2023年12月10日发(作者：三昌教育理科数学试卷)

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第一章行列式

1利用对角线法则计算下列三阶行列式

201 (1)141

183201解141

1832(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

abc (2)bca

cababc解bca

cabacbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

111 (3)abc

a2b2c2111解abc

a2b2c2bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

xyxy (4)yxyx

xyxyxyxy解

yxyx

xyxyx(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3

3xy(xy)y33x2yx3y3x3

2(x3y3)

2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

解逆序数为0

(2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3  (2n1) 2 4  (2n)

n(n1) 解 逆序数为

23 2 (1个)

5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个)



(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2)(n1个)

(6)1 3  (2n1) (2n) (2n2)  2

解 逆序数为n(n1) 

3 2(1个)

5 2 5 4 (2个)



(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2)(n1个)

4 2(1个) ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

6 2 6 4(2个)



(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2)(n1个)

3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项

解 含因子a11a23的项的一般形式为

(1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42

所以含因子a11a23的项分别是

(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44

(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42

4计算下列各行列式

41(1)10041解121202142

074c2c34210c7c103074123020211041102122(1)43

141031404110c2c399101220020

10314c112c317171423(2)151120423611

22……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

23解

15112042361c4c221321524230020

00112042360r4r222310221121423402

00r4r123101120abacae(3)bdcdde

bfcfefabacaebce解

bdcddeadfbce

bfcfefbce111adfbce1114abcdef

111a1(4)001b1001c100

1da1 解

001b1001c10r1ar201ab01b101d00a1c100

1d1aba0c3dc21abaad(1)(1)211c11c1cd

01001dabadabcdabcdad1

(1)(1)32111cd 5证明:

a2abb2 (1)2aab2b(ab)3;

111……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

证明

a2abb2c2c1a2aba2b2a22aab2b2aba2b2a

00111c3c11222ababaaba(ab)3

(ba)(ba)1(1)2ba2b2a31axbyaybzazbxxyz (2)aybzazbxaxby(a3b3)yzx;

azbxaxbyaybzzxy证明

axbyaybzazbxaybzazbxaxby

azbxaxbyaybzxaybzazbxyaybzazbxayazbxaxbybzazbxaxby

zaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbxa2yazbxxb2zxaxby

zaxbyyxyaybzxyzyzxa3yzxb3zxy

zxyxyzxyzxyza3yzxb3yzx

zxyzxyxyz(a3b3)yzx

zxy ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

a2b2 (3)2cd2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)220;

(c3)(d3)2证明

a2b2c2d2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)22(c4c3c3c2c2c1得)

(c3)(d3)2a22bc2d2a22bc2d2

2a12b12c12d12a12b12c12d12a32b32c32d322221bb2b42a52b5(c4c3c3c2得)

2c52d5220

221cc2c41d

d2d41a (4)a2a4(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);

证明

1aa2a41bb2b41cc2c41d

d2d411110bacada0b(ba)c(ca)d(da)

0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

111

(ba)(ca)(da)bcd222b(ba)c(ca)d(da)111(ba)(ca)(da)0cbdb

0c(cb)(cba)d(db)(dba)1(ba)(ca)(da)(cb)(db)c(c1ba)d(dba)

=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)

x0 (5)  0an

1x  0an101  0an2          0000  xna1xn1an1xan

x1a2xa1证明 用数学归纳法证明

x1x2axa命题成立

当n2时D2a122xa1 假设对于(n1)阶行列式命题成立即

Dn1xn1a1xn2an2xan1

则Dn按第一列展开 有

1DnxDn1an(1)n1 

x 

101   

1   

  

  

  

00   

x00

  

1xDn1anxna1xn1an1xan

因此对于n阶行列式命题成立

6设n阶行列式Ddet(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

或依副对角线翻转依次得

an1  anna1n  annann  a1nD1      D2      D3      

a11  a1na11  an1an1  a11证明D1D2(1)n(n1)2DD3D

证明 因为Ddet(aij)所以

a11an1  annD1      (1)n1an1  a11  a1na21a11a21(1)n1(1)n2an1  a31                  a1nann

  a2na1na2nann   

  a3nn(n1)2(1)12  (n2)(n1)D(1)D

同理可证

D2(1)n(n1)2a11  an1n(n1)n(n1)      (1)2DT(1)2D

a1n  annD3(1)

n(n1)2D2(1)n(n1)2(1)n(n1)2D(1)n(n1)DD

7计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)

(1)Dna1 

1a, 其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

解

a0Dn0  010a0  0000a  00            000  a0100(按第n行展开)

  0a0an1(1)0  000a  0000  0          000  a1a0(1)2na 

0  a(n1)(n1)0(n1)(n1)ananan2an2(a21)

a(1)n1(1)n 

a(n2)(n2)

x(2)Dn

a aax  a        aa;

  x  a  0  0

    0xa解 将第一行乘(1)分别加到其余各行得

xaaaxxa0Dnax0xa      ax00再将各列都加到第一列上得

x(n1)aaa0xa0Dn00xa      000  a  0  0[x(n1)a](xa)n1

    0xa……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

an(a1)nan1(a1)n1(3)Dn1    aa111  (an)n  (an)n1;

      an  1 解 根据第6题结果 有

11a1n(n1)aDn1(1)2      an1(a1)n1an(a1)nn(n1)2  1  an     

n1  (an)  (an)n此行列式为范德蒙德行列式

Dn1(1)(1)(1)n(n1)2n1ij1[(ai1)(aj1)]

n1ij1n(n1)2[(ij)]

n(n1)  12(1)n1ij1(ij)

n1ij1(ij)

an 

 

 

 

bn

(4)D2ncna1b1c1d1;

dn 解 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

anD2ncn 

 

a1b1c1d1 

 

bn(按第1行展开)

dnan1ancn10 

 

a1b1c1d10an1 

 

bn10

dn100dn 

 

bn1 

 

(1)2n1bncn1cna1b1c1d1

dn10 再按最后一行展开得递推公式

D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2

于是

D2n(aidibici)D2

i2n而D2a1b1a1d1b1c1

c1d1ni1所以

D2n(aidibici)

(5) Ddet(aij)其中aij|ij|;

解 aij|ij| ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

01Dndet(aij)23  n10      n2n3n4            n1n2n3

n4  01r1r2111r2r3     

n11c2c1111c3c1     

n11111  n211  11  11  11        n3n4  111

1  0            000

0  n1000200220222      2n32n42n5(1)n1(n1)2n2

1a11(6)Dn11a2    11  1  1, 其中aaa0

12n      1an

解

1a11Dn11a2    11  1  1

      1ana1c1c2a20c2c3  0   

00a2a3  0000a3  00  0  0  0      an1  0010101

    an11an1an……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

11a1a2  an0  00011  00001  00            000  100a1110a210a3

    11an1111an100a1a2  an  0010  0001  0          000  0000  1a111a21a3  1an1ni1

000  001ai1(a1a2an)(11)

i1ain

8用克莱姆法则解下列方程组

x1x2x3x45x12x2x34x42(1)

2x13x2x35x423xx2x11x01234 解 因为

1D1231231111214142

51152D12012311112114142D12521135220111214284

511……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

1D312312315220114426D14251131231111252142

20所以

x1DD1DD1x222x333x441

DDDD15x16x20x15x26x3(2)x25x36x40

x35x46x50x45x51

解 因为

51D000651000665

6510D100151D3101507D2703D4101145

65000395

6551D5000651100212

01所以 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

x11507x21145x3703x4395x4212

665665665665665x1x2x309问取何值时齐次线性方程组x1x2x30有非零解？

x12x2x30 解 系数行列式为

11D11

121 令D0得

0或1

于是 当0或1时该齐次线性方程组有非零解

(1)x12x24x3010问取何值时齐次线性方程组2x1(3)x2x30有非零x1x2(1)x30解？

解 系数行列式为

124134D231211

111101(1)3(3)4(1)2(1)(3)

(1)32(1)23

令D0 得

02或3

于是 当02或3时该齐次线性方程组有非零解 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

第二章 矩阵及其运算

1已知线性变换

x12y12y2y3x23y1y25y3

x33y12y23y3求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换

解由已知

x1221y1x315y

x2323y2231y1221x1749y1故

y2315x2637y2

y323x3243y32y17x14x29x3y26x13x27x3

y33x12x24x32已知两个线性变换

x12y1y3y13z1z2x22y13y22y3y22z1z3

y3z23z3x34y1y25y3……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换

解由已知

x1201y120131x232y23220x2415y24150123613z11249z2

10116z30z11z2

z33x16z1z23z3所以有x212z14z29z3

x310z1z216z31111233设A111B124 求3AB2A及ATB

111051111123111解3AB2A31111242111

111051111058111230562111229011141111230TAB111124011105124计算下列乘积

13221720

2925856

904317(1)1232

5701……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

431747321135解123217(2)2316

5701577201493(2)(123)2

13解

(123)2(132231)(10)

12(3)1(12)

32(1)2222解

1(12)1(1)12133(1)32342

6102140(4)111344313012

1212678

205612102140解

1113443130a11a12a13x1(5)(x1x2x3)a12a22a23x2

aaa132333x3解

a11a12a13x1(x1x2x3)a12a22a23x2

aaa132333x3……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

x1(a11x1a12x2a13x3

a12x1a22x2a23x3

a13x1a23x2a33x3)x2

x322a11x12a22x2a33x32a12x1x22a13x1x32a23x2x3

1 5设A1(1)ABBA吗?

解ABBA

2B1130 问

23 因为AB44BA1362 所以ABBA

8(2)(AB)2A22ABB2吗?

解 (AB)2A22ABB2

2 因为AB22(AB)2222522

52814

514293868101016

但

A22ABB2411812341527所以(AB)2A22ABB2

(3)(AB)(AB)A2B2吗?

解 (AB)(AB)A2B2

2 因为AB22(AB)(AB)22AB00520102

120506

9……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

38102而

A2B2411341故(AB)(AB)A2B2

8

7 6举反列说明下列命题是错误的

(1)若A20 则A0

0 解 取A01 解 取A0 解 取

1 则A20 但A0

01 则A2A但A0且AE

0(2)若A2A则A0或AE

(3)若AXAY且A0则XY

1A00X11Y111001

1则AXAY且A0但XY

10求A2A3Ak 7设A1101010

解A21121101010

A3A2A21131

10

Akk1……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

108设A01求Ak

00解首先观察

1010221A20101022

00000023323A3A2A0332

00344362A4A3A0443

004554103A5A4A0554

005

kkk1k(k1)k22kA0kkk100k 用数学归纳法证明

当k2时显然成立



 假设k时成立，则k1时，

kkk1k(k1)k2102Ak1AkA0kkk101

0000k……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

k1(k1)k1(k1)kk120k1(k1)k1

k100由数学归纳法原理知

kkk1k(k1)k22Ak0kkk1

00k9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵

证明因为ATA 所以

(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB

从而BTAB是对称矩阵

10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

证明充分性因为ATABTB 且ABBA 所以

(AB)T(BA)TATBTAB

即AB是对称矩阵

必要性 因为ATABTB 且(AB)TAB 所以

AB(AB)TBTATBA

11求下列矩阵的逆矩阵

1 (1)22

5……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

1解A22 |A|1故A1存在因为

5A11A2152A*AA21

122252

故A11A*21|A|cossin (2)sincoscossin |A|10故A1存在因为 解AsincosA11A21cossinA*AAsincos

1222cossin

所以A11A*sincos|A|121 (3)342

541121解A342 |A|20故A1存在因为

541A11A21A31420A*A12A22A321361

32142AAA13233321013111所以AA*3

|A|221671……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

a1a02 (4)(a1a2an0) 

0ana10a2解A由对角矩阵的性质知

0an1a101a2

A110an 12解下列矩阵方程

2(1)15X46

2135463546223

21122108312解

X1211113(2)X210432

111211113 解

X432210

11111011131232

3432330221852

33……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

1(3)14X212031

0114312011211 解

X10

11243110

1110112126112361011101

204010100143(4)100X001201

001010120010143100 解

X100201001

00112001011010143100210100201001134

00112001010213利用逆矩阵解下列线性方程组

x2x23x311 (1)2x12x25x32

3x15x2x33 解 方程组可表示为

123x11225x2

351x2331x112311故

x222520

x351303……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

x11从而有

x20

x30xxx2123 (2)2x1x23x31

3x12x25x30 解 方程组可表示为

111x12213x1

325x203x111125故

x221310

x3250331x51故有

x20

x33 14设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2Ak1

证明 因为AkO 所以EAkE 又因为

EAk(EA)(EAA2Ak1)

所以 (EA)(EAA2Ak1)E

由定理2推论知(EA)可逆 且

(EA)1EAA2Ak1

证明一方面 有E(EA)1(EA)

另一方面 由AkO 有

E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak) ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

(EAA2Ak1)(EA)

故 (EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)

两端同时右乘(EA)1就有

(EA)1(EA)EAA2Ak1

15设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1

证明 由A2A2EO得

A2A2E 即A(AE)2E

或

A1(AE)E

2由定理2推论知A可逆 且A11(AE)

2由A2A2EO得

A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E

或

(A2E)1(3EA)E

4由定理2推论知(A2E)可逆 且(A2E)11(3EA)

4

证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得

|A2A|2

即 |A||AE|2

故 |A|0 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆

由A2A2EOA(AE)2E

A1A(AE)2A1EA11(AE)

2又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E

 (A2E)(A3E)4 E

所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1

(A2E)11(3EA)

4 16设A为3阶矩阵|A|1求|(2A)15A*|

2解因为A11A*所以

|A||(2A)15A*||1A15|A|A1||1A15A1|

222|2A1|(2)3|A1|8|A|18216

17设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*

证明由A11A*得A*|A|A1 所以当A可逆时 有

|A||A*||A|n|A1||A|n10

从而A*也可逆

因为A*|A|A1所以

(A*)1|A|1A

11又A1(A)*|A|(A)* 所以

1|A|(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)* ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明

(1)若|A|0则|A*|0

(2)|A*||A|n1

证明

(1)用反证法证明假设|A*|0 则有A*(A*)1E由此得

AAA*(A*)1|A|E(A*)1O

所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0

(2)由于A11A* 则AA*|A|E 取行列式得到

|A| |A||A*||A|n

若|A|0 则|A*||A|n1

若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立

因此|A*||A|n1

033 19设A110ABA2B 求B

123解由ABA2E可得(A2E)BA故

233033033B(A2E)1A110110123

1211231101101 20 设A020 且ABEA2B 求B

101 解 由ABEA2B得 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

(AE)BA2E

即 (AE)B(AE)(AE)

001 因为|AE|01010 所以(AE)可逆 从而

100201BAE030

102 21 设Adiag(121)A*BA2BA8E 求B

解 由A*BA2BA8E得

(A*2E)BA8E

B8(A*2E)1A1

8[A(A*2E)]1

8(AA*2A)1

8(|A|E2A)1

8(2E2A)1

4(EA)1

4[diag(212)]1

4diag(1, 1,

1)

222diag(121)

10 22 已知矩阵A的伴随阵A*10且ABA1BA13E 求B

解 由|A*||A|38 得|A|2

0103001000

08……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

由ABA1BA13E得

ABB3A

B3(AE)1A3[A(EA1)]1A

3(E1A*)16(2EA*)1

210610010300100600060606031006000

01141 23设P1AP其中P1101 |P|3P*11而110110求A11

2解由P1AP得APP1 所以A11A=P11P1.

4P1114

1311010



02112142731273214101133故A021111683684

11331111 24 设APP 其中P1021

1115求(A)A8(5E6AA2)

解

()8(5E62)

diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]

diag(1158)diag(1200)12diag(100) ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

(A)P()P1

1P()P*

|P|1111002222102000303

1110001211114111

111 25 设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵

证明 因为

A1(AB)B1B1A1A1B1

而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1(AB)B1可逆

即A1B1可逆

(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A

10 26 计算002100102001101030031121

0230031 解 设A102A21201B31B23

3121203A1EEB1A1A1B1B2则

OAOBOAB

22221而

A1B1B202312352

2103241……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

2A2B2012343

030931A1EEB1A1A1B1B20所以

OBOAB0OA22220252124

043009202即

011011101500100013112231022400203000304

00030927取ABCD1010验证CADB

||CA||||DB||

1010 解

CADB0110001010110002100210014而

||CA||||DB||11110

故

CADB

||CA||||DB||

34 28设A43O求|A8|及A420

O22 解 令A340143A2222

则

AAO1OA2

8故

A8A1OA18OOA2OA28

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888816

|A8||A||A||A||A|101212540O4054O4A1

A44OA2O260422 29设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求

OA (1)BOOAC1C2 则

解设BOCC3411OAC1C2AC3AC4EnO

BOCCBCBCOE341s2AC3EnC3A1由此得

AC4OC4O

COBCOC1B1BC1E2s21OAOB

1所以BOAO1AO (2)CBAOD1D2 则

解 设CBDD3411AD2EnOAOD1D2AD1CBDDCDBDCDBDOE

341324sD1A1AD1EnDO由此得

AD2O2

CD1BD3OD3B1CA1DB1CDBDE24s4……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

1AOA11O所以

1

CBBCAB1 30 求下列矩阵的逆阵

52 (1)002100008500

322B8513 则

2323

25815 解 设A25A121212B18512552于是

00210000850120010AA12500

103023BB00582111 (2)210212003100

040B3120C2141 则

21 解 设A1

1121021200311010AOA1O

0CBB1CA1B14……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

0011102211126315100

01824124

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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1 把下列矩阵化为行最简形矩阵

1021(1)2031

30431021解

2031(下一步r2(2)r1r3(3)r1)

30431021 ~0013(下一步r2(1)r3(2))

00201021 ~0013(下一步r3r2)

00101021 ~0013(下一步r33)

00031021 ~0013(下一步r23r3)

00011021 ~0010(下一步r1(2)r2r1r3)

00011000 ~0010

00010231(2)0343

0471……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

0231解

0343(下一步r22(3)r1r3(2)r1 )

04710231 ~0013(下一步r3r2r13r2 )

001302010 ~0013(下一步r12 )

00000105 ~0013

00001134333541(3)

223203342113解2313233534442231(下一步r3rr2rr3r )

2131410110 ~0010 ~0010 ~0013430488(下一步r(4)r(3) r(5) )

2340366051010100010003111422232(下一步r3rrrrr )

12324222023122

000000……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

2313712024(4)

32830237432313712024 解

(下一步r12r2r33r2r42r2 )

328302374301 ~0001 ~0010 ~0010 ~001287111024(下一步r2rr8rr7r )

2131418912781112001102(下一步rrr(1)rr )

1224314140110001021(下一步rr )

23402100210023

40010101123 2 设100A010456 求A

001001789010 解

100是初等矩阵E(12) 其逆矩阵就是其本身

001……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

101010是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是

001101E(1 2(1))

010

001010123101A100456010

001789001456101452123010122

789001782 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵

321(1)315

323321100321100解315010~014110

3230010021013203/201/23007/229/2 ~010112~010112

0021010011/201/21007/62/33/2 ~010112

0011/201/2723632故逆矩阵为112

11202……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

32010221(2)

12320121

3201100002210100解

12320010012100011232001001210001 ~

04951030022101001232001001210001 ~

00111034002101021232001001210001 ~

0011103400012161012000100 ~0010000110 ~000100001010121221`01

13616100112400101

01136121610……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

10故逆矩阵为12124101

136161041213 4(1)设A221B22 求X使AXB

31131解因为

41213r100102(A, B)221 22~

010 153

31131001124102所以

XAB153

1241021123 求X使XAB (2)设A213B231334 解 考虑ATXTBT 因为

02312r10024(AT, BT)21323~

01017

134310011424所以

XT(AT)1BT17

14211

从而

XBA1474110 5 设A011AX2XA 求X

101 解 原方程化为(A2E)XA 因为 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

110110(A2E, A)011011

101101100011~010101

001110011所以

X(A2E)1A101

1106 在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?

解在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r阶子式

1000 例如A0100R(A)3

001000000是等于0的2阶子式100是等于0的3阶子式

000107 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问AB的秩的关系怎样?

解R(A)R(B)

这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩

8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是

(10100)(11000) ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵

11100

010000

00此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量

9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式

3102(1)1121;

13443102解1121(下一步r1r2 )

13441121 ~3102(下一步r23r1r3r1 )

13441121 ~0465(下一步r3r2 )

04651121 ~0465

0000矩阵的秩为2314是一个最高阶非零子式

1132131(2)21313

70518……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

32132 解

21313(下一步r1r2r22r1r37r1 )

7051813441 ~071195(下一步r3r )

02133271513441 ~071195

000003232矩阵的秩是27是一个最高阶非零子式

21

218230(3)3251033775

8020218230 解

3251033775(下一步r2rr2rr3r )

142434802075(下一步r3rr2r )

21310001210363 ~0242103200 ~0100 ~01100317016(下一步r16rr16r )

243201420100271

00……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

10 ~0001003200210007

10075矩阵的秩为3580700是一个最高阶非零子式

32010 设A、B都是mn矩阵 证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)

证明 根据定理3 必要性是成立的

充分性 设R(A)R(B) 则A与B的标准形是相同的 设A与B的标准形为D 则有

A~DD~B

由等价关系的传递性 有A~B

123k11 设A12k3 问k为何值 可使

k23(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3

k123kr11

解

A12k3~

0k1k1k2300(k1)(k2)(1)当k1时R(A)1

(2)当k2且k1时R(A)2

(3)当k1且k2时R(A)3

12 求解下列齐次线性方程组: ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

x1x22x3x40 (1)2x1x2x3x40

2x12x2x32x40解 对系数矩阵A进行初等行变换 有

01121101A2111~0131

22120014/3x4x134x3x4于是

2

4x3x4x34x4故方程组的解为

4x13x3x2k4(k为任意常数)

3x431x12x2x3x40 (2)3x16x2x33x40

5x110x2x35x40 解 对系数矩阵A进行初等行变换有

12111201A3613~0010510150000

x12x2x4x2x2于是



x30xx44……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

故方程组的解为

x121x102xk10k20(k1k2为任意常数)

301x42x13x2x35x403xx2x37x40 (3)12

4x1x23x36x40x2x4x7x01234解 对系数矩阵A进行初等行变换有

2331A411215127~036047001

x10x0于是

2

x30x04故方程组的解为

x10x20x0

x3043x14x25x37x402x3x23x32x40 (4)1

4x111x213x316x407x2xx3x01234 解 对系数矩阵A进行初等行变换有


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