八下数学《平行四边形》竞赛试卷-(8K含答案)

2023年12月2日发(作者：龙泉小学数学试卷分析报告)

××学校八年级数学《平行四边形》竞赛试题

总分120分，时间120分钟

一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）

1．在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足,那么PE+PF= _________ ．

2．（2003•宁波）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 _________ ．（填一个即可）

3．如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE= ____ ．

4．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF．

（1）四边形ADEF是 _________ ；(2）当△ABC满足条件 _________ 时,四边形ADEF为菱形;

（3）当△ABC满足条件 _________ 时,四边形ADEF不存在．

1题 2题 3题 4题

5．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为________ ．

6．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有 _________ 对四边形面积相等;它们是 _________ ．

7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积为

_________ ．

8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°,则∠BOE的度数为 _________

度．

9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 _________ ．

6题 7题 8题 9题

二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）

10．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）

A．

60°

B．

65°

C．

70°

D．

75°

10题 11题 12题 13题

11．如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（ ）

A．

70°

B．

75°

C．

80°

D．

95°

12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=,PC=，则PD=( ）

A． 2 B． C． 3 D．

13．如图,平行四边形ABCD中,BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点,若∠AEF=54°，则∠B=（ )

A．

54°

B．

60°

C．

66°

D．

72°

14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d,其中a、c为对边,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（ ）

A． 两组角分别相等的四边形 B． 平行四边形

C． 对角线互相垂直的四边形 D． 对角线相等的四边形

15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形,如图所示,则长方形ABCD的面积为( )

A． 98 B． 196 C． 280 D． 284

15题 16题

16．（2003•吉林）如图,菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为（ ）

A． 12m B． 20m C． 22m D． 24m

17．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则（ )

A． AD＞BC B． AD＜BC

C． AD=BC D． AD与BC的大小关系不能确定

18．已知四边形ABCD,从下列条件中：（1）AB∥CD;(2）BC∥AD;(3）AB=CD；（4）BC=AD;（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有( ）

A． 4种 B． 9种 C． 13种 D． 15种

三、解答题（共11小题,满分0分）

19．如图,在△ADC中,∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G,求证：GF∥AC． 20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC,试证:BC⊥BD，且BC=BD．

21．如图,在等腰三角形ABC中,延长AB到点D,延长CA到点E，且AE=BD,连接DE．如果AD=BC=CE=DE,求∠BAC的度数．

22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．

23．（2002•河南)如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．

24．（2008•咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1)求证：EO=FO;

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

25．如图，在Rt△ABC中,∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2,D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF，求DF的长．

26．（2002•陕西）阅读下面短文:

如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②)

解答问题:

（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1 _________ S2（填“＞\"“=\"或“＜\"）．

（2)如图③，△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画 _________ 个,利用图③把它画出来．

（3)如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出 _________ 个，利用图④把它画出来．

（4）在(3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？

27．如图,在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．

28．如图,在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．

（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；

（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形,并给予必要的说明．

新课标八年级数学竞赛培训第15讲:平行四边形

参考答案与试题解析

一、填空题（共9小题，每小题4分,满分36分）

1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点,且PE⊥BD,PF⊥AC，E、F分别是垂足,那么PE+PF= ．

考点： 矩形的性质；等腰三角形的性质。

专题: 几何图形问题。

分析： 首先过A作AG⊥BD于G．根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,则PE+PF=AG．利用勾股定理求得BD的长，再根据三角形的面积计算公式求得AG的长，即为PE+PF的长．

解答： 解：如图，过A作AG⊥BD于G,

则S△AOD=×OD×AG,S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），

∵S△AOD=S△AOP+S△POD,

∴PE+PF=AG，

∴等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,

2 ∴PE+PF=AG．

∵AD=12，AB=5，

∴BD==13，

∴，

∴．

故答案为：．

点评: 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算．解决本题的关键是明白等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高．

2．（2003•宁波)如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 BE=DF ．(填一个即可)

考点： 平行四边形的判定。

专题： 开放型。

分析： 要使四边形AECF也是平行四边形,可增加一个条件：BE=DF．

解答： 解:使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等,或两组对边分别平行，如果BE=DF，则有：

∵AD∥BC,

∴∠ADF=∠CBE，

∵AD=BC，BE=DF,

∴△ADF≌△BCE，

∴CE=AF，同理，△ABE≌△CFD，

∴CF=AE,

∴四边形AECF是平行四边形．

故答案为：BE=DF．

点评： 本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一,本题利用了平行四边形和性质，通过证△ADF≌△BCE，△ABE≌△CFD，得到CE=AF,CF=AE利用两组对边分别相等来判定平行四边形．

3．如图,已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E,若AB=6,AD=8,则AE= 4。8 ．

考点： 矩形的性质.

专题： 计算题。

分析： 矩形各内角为直角,在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值,根据面积法即可计算AE的长．

解答: 解:矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形

在直角△ABD中,AB=6,AD=8

则BD==10，

∵△ABD的面积S=AB•AD=BD•AE,

∴AE==4。8．

故答案为 4.8．

点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算,本题中根据勾股定理求BD的值是解题的关键．

4．如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．

（1)四边形ADEF是 平行四边形 ；

(2)当△ABC满足条件 AB=AC 时，四边形ADEF为菱形；

（3)当△ABC满足条件 AB=AC=BC 时，四边形ADEF不存在．

考点： 等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定.

专题： 证明题.

分析: (1）先证明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，则DE=AC=AF,FE=AB=AD，则四边形ADEF是个平行四边形；

（2）当AB=AC时，四边形ADEF为菱形；

(3）当AB=AC=BC时，四边形ADEF不存在．

3 解答： 解：（1）四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中,

∵BC=BE,BA=BD，∠DBE=∠ABC（与∠ABE之和都等于60°），

∴△ABC≌△DBE，

∴DE=AC，

在△ABC和△FEC中,

∵BC=EC，CA=CF，∠ACB=∠FCE（都为60°角与=∠ACE之和）,

∴△ABC≌△FEC，

∴FE=AB,

∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，

∴四边形ADEF是个平行四边形；

（2)当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时,

由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形;

（3）当△ABC为等边三角形时，即AB=AC=BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，

此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

点评: 本题考查了平行四边形、菱形的判定以及等边三角形的性质．

5．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为 ．

考点: 勾股定理的逆定理;勾股定理。

专题: 探究型。

分析： 先根据三角形的一边长为2，这边上的中线为1判断出此三角形是直角三角形，在设另两边分别为x、y两用完全平方公式可用x2+y2表示出xy的值，再由勾股定理即可求出x2+y2，进而可求出xy的值．

解答: 解:∵三角形的一边长为2，这边上的中线为1，可知这边上的中线等于这条边的一半,

∴此三角形是个直角三角形，斜边为2，

设另两边分别为x、y,两边之和x+y=1+，

∴（x+y）2=(1+）2=4+2,

∴xy=2+﹣，

又∵直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方，

∴x2+y2=4,

∴xy=2+﹣2=．

故答案为：．

点评: 本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，根据已知条件判断出三角形的形状是解答此题的关键，解答此题时不要根据另两边之和为1+即可盲目的设一边为1,另一边为．

6．如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有 5 对四边形面积相等;它们是 ▱AEPG与▱PHCF、▱EFCB与▱ABHG、▱GHCD与▱EFDA、梯形ABPG与梯形BCFP、四边形PHCD与四边形AEPD ．

考点： 平行四边形的性质。

分析： 由题意可证四边形EPHB为平行四边形,再根据平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，从而求解．

解答： 解：∵EF∥BC，GH∥AB,

∴四边形EPBH为平行四边形，

∵BP为平行四边形EPBH的对角线，

∴△EBP与△BHP的面积相等，

∵BD为平行四边形ABCD的对角线，

∴△ABD与△BCD面积相等,

∵PD为平行四边形PFDG的对角线，

∴△GPD与△PFD面积相等,

∴▱AEPG与▱PHCF面积相等;▱EFCB与▱ABHG面积相等；▱GHCD与▱EFDA面积相等、梯形ABPG与梯形BCFP、

梯形PHCD与梯形AEPD．共5对，

故答案为:5,▱AEPG与▱PHCF、▱EFCB与▱ABHG、▱GHCD与▱EFDA、梯形ABPG与梯形BCFP、梯形PHCD

4 与梯形AEPD．

点评: 此题主要考查平行四边形的性质及其面积公式，比较简单．

7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为 ．

考点： 菱形的性质；勾股定理.

专题: 计算题。

分析: 根据∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°,即AB=2AO,设AO=x，则AB=2x，根据勾股定理即可求得OB=x，求得x的值即可求得AC，BD的长度，即可计算菱形ABCD的面积．

解答： 解：菱形对角线即角平分线

∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，

即AB=2AO，

设AO=x，则AB=2x,

则OB==x,

即（3+）x=3+

即x=1，

∴菱形的对角线长为2、2，

故菱形ABCD的面积为S=×2×2=2．

故答案为 2．

点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形对角线互相垂直且平分一组对角的性质，本题中根据勾股定理求x的值是解题的关键．

8．如图,矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD,交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为 75

度．

考点： 矩形的性质；等边三角形的判定与性质。

专题： 计算题。

分析： 根据矩形的性质可得△BOA为等边三角形，得出BA=BO，又因为△BAE为等腰直角三角形，BA=BE，由此关系可求出∠BOE的度数．

解答： 解：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=45°,

又知∠EAO=15°，

∴∠OAB=60°，

∵OA=OB，

∴△BOA为等边三角形，

∴BA=BO,

∵∠BAE=45°,∠ABC=90°，

∴△BAE为等腰直角三角形，

∴BA=BE．

∴BE=BO,∠EBO=30°，

∠BOE=∠BEO,

此时∠BOE=75°．

故答案为75°．

点评： 此题综合考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点．

9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为 10 ．

考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质。

专题： 计算题。

分析: 因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积,求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x,则在Rt△AFD′中,根据勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．

解答： 解:易证△AFD′≌△CFB，

∴D′′F=BF，

5 设D′F=x，则AF=8﹣x,

在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，

解之得:x=3，

∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，

∴S△AFC=•AF•BC=10．

故答案为 10．

点评： 本题考查了勾股定理的正确运用,本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．

二、选择题(共9小题，每小题5分，满分45分）

10．如图，▱ABCD中,∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）

60° 65° 70° 75°

A ． B． C． D．

考点: 平行四边形的性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线。

专计算题.

题：

分析: 由DE=2AB，可作辅助线:取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．

解解:取DE中点O，连接AO,

答：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB=180°﹣∠ABC=105°，

∵AF⊥BC，

∴AF⊥AD，

∴∠DAE=90°，

∴OA=DE=OD=OE,

∵DE=2AB，

∴OA=AB，

∴∠AOB=∠ABO,∠ADO=∠DAO,∠AED=∠EAO，

∵∠AOB=∠ADO+∠DAO=2∠ADO，

∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO,

∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，

∴∠ADO=25°,∠AOB=50°，

∵∠AED+∠EAO+∠AOB=180°，

∴∠AED=65°．

故选B．

点此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）、平行四边形的性质（平行四边形的对评： 边平行)以及等腰三角形的性质（等边对等角)，解题的关键是注意方程思想的应用．

11．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等,点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（ ）

70° 75° 80° 95°

A ． B． C． D．

考菱形的性质;等腰三角形的性质；等边三角形的性质。

点：

专计算题。

题：

分正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，所以AB=AE，AF=AD，根据邻角之和为180°即可求得∠B的度数．

析：

解解：正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等,所以AB=AE,AF=AD,

答： 设∠B=x，则∠BAD=180°﹣x，

∠BAE=∠DAF=180°﹣2x，

即180°﹣2x+180°﹣2x+60°=180°﹣x

6 解得x=80°,

故选 C．

点本题考查了正三角形各内角为60°、各边长相等的性质,考查了菱形邻角之和为180°的性质，本题中根据关于x的评： 等量关系式求x的值是解题的关键．

12．如图，正方形ABCD外有一点P,P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间,若PA=，PB=，PC=,则PD=( )

A ． 2 B． C． 3 D．

考正方形的性质;勾股定理。

点：

专题: 计算题。

分析:

用EF,BE，AB分别表示AP,BP，用CF,PF，DC分别表示DP,CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP,BP，CP代入上式即可求DP．

解解：延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF=BE，

答：

AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，

DP2=DF2+PF2,CP2=CF2+FP2,

∴AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，

DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2,

即AP2+CP2=DP2+BP2，

代入AP，BP，CP得DP==2，

故选 A．

点本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边相等的性质，本题中求证AP2+CP2=DP2+BP2是评： 解题的关键．

13．如图,在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E,F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（ ）

54° 60° 66° 72°

A ． B． C． D．

考点: 菱形的判定与性质；平行四边形的性质。

专计算题.

题：

分析: 过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点,由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数,只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数,根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．

解解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；

答： 则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，

即G是BC的中点；

连接EG,在Rt△BEC中,EG是斜边上的中线，

则BG=GE=FG=BC；

∵AE∥FG，

∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°,

∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°,

∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．

故选D．

点此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质,正确地构造出与所求相关的评： 等腰三角形是解决问题的关键．

14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d,其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是( ）

A． 两组角分别相等的四边形 B． 平行四边形

C． 对角线互相垂直的四边形 D．对 角线相等的四边形

考点: 平行四边形的判定；非负数的性质：偶次方；完全平方公式。

7 专题： 规律型。

分析：

对于所给等式a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,先移项，故可配成两个完全式，即（a﹣c）2+(b﹣d）2=0,进而可得a=c,b=d，四边形中两组对边相等，故可判定是平行四边形．

解答：

解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd

可化简为（a﹣c)2+(b﹣d）2=0

∴a=c，b=d

∵a,b,c，d分别为四边形ABCD的四边

∴a=c,b=d

即两组对边分别相等，则可确定其为平行四边形．

故选B．

点评： 此题主要考查平行四边形的判定问题，正确的对式子进行变形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形,如图所示,则长方形ABCD的面积为（ ）

A ． 98 B． 196 C． 280 D． 284

考点: 一元一次方程的应用。

专几何图形问题。

题：

分析: 此题要理解长方形ABCD的面积是不变的，用不同的方法表示即是此题的等量关系，也就是7个小长方形的面积和与大长方形的面积相等．还要注意设小长方形的宽为x，则其长为34﹣6x，大长方形的宽为34﹣5x,长为5x,根据等量关系列方程即可．

解解：设小长方形的宽为x．

答： 根据题意得:7x（34﹣6x）=5x（34﹣5x）

化简得：7（34﹣6x)=5(34﹣5x)

解得:x=4

则大长方形的面积为5x（34﹣5x）=280

故选C．

点此题锻炼了学生的识图能力，关键是分清7个小长方形是如何组合成大长方形的，还要注意设小的比较简单．

评：

16．(2003•吉林）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m,∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为( ）

A ． 12m B． 20m C． 22m D． 24m

考菱形的性质；等边三角形的性质.

点：

专题: 应用题。

分连接AC，根据已知可得到△ABC为正三角形,从而可求得正六边形的边长是△ABC边长的,已知种花部分图形共析： 有10条边则其周长不难求得．

解解：连接AC,

答： 已知∠A=120°,ABCD为菱形,则∠B=60°，从而得出△ABC为正三角形,以△ABC的顶点所在的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ABC边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为×6×10=20m,故选B．

点评: 此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质的运用．

17．在凸四边形ABCD中，AB∥CD,且AB+BC=CD+DA，则（ ）

A． AD＞BC B． AD＜BC

C． AD=BC D．A D与BC的大小关系不能确定

考点: 平行四边形的判定与性质。

分析: 根据条件AB+BC=CD+DA,可以延长AB至E使BE=BC，延长CD至F使DF=DA，连接CE,AF，这样的辅助线,然后根据平行四边形的判定定理得出四边形AECF为平行四边形，再利用三角形全等可以得出AD与BC的大小关系．

解答： 解：延长AB至E使BE=BC，延长CD至F使DF=DA，连接CE，AF，

∵AB+BC=CD+DA，∴AE=CF，

8 又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形,

∴∠E=∠F，CE=AF,

又∵BE=BC,DF=AD，

∴∠E=∠BCE=∠F=∠DAF,

∵CE=AF,

∴△AFD≌△BEC,

∴AD=BC，

故选C．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，延长AB至E使BE=BC，延长CD至F使DF=DA，这种辅助线的作法是由条件AB+BC=CD+DA所决定的,同学们做今后做题过程中，应该学会应用．

18．已知四边形ABCD，从下列条件中:（1)AB∥CD；（2）BC∥AD;（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；(6）∠B=∠D．任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（ )

A ． 4种 B． 9种 C． 13种 D． 15种

考平行四边形的判定。

点：

分析: 平行四边形的五种判定方法分别是：（1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．

解解:根据平行四边形的判定,符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）(2）；(3）(4)；（5）（6);(1）(3）;答： （2）(4);（1)（5）;（1）（6)；（2)（5）;（2）（6）共九种．

故选B．

点平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择评： 方法．

三、解答题（共11小题,满分0分)

19．如图，在△ADC中,∠BAC=90°,AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证:GF∥AC．

考点： 平行四边形的判定与性质;三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质。

专题: 证明题。

分析： 从角的角度证明困难，连接EF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．

解答： 证明:连接EF．

∵∠BAC=90°,AD⊥BC．

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°．

∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．

∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线．

∴∠ABG=∠EBD．

∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，

∴∠AGE=∠AEG,

∴AG=AE，

∵AF是∠DAC的平分线，

∴AO⊥BE,GO=EO,

∵

∴△ABO≌△FBO，

∴AO=FO，

∴四边形AGFE是平行四边形，

∴GF∥AE，

即GF∥AC．

9 点评: 此题主要考查平行四边形的判定与性质，三角形的外角性质和全等三角形的判定与性质的综合运用．

20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC,试证：BC⊥BD,且BC=BD．

考点： 等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质。

专题： 证明题。

分析: 此题关键是证△PBC≌△PDB，已有PC=PD,PB是公共边，只需再证明∠BPD=∠CPB，而∠BPD=∠APG，则证明∠APG=∠CPB,进而需要证明∠1=∠2，可利用同角的余角相等证明．

解答： 解：∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°,

∴CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形）,

∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵PG⊥EF，

∴∠PEF+∠2=90°，

∴∠2=∠3,

∴∠1=∠2，

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠A=∠ABC=45°,

∴∠APE=∠BPF=45°,

∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，

即∠APG=∠CPB，

∵∠BPD=∠APG,

∴∠BPD=∠CPB,

又∵PC=PD，PB是公共边,

∴△PBC≌△PBD（SAS），

∴BC=BD,∠PBC=∠PBD=45°，

∴∠PBC+∠PBD=90°,

即BC⊥BD．

故证得:BC⊥BD，且BC=BD．

点评: 本题主要考查三角形全等的判定和性质，综合利用了等腰直角三角形的性质,和矩形的判定和性质等知识点，难度较大．

21．如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，且AE=BD，连接DE．如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数．

考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质。

专题： 综合题。

分析： 过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到BD=CF,DA∥FC,再利用SAS判定△ADE=△CEF，根据全等三角形的性质可得到ED=EF，从而可推出△DEF为等边三角形，∠BAC=x°，则∠ADF=∠ABC=，根据三角形内角和定理可分别表示出∠ADE，∠ADF，根据等边三角形的性质不难求得∠BAC的度数．

解答： 解：过D作DF∥BC,且使DF=BC,连CF、EF,则四边形BDFC是平行四边形，

∴BD=CF,DA∥FC,

∴∠EAD=∠ECF,

∵AD=CE，AE=BD=CF,

∴△ADE≌△CEF（SAS）

∴ED=EF，

∵ED=BC,BC=DF，

∴ED=EF=DF

∴△DEF为等边三角形

10 设∠BAC=x°，则∠ADF=∠ABC=,

∴∠DAE=180°﹣x°，

∴∠ADE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2(180°﹣x°)=2x°﹣180°，

∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°

∴+（2x°﹣180°）=60°

∴x=100．

∴∠BAC=100°．

点评： 此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．

22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF,以AD为边作等边△ADE．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．

考点: 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题: 证明题。

分析： （1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．

（2）当∠DEF=30°，即为∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°,即F为AB的中点,又因为△ACD≌△CBF,所以点D为BC的中点．

解答： 证明：（1）由△ABC为等边三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA,CD=BF,

所以△ACD≌△CBF．

(2）当D在线段BC上的中点时,四边形CDEF为平行四边形，且角DEF=30度

按上述条件作图，

连接BE，

在△AEB和△ADC中,

AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°,即∠EAB=∠DAC，AE=AD，

∴△AEB≌△ADC（SAS)，

又∵△ACD≌△CBF,

∴△AEB≌△ADC≌△CFB，

∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，

∴△EFB为正三角形,

∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，

又∵∠ABC=60°,

∴∠EFB=∠ABC=60°，

∴EF∥BC，

而CD在BC上,∴EF平行且相等于CD，

∴四边形CDEF为平行四边形，

∵D在线段BC上的中点，

∴F在线段AB上的中点,

∴∠FCD=×60°=30°

则∠DEF=∠FCD=30°．

点评: 本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识,三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

23．（2002•河南）如图所示,在Rt△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E,M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论．

考点： 等腰三角形的判定。

专题: 证明题。

分析: 根据已知，利用SAS判定△AEM≌△BFM，从而得到EM=FM;根据角之间的关系可求得∠EMF=90°，即△MEF

11 是等腰直角三角形．

解答： 解：△MEF是等腰直角三角形．

证明如下：

连接AM，

∵M是BC的中点，∠BAC=90°,AB=AC,

∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．

∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．

∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB,

∴DE∥AB,DF∥AC．

∵∠BAC=90°，

∴四边形DFAE为矩形．

∴DF=AE．

∵DF⊥BF，∠B=45°．

∴∠BDF=∠B=45°．

∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°,

∴AE=BF．

∵AM=BM

∴△AEM≌△BFM（SAS)．

∴EM=FM,∠AME=∠BMF．

∵∠AMF+∠BMF=90°,

∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°,

∴△MEF是等腰直角三角形．

点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用;得到AE=BF是正确解答本题的关键．

24．（2008•咸宁）如图，在△ABC中,点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．

（1)求证：EO=FO;

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

考点: 矩形的判定。

专题： 几何综合题。

分析： (1)根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证．

(2)根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证

解答： (1）证明：∵CE平分∠ACB,

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，(2分)

同理,FO=CO,（3分)

∴EO=FO．

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

∵EO=FO，点O是AC的中点．

∴四边形AECF是平行四边形,（6分）

∵CF平分∠BCA的外角，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠2+∠4=×180°=90°．

即∠ECF=90度，（7分）

12 ∴四边形AECF是矩形．（8分)

点评： 本题涉及矩形的判定定理,解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠C=60°，BC=2,D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF，求DF的长．

考点： 正方形的性质;全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。

专题: 计算题。

分析： 求证△DEC≌△BAC,得DE=AB，再求证DF=DE即可解此题．

解答： 解：∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，

∴∠BAC=30°，∴BC=AC，∵D为AC的中点,∴BC=DC，

∴在△DEC≌△BAC中，

，

∴△DEC≌△BAC，

即AB=DE，∠DEB=30°,

∴∠FED=60°，∵EF=AB，∴EF=DE,∴△DEF为等边三角形，即DF=AB,

在直角三角形ABC中,BC=2,则AC=4

AB==．答：DF的长为．

点评： 本题考查了等腰三角形各边均相等,考查了矩形内角均为直角的性质，本题中求证△DEF是等边三角形是解题的关键．

26．菱形的对角线AC与BD交于点O，若菱形ABCD的面积为24,AC=6，则菱形的边长为 5 ．

分析： 根据菱形ABCD的面积和AC可以计算BD的长，在Rt△ABO中，已知AO、BO根据勾股定理即可求得AB的值,即可解题．

解答： 解:菱形ABCD的面积S=AC•BD

S=24，AC=6，则BD=8，∴AO=CO=3，BO=DO=4在Rt△ABO中，AB==5，故答案为 5．

点评： 本题考查了菱形面积的计算公式,考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据AO、BO的值求AB的值是解题的关键．

27．（2002•陕西）阅读下面短文：

如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB(如图②）

解答问题：

（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1 = S2（填“＞”“=\"或“＜”)．

（2）如图③,△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画 1 个,利用图③把它画出来．

（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB,按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 3 个,利用图④把它画出来．

（4）在(3）中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么？

分析： (1)易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等．

（2)可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一种情况．

（3)可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上,可得三种情况．

（4)根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可．

解答: 解：(1）=

(2）1

(3）3

（4）以AB为边长的矩形周长最小，

设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等,设为S,

13 ∴L1=+2a；L2=+2b;L3=+2c．

∵L1﹣L2=2（a﹣b)而a﹣b＞0，ab﹣s＞0,ab＞0

∴L1﹣L2＞0，

∴L1＞L2,同理可得L2＞L3∴以AB为边长的矩形周长最小．

点评: 注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法．

28．如图，在△ABC中，∠C=90°,点M在BC上，且BM=AC，N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于P,求证:∠BPM=45°．

考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。

专题： 证明题。

分析： 可过点M作ME∥AN,使ME=AN，连NE，BE，得出四边形AMEN为平行四边形,再通过求证△BEM≌△AMC，可得出△BEN为等腰直角三角形,进而再利用平行线的性质可得出结论．

解答: 证明：如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，

则四边形AMEN为平行四边形,

∴NE=AM,ME⊥BC，

∵ME=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90°,BM=AC，

∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE,∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠3=90°，

∴∠2+∠4=90°且BE=NE，

∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°,

∵AM∥NE，

∴∠BPM=∠BNE=45°．

点评： 本题主要考查平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定及性质，能够求解一些简单的应用问题．

29．如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P,AC的中点为Q，连接PQ、DE．

（1)求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；

(2)如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．

考点： 线段垂直平分线的性质;直角三角形斜边上的中线。

分析： (1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;

（2）根据题意，画出图形；结合图形,改写原题．

解答： （1）证明：连接PD、PE、QD、QE．

因为CE⊥AB，P是BF的中点,

所以△BEF是直角三角形，且

PE是Rt△BEF斜边的中线，

所以PE=BF．又因为AD⊥BC，所以△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，

所以PD=BF=PE，所以点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证,QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，所以QD=AC=QE，所以点Q也在线段DE的垂直平分线上．所以直线PQ垂直平分线段DE．

（2）当△ABC为钝角三角形时，(1)中的结论仍成立．

如图,△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．

原题改写为：如图，在钝角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F,BF的中点为P,AC的中点为Q，连接PQ、DE．

求证:直线PQ垂直且平分线段DE．

证明：连接PD，PE,QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，

所以PD=BF，PE=BF，所以PD=PE,点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，

所以点Q在线段DE的垂直平分线上．

14 点评:

所以直线PQ垂直平分线段DE．

此题考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性,但难度不是很大．

15