2024年3月28日发(作者：学前班的数学试卷上册答案)

学科：数学

教学内容：菱形

学习目标

1．掌握菱形的概念．

2．理解菱形的性质及识别方法．

3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．

学法指导

把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同

点．

基础知识讲解

1．菱形的定义

四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．

由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平

行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．

2．菱形的性质

（1）它具有平行四边形的一切性质

（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②

菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴

是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．

3．菱形的识别方法

菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的

识别方法．

其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边

形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边

形．

4．菱形的面积计算

由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S

Rt△

.

设对角线长分别为a，b．则菱形的面积=4×

ab

11

×（

）=ab，即菱形的面积等于

22

22

对角线乘积的一半．

5．菱形的性质及识别方法的作用

利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证

明一个四边形为菱形和进行有关的计算．

重点难点

重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．

难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．

易错误区分析

运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件．

例1．判断下列说法对不对

（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）

（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）

错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等．

错解：（1）（√） （2）（×）

正解：（2）（×） （2）（×）

运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，

有时忽略平行四边形这些条件．

由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．

例2．如图在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点连结AE，AF.求证：AE＝AF

错误分析：本题证明错在BE＝DF，因为并未证明BC＝CD，推理不严格

错证：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，∠B＝∠D

又∵E，F分别为BC，CD的中点，∴BE＝DF

∴△ABE≌△ADF ∴AE＝AF

正证：∵菱形ABCD ∵AB＝AD，∠B＝∠D，

∴

11

BC=CD

22

又∵EF分别为BC，CD的中点 ∴BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF ∴AE＝AF

典型例题

例l．已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF

＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．

分析：要求∠CEF的度数，可先求∠AEB的度数，而要求∠AEB的度数则必须求∠B的度

数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.

另外，由∠D＝60°．如连结AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ACF，有AE＝AF，

则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF

解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．

所∠B＝∠D＝60°.因为∠BAE＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE＝180°

所以∠AEB+60°+18°＝180°.

即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．

又∠AEF＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180°

所以∠CEF＝180°-60°-102°＝18°

解法二：连结AC ∴四边形ABCD为菱形，

∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD．


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