年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题(2023年word版

2023年12月3日发(作者：衡水高考二模数学试卷)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上,同时将才生号条形码粘贴在答题卡\"条形码粘贴处\"。2．每小题选出解析后,用铅笑把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析,不能答在试卷卷上。3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式:三角函数地积化和差公式1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21sinsin[cos()cos()]2正棱台、圆台地侧面积公式1(cc)l2其中c、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长S台侧台体地体积公式1V台体(SSSS)h3其中S、S分别表示上、下底面积,h表示高。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。（1）已知集合A[1,2,3,4],那么A地真子集地个数是:（A）15 （B）16 （C）3 （D）4（2）在复平面内,把复数33i对应地向量按顺时钟方向旋转数是:（A）23 （B）23i （C）33i （D）3+3i（3）一个长方体共一顶点地三个面地面积分别是2,3,6,这个长方体对角线地长是:（A）23 （B）32 （C）6 （D）6（4）已知sin3,所得向量对应地复＞sin,那么下列命题成立地是（A）若、是第一象限角,则cos＞cos（B）若、是第二象限角,则tg＞tg（C）若、是第三象限角,则cos＞cos（D）若、是第四象限角,则tg＞tg（5）函数yxcosx地部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元地部分不必纳税,超过800元地部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累进计算:全月应纳税所得额税率不超过500元地部分5%超过500元至2000元地部分10%超过2000元至5000元地部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他地当月工资、薪金所得介于（A）800~900元 （B）900~1200元 （C）1200~1500元 （D）1500~2800元（7）若a＞b＞1,Plgalgb,Q1ab(lgalgb),Rlg,则22（A）R＜P＜Q （B）P＜Q＜R （C）Q＜P＜R （D）P＜R＜Q（8）以极坐标系中地点（1,1）为圆心,1为半径地圆地方程是（A）2cos （B）2sin44（C）2cos1 （C）2sin1（9）一个圆柱地侧面展开图是一个正方形,这个圆柱地全面积与侧面积地比是（A）12141214 （B） （C） （D）2422（10）过原点地直线与圆x+y+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线地方程是2（A）y3x （B）y3x （C）y233x （D）yx33（11）过抛物线yax(a0)地焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ地长分别是p、q,则11+等于pq（A）2a （B）14 （C）4a （D）2aa（12）如图,OA是圆雏底面中心O互母线地垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等地两部分,则母线与轴地夹角地余弦值为（A）132 （B）111 （C） （D）n2222023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷卷中。2．答卷前将密封线内地项目填写清楚,并在试卷右上角填上座位号。题号分数二三2总分得分评卷人二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把解析填在题中横线上。（13）乒乓球队地10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同地出场安排共有

种（用数字作答）。x2y2（14）椭圆1地焦点F1、F2,点P为其上地动点,当∠F1PF2为钝角时,94点P横坐标地取值范围是 。（15）设an是首项为1地正项数列,且（n+1）an1nanan1an0(n=1,2,3,…),则它地通项公式是an 。（16）如图,E、F分别为正方体面ADD1A1、面BCC1B1地中心,则四边形BFD1E在该正方体地面上地射影可能是

。（要求:把可能地图序号都填上）三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。22得分评卷人（17）（本小题满分12分）已知函数y3sinxcosx,xR（Ⅰ）当函数取得最大值时,求自变量x地集合；（Ⅱ）该函数地图象可由ysinx(xR)地图象经过怎样地平移和伸缩变换得到？得分评卷人（18）（本小题满分12分）设an为等比数例,Tnna1(n1)a22an1an,已知T11,T24。（Ⅰ）求数列an地首项和公式；（Ⅱ）求数列Tn地通项公式。得分评卷人（19）（本小题满分12分）如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1地底面ABCD上菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD,（Ⅰ）证明:C1C⊥BD；（Ⅱ）当给出证明。得分评卷人CD地值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD？请CC1（20）（本小题满分12分）设函数f(x)x21ax,其中a0。（Ⅰ）解不等式f(x)≤1；（Ⅱ）证明:当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞]上是单调函数。得分评卷人（21）（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起地300天内,西红柿场售价与上市时间地关系用图一地一条折线表示；西红柿地种植成本与上市时间地关系用图二地抛物线段表示。（Ⅰ）写出图一表示地市场售价与时间地函数关系式pf(t)；写出图二表示地种植成本与时间地函数关系式Qg(t)；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市地西红柿纯收益最大？（注:市场售价各种植成本地单位:元/102㎏,时间单位:天）得分评卷人（22）（本小题满分14分）如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC所成地比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为伪点,当23时,求双曲线离心率c地取值范围。342023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试卷参考解答及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查地主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生地解法与本解答不局,可根据试卷地主要考查内容比照评分标准制订相应地评分细则。二、对计算题,当考生地解答在某一步出现错误时,如果后继部分地解答未改变该题地内容和难度,可视影响地程度决定后继部分地给分,但不得超过该部分正确解答应得分数地一半；如果后继部分地解答有较严重地错误,就不再给分。三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得地累加分数。四、只给整数分数,选择题和填空不给中间分。一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。A型卷解析（1）A （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B

（8）C （9）A（10）C （11）C （12）DB型卷解析（1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）A （7）B

（8）A （9）C （10）A （11）A （12）D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分。（13）252 （14）35x35 （15）12○3 （16）○n三、解答题（17）本小题主要考查三角函数地图象和性质、利用三角公式进行恒等变形地技能以及运算能力。满分12分。y3sinxcosx解:（1）312sinxcosx222sinxcoscosxsin662sinx,xR。

6…………3分取得最大值必须且只需x即622k,kZ,x32k,kZ,所以,使函数取得最大值地自变量x地集合为{x|x32k,kZ}, …………6分（Ⅱ）变换地步骤是:（1）把函数ysinx地图象向左平移6,得到 …………9分ysinx地图象；6（2）令所得到地图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来地2倍,得到y2sinx地图象；6经过这样地变换就得到函数y…………12分3sinxcosx地图象。 （18）本小题主要考查等比数列地基础知识和基本技能,运算能力,满分12分。（Ⅰ）解:设等比数列an以比为q,则T1a1,T22a1a2a1(2q)。 …………2分∵T11,T24,∴a11,q2。 …………4分（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知a11,q2,故ana1q因此,Tnn1(n1)222…………6分n2n12n1,12n1,

Tn2TnTnn2(n1)2222n112n∴-n2222n12n2-22n-n1~2-n2n12-[n1(n1)222n212n-1](n2)2n1。

…………12分解法二:设Sna1a2an。由（Ⅰ）知an2∴n1。Sn122n121n …………6分Tnna1(n1)a22an1anS1S2Sn∴a1(a1a2)(a1a2an1an)(21)(2n-1)(2n-1)(22n2n)-n222nn122n12n10分12分（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面地关系,逻辑推理能力,满分12分。（Ⅰ）证明:连结A1C1、AC和BD交于O,连结C1O。∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD。又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C,∴C1BCC1DC,∴C1B=C1D,∵DOOB∴C1OBD, 3分但ACBD,ACC1OO,∴BD平面AC1。又C1C平面AC1,∴C1CBD。 …………6（Ⅱ）当CDCC1时,能使A1C平面C1BD。1证明一:∵CDCC1,1∴BCCDC1C,又BCDC1CBC1CD,由此可推得BDC1BC1D。∴三棱锥CC1BD是正三棱锥。 …………9设A1C与C1O相交于G。∵A1C1//AC,且A1C1:OC2:1,∴C1G:GO=2:1。又C1O是正三角形C1BD地BD边上地高和中线,∴点G是正三角形C1BD地中心,∴CG平面C1BD,即A1C平面C1BD。 …………12证明:分分分由（Ⅰ）知,BC平面AC1,∵A1C平面AC1,∴BDA1C。 …………9分当CD1时,平行六面体地六个面是全等地菱形,CC1同BDA1C地正法可得BC1A1C。又BDBC1B,∴A1C平面C1BD。 …………12分（20）本小题主要考查不等式地解法、函数地单调性等基本知识,分类讨论地数学思想方法和运算、推理能力,满分12分。（Ⅰ）解:不等式f(x)1即x211ax,由此得11ax,即ax0,其中常数a0。所以,原不等式等价于x21(1ax)2,x0.即x0, …………3分2(a1)x2a0所以,当0a1时,所给不等式地解集为{x|0x2a}；21a当a1时,所给不等式地解集为{x|x0}。 …………6分（Ⅱ）证明:在区间[0,)上任取x1,x2使得x1x22f(x1)f(x2)x121x21a(x1x2)2x12x2x1x12122a(x1x2)9分x1x2(x1x2)a.x21x2112∵x1x2x1x1x1x2x1x1212221221,且a1,∴a0,又x1x20,∴f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)。所以,当a1时,函数f(x)在区间[0,)上是单调递减函数。 …………12分（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值地问题,考查运用所学知识解决实际问题地能力,满分12分。解:（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间地函数关系为300t,f(t)2t3002分0t200,

200t300由图二可得种植成本与时间地函数关系为g(t)1(t150)2100,200t300。 …………4分（Ⅱ）设t时刻地纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)g(t),即121175tt,20022h(t)=-1t27t1025,22200当0t200时,配方整理得0t200, …………6分200t300h(t)=1(t50)2100。200所以,当t50时,h(t)取得区间[0,200]上地最大值100；当200t300时,配方整理得h(t)=1(t350)2100,200所以,当t300时,h(t)取得区间（200,300）上地最大值87.5

…………10分综上,由10087.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t50,即从二月一日开始地第50天时,上市地西红柿纯收益最大。

…………12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线地概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题地能力,满分14分。解:如图,以AB地垂直平分线为轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xO,则CD轴。因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线地对称性知C、D关于轴对称,…………2分c依题意,记A(c,0),C2,h,E(x0,y0),其中c1|AB|为双曲线地半焦距,h是梯形2地高,由定比分点坐标公式得cc2(2)cx0,12(1)h0.1x2y2c设双曲线地方程为221,则离心率e,由点C、E在双曲线上,将点C、E坐标aab和ec代入双曲线地方程,得ae2h2121,

○4be2422h2

21.

○11b22…………7分h2e21式得3由○1,

○24b3式代入○2式,整理得将○e2(44)12,43 …………10分e2223233。由题设得,12343e24故1解得7e10,所以,双曲线地离心率地取值范围为[7,10], …………14分