2023年12月2日发(作者：wps编辑数学试卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－4 A．{x|－4 C．{x|－2 答案 C 解析 ∵N＝{x|－2 ∴M∩N＝{x|－2 2．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( ) A．(x＋1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 答案 C 解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)， ∴z＝x＋yi(x，y∈R)． ∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C. 3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( ) A．a C．c 答案 B 解析 ∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人B．a D．b B．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 B．{x|－4 D．{x|2 体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( ) A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 答案 B 解析 若头顶至咽喉的长度为26 cm，则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26 cm，即头顶至咽喉的长度小于26 cm，所以其身高小于178 cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B. 5．函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为( ) A. B. C. 答案 D 解析 ∵f(－x)＝＝－ D. ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A； ∵f(π)＝＝>0，∴排除C； ∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D. 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A. 7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B. 8．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( ) A．A＝ B．A＝2＋ C．A＝答案 A D．A＝1＋ 解析 A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A. 9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．an＝2n－5 C．Sn＝2n2－8n 答案 A 解析 设等差数列{an}的公差为d， ∵∴解得 B．an＝3n－10 D．Sn＝n2－2n ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A. 10．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 答案 B D.＋＝1 解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B. 11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间上单调递增； ③f(x)在[－π，π]上有4个零点； ④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( ) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 答案 C 解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当 f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C. 12．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( ) A．8π B．4π C．2π D.π 答案 D 解析 因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE. 取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP， 所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为所以该正方体的体对角线长为，，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π3＝π，故选D. 二、填空题 13．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 y＝3x 解析 因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x. 14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，＝a6，则S5＝________. 答案 解析 设等比数列{an}的公比为q，因为＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． 答案 0.18 解析 记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18. 16．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若答案 2 →→解析 因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图． ＝，·＝0，则C的离心率为________． 因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线， 所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝. 因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)， 所以＝，所以b2＝3a2， 所以c2－a2＝3a2， 即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2. 三、解答题 17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C. 解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C， 故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝， 因为0° (2)由(1)知B＝120°－C， 由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C， 即＋cos C＋sin C＝2sinC， 可得cos(C＋60°)＝－. 由于0° 故sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° ＝. 18．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． (1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求二面角A－MA1－N的正弦值． (1)证明 连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D. 由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE. (2)解 由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，空间直角坐标系D－xyz， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的 则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，＝(－1,0，－2)，，2)，N(1,0,2)，，0)． ＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(0，－设m＝(x，y，z)为平面A1MA的一个法向量，则 所以可得m＝(，1,0)． 设n＝(p，q，r)为平面A1MN的一个法向量，则 所以可取n＝(2,0，－1)． 于是cos〈m，n〉＝＝＝， 所以二面角A－MA1－N的正弦值为. 19．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 令Δ>0，得t<， 则x1＋x2＝－从而－. ＝，得t＝－. 所以l的方程为y＝x－. (2)由由＝3可得y1＝－3y2， 可得y2－2y＋2t＝0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3， 代入C的方程得x1＝3，x2＝， 即A(3,3)，B， 故|AB|＝. 20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明： (1)f′(x)的区间上存在唯一极大值点； (2)f(x)有且仅有2个零点． 证明 (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋. 当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0， g′<0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α. 则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0. 所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在上单调递减，故g(x)在上存在唯一极大值点，即f′(x)在上存在唯一极大值点． (2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)． ①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增．而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零点； ②当x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在上单调递减，而f′(0)＝0，f′<0，所以存在β∈，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在又f(0)＝0，f 上单调递减． ＝1－ln>0，所以当x∈时，f(x)>0. 从而，f(x)在上没有零点； ③当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减．而f >0，f(π)<0，所以f(x)在上有唯一零点； ④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点． 综上，f(x)有且仅有2个零点． 21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8. (ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列； (ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． (1)解 X的所有可能取值为－1,0,1. P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)． 所以X的分布列为 (2)(ⅰ)证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)． 又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列． (ⅱ)解 由(ⅰ)可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0) ＝p1. ，所以 由于p8＝1，故p1＝p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) ＝p1 . ＝p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)．以坐标原点O为极点，x≈0.003 9，此时得出错误结轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋(1)求C和l的直角坐标方程； (2)求C上的点到l距离的最小值． 解 (1)因为－1<＝1(x≠－1)． l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0. ≤1，且x2＋2＝2＋ρsin θ＋11＝0. ＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋ (2)由(1)可设C的参数方程为C上的点到l的距离为 ＝. (α为参数，－π<α<π)． 当α＝－时，4cos＋11取得最小值7， . 故C上的点到l距离的最小值为23．[选修4－5：不等式选讲] 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： (1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 证明 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝所以＋＋≤a2＋b2＋c2. (2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2＝24. 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. )×(2)×(2) ＝＋＋.
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