2022年天津高考数学试题及答案

2023年12月10日发(作者：各大学考研数学试卷)

2022年天津高考数学试题

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）

1．设全集U{2,1,0,1,2}，集合A{0,1,2},B{1,2}，则AA．{0,1} B．{0,1,2} C．{1,1,2} D．{0,1,1,2}

2．“x为整数”是“2x1为整数”的（）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

3．函数f(x)UB（）

x21x的图象为（）

A． B． C．

D．

4．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）

A．8 B．12 C．16 D．18 115．已知a20.7,b,clog2，则（）

33A．acb B．bca C．abc D．cab

6．化简2log43log83log32log92的值为（）

A．1 B．2 C．4 D．6

0.7x2y27．已知抛物线y45x,F1,F2分别是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，抛ab2物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若F1F2A的标准方程为（）

4，则双曲线x2y2y2x2222y1 B．x1 C．x1 D．y21 A．1016448．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

A．23 B．24 C．26 D．27

9．已知f(x)1sin2x，关于该函数有下列四个说法：

2,上单调递增；

44①f(x)的最小正周期为2；②f(x)在③当x33,时，f(x)的取值范围为,；

63441sin2x的图象向左平移个单位长度得到．

248④f(x)的图象可由g(x)以上四个说法中，正确的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10．已知i是虚数单位，化简5113i的结果为_______________．

12i311．x2展开式中的常数项为_______________．

x12．直线xym0(m0)与圆(x1)(y1)3相交所得的弦长为m，则m_______________．

13．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为_______________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为_______________．

14．在△ABC中，CAa,CBb，D是AC的中点，CB2BE，试用a,b表示DE为________﹔若ABDE，则ACB的最大值为___________

15．设aR，对任意实数x，记fxminx2,x2ax3a5．若fx至少有3个零点，则实数a的取值范围为_________．

22三、解答题（本题共5小题，共75分）

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a（1）求c的值；

（2）求sinB的值；

（3）求sin(2AB)的值．

17．直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2,AA1AB,ACAB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点．

16,b2c,cosA．

4

（1）求证：EF∥平面ABC；

（2）求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；

（3）求平面ACD与平面CC1D所成二面角的余弦值．

118．设an是等差数列，bn是等比数列，且a1b1a2b2a3b31．

（1）求an与bn的通项公式； （2）设an的前n项和为Sn，求证：Sn1an1bnSn1bn1Snbn﹔

（3）求[ak11ak]bk．

k12nkBF3x2y219．椭圆221ab0的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．

abAB2（1）求椭圆的离心率e；

（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为坐标原点，若OMON，且△OMN的面积为3，求椭圆的标准方程．

20．已知a，bR，函数fxexasinx,gxbx．

（1）求函数yfx在0,f0处的切线方程；

（2）若yfx和ygx有公共点；

（i）当a0时，求b的取值范围；

（ⅱ）求证：a2b2e．

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）

数学参考答案

一、选择题

1. A 2. A 3. A 4. B 5. C 6. B 7. C 8. D 9. A

二、填空题 10.

15i（5i1）

11.

15

12.

2

13.

①14.

①

11 ②

2211731ba ②

62215.

a10

三、解答题

16.（1）c1

（2）sinB10

410

8（3）sin(2AB)17.（1）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，且ACAB，则AC11A1B1

以点A1为坐标原点，A1A、A1B1、A1C1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0、B2,2,0、C2,0,2、A10,0,0、B10,0,2、C10,0,2、D0,1,0、E1,0,0、F1,,1，则EF0,,1，

22易知平面ABC的一个法向量为m1,0,0，则EFm0，故EFm，

11EF平面ABC，故EF//平面ABC. （2）4

510

10（3）n118.（1）an2n1,bn2

19.（1）e6

3x2y2（2）1

6220.（1）y(1a)x1

（2）（i）b2e,；

（ii）因为曲线yf(x)和yg(x)有公共点，

所以exasinxbx有解x0，其中x00，

若x00，则1a0b0，该式不成立，故x00.

故asinx0bx0ex00，考虑直线asinx0bx0ex00，

x0a2b2表示原点与直线asinx0bx0e0上的动点a,b之间的距离，

2x0e故ab，所以ab，

sin2x0x0sin2x0x022ex022下证：对任意x0，总有sinxx，

证明：当x当0x2时，有sinx12x，故sinxx成立.

2时，即证sinxx，

设pxsinxx，则pxcosx10（不恒为零），

故pxsinxx在0,上为减函数，故pxp00即sinx成立.

综上，sinxx成立.

下证：当x0时，exx1恒成立，

qxex1x,x0，则qxex10，

故qx在0,上为增函数，故qxq00即exx1恒成立. e2x下证：>e在0,上恒成立，即证：e2x1sin2xx，

2sinxx即证：2x11sin2xx，即证：xsin2x，

而xsinxsinx，故xsin2x成立.

故

2ex0sinx0x02e，即a2b2e成立.