛物线上任一点，点B（0，2），求线段MB的长度的最小值．

2【58】（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax

＋bx过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

① 过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？

② 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接2

【57】（浙江省奉化市保送生考试）如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA•没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm．

（1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围．

（2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值．

（3）是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理由．

B

Q

M

O P A

写出相应的t值．

yA F D

G

P

E

Q

O B C

x

【59】（安徽省）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．

（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

批发单价（元）

【60】（安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（－1，0），B（0，3），O（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O．

（1）如图，一抛物线经过点A、B、B′，求该抛物线解析式；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′

的

5

①

面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值．

4

②

O

20

60

批发量（kg）

图（1）

（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量n（kg）之间的

函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什

么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

金额w（元）

300

200

100

O

20 40 60

批发量n（kg）

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函

数关系如图（2）所示．该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，

且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，

使得当日获得的利润最大．

日最高销量（kg）

80

（6，80）

40

（7，40）

O

2 4 6 8

零售价（元）

图（2）

y

3

2

B

1

A′

A

B′

-1

O

1 2

x

-1

【61】（安徽省蚌埠二中高一自主招生考试）已知关于x的方程(m

－1)x

－3(3m－1)x＋18＝0有2222两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c＝23，m

＋a

m－8a＝0，m

＋bm－8b＝0．

求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．

22【63】（吉林省长春市）如图，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．

（1）求点C的坐标；

（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式；

3454

【62】（吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时刻开始，点P、Q

同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A

→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为

x秒时，△APQ与△ABC重叠部分．．．．的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），

解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒；

（3）求y与x之间的函数关系式．

D C

P

A

Q

B

3）求（2）中S的最大值；

4）当t＞0时，直接写出点（4，92）在正方形PQMN内部时t的取值范围．

y

D

Q

M

B

C

P

N

O

E A

x

（（

28【64】（山西省）如图，已知直线l1：y＝x＋与直线l2：y＝－2x＋16相交于点C，l1、l2分别交33x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t【66】（江西省、江西省南昌市）如图，抛物线y＝－x

＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

y

2（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写

出相应的t的取值范围；

（4）S是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值及相应的t值，若不存在，请说明理由．

y

l2

l1

E

D

C

A O F

(G)

B

x

D

C

A O B

x

【67】（江西省、江西省南昌市）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求【68】（青海省）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线y＝－x与BC边相交于D点．

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线y＝ax

－x经过点A，试确定此抛物线的表达式；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

23494出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

A D A

N

D A D

N

E F E

P

F E

P

F

B C B C B

M

C

图1

M

图2 图3

A D A D

E F E F

B C B C

图4(备用) 图5(备用)

y

A

O

6

x

-3

C

D

B

3y＝4

－ x

【69】（青海省西宁市）已知OABC是一张矩形纸片，AB＝6．

（1）如图1，在AB上取一点M，使得△CBM与△CB′′M关于CM所在直线对称，点B′′恰好在边OA上，且△OB′C的面积为24cm2，求BC的长；

（2）如图2．以O为原点，OA、OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．求对称轴CM所在直线的函数关系式；

（3）作B′G∥AB交CM于点G，若抛物线y＝1x26

＋m过点G，求这条抛物线所对应的函数关系式．

C

B

y

M

C

G

B

O

B′′

A

M

O

B′′

A

x

图1

图2

【70】（新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：小时）的函数图象。已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐市早1小时。

（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y（千米）y（千米）

150

与所用时间x（小时）的函数图象。

（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）

100

（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程。

50

-1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x（小时）

【71】（新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．

（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P 【72】（云南省）已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（3，0），C（0，4），点D的坐标为D（－5，0），点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴交于点M．问：

（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；

（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标．

y

C(0,2)

B

P

O D

A(4,0)

x

的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E，F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．

注：第（3）问请用备用图解答．

yy

CBCB

DOAxDOAx

备用图