最新人教版中考数学试题及解析共3套

2023年12月2日发(作者：甘肃高考全国卷数学试卷)

中考数学试卷1

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）

1．（3分）如果电梯上升5层记为+5．那么电梯下降2层应记为（ ）

A．+2 B．﹣2 C．+5 D．﹣5

2．（3分）观察下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C．D．

3．（3分）2018年第二季度，遵义市全市生产总值约为532亿元，将数532亿用科学记数法表示为（ ）

A．532×108 B．5.32×102 C．5.32×106 D．5.32×1010

4．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．（﹣a2）3=﹣a5 B．a3•a5=a15 C．（﹣a2b3）2=a4b6 D．3a2﹣2a2=1

5．（3分）已知a∥b，某学生将一直角三角板放置如图所示，如果∠1=35°，那么∠2的度数为（ ）

A．35° B．55° C．56° D．65°

6．（3分）贵州省第十届运动会将于2018年8月8日在遵义市奥体中心开幕，某校有2名射击队员在比赛中的平均成绩均为9环，如果教练要从中选1名成绩稳定的队员参加比赛，那么还应考虑这2名队员选拔成绩的（ ）

A．方差 B．中位数 C．众数 D．最高环数

7．（3分）如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（ ）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2

8．（3分）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）

A．60π B．65π C．78π D．120π

9．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3

10．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）

A．10 B．12 C．16 D．18

11．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）

A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=

12．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.答题请用黑色曼水笔或黑色签字笔直接谷在答题卡的相应位量上）

13．（4分）计算﹣1的结果是 ．

14．（4分）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为 度．

15．（4分）现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则一牛一羊值金

两．

16．（4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为 ．

17．（4分）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．

18．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为 ．

三、解答题（本题共9小题，共90分，答题时请用黑色签字笔成者水笔书写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明，证明过程与演算步骤）

19．（6分）2﹣1+|1﹣|+（﹣2）0﹣cos60°

20．（8分）化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．

21．（8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）

（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为 m．

（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

22．（10分）为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从A：文学签赏，B：科学探究，C：文史天地，D：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中A部分的圆心角是 度．

（2）请补全条形统计图．

（3）根据本次调查，该校七年级840名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？

23．（10分）某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘）

（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为 ；

（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．

24．（10分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM=ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

25．（12分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．

销售量y（千克）

…

34.8

32

29.6

28

…

售价x（元/千克）

…

22.6

24

25.2

26

…

（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

26．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．

（1）求AD的长．

（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．

27．（14分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．

（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．

（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）

1．（3分）如果电梯上升5层记为+5．那么电梯下降2层应记为（ ）

A．+2 B．﹣2 C．+5 D．﹣5

【分析】直接利用电梯上升5层记为+5，则电梯下降记为负数，进而得出答案．

【解答】解：∵电梯上升5层记为+5，

∴电梯下降2层应记为：﹣2．

故选：B．

2．（3分）观察下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据等腰三角形，平行四边形、矩形、圆的性质即可判断；

【解答】解：∵等腰三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，半圆是轴对称图形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；

故选：C．

3．（3分）2018年第二季度，遵义市全市生产总值约为532亿元，将数532亿用科学记数法表示为（ ）

A．532×108 B．5.32×102 C．5.32×106 D．5.32×1010

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将数532亿用科学记数法表示为5.32×1010．

故选：D．

4．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．（﹣a2）3=﹣a5 B．a3•a5=a15 C．（﹣a2b3）2=a4b6 D．3a2﹣2a2=1

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、（﹣a2）3=﹣a6，故此选项错误；

B、a3•a5=a8，故此选项错误；

C、（﹣a2b3）2=a4b6，正确；

D、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；

故选：C．

5．（3分）已知a∥b，某学生将一直角三角板放置如图所示，如果∠1=35°，那么∠2的度数为（ ）

A．35° B．55° C．56° D．65°

【分析】利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及直角三角形两锐角互余求出所求角度数即可．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠3=∠4，

∵∠3=∠1，

∴∠1=∠4，

∵∠5+∠4=90°，且∠5=∠2，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠1=35°，

∴∠2=55°，

故选：B．

6．（3分）贵州省第十届运动会将于2018年8月8日在遵义市奥体中心开幕，某校有2名射击队员在比赛中的平均成绩均为9环，如果教练要从中选1名成绩稳定的队员参加比赛，那么还应考虑这2名队员选拔成绩的（ ）

A．方差 B．中位数 C．众数 D．最高环数

【分析】根据方差的意义得出即可．

【解答】解：如果教练要从中选1名成绩稳定的队员参加比赛，那么还应考虑这2名队员选拔成绩的方差，

故选：A．

7．（3分）如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（ ）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2

【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征得到2k+3=0，解得k=﹣1.5，然后解不等式﹣1.5x+3＞0即可．

【解答】解：∵直线y=kx+3经过点P（2，0）

∴2k+3=0，解得k=﹣1.5，

∴直线解析式为y=﹣1.5x+3，

解不等式﹣1.5x+3＞0，得x＜2，

即关于x的不等式kx+3＞0的解集为x＜2，

故选：B．

8．（3分）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）

A．60π B．65π C．78π D．120π

【分析】直接得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面及求法得出答案．

【解答】解：由题意可得：圆锥的底面半径为5，母线长为：=13，

该圆锥的侧面积为：π×5×13=65π．

故选：B．

9．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3

【分析】直接利用根与系数的关系得出x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，进而求出答案．

【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，

∴x1+x2=﹣b，

x1x2=﹣3，

则x1+x2﹣3x1x2=5，

﹣b﹣3×（﹣3）=5，

解得：b=4．

故选：A．

10．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）

A．10 B．12 C．16 D．18 【分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可．

【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，

∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，

∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，

∴S阴=8+8=16，

故选：C．

11．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）

A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出=，进而得出S△AOD=2，即可得出答案．

【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵∠BOA=90°，

∴∠BOC+∠AOD=90°，

∵∠AOD+∠OAD=90°，

∴∠BOC=∠OAD，

又∵∠BCO=∠ADO=90°，

∴△BCO∽△ODA，

∴=tan30°=，

∴=，

∵×AD×DO=xy=3，

∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，

∴S△AOD=2，

∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，

故反比例函数解析式为：y=﹣．

故选：C．

12．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．

【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，

∴AC=5 过点D作DF⊥AC于F，

∴∠AFD=∠CBA，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠ACB，

∴△ADF∽△CAB，

∴，

∴，

设DF=x，则AD=x，

在Rt△ABD中，BD==，

∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，

∴△DEF∽△DBA，

∴，

∴，

∴x=2，

∴AD=x=2，

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.答题请用黑色曼水笔或黑色签字笔直接谷在答题卡的相应位量上）

13．（4分）计算﹣1的结果是 2 ．

【分析】首先计算9的算术平方根，再算减法即可．

【解答】解：原式=3﹣1=2，

故答案为：2．

14．（4分）如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为 37 度．

【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．

【解答】解：∵AD=AC，点E是CD中点，

∴AE⊥CD，

∴∠AEC=90°，

∴∠C=90°﹣∠CAE=74°，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠C=74°，

∵AD=BD，

∴2∠B=∠ADC=74°，

∴∠B=37°，

故答案为37°．

15．（4分）现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则一牛一羊值金

二 两．

【分析】设一牛值金x两，一羊值金y两，根据“牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，两方程相加除以7，即可求出一牛一羊的价值．

【解答】解：设一牛值金x两，一羊值金y两，

根据题意得：，

（①+②）÷7，得：x+y=2． 故答案为：二．

16．（4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为 4035 ．

【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．

【解答】解：由图可得，

第1层三角形的个数为：1，

第2层三角形的个数为：3，

第3层三角形的个数为：5，

第4层三角形的个数为：7，

第5层三角形的个数为：9，

……

第n层的三角形的个数为：2n﹣1，

∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，

故答案为：4035．

17．（4分）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．

【分析】直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置，再求出AO，CO的长，进而利用勾股定理得出答案．

【解答】解：连接AC，交对称轴于点P，

则此时PC+PB最小，

∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，

∴DE=PC，DF=PB，

∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

∴0=x2+2x﹣3

解得：x1=﹣3，x2=1，

x=0时，y=3，

故CO=3，

则AO=3，可得：AC=PB+PC=3，

故DE+DF的最小值为：．

故答案为：．

18．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为 2.8 ．

【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

【解答】解：作EH⊥BD于H，

由折叠的性质可知，EG=EA，

由题意得，BD=DG+BG=8，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=BD=8，

设BE=x，则EG=AE=8﹣x，

在Rt△EHB中，BH=x，EH=x，

在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即（8﹣x）2=（x）2+（6﹣x）2，

解得，x=2.8，即BE=2.8，

故答案为：2.8．

三、解答题（本题共9小题，共90分，答题时请用黑色签字笔成者水笔书写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明，证明过程与演算步骤）

19．（6分）2﹣1+|1﹣|+（﹣2）0﹣cos60°

【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式=+2﹣1+1﹣

=2．

20．（8分）化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．

【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．

【解答】解：原式=[﹣]÷

=（﹣）•

=•

=a+3，

∵a≠﹣3、2、3，

∴a=4或a=5，

则a=4时，原式=7．

21．（8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）

（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为 11.4 m．

（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；

（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵∠BAC=64°，AC=5m，

∴AB=（m）；

故答案为：11.4；

（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，

在Rt△ADE中，

∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，

∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），

即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），

答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．

22．（10分）为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从A：文学签赏，B：科学探究，C：文史天地，D：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的总人数为 160 人，扇形统计图中A部分的圆心角是 54 度．

（2）请补全条形统计图．

（3）根据本次调查，该校七年级840名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？

【分析】（1）根据：该项所占的百分比=，圆心角=该项的百分比×360°．两图给出了D的数据，代入即可算出调查的总人数，然后再算出A的圆心角；

（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“科学探究”的人数，再补全条形图；

（3）根据：喜欢某项人数=总人数×该项所占的百分比，计算即得．

【解答】解：（1）由条形图、扇形图知：喜欢趣味数学的有48人，占调查总人数的30%．

所以调查总人数：48÷30%=160（人）

图中A部分的圆心角为：=54°

故答案为：160，54

（2）喜欢“科学探究”的人数：160﹣24﹣32﹣48

=56（人）

补全如图所示

（3）840×=294（名）

答：该校七年级840名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为294名．

23．（10分）某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘）

（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为 ；

（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率． 【分析】（1）由转动转盘甲共有四种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，利用概率公式计算可得；

（2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得．

【解答】解：（1）若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，

∴享受9折优惠的概率为，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果，

所以指针指向每个区域的字母相同的概率，即顾客享受8折优惠的概率为=．

24．（10分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM=ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；

（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，

∴∠OAM=∠OBN=135°，

∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，

∴∠AOM=∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM=ON；

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为4，

∴OH=HA=2，

∵E为OM的中点，

∴HM=4，

则OM==2，

∴MN=OM=2．

25．（12分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．

销售量y（千克）

…

34.8

32

29.6

28

…

售价x（元/千克）

…

22.6

24

25.2

26

…

（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；

（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，

，解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．

当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．

答：当天该水果的销售量为33千克．

（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，

解得：x1=35，x2=25．

∵20≤x≤32，

∴x=25．

答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．

26．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．

（1）求AD的长．

（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．

【分析】（1）先求出AC，进而求出AE=4，再用勾股定理求出DE即可得出结论；

（2）分三种情况，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，

∴AC=8，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE=AC=4，

∴OE=AE﹣OA=1，

在Rt△ODE中，DE==2；

在Rt△ADE中，AD==2；

（2）当DP=DF时，如图2，

点P与A重合，F与C重合，则AP=0；

当DP=PF时，如图4，∴∠CDP=∠PFD，

∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC，

∴∠DPF=∠C，

∵∠PDF=∠CDP，

∴△PDF∽△CDP，

∴∠DFP=∠DPC，

∴∠CDP=∠CPD，

∴CP=CD，

∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣2；

当PF=DF时，如图3，

∴∠FDP=∠FPD， ∵∠DPF=∠DAC=∠C，

∴△DAC∽△PDC，

∴，

∴，

∴AP=5，

即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣2．

27．（14分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．

（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．

（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；

（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；

（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．

【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：，

解得：，即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，

联立一次函数解析式得：，

消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，

解得：x=0或x=3，

则E（3，1）；

（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，

设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），

∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，

S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，

当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）； （3）连接BF，如图②所示，

当﹣x2+x+20=0时，x1=，x2=，

∴OA=，OB=，

∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，

∴△AOC∽△FOB，

∴=，即=，

解得：OF=，

则F坐标为（0，﹣）．

初中毕业生学业（升学）统一考试2

数学试题

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D4个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上

1．（4分）9的平方根是（ ）

A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81

2．（4分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）

A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108

3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）

A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3

4．（4分）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（ ）

A． B． C． D．

5．（4分）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）

A．55° B．110° C．120° D．125°

6．（4分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）

A．32 B．8 C．4 D．16

7．（4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

8．（4分）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）

A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm

9．（4分）如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（ ）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1 10．（4分）计算+++++……+的值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）分式方程=4的解是x= ．

12．（4分）因式分解：a3﹣ab2= ．

13．（4分）一元一次不等式组的解集为 ．

14．（4分）如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3= °．

15．（4分）小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随机抽取他的三次数学考试成绩，分别是87，93，90，则三次数学成绩的方差是 ．

16．（4分）定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x= ．

17．（4分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB= ．

18．（4分）已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y=的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为 ．

三、简答题：（本大题共4个小题，第19题每小题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）

19．（10分）（1）计算：﹣4cos60°﹣（π﹣3.14）0﹣（）﹣1

（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=2．

20．（10分）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．

21．（10分）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）请计算出A类男生和C类女生的人数，并将条形统计图补充完整．

（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率．

22．（10分）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度（结果精确到0.1米，≈1.732）

四、（本大题满分12分）

23．（12分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．

（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？

（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

五、（本大题满分12分）

24．（12分）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）求tan∠E的值．

六、（本大题满分14分）

25．（14分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D4个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上

1．（4分）9的平方根是（ ）

A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81

【分析】依据平方根的定义求解即可．

【解答】解：9的平方根是±3，

故选：C．

2．（4分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）

A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：11700000=1.17×107．

故选：A．

3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）

A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3

【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．

【解答】解：x2﹣4x+3=0，

分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=3，

故选：C．

4．（4分）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据题意和题目中的数据可以求得点数为奇数的概率．

【解答】解：由题意可得，

点数为奇数的概率是：，

故选：C．

5．（4分）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）

A．55° B．110° C．120° D．125°

【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

【解答】解：根据圆周角定理，得

∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．

故选：D．

6．（4分）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）

A．32 B．8 C．4 D．16

【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，

∴△ABC与△DEF的面积比为4，

∵△ABC的面积为16， ∴△DEF的面积为：16×=4．

故选：C．

7．（4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．

【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：

180°•（n﹣2）=3×360°

解得n=8．

故选：A．

8．（4分）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）

A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm

【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．

【解答】解：当直线c在a、b之间时，

∵a、b、c是三条平行直线，

而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，

∴a与c的距离=4﹣1=3（cm）；

当直线c不在a、b之间时，

∵a、b、c是三条平行直线，

而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，

∴a与c的距离=4+1=5（cm），

综上所述，a与c的距离为3cm或3cm．

故选：C．

9．（4分）如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（ ）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1

【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．

【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，

∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．

故选：D．

10．（4分）计算+++++……+的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案．

【解答】解：原式=++++…+

=1﹣+﹣+﹣+…+﹣

=1﹣

=．

故选：B．

二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）分式方程=4的解是x= ﹣9 ．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：3x﹣1=4x+8，

解得：x=﹣9，

经检验x=﹣9是分式方程的解，

故答案为：﹣9

12．（4分）因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b） ．

【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．

【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．

13．（4分）一元一次不等式组的解集为 x＞﹣1 ．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．

【解答】解：，

由①得：x＞﹣1，

由②得：x＞﹣2，

所以不等式组的解集为：x＞﹣1．

故答案为x＞﹣1．

14．（4分）如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3= 150 °．

【分析】两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为180°即可解答．

【解答】解：如图，

∵m∥n，∠1=110°，

∴∠4=70°，

∵∠2=100°，

∴∠5=80°，

∴∠6=180°﹣∠4﹣∠5=30°，

∴∠3=180°﹣∠6=150°，

故答案为：150．

15．（4分）小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随机抽取他的三次数学考试成绩，分别是87，93，90，则三次数学成绩的方差是 6 ．

【分析】根据题目中的数据可以求得相应的平均数，从而可以求得相应的方差，本题得以解决．

【解答】解：，

∴=6，

故答案为：6．

16．（4分）定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x= 4 ．

【分析】根据新运算的定义，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值． 【解答】解：∵4※x=42+x=20，

∴x=4．

故答案为：4．

17．（4分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB= 4 ．

【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．

【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，

∴CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE．

∵CD平分∠BCE，

∴∠DCE=∠DCB．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠ACB=30°，

∴∠A=60°，

∴AB===4．

故答案为：4．

18．（4分）已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y=的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为 （﹣1，﹣2）或（2，1） ．

【分析】由三角形三边关系知|PA﹣PB|≥AB知直线AB与双曲线y=的交点即为所求点P，据此先求出直线AB解析式，继而联立反比例函数解析式求得点P的坐标．

【解答】解：如图，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

将A（1，0）、B（0，﹣1）代入，得：

，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=x﹣1，

直线AB与双曲线y=的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|=AB，即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，

由可得或，

∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（2，1），

故答案为：（﹣1，﹣2）或（2，1）．

三、简答题：（本大题共4个小题，第19题每小题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程） 19．（10分）（1）计算：﹣4cos60°﹣（π﹣3.14）0﹣（）﹣1

（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=2．

【分析】（1）先计算立方根、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再分别计算乘法和加减运算可得；

（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．

【解答】解：（1）原式=2﹣4×﹣1﹣2

=2﹣2﹣1﹣2

=﹣3；

（2）原式=（﹣）÷

=•

=，

当x=2时，原式==2．

20．（10分）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．

【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；

【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，

在△ACE和△BDF中，，

∴△ACE≌△BDF（SSS）

∴∠A=∠B，

∴AE∥BF；

21．（10分）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）请计算出A类男生和C类女生的人数，并将条形统计图补充完整．

（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率．

【分析】（1）由B类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数分别乘以A、C类别对应百分比求得其人数，据此结合条形图进一步得出答案；

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到所选两位同学恰好是一男一女同学的结果数，利用概率公式求解可得．

【解答】解：（1）∵被调查的总人数为（7+5）÷60%=20人，

∴A类别人数为20×15%=3人、C类别人数为20×（1﹣15%﹣60%﹣10%）=3，

则A类男生人数为3﹣1=2、C类女生人数为3﹣1=2，

补全图形如下：

（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，

∴所选两位同学恰好是一男一女同学的概率为．

22．（10分）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C、D、B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度（结果精确到0.1米，≈1.732）

【分析】根据AB和∠ADB、AB和∠ACB可以求得DB、CB的长度，根据CD=CB﹣DB可以求出AB的长度，即可解题．

【解答】解：在Rt△ADB中，DB==AB，

Rt△ACB中，CB==AB，

∵CD=CB﹣DB，

∴AB=≈23.7（米）

答：电视塔AB的高度约23.7米．

四、（本大题满分12分）

23．（12分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．

（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？

（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10把甲种桌子钱数﹣5把乙种桌子钱数+多出5张桌子对应椅子的钱数=2000”列方程组求解可得；

（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，根据“总费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解析式，再由“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍”得出自变量a的取值范围，继而利用一次函数的性质求解可得．

【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，

根据题意，得：，

解得：，

答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；

（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，

则y=400a+600（40﹣a）+2×40×100

=﹣200a+32000，

∵a≤3（40﹣a），

∴a≤30， ∵﹣200＜0，

∴y随a的增大而减小，

∴当a=30时，y取得最小值，最小值为26000元．

五、（本大题满分12分）

24．（12分）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）求tan∠E的值．

【分析】（1）连接OC，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；

（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．

【解答】（1）证明：如图，连接OC，CD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位线

∴OD∥AC，

∵DF为⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∴DF⊥AC；

（2）解：如图，连接BG，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BGC=90°，

∵∠EFC=90°=∠BGC，

∴EF∥BG，

∴∠CBG=∠E，

Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，

∴CD=4，

S△ABC=，

6×4=5BG，

BG=，

由勾股定理得：CG==，

∴tan∠CBG=tan∠E===．

六、（本大题满分14分）

25．（14分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）待定系数法求解可得；

（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x﹣2，则Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；

（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得==，再证△MBQ∽△BPQ得=，即=，解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．

【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，

解得：a=﹣，

则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），

设直线BD解析式为y=kx+b，

将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，

解得：，

∴直线BD解析式为y=x﹣2，

∵QM⊥x轴，P（m，0），

∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），

则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，

∵F（0，）、D（0，﹣2），

∴DF=，

∵QM∥DF，

∴当﹣m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，

即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；

（3）如图所示：

∵QM∥DF，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，

则===，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，

∵∠MPB=∠BPQ=90°，

∴∠MBP+∠BMP=90°，

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴=，即=，

解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，

此时m=﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．

数学试题3

一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）

1.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2.4的算术平方根为（ ）

A．2 B．2 C．2 D．2

3.“五·一”期间，美丽的黄果树瀑布景区吸引大量游客前来游览.经统计，某段时间内来该风景区游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ）

A．3.6104 B．0.36106 C．0.36104 D．36103

4.如图，直线a//b，直线l与直线a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若158，则2的度数为（ ）

A．58 B．42 C．32 D．28

5.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知ABAC，现添加以下哪个条件仍不能判定．．．．．ABEACD（ ）

A．BC B．ADAE C．BDCE D．BECD

6.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x27x100的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）

A．12 B．9 C．13 D．12或9

7.要调查安顺市中学生了解禁毒知识的情况，下列抽样调查最适合的是（ ）

A．在某中学抽取200名女生 B．在安顺市中学生中抽取200名学生

C．在某中学抽取200名学生 D．在安顺市中学生中抽取200名男生

8.已知ABC(ACBC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PAPCBC，则符合要求的作图痕迹是（ ）

A． B．

C． D．

9.已知O的直径CD10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB8cm，则AC的长为（ ）

A．25cm B．45cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm

10.已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，分析下列四个结论：①abc0；②b24ac0；③3ac0；④(ac)2b2.其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共8个小题，每小题4分，共32分）

11.函数y1x1中自变量x的取值范围是 ．

12.学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如表，请你根据表中的数据选一人参加比赛，最适合的人选是 ．

选手 甲 乙

平均数（环）

9.5

9.5

方差

0.035

0.015

3x413.不等式组012x241的所有整数解的积为 ．

14.若x22(m3)x16是关于x的完全平方式，则m ．

15.如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且PP12P2P3，P2P3P3P4，若点P1，P2的坐标分别为(0,1)，(2,0)，则点P4的坐标为 ．

16.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，BOC60，BCO90，将BOC绕圆心O逆时针旋转至B\'OC\'，点C\'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为

cm2．（结果保留）

17.如图，已知直线ykk21xb与x轴、y轴相交于P、Q两点，与yx的图象相交于A(2,m)、B(1,n)两点，连接OA、OB.给出下列结论：

①km12n0；③Sbk21k20；②AOPSBOQ；④不等式k1xx的解集是x2或0x1.

其中正确结论的序号是 ． 18.正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置.点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线yx1和x轴上，则点Bn的坐标是 ．（n为正整数）

三、解答题（本大题共8小题，满分88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：1201832tan603.14122.

20.先化简，再求值：8x2x24x4x2，其中x2.

x2

21.如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角CAB45，在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角BDC30，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.

（参考数据：21.414，31.732）

22.如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.

（1）求证：AFDC；

（2）若ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

23.某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.

（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.

24.某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据要求回答下列问题：

（1）本次问卷调查共调查了________名观众；图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为________；

（2）补全图①中的条形统计图；

（3）现有最喜爱“新闻节目”（记为A），“体育节目”（记为B），“综艺节目”（记为C），“科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率.

25.如图，在ABC中，ABAC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.

（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；

（2）若cosABC23，AB12，求半圆O所在圆的半径.

26.如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3).

（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.

19.解：原式1233144.

x28(x2)(x2)20.解：原式

2(x2)x2x28x2x24

一、选择题

1-5: DBACD 6-10: ABDCB

二、填空题

11.

x1 12.

16.

4 17.

三、解答题

乙 13. 0 14. 7②③④ 18.

数学学科参考答案

或-1 15.

(2n1,2n1)

(8,0)

(x2)2x2

8(x2)2x24

2x2.

∵x2，∴x2，x2舍，

当x2时，原式22212.

21.解：由题意得，AH10米，BC10米，

在RtABC中，CAB45，

∴ABBC10，

在RtDBC中，CDB30，

∴DBBCtanCDB103，

∴DHAHADAH(DBAB)1010310201032.7（米），∵2.7米3米，

∴该建筑物需要拆除.

22.证明：（1）∵E是AD的中点，∴AEED.

∵AF//BC，∴AFEDBE，FAEBDE，

∴AFEDBE.

∴AFDB.

∵AD是BC边上的中点，∴DBDC，

∴AFDC.

（2）四边形ADCF是菱形.

理由：由（1）知，AFDC，

∵AF//CD，∴四边形ADCF是平行四边形.

又∵ABAC，∴ABC是直角三角形.

∵AD是BC边上的中线，

∴AD12BCDC.

∴平行四边形ADCF是菱形.

23.解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，

根据题意得1280(1x)212801600，

解得：x0.5或x2.5（舍），

答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，

∵8100040032000005000000，∴a1000，

10008400(a1000)54005000000，

解得：a1900，

答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.

24.解：（1）200，25%.

（2）最喜爱“新闻节目”的人数为20050354570（人），如图，

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2，所以恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率21216.

25.（1）证明：如图1，

作OEAB于E，连接OD、OA，

∵ABAC，O为BC的中点，

∴CAOBAO.

∵AC与半圆O相切于点D，

∴ODAC，

∵OEAB，

∴ODOE，

∵AB经过圆O半径的外端，∴AB是半圆O所在圆的切线；

（2）∵ABAC，O是BC的中点，∴AOBC，

由cosABC23，AB12，得∴OBABcosABC12238.

由勾股定理，得AOAB2OB245.

由三角形的面积，得SAOB12ABOE12OBAO，

OEOBOA85AB3，半圆O所在圆的半径是853.

b2a1a26.解：（1）依题意得：abc0，解之得：1b2，

c3c3∴抛物线的解析式为yx22x3.

∵对称轴为x1，且抛物线经过A(1,0)，

∴把B(3,0)、C(0,3)分别代入直线ymxn，

得3mn0mn3，解之得：1，

n3∴直线ymxn的解析式为yx3.

（2）直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MAMC的值最小，把x1代入直线yx3得y2，

∴M(1,2).即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(1,2).

（注：本题只求M坐标没说要证明为何此时MAMC的值最小，所以答案没证明MAMC的值最小的原因）.

（3）设P(1,t)，又B(3,0)，C(0,3)，

∴BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10，

①若点B为直角顶点，则BC2PB2PC2即：184t2t26t10解之得：t2，

②若点C为直角顶点，则BC2PC2PB2即：18t26t104t2解之得：t4，

③若点P为直角顶点，则PB2PC2BC2即：4t2t26t1018解之得：

t317312，t1722.

综上所述P的坐标为(1,2)或(1,4)或(1,31732)或(1,172).