2024年3月11日发(作者：数学试卷的含义)

专题28 投影与视图最新中考真题与模拟精练

1．（2022·安徽·定远县育才学校一模）学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来

测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的

影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.

(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;

(2)求路灯灯泡的垂直高度GH;

(3)

如果小明沿线段

BH

向小颖

(

点

H

)

走去

,

当小明走到

BH

的中点

B

1

处时

,

其影子长为

B

1

C

1

;

当

1

1

小明继续走剩下路程的到

B

2

处时

,

其影子长为

B

2

C

2

;

当小明继续走剩下路程的

到

B

3

处

,…,

3

4

1

按此规律继续走下去

,

当小明走剩下路程的到

Bn

处时

,

其影子

BnCn

的长为

m

.

(

直

n1

接用含

n

的代数式表示

)

3

.

【答案】

(1)

详见解析；（

2

）路灯灯泡的垂直高度

GH

是

4

.

8 m

；（

3

）

BnCn=

n1

【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；

（2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC△△GHC由它们

对应成比例可以求出GH；

（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．

【详解】解:(1)形成影子的光线如图所示,路灯灯泡所在的位置为点G.

ABBC1.63



(2)

根据题意

,

得△

ABC

△

△

GHC

,∴,∴,

解得

GH=

4

.

8 m

.

GHHCGH6

3

答:路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m.

ABBC

11

11

, (3)

提示

:

同理可得△

A

1

B

1

C

1

△

△

GHC

1

,∴

GHHC

1

1.6x

,

设

B

1

C

1

长为

x

m,

则

4.8x

3

解得x=1.5,即B

1

C

1

=1.5 m.

BC

1.6

22

,

解得

B

2

C

2

=

1 m,

同理

4.8BC

2

22

BC

1.6

nn

3

.

1

∴

4.8

,

解得

BnCn=

BC



6

n1

nn

n

1

【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形

中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．

B在直线l

2

上，过点A、

2．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l

1

、l

2

,点A、

B两点分别作直线l

1

的垂线，垂足分别为A

1

、B

1

，我们把线段A

1

B

1

叫做线段AB在直线l

2

上

的正投影，其长度可记作T

（

AB

，

CD

）

或T

（

AB

，

l

2

）

,特别地，线段AC在直线l

2

上的正投影就是线

段A

1

C，请依据上述定义解决如下问题.

（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T

（

AC

，

AB

）

=3，则T

（

BC

，

AB

）

= ；

（2）如图2，在Rt△ABC中，△ACB=90°，T

（

AC

，

AB

）

=4，T

（

BC

，

AB

）

=9，求△ABC的面积；

（3）如图3，在钝角△ABC中，△A=60°，点D在AB边上，△ACD=90°，T

（

AD

，

AC

）

=2，T

（

BC

，

AB

）

=6，求T

（

BC

，

CD

）

.

7

3

【答案】（

1

）

2

；（

2

）△

ABC

的面积

=39

；（

3

）

T

（

BC

，

CD

）

=

2

【分析】(1)如图1，过C作CH△AB，根据正投影的定义求出BH的长即可；

(2)如图2，过点C作CH△AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的

性质求出CH的长即可解决问题；

(3)如图3，过C作CH△AB于H，过B作BK△CD于K，求出CD、DK即可得答案.

【详解】(1)如图1，过C作CH△AB，垂足为H，

△T

(AC

，

AB)

=3，

△AH=3，

△AB=5，

△BH=AB-AH=2，

△T

(BC

，

AB)

=BH=2，

故答案为2；

(2)如图2，过点C作CH△AB于H，

则△AHC=△CHB=90°，

△△B+△HCB=90°，

△△ACB=90°，

△△B+△A=90°

△△A=△HCB，

△△ACH△△CBH，

△CH：BH=AH：CH，

△CH

2

=AH·BH，

△T

(AC

，

AB)

=4，T

(BC

，

AB)

=9，

△AH=4，BH=9，

△AB=AH+BH=13，CH=6，

△S

△ABC

=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；

(3)如图3，过C作CH△AB于H，过B作BK△CD于K，

△△ACD=90°，T

(AD

，

AC)

=2，

△AC=2，

△△A=60°，

△△ADC=△BDK=30°，

△CD=AC·tan60°=2

3

，

AD=2AC=4

，

AH=

1

AC=1

，

2

△DH=4-1=3，

△T

(BC

，

AB)

=6，CH△AB，

△BH=6，

△DB=BH-DH=3，

在Rt△BDK中，△K=90°，BD=3，△BDK=30°，

△DK=BD·cos30°=

33

，

2

7

3

3

. △T(BC

，

CD)=CK=CD+DK=

3

+

3

=

2

2

【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与

性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键.

3

．（

2020·

四川攀枝花

·

中考真题）实验学校某班开展数学

“

综合与实践

”

测量活动．有两座垂

直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线

MN

的

距离皆为

100cm

．王诗嬑观测到高度

90cm

矮圆柱的影子落在地面上，其长为

72cm

；而高

圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线

MN

互相垂直，

并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度

i1:0.75

，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请

解答下列问题：

（

1

）若王诗嬑的身高为

150cm

，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少

cm

？

（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面

内．请直接回答这个猜想是否正确？

（

3

）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为

100cm

，则高圆柱的高度为多少

cm

？

【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm

【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．

（

2

）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线

MN

互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横

截面分析可得；

（3）过点F作FG△CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，

过点F作FH△AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到

AB.

【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，

90150

由题意可得：

，

72x

解得：x=120，

经检验：x=120是分式方程的解，

王诗嬑的的影子长为120cm；

（2）正确，

因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，

则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，

而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，

△高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；

（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，

过点F作FG△CE于点G，

由题意可得：BC=100，CF=100，

△

斜坡坡度

i1:0.75

，

DEFG14



，

△

CECG0.753

△设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，

4m

2

3m

2

100

2

，

解得：m=20，

△CG=60，FG=80，

△BG=BC+CG=160，

过点F作FH△AB于点H，

△同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，

FG△BE，AB△BE，FH△AB，

可知四边形HBGF为矩形，

90AHAH



△

，

72HFBG

9090

△AH=

BG160

=200

，

7272

△AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，

故高圆柱的高度为280cm.

【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解

题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．

4

．（

2011·

全国

·

中考模拟）如图所给的

A

、

B

、

C

三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的

正面，设

A

、

B

、

C

三个几何体的主视图分别是

A

、

B

、

C

；左视图分别是

A

2

、

B

2

、

C

2

；

111

俯视图分别是

A3

、

B3

、

C3

．

（

1

）请你分别写出

A

、

A

2

、

A

3

、

B

、

B

2

、

B

3

、

C

、

C

2

、

C

3

图形的名称；

111

（

2

）小刚先将这

9

个视图分别画在大小、形状完全相同的

9

张卡片上，并将画有

A

、

A

2

、

1

A

3

的三张卡片放在甲口袋中，画有

B

、

B

2

、

B

3

的三张卡片放在乙口袋中，画有

C

、

C

2

、

11

C

3

的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．

①画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；

②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图

形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方

公平吗？为什么？

4

【答案】

(1)

见解析；（

2

）

①

;②

不公平，详见解析

.

9

【分析】（1）通过观察几何体，直接写出它们三种视图的名称则可；

（2）按照题意画出树状图，获胜的概率相同游戏就公平．

【详解】（1）由已知可得A

1

、A

2

是矩形，A

3

是圆；B

1

、B

2

、B

3

都是矩形；C

1

是三角形，C

2

、

C

3

是矩形；

（2）①补全树状图如下：

由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，

124

△

三张卡片上的图形名称都相同的概率是

=

；

279

②

游戏对双方不公平．由

①

可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同的概率是

12431

4

1

=

，

=

即

P

（小刚获胜）

=

，三张卡片上的图形名称完全不同的概率是，即

P

（小亮获胜）

=

，

9

9

279279

4

1

△

＞，

9

9

△这个游戏对双方不公平．

【点睛】本题比较容易，考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力．还考

查了通过画树状图求随机事件的概率．用到的知识点为：三视图分别是从物体的正面，左面，

上面看得到的图形；概率=所求情况数与总情况数之比．

5．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如

图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影

长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、

B、O三点在同一直线上，且AO△OD，EF△FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高

AB．

【答案】旗杆的高AB为3米．

【分析】证明△AOD△△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC△△AOD，然后利用

相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．

【详解】解：△AD△EG，

△△ADO=△EGF．

又△△AOD=△EFG=90°，

△△AOD△△EFG．

AOOD

△

．

EFFG

EF

OD1.8

20



15

．

△

AO

FG2.4

同理，△BOC△△AOD．

BOOC

△

．

AOOD

AO

OC15

16



12

．

△

BO

OD20

△AB=OA−OB=3（米）．

△旗杆的高AB为3米．

【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射

下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．

6

．（

2022·

江西

·

模拟预测）如图

1

所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图

1

可抽象成图

2

，在图

2

中，点

A

可在

BD

上滑动，当伞完全折叠成图

3

时，伞的下端点

F

落在

F

处，点

C

落在

C

处，

AEEF

，

ACBCCE90cm

，

DF

70cm

．

(1)BD的长为______．

(2)

如图

2

，当

AB54cm

时．

①

求

ACB

的度数；（参考数据：

sin17.50.30

，

tan16.70.30

，

sin36.90.60

，

tan31.00.60

）

②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．

【答案】(1)250cm

(2)①35°

；

②

29484

【分析】（

1

）根据题意可得

BDBF

F

D

，当伞完全折叠成图

3

时，伞的下端点

F

落在

F

处，点

C

落在

C

处，可得

BF

EFACCE

，代入数据求解即可；

1

（

2

）

①

过点

C

作

CGAG

，根据

BCAC

，可得

AGGB27cm，ACGACB

，根

2

据

sinACG0.3

，

sin17.50.30

，即可求解；

②

根据题意可知

CG∥AF

，则

EAH17.5

，根据

EHsin17.5AE

求得

EH

，根据勾股

定理可得

AH

2

AE

2

EH

2

，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可．

（1）

解：

△

BDBF

F

D

当伞完全折叠成图

3

时，伞的下端点

F

落在

F

处，点

C

落在

C

处，

可得

BF

EFACCE

△

BDBF

F

D

EFF

DACCEF

D909070250

cm

（2）

①

如图，过点

C

作

CGAG

BCAC90

cm

，

AB54cm

1

AGGB27

cm

，

ACGACB

2

AG273

sin

ACG



0.3

AC9010

ACG17.5

ACB2ACG35

②

如图，连接

AF

，过点

E

作

EHAF

，

AEEF

AHHF

根据题意可知

CG∥AF

EAH17.5

AE180cm

EHsin17.5AE0.318054

AH

2

AE

2

EH

2

180

2

54

2

29484

伞能遮雨的面积为

29484

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．

7

．（

2018·

江苏扬州

·

中考模拟）如图

1

，在平面直角坐标系中，图形

W

在坐标轴上的投影

长度定义如下：设点

P

(

x

,

y

1

)

，

Q

(

x

,

y

2

)

是图形

W

上的任意两点，若

xx

的最

12

12

大值为

m

，则

图形

W

在

x

轴上的投影长度为

lx

m

；若

yy

的最大值为

n

，则图形

W

在

y

轴

12

上的

投影长度为

ly

n

．如图

1

，图形

W

在

x

轴上的投影长度为

lx

40

4

；在

y

轴

上的

投影长度为

ly

30

3

．

（1）已知点 A(1, 2) ， B(2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ，

则 lx  ， ly  ；

3

（

2

）已知点

C

(

, 0)

，点

D

在直线

y

2

1

2

x

1(

x

0)

上，若图形

W

为

OCD

，当

lx

ly

时，求点 D 的坐标；

（3 ）若图形 W 为函数 y  x 2(a  x  b) 的图象，其中 (0  a  b) ，当该图形满足

lx  ly  1时，请直接写出 a 的取值范围．

图 1

图 2

1

14

2

【答案】（

1

）

4,3;(2)

（

-

，）或（

-10

，

-14

）

;(3)

0a

.

3

3

2

【分析】（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题

的答案；

（2）过点P作PD△x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l

x

=l

y

，

列方程求解即可；

（3）设A（a，a

2

）、B（b，b

2

）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由l

x

=l

y

可得到b+a=1，

然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．

【详解】解：（1）△A（3，3），

△点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．

△△OAB在y轴上的投影长度l

y

=3．

△B（4，1），

△点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．

△△OAB在x轴上的投影长度l

x

=4．

故答案为4；3．

（2）如图1所示；过点P作PD△x轴，垂足为P．

设D（x，2x+6），则PD=2x+6．

△PD△x轴，

△P（x，0）．

△PC=4-x．

△l

x

=l

y

，

△2x+6=4-x

，解得；

x=-

．

△D

（

-

，

2

3

2

3

14

）．

3

如图2所示：过点D作DP△x轴，垂足为P．

设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．

△PD△x轴，

△P（x，0）．

△PC=4-x．

△l

x

=l

y

，

△-2x-6=4-x，解得；x=-10．

△D（-10，-14）．

14

2

综上所述，点

D

的坐标为（

-

，）或（

-10

，

-14

）．

3

3

（3）如图3所示：

设A（a，a

2

）、B（b，b

2

）．则CE=b-a，DF=b

2

-a

2

=（b+a）（b-a）．

△l

x

=l

y

，

△（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．

△b≠a，

△b+a=1．

又△0≤a＜b，

△a+a＜1，

△0≤a

＜

1

.

2

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上

的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l

x

=l

y

列出

关于x的方程和不等式是解题的关键．

8

．（

2022·

江苏无锡

·

模拟预测）测量金字塔高度：如图

1

，金字塔是正四棱锥

SABCD

，点

O

是正方形

ABCD

的中心

SO

垂直于地面，是正四棱锥

SABCD

的高，泰勒斯借助太阳光．测

量金字塔影子

PBC

的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对

甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图

1

的正四棱锥

SABCD

表示．

（

1

）测量甲金字塔高度：如图

2

，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形

ABCD

的边长为

80m

，

金字塔甲的影子是

PBC，PCPB50m

，此刻，

1

米的标杆影长为

0.7

米，则甲金字塔的

高度为

______m

．

（

2

）测量乙金字塔高度：如图

1

，乙金字塔底座正方形

ABCD

边长为

80m

，金字塔乙的影

子是

PBC

，

PCB75,PC402m

，此刻

1

米的标杆影长为

0.8

米，请利用已测出的数

据，计算乙金字塔的高度．

【答案】（

1

）

100

；（

2

）

506

．

【分析】（

1

）如图

2

中，连接

OP

交

BC

于

T

，勾股定理求得

OP

，再根据物体的长度与影子

的长度成比例，即可求得

OS

；

（

2

）如图

1

中，连接

OP

，

OC

,

过点

O

作

ORPC

交

PC

的延长线于

R

,

勾股定理求得

OP

，

再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得

OS

．

【详解】（

1

）如图

2

中，连接

OP

交

BC

于

T

，

四边形

ABCD

是正方形，

OCOB,ACBD

，

BCCD80

，

PCPB50

，

∴OP

垂直平分

BC

，

11

OTCD40,TCTBBC40

，

22

PTPC

2

CT

2

50

2

40

2

30

，

OPOTPT403070

，

设金子塔的高度为

h

，物体的长度与影子的长度成比例，

h1

，

OP0.7

h100

，

故答案为：100．

（

2

）如图，根据图

1

作出俯视图，连接

OP

，

OC

,

过点

O

作

ORPC

交

PC

的延长线于

R

,

OCPOCBPCB4575120

，

OCR60

，

BC80

，四边形

ABCD

是正方形，

111

OCACAB

2

BC

2

80

2

80

2

402

，

222

CROCcos60202

，

3

OROCsin60402206

，

2

PRPCCR402202602

，

OPOR

2

PR

2

(206)

2

(602)

2

406

，

SO1

，

OP0.8

SO506

．

乙金字塔的高度为

506

．

【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正

确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．

9

．（

2021·

全国

·

九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙

体或门．在点

A

处安装了

360

度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部

分无法监控到的区域通常称为监控盲区．

（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？

（

2

）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体

AB

上重新设计摄像头


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