2023年12月11日发(作者：鹭翔杯数学试卷答案)

2020年最新

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B)

S4πR

其中R表示球的半径

球的体积公式

2如果事件A，B相互独立，那么

P(AB)P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

kkPn(k)Cnp(1p)nk(k0，1，2，…，n)

43πR

3 其中R表示球的半径

V一、选择题

5，则sin（ ）

121155A． B． C． D．

551313a1i（2）设a是实数，且是实数，则a（ ）

1i213A． B．1 C． D．2

22（1）是第四象限角，tan（3）已知向量a(5，6)，b(6，5)，则a与b（ ）

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）

x2y21 A．412x2y21 B．124x2y21 C．106x2y21 D．6102020年最新 2020年最新

（5）设a，bR，集合1，ab，a0，，b，则ba（ ）

A．1 B．1 C．2 D．2

ba（6）下面给出的四个点中，到直线xy10的距离为的平面区域内的点是（ ）

A．(11)， B．(11)， C．(1，1)

xy10，2，且位于表示2xy10D1

A1

D．(1，1)

C1

B1

（7）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）

A．1

5B．2

5C．3

5D．4

5D

A

B

C

（8）设a1，函数f(x)logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为（ ）

A．2 B．2 C．22 D．4

1，则a2（9）f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的（ ）

A．充要条件

C．必要而不充分的条件

n

B．充分而不必要的条件

D．既不充分也不必要的条件

1（10）x2的展开式中，常数项为15，则n（ ）

xA．3 B．4 C．5 D．6

2（11）抛物线y4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）

A．4 B．33

2 C．43

2 D．8

（12）函数f(x)cosx2cosA．，

x的一个单调增区间是（ ）

2C．0，

233B．，

623D．，

66第Ⅱ卷

注意事项：

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1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）

（14）函数yf(x)的图像与函数ylog3x(x0)的图像关于直线yx对称，则f(x) ．

（15）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为 ．

（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．

（18）（本小题满分12分）

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

P

1

0.4

2

0.2

3

0.2

4

0.1

5

0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；

（Ⅱ）求的分布列及期望E．

（19）（本小题满分12分）

四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知∠ABC45，AB2，BC22，SASB3．

（Ⅰ）证明SABC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

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SCDAB 2020年最新

（20）（本小题满分12分）

设函数f(x)ee．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f(x)≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

xxx2y21的左、已知椭圆右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F232的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P．

22x0y01； （Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：32（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

（22）（本小题满分12分）

已知数列an中a12，an1(21)(an2)，n1，2，3，…．

（Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）若数列bn中b12，bn13bn4，n1，2，3，…，

2bn3证明：2bn≤a4n3，n1，2，3，…．

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2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题：

（1）D （2）B

（7）D （8）D

二、填空题：

（13）36

（3）A

（9）B

x（4）A

（10）D

（5）C

（11）C

（6）C

（12）A

（14）3(xR) （15）1

3 （16）23

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）由a2bsinA，根据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB由△ABC为锐角三角形得B1，

2π．

6A

（Ⅱ）cosAsinCcosAsincosAsinA

613cosAcosAsinA

223sinA．

3由△ABC为锐角三角形知，

AB，B．

2222632A，

336所以13．

sinA232333sinA3，

232由此有33所以，cosAsinC的取值范围为2，．

2（18）解：

（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．

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知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

P(A)(10.4)20.216，

P(A)1P(A)10.2160.784．

（Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元．

P(200)P(1)0.4，

P(250)P(2)P(3)0.20.20.4，

P(300)1P(200)P(250)10.40.40.2．

的分布列为

P

200

0.4

250

0.4

300

0.2

E2000.42500.43000.2

240（元）．

（19）解法一：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．

因为SASB，所以AOBO，

又∠ABC45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，

由三垂线定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，

故SA⊥AD，由ADBC22，SAS

3，AO2，得

SO1，SD11．

C

O

A

△SAB的面积S11AB21SA2AB2．

22B

D

连结DB，得△DAB的面积S21ABADsin1352

2设D到平面SAB的距离为h，由于VDSABVSABD，得

11hS1SOS2，

33解得h2．

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设SD与平面SAB所成角为，则sinh222．

SD111122．

11所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin解法二：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因为SASB，所以AOBO．

又∠ABC45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，

z

A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，1)，

01)，，SA(2，CB(0，22，0)，SACB0，所以SA⊥BC．

S

G

C

D

A

22（Ⅱ）取AB中点E，E02，2，，

O

E

B

y

221连结SE，取SE中点G，连结OG，G．

4，4，222122AB(2，2，0)．

OG14，4，，SE2，2，，2x

SEOG0，ABOG0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

所以OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余．

D(2，22，0)，DS(2，22，1)．

cosOGDSOGDS2222，sin，

111122．

11所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin（20）解：

（Ⅰ）f(x)的导数f(x)ee．

xx2020年最新 2020年最新

由于exe-x≥2exex2，故f(x)≥2．

（当且仅当x0时，等号成立）．

（Ⅱ）令g(x)f(x)ax，则

y

A

D

x

g(x)f(x)aexexa，

B

（ⅰ）若a≤2，当x0时，g(x)eea2a≥0，

xxP

F1O

F2

C

故g(x)在(0，∞)上为增函数，

所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．

aa24（ⅱ）若a2，方程g(x)0的正根为x1ln，

2此时，若x(0，x1)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数．

所以，x(0，x1)时，g(x)g(0)0，即f(x)ax，与题设f(x)≥ax相矛盾．

综上，满足条件的a的取值范围是∞，2．

（21）证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距c321，

22由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0y01，

2222y0x0y0x21≤1． 所以，32222（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程x2y21，并化简得(3k22)x26k2x3k260．

32设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则

6k23k26x1x22，x1x22

3k23k2BD1k243(k21)x1x2(1k)(x2x2)4x1x23k22；

222020年最新 2020年最新

因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1，

k1432143(k21)k所以，AC．

212k3322k四边形ABCD的面积

124(k21)2(k21)296．

SBDAC≥222222(3k2)(2k3)(3k2)(2k3)252当k1时，上式取等号．

（ⅱ）当BD的斜率k0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S4．

综上，四边形ABCD的面积的最小值为（22）解：

（Ⅰ）由题设：

296．

25an1(21)(an2)

(21)(an2)(21)(22)

(21)(an2)2，

an12(21)(an2)．

所以，数列an2是首项为22，公比为21的等比数列，

an22(21)n，

即an的通项公式为ann2(21)1，2，3，…．

，n1（Ⅱ）用数学归纳法证明．

（ⅰ）当n1时，因22，b1a12，所以

2b1≤a1，结论成立．

（ⅱ）假设当nk时，结论成立，即2bk≤a4k3，

也即0bk2≤a4k33．

当nk1时，

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bk123bk42

2bk3(322)bk(432)

2bk3(322)(bk2)0，

2bk311322，

2bk3223又所以

bk12(322)(bk2)

2bk3(322)2(bk2)

≤(21)4(a4k32)

a4k12．

也就是说，当nk1时，结论成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）知2bn≤a4n3，n1，2，3，…．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B)

S4πR

22020年最新 2020年最新

如果事件A，B相互独立，那么

P(AB)P(A)P(B)

其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

kkPn(k)Cnp(1p)nk(k0，1，2，…，n)

一、选择题

（1）是第四象限角，tanA．

1543πR

3 其中R表示球的半径

V5，则sin（ ）

125

13 B．

15C．D．5

13【解析】根据三角函数定义，不妨取终边上一点P(12,5)，siny55，选D．

r13122(5)2a1i是实数，则a（ ）

1i2（2）设a是实数，且A．

12 B．1 C．

32 D．2

【解析】1aa1ia(1i)1i1a1aa1i0，i，∵是实数，∴21i21i22222解得a1．选B．

（3）已知向量a(5，6)，b(6，5)，则a与b（ ）

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

【解析】由a·b=0，得a与b垂直，选A．

（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4,0)，则双曲线方程为（ ）

x2y2A．1

412x2y2B．1

124x2y2C．1

106x2y2D．1

610

【解析】由c得c4，a2，a24，∴b2c2a212，0)，(4,0)，2及焦点是(4，ax2y2∴双曲线方程为1．故选A．

412（5）设a，bR，集合1，ab，a{0，，b}，则ba（ ）

A．1 B．1 C．2

baba D．2

b无意义，故只有a【解析】由1，ab，a{0，，b}知ab0或a0．若a0则ab0，b1（若b1，这与ab0矛盾），∴a1，ba2．故选C．

axy10，2，且位于表示的平xy102（6）下面给出的四个点中，到直线xy10的距离为2020年最新 2020年最新

面区域内的点是（ ）

A．(1， B．(1，1)

1)

【解析】逐一检查，选C．

C．(1，1) D．(1，1)

（7）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ D ）

A．

D1

A1

15

2B．

5 C．

D1

A1

35

4D．

5C1

B1

C1

B1

D1

z

A1

C1

B1

D

A

B

第（7）题

C

A

D

C

D

y

A

B

（坐标法）

B

（综合法）

C

x

【解析1】（综合法）不妨设AB=1，则A1A=2，连结BC1，A1C1，则AD1∥BC1，∠A1BC1为所求异面直线A1B与AD1所成角．在△A1BC1中，A1B= BC1=5，A1C1=2，cosA1BC15522554．选D．

5【解析2】（坐标法）不妨设AB=1，则A1A=2，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,1,2)，AD1(0,1,2)，A1(0,0,2)，B(1，0，0)，A1B(1,0,2)．cosAD1,A1BAD1A1B|AD1||A1B|4554，

54∴A1B与AD1所成角的余弦值为，选D．

52a上的最大值与最小值之差为，（8）设a1，函数f(x)logax在区间a，则a（ ）

12A．2 B．2 C．22 D．4

【解析】∵a1，∴函数f(x)logax在定义域内为增函数．f(x)minf(a)logaa1，f(x)maxf(2a)loga2aloga21，依题意有loga21，a4．选D．

2（9）f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的（ ）

A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件

【解析】若“f(x)，g(x)均为偶函数”则f(x)f(x)，g(x)g(x)当然有h(x)h(x)；反之则未必，故选B．

（10）(x2)n的展开式中，常数项为15，则n（ ）

1x2020年最新 2020年最新

A．3 B．4

1x C．5 D．6

r(2n2r)(r)r(2n3r)【解析】(x2)n的展开式的通项公式为Tr1Cn，若常数项为15，xxCnx令2n3r0n6，，选D．

rr4C15n（11）抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ C

A．4 B．33 C．43 D．8

K

y3(x1)，代入y4x，解得xA3，yA23，∴S矩形ABCK=23(31)83，2 ）

y

A

F

B

x

【解析】如图，过A作AB⊥x轴于B，设准线l与x轴交点为C，直线FA：∴S△AFK1S矩形ABCK=43．选C．

2x的一个单调增区间是（ ）

2C

O

（12）函数f(x)cos2x2cos2A．(，)

233B．(，)

62 C．(0，)

3 D．(，)

66【解析1】f(x)cos2x2cos2二次函数及余弦函数图像．

x15cos2x1cosx(cosx)2，令ucosx，结合224①当u[,1]时，y随u的增大而增大，故只需求此时u关于x的增区间，即x[2k123,2k]．

12②当u[1,]时，y随u的增大而减小，故只需求此时u关于x的减区间，即x[2k3,2k]．

233∵题目所给选项中，只有(，)是上述区间的子区间，∴选A．

【解析2】f(x)cos2x2cos2x15cos2x1cosx(cosx)2224，y

1f(x)2(cosx)sinx

211cosx0cosx0依题意，令f(x)0，则或结合单位圆（如图）22sinx0sinx0O

1

x

解得x(2k3,2k)或x(2k3,2k)

∵题目所给选项中，只有(，)是上述区间的子区间，∴选A．

2332020年最新 2020年最新

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有

36 种．（用数字作答）

【解析】填36．从班委会5名成员中选出3名，共A53种；其中甲、乙之一担任文娱1212委员的A2A4种，则不同的选法共有A53A2A4=36种．

（14）函数yf(x)的图像与函数ylog3x(x0)的图像关于直线yx对称，则f(x) ．

【解析】f(x)3(xR)．

（15）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为 ．

【解析】填（q0）

1整理得3q2q0，解得q（q0舍去）．

3x1．设数列的首项为a1，公比为q，则4a1+4a1q=a1(3a13a1q3a1q2)，3（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．

【解析】填23．如图，作正三棱柱ABC-A1B1C1的直截面A0B0C0，取B0C0的中点O，过O作直线DE，分别交AA1、BB1于D、E两点连结C0D、C0E，则三角形C0DE为等腰三角形，若三角形C0DE仍为直角三角形，设B0 E=x，应有DE22C02，即2(4x2)4(1x2)，解得x2，这样DE4(1x2)23，即A1

D

A0

O

B0

A

E

B

（16）题

B1

C1

C0

等腰直角三角形C0DE斜边长为23．

C

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