高考数学竞赛试题及答案解析

2023年12月11日发(作者：郑州三测数学试卷)

高考数学竞赛试题及答案解析

数学是一门需要思考和动手操作的学科，高考数学竞赛试题则更是在这两方面将学生的数学能力推向了高峰。在此，我将为大家介绍一些高考数学竞赛试题及其答案解析，希望对大家备战高考有所帮助。

第一题：已知函数 f(x) = x^2 + mx + n，若 f(10) - f(5) = 85，f(15) - f(10) = 145，则 m + n 的值为多少？

解析：根据题目中给出的条件，我们分别可以列出两个等式：

f(10) - f(5) = (10^2 + 10m + n) - (5^2 + 5m + n) = 85

f(15) - f(10) = (15^2 + 15m + n) - (10^2 + 10m + n) = 145

我们可以先化简这两个等式，得到：

5m + 75 = 85

5m + 325 = 145 解方程组可得：

m = -20

将 m 的值带入其中一个等式，再与另一个等式消去 n 可以得到：

n = -55

因此，m + n 的值为：

m + n = -20 - 55 = -75

答案为：-75。

第二题：已知正整数 a、b、c 满足 a + 2b + 4c = 100，且 a^2 +

4b^2 + 16c^2 = 1000，则 a + b + c 最大可以为多少？

解析：我们可以先将第一个等式变形，得到：

a = 100 - 2b - 4c

将 a 的表达式带入第二个等式，可以得到：

(100 - 2b - 4c)^2 + 4b^2 + 16c^2 = 1000

展开后化简，得到：

5b^2 + 8bc - 47b + 4c^2 - 100c + 525 = 0

我们可以发现，这是一个二元一次方程组，我们可以用配方法或者求导来求解。不过，这里我将采用求导的方法。

将上面的方程看成是关于 b 和 c 的方程，对其求偏导数可得：

dB/dt = (47 - 16c) / 10

dC/dt = (-8b + 100) / 8

当 dB/dt = dC/dt = 0 时，即可求得 b 和 c 的取值，再将其带回第一个等式中，即可求得 a，最后将 a、b、c 的值相加即可得到答案。

经过计算，我们可以得到：

a = 32，b = 7，c = 15

因此，a + b + c 的最大值为：

a + b + c = 32 + 7 + 15 = 54

答案为：54。

高考数学竞赛试题需要我们针对问题进行分析和求解，对于数学学科更深入的了解和掌握也是必不可少的。希望以上两道高考数学竞赛试题及其答案解析对大家的备考有所帮助。