2024年1月21日发(作者：沂水数学试卷2018)
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第二十一章 一元二次方程
【抛砖引玉】
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.
韦达的小传
韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.因此，他获得了“代数学之父”之称.他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著.韦达的著作，以独特 形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.韦达1603年卒于巴黎，享年63岁.下面是关于韦达的一则趣事：
韦达的“魔法”
在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”.原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权.另外，韦达还设计并改进了历法.所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底.
【先睹为快】
本章主要包括一元二次方程及其相关概念、一元二次方程的解法及一元二次方程的实际应用三个知识点.主要学习用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，根的判别式以及根与系数的关系，用一元二次方程来解决实际问题.
【众说纷纭】
老师：怎样才能学好一元二次方程？
学生1:我认为，一元二次方程与前面学过的一元一次方程、二元一次方程组很类似，几元就是指几个未知数，几次就是指未知数的次数是几.只要前面这两种方程学好了，学一元二次方程就简单了.
学生2: 你们知道什么是方程根吗?告诉大家，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根.一元二次方程的根就是使这个一元二次方程左右边相等的未知数的值.
学生3:那一元二次方程根的情况是有时有两个根，有时没有实数根吧?
老师：你们理解的对.但是我们要注意一点，一元二次方程必须满足三个条件：一是只含有一个未知数，二是未知数的最高次数是2，三是整式方程.
学生1:知道怎么解一元二次方程吗？有三种方法哦，一是配方法、二是公式法，三是因式分解法.
学生2:是啊，是啊，三种方法还适合不同的方程形式，有时运用因式分解法好，有时运用配方法好，这一章要学习的内容还挺有意思的，我们共同来期待吧!
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21.1 一元二次方程
【解读课标】
1.理解一元二次方程的概念及一般形式，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.
2.了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根.
【洞悉课本】
知识点1 一元二次方程（重点）
一元二次方程的定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
友情所示：从一元二次方程的定义可知,一元二次方程需具备以下三个条件:
(1)只含有一个未知数,即未知数有且只有一个.如果方程中未知数的个数多于1个,那么它就不是一元二次方程.
(2)未知数的最高次数是2,即未知数的最高次数不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次项或常数项,并没有提出要求.因此,可将方程进行降幂排列,观察未知数的最高次数是否为2.
(3)方程的两边是整式.整式是单项式和多项式的统称.说明分母不能含有未知数,被开数不能含有未知数.
只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之，是一元二次方程，那么它就一定满足以上三个条件.
例1 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）.
A.x210
x2 bxc0
D.3x2xy5y0
222C.(x1)(x2)1
【解题思路】根据一元二次方程的定义, 把一个整式方程经化简后含一个未知数且未知数的最高次数为2就是一元二次方程.A项分母中含有未知数；B项中未强调a≠0；D项中含2有两个未知数；把C项展开整理为x-x-3=0，符合一元二次方程的概念.
【答案】C.
【方法归纳】判断一个方程是否为一元二次方程，首先要将方程化简，使方程右边为0，然后观察它是否具备一元二次方程的三个条件：（1）只含有一个末知数，（2）末知数的最高次数是2，（3）整式方程，这三个条件缺一不可.
【举一反三】
1.(★)下列方程中，关于x的一元二次方程是( ).
A.3(x+1)=2(x+1) B.|m|2112=0 C.（a-1）x2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-1
2xx2. (★★) 方程(m+2)x+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则( ).
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）
一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)，这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
【友情提示】
一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式，它的左边是未知数的二次三项式，且其中a通常写成大于0的形式，而右边是0.一元二次方程的一
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般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础.
例2 把下列方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
2（1）x（x+6）=5； （2）（x+1）（x-4）=-4； （3）（2x+1）=4x．
【解题思路】首先对三个方程进行适当的整理，化为一般形式，再指出二次项系数、一次项系数和常数项.
22【解】（1）x（x+6）=5，去括号，得x+6x=5，移项，得x+6x-5=0．
其中二次项系数为1，一次项系数6，常数项-5.
22 （2）（x+1）（x-3）=-4，去括号，得x-4x+x-4=-4，移项，合并同类项，得x-3x=0.
其中二次项系数为1，一次项系数-3，常数项0.
222（3）（2x+1）=-7，去括号，得4x+4x+1=4x，移项，合并同类项，得4x+1=0．
其中二次项系数为4，一次项系数0，常数项1.
【方法归纳】一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b=0；若没有出现常数项c，则c=0.
【举一反三】
23.(★) 一元二次方程3x+2x－5=0的一次项系数是 ．
224.(★★)把方程5x（x+1）=2（x+5）+x-3化成一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．
小强的解题过程如下：
222 解：去括号，得5x+5x=2（x+25）+x-3，
222 移项，得5x+5x-2x-50-x+3=0，
2 合并，得2x+5x-47=0．
所以二次项系数是2，一次项系数是5，常数项是-47．
小强的解题过程有错误吗？若有，请指出错在什么地方，并给出正确的解题过程．
知识点3 一元二次方程的解（根）（难点）
一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
判定一个数是不是一元二次方程解的方法是：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则这个数是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解.
友情所示：一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次22方程ax+bx+c＝0（a≠0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am+bm+c＝02（a≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am+bm+c＝0（a≠0）成立，则m2一定是ax+bx+c＝0的根.
例3 已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）.
A.1 B.﹣1 C.0 D.无法确定
【解题思路】根据一元二次方程根的定义，只要将方程中的未知数换成相应的根，就可以使问题得到解决.据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1.
【答案】 B
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【方法归纳】在已知方程的根时，通常需要将方程的根代入原方程，根据要求的结果，进行转化，可通过分解因式，或者整体代入等方法实现要求解的问题.
【举一反三】
5.(★) 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是___________（只需写出一个方程）
6.(★★) 已知a是方程xx10的一个根，则221的值为（ ）.
a21a2a D．1 A．15
2 B．15
2 C．－1
【走出误区】
易错点1一元二次方程的概念理解不透彻
|m|例1方程（m+2）x+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）.
A．m=±2 B．m=2 C．m=-2 D．m≠±2
【解题思路】因为方程（m+2）x+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，所以|m|m2，
m20.解得m=2．故选B．
【答案】B
【误区分析】错解原因误认为未知数x的次数是2就可以，忽视了二次项系数m+2≠0这一隐含条件．
易错点2 不能准确确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项
2例2 写出方程3x+2x=5二次项系数、一次项系数及常数项.
【解题思路】求一元二次方程的项及各项的系数时，应先把方程化为一般形式后再确定，并注意要带上符号.
22【解】把3x+2x=5化为一般形式为3x+2x-5=0，其中二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-5.
【误区分析】错解的原因在于未将原方程化为一般形式，忽略了项的系数符号以及混淆了项与项的系数的概念.
【对接中考】
【考点透视】中考对这部分内容的考查，主要以一元二次方程的判别、一元二次方程的根以及根的应用为主，试题难度不大，属于简单题，且试题的类型通常以选择题、填空题为主.
【中考典例】
例 （2016·宜宾）已知x2是一元二次方程xmx20的一个解，则m的值是
( ).
A．-3 B．3 C． 0 D．0或3
【解题思路】把x2代入原方程可得到一个关于m的一元一次方程，再求解，应选A.
【答案】A．
【方法归纳】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法.
【真题演练】
21．（2016•牡丹江★★）若关于x的一元二次方程为ax+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）.
A.2018 B.2008 C.2014 D.2012
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2．（2016贵州省黔西南州★★）已知x=1是一元二次方程x+ax+b=0的一个根，则代数式22a+b+2ab的值是 ．
【小试身手】
1. (★)下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）.
A.21123x12x1 B.2bxc0 D.xxx1
2. (★★)已知关于x的方程x＋bx＋a＝0有一个根是－a
(a≠0)，则a－b的值为（ ）.
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
23. (★)方程3x-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
4. (★)请你写出一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，这个一元二次方程是 .
5. (★★)已知x
= 1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则m22mnn2的值为 ．
6. (★★)当m为何值时，关于x的方程(m9)x(m3)x2m0（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？
7. (★★)教材或资料会出现这样的题目：把方程22212xx2化为一元二次方程的一般形2式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项.
现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答.
（1）下列式子中，有哪几个是方程只写序号） .
①12xx2所化的一元二次方程的一般形式？（答案2121xx20 ②x2x20
2222③x2x4 ④x2x40
⑤3x23x430
（2）方程212xx2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、2常数项之间具有什么关系？
【教材习题解答】
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P（4）
21.（1）3x-6x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1. 解析: 直接把一次项6x移到左边即可.
2（2）4x+5x-81=0，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为-81. 解析:直接把常数项81移到左边即可.
2（3）x+5x=0，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0. 解析:直接把x(x+5)去括号即可.
2（4）2x-4x+2=0，二次项系数为2，一次项系数为-4，常数项为2. 解析:根据多项式乘以2多项式的法则把左边展开：(2x-2)(x-1)=0，得2x-4x+2=0.
2（5）x+10=0，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10. 解析:把左边去括号，同时右边的5x-10移到左边，合并同类项即可.
2（6）x+2x-2=0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-2. 解析:左、右两边分别22去括号，再把右边的移到左边.(3x-2)(x+1)=x(2x-1)，去括号得3x+3x-2x-2=2x-x，移项、2合并同类项得x+2x-2=0.
222.（1）设这个圆的半径为Rm，由圆的面积公式得3.14R=6.28，所以3.14R-6.28=0 解析:根据圆的面积公式得到方程.
（2）设这个直角三角形较长的直角边为xcm，由三角形的面积公式得1x(x-3)=9，整理得2123x-x-9=0. 解析：直接根据三角形的面积公式构造方程.
223.-4，3 解析: 分别把-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4代入到方程x+x-12=0的左边，看是否与右边相等，如果相等，则是原方程的根；若不相等，则它不是原方程的根.
4.解析：设长方形的宽为xcm，则长方形的长是(x+1)cm，由题意得x(x+1) =132，即2x+x-132=0.
5.解析：设长方形的长为xcm，则长方形的宽是(0.5-x)cm，由长方形的面积公式2x(0.5-x)=0.06，整理得x-0.5x+0.06=0.
6.解析:设有x人参加聚会，根据题意可知(x-1)+(x-2)+…+2+1=10，即2x(x1)10，整2x2x100. 理得227.解析:由题意可知，2-c=0，所以c=4，所以原方程x-4=0，所以x=±2，即这个方程的另一个根是-2.
21.2 降次----解一元二次方程
【解读课标】
1.理解并掌握一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法，会选择适当的方法解一元二次方程；
22.会用b-4ac判断一元二次方程根的情况；
3.理解一元二次方程的根与系数的关系；
4.通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想.
【洞悉课本】
知识点1 配方法解一元二次方程（难点）
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配方法就是通过将原方程配成完全平方式来解一元二次方程的方法.配方法的理论依据是完全平方公式.
配方法的步骤是：
1. 移项：使含未知数的项在左边，常数项在右边；
2. 化二次项系数为1：两边同除以二次项系数；
3.配方：方程两边都加上一次项系数的一半，写成(xm)n的形式；
4.求解：利用平方根定义直接开平方（n＜0无解）.
友情所示：（1）配方法是一种很重要的数学方法，但使用起来较复杂，故没有特别说明，一般不使用.但此方法非常重要，以后有着广泛的应用，必须掌握它.
（2）运用上面的步骤时，一定要注意先化二次项系数为1，配方时，要注意方程两边都加上一次项系数的一半，不能只加一边.
例1 解方程 ：2x5x20．
【解题思路】根据配方法解题的一般步骤，按照解题步骤一步步来，就可以顺利解出来.
2【解】移项，得2x-5x=2，
二次项系数化为1，得x222225x1，
22555配方，得xx1244
52953即(x)，x．
416441解得x12，x2．
2【方法归纳】配方法是一种重要的解题方法，在应用它时主要是依据一般步骤，只要注意一次项的符号，选准和（或差）的平方，就可以得到正确答案.
【举一反三】
1.(★) 用配方法解一元二次方程x4x5时，此方程可变形为（ ）.
A.x21 B.x21 C.x29 D.x29
2. (★★) 配方法解方程x－4x＋1=0
知识点2 一元二次方程根的判别式（难点）
一般地，式子b-4ac叫做方程axbxc0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△来表22222222示，即△=b-4ac.用根的判别式可不用解方程直接判断一元二次方程的根的情况.
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一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b－4ac的符号来判定：
2（1）当b－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
2（2）当b－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；
2（3）当b－4ac＜0时，方程没有实数根.
友情所示：①应用根的判别式要准确确定a、b、c的值；②根的判别式只适用于一元二次方程.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况.
222（1）3x+8x=3 （2）x+4=4x （3）t-t+2=0
2【解题思路】确定各方程中a、b、c的值，将它们代入△=b-4ac.由△的符号确定方程根的情况.
2【解】(1)原方程可化为3x+8x-3=0.
22∵△=b-4ac=8-4×3×（-3）=100＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.
2（2）原方程可化为x-4x+4=0.
22∵△=b-4ac=（-4）-4×1×4=0，∴原方程有两个相等的实数根.
22（3）∵△=b-4ac=（-1）-4×1×2=-7＜0，∴原方程没有实数根.
【方法归纳】根的判别式是用来判断一元二次方程根的情况的，再应用它来解题时要把方程2化为一般形式，再确定a、b、c的值，最后计算出b－4ac 的值.
【举一反三】
2210的根的情况是（ ）.
4A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
24. (★★)已知关于x的一元二次方程(a－1)x－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( ).
A.a＜2 B.a＞2 C.a＜2且a≠1 D.a＜－2
3.(★)一元二次方程x2x5.(★★)若方程xkx9=0有两个相等的实数根，则k= .
知识点3 公式法解一元二次方程（难点）
2解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax+bx+c=0（a≠0），当b-4ac≥0时，方程2bb24acax+bx+c=0（a≠0）的实数根可以写为x=的形式，这个式子叫做一元二次2a2方程ax+bx+c=0（a≠0）的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
2一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）推导过程如下：
2移项，得：ax+bx=-c
2bcx=-
aab2cb2 2b 配方，得：x+x+（）=-+（）2a2aaa 二次项系数化为1，得x+2b2b24ac 即（x+）=
24a2ab24ac ∵b-4ac≥0且4a>0，∴≥0
4a222
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bb24acbb24ac 直接开平方，得：x+=±，即x=
2a2a2abb24acbb24ac ∴x1=，x2=
2a2a【友情提示】公式法是在配方法的基础上推理得到的方法，公式法使解方程的过程简单化，体现了优化思想.公式法可以称为“解一元二次方程的万能公式”.
例3 用公式法解方程：3x14x．
【解题思路】将方程整理成一般形式，确定出a、b、c的值，将它们代入△=b-4ac计算出2数值，当b-4ac≥0时，直接代入公式求解.
【解】原方程可化为3x4x10．
因为a3，b4，c1．
222b24ac1612280，
所以x428272727，x2，即x1．
23333【方法归纳】公式法是解一元二次方程最常用的方法，它的一般步骤是：（1）把方程化成一22元二次方程的一般形式，（2）写出方程各项的系数，（3）计算出b-4ac的值，看b-4ac的值22与0的关系，若b-4ac＜0，则此方程没有实数根， 当b-4ac≥0时， 代入求根公式计算出方程的根.
【举一反三】
26.(★) 方程2x＋5x－3＝0的解是 .
7.(★★)解下列方程:（1）x+2x-35=0 （2）2x-4x-1=0 （3）3x14x．
222
知识点4 因式分解法解一元二次方程（重点）
通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别
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等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
友情所示：分解因式法是解一元二次方程较简洁的方法，关键是化方程右边为0，左边2能分解因式.但使用起来有一定的局限性，一般方程ax+bx+c=0(a≠0) ，当c=0时用因式分解法比较简单.
例4 解方程：（1）x-12x=-36 （2）(2x3)4(2x3)
22【解题思路】 (1)移项后用完全平方公式分解因式；（2）先把方程右边的代数式移到左边，使右边为0，再把左边进行因式分解.
22【解】（1）移项，得x-12x+36=0，所以（x-6）=0，即x1=x2=6.
（2）移项，得(2x3)4(2x3)0，因式分解，得
(2x3)(2x34)0.
于是(2x3)0或(2x34)0，所以x1 231 ,x2
22【方法归纳】因式分解法是最简单的解一元二次方程的方法，它的一般步骤是：（1）移项，使方程的右边为0；（2）利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式等对左边进行因式分解；（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
【举一反三】
8.(★) 方程x（x-2）+x-2=0的解是（ ）.
A.2 B.-2，1 C.－1 D.2，－1
9.(★★) 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
．．222①x3x10；②(x1)3；③x3x0；④x2x4．
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知识点5 一元二次方程根与系数的关系（选学）
探索一元二次方程根与系数的关系
bb24ac我们知道方程ax+bx+c=0（a≠0，b-4ac≥0）的两根是：x1=，2a22bb24acx2=则
2abbb24acbb24ac2b， x1+x2=+=-2aa2a2a
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bb24acbb24ac(b)2(b24ac)2b2b24acc. x1·x2=·=224a4aa2a2a规律：x1+x2=bc ，x1·x2=称为一元二次方程根与系数.
aa有关根与系数的关系的两个重要推论：
2（1）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）的是x-（x1+x2）x+x1·x2=0.
2（2）如果方程x-px+q=0的两根是x1、x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q.
友情所示：只有在方程有根即△= b-4ac≥0的前提下，才有x1+x2=22bc ，x1·x2=.
aa例5已知关于x的一元二次方程x﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ）.
A.b=﹣1，c=2 B.b=1，c=﹣2 C.b=1，c=2 D.b=﹣1，c=﹣2
【解题思路】根据根与系数的关系，由方程的两根分别为x1=1，x2=﹣2，即可求得b与c的值．
2【解】∵关于x的一元二次方程x﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2，∴b=﹣1，c=﹣2．故选D．
2【方法归纳】若x1，x2是方程x+px+q=0的两根时，则x1+x2=-p，x1·x2=q；本题也可以利用根的定义，把x1，x2分别代入方程，得到b、c的方程组进行求解.
【举一反三】
10.(★) 若x1，x2是一元二次方程2x2-7x+4=0的两根，则x1+x2与x1·x2的值分别是（ ）.
A．-，-2 B． -，2 C．，2 D．，-2
11.(★★) 已知x1、x2是方程x26x30的两个实数根，则72727272x2x1的值等于（ ）.
x1x2A． 6 B．－6 C．10 D． －10
12.(★★)（1）新人教版初中数学教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程bcax2bxc0的两根为x1,x2，则x1x2,x1x2．根据这一性质，我们可以求aa出已知方程关于x1,x2的代数式的值．例如：已知x1,x2为方程x22x10的两根，则
x1x2 ，x1x2 ．那么x12x22x1x22x1x2 ．
请你完成以上的填空．
．．．．．．．．．（2）阅读材料：已知m2m10,n2n10，且mn1．求解：由n2n10可知n0．
2mn1的值．
n111120．∴210
nnnn1又m2m10,且mn1，即m．
n1 ∴m,是方程x2x10的两根．
n∴1
9
∴m11．∴mn1=1．
nn1的值．
n2（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．
已知2m23m10,n23n20，且mn1．求m2
【走出误区】
易错点1 配方法时出错
2例1用配方法解方程x-2x-8=0
bcx0后，再进行配aa方．要注意是方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，最后化成(xm)2n的形式，．．．．．【解题思路】配方法通常将一元二次方程ax+bx+c=0，化为x22求出解即可.
222【答案】移项，得x-2x=8，x-2x+1=8+1 即(x-1)=9,两边开平方，得x-1=±3 ∴x1=4，x2=-2．
【误区分析】错解的原因在于只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而方程的右边忘了加.
易错点2 用公式法时出错
例2用公式法解方程2x27x4．
【解题思路】运用公式法解一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式，计算出“△”的值，最后代入公式即可.
【答案】移项，得：2x27x40，因为a=2,b=7,c=-4 所以b-4ac=49-4×2×(-4)=81，
2所以x781791． 即x14，x2．
2242【误区分析】错解的原因在于没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c的错误．
易错点3 解方程时约分造成失根致错
2例3 解方程（2x-3）=3（2x-3）.
【解题思路】本题方程的两边都含有（2x-3）这个相同的因式，两边不能直接除以（2x-3），要通过移项，借助因式分解来解决.
2【答案】移项，得：（2x-3）-3（2x-3）=0，因式分解，得：（2x-3）（2x-3-3）=0，所以2x-3=0
9
或2x-6=0，即x13，x23．
23这个根．
2【误区分析】错误的原因是变形不属于同解变形，方程两边都除以(2x3)时，没有考虑(2x3)也可以为0，从而丢掉了x易错点4 忽视根的情况致错
x2，例4 当a取何值时，关于x的方程ax2(3a1)x2(a1)0有两个不相等的实根x1、且有x1x1x2x21a？
【解题思路】求关于方程两根的问题时，借助于根与系数的关系，并要考虑二次项的系数不等于零，且根的判别式大于或等于零.本题是有两个不相等的实根x1、x2，故△＞0，同时注意二次项系数不能为0.
【答案】因为方程有两个不等的实根，所以a≠0，且[(3a1)]24a2(a1)=(a1)≥0，所以a≠1，因为两实根为x1、x2，所以x1x223a12(a1)，所以,x1x2aa3a12(a1)1a，解得a1，因为a≠1，所以a1．
aa【误区分析】忽视题目中的两个不相等实根的条件，其实a1时方程有两个相等的实数根．
【对接中考】
【考点透视】
中考对这部分内容的考查，主要以一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况以及根的判别式的应用为主，同时有根与系数的关系的简单应用，试题难度中等，属于中等难度题，且试题的类型通常以选择题、填空题、解答题为主.
【中考典例】
例1（2013白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a﹣3a+b，如：3★5=3-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ．
【解题思路】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即22可得到x的值.根据题中的新定义将x★2=6变形得：x﹣3x+2=6，即x-3x-4=0，因式分解得：（x-4）（x+1）=0，解得：x1=4，x2=-1，则实数x的值是-1或4．
【答案】-1或4．
【方法归纳】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
例2(2013贵州省六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.
A.k＜﹣2 B.k＜2 C.k＞2 D.k＜2且k≠1
222
9
【解题思路】根据题意得：△=b-4ac=4-4（k-1）=8-4k＞0，且k-1≠0，解得：k＜2，且k≠1．
【答案】D
【方法归纳】求一元二次方程方程中字母的取值范围内，要根据方程根的情况，借助根的判别式的值，列出关于所求字母的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的字母的取值范围．
2例3 （2013湖北省鄂州市）已知m，n是关于x的一元二次方程x-3x+a=0的两个解，若（m-1）（n-1）=-6，则a的值为（ ）.
A.-10 B.4 C.-4 D.10
【解题思路】利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值.根据题意得：m+n=3，mn=a，∵（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1=-6，∴a-3+1=-6，解得：a=-4．
【答案】C.
【方法归纳】此类题目需先求出两根之和，两根之积，然后代入所给式子求出字母的值.熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.
22例4（2013四川省乐山）已知关于x的一元二次方程x-（2k+1）x+k+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【解题思路】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值.
22（1）【证明】∵△=（2k+1）﹣4（k+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）【解】一元二次方程x﹣（2k+1）x+k+k=0的解为x=2222k11，即x1=k，x2=k+1，
2当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
2【方法归纳】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
【真题演练】
1．（2013四川省成都★）一元二次方程xx20的根的情况是（ ）.
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
2．（2013湖北天门、潜江★）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则22α+αβ+β的值为（ ）.
A.-1 B.9 C.23 D.27
3．（2013•四川绵阳★★）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x23kx80，则△ABC的周长是 .
2【小试身手】
1. (★) 一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（ ）.
9
A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
22. (★) 已知x=1是方程x+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）.
A.1 B.2 C.-2 D.-1
3.(★)关于x的一元二次方程x2(m2)xm10有两个相等的实数根，则m的值是（ ）.
A．0 B．8 C．42 D．0或8
4. (★★) 试写一个有两个不相等实根的一元二次方程: .
．．5. (★★) 元二次方程a－4a－7=0的解为 .
26. (★★) 已知一元二次方程y﹣3y + l = 0的两个实数根分别为y1、y2，则(y1﹣l)（y2﹣l)的值为 ．
7. (★★) 解方程：（1）x＋3x＋1=0 （2）xx2x20
22
8. (★★) 关于x的一元二次方程x4xk30的两个实数根为x1、x2，且满足2x13x2，试求出方程的两个实数根及k的值.
9. (★★)阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程.
2例： 解方程
x- |x-1|-1=0
解：（1）当x-1≥0即x≥1时，|x-1|= x-1
22原方程化为x- （x-1）-1=0，即x-
x=0，解得x1=0，x2=1
∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解.
（2）当x-1＜0即x＜1时，|x-1|=
-(x-1)
22原方程化为x+（x-1）-1=0，即x+
x-2=0，解得x1=1，x2=-2
∵x＜1，故x=1舍去，x=-2是原方程的解.
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-2.
2解方程：
x+2 |x+2|-4=0
9
【教材习题解答】
P（16）
221.（1）解析: 36x-1=0，移项得36x=1，直接开平方得6x=±1，所以6x=1或6x==-1，所以原方程的解是x1=211，x2=-.
669，2（2）解析：4x=81，直接开平方得2x=±9，所以2x=9或2x==-9，所以原方程的解是x1=x2=-9.
22（3）解析：（x+5）=25，直接开平方得x+5=±5，所以x+5=5或x+5=-5，所以原方程的解是x1=0，x2=-10.
2（4）解析：原方程可化为（x+1）=4，直接开平方得x+1=±2，所以x+1=2或x+1=-2，所以原方程的解是x1=1，x2=-3.
2.（1）9，3 解析: 根据完全平方式的概念.
（2）11， 解析：根据完全平方式的概念.
4211， 解析：根据完全平方式的概念.
25522222（3）1，1 解析：根据完全平方式的概念.
（4）3.（1）解析: 移项得x+10x=-16，配方得x+10x+5=-16+5，即（x+5）=9，开方得x+5=±3，所以x+5=3或x+5=-3，所以原方程的解是x1=-2，x2=-8.
31311212，配方得x-x+=+，即（x-）=1，开方得x-=±1，4444221131所以x-=1或x-=-1，所以原方程的解是x1=，x2=-.
2222555222（3）解析：二次项系数化为1得，x+2x-=0移项得x+2x=，配方得x+2x+1=+1，即333（2）解析：移项得x-x=2（x+1）=22626268，开方得x+1=±，所以x+1=或x+1=-，所以原方程的解是3333x1=-1+2626，x2=-1-.
332（4）解析：二次项系数化为1得，x-19192x-=0移项得x-x=，配方得4444x-2214511x+=+，即（x-）=，开方得x-=±，所以x-=或8886488464464x-5=-，所以原方程的解是x1=+，x2=-.
88888824. （1）有两个不相等的实数根 解析: △=（-3）-4×2×（-（2）有两个相等的实数根 解析：△=（-24）-4×16×9=0.
23）=21＞0.
2
9
（3）无实数根 解析：△=（-42）-4×1×9=-4＜0.
2（4）有两个不相等的实数根 解析：△=（-1）-4×4×（-9）=145＞0
225.（1）解析：x+x-12=0，∵a=1,b=1,c=-12,∴b-4ac=1-4×1×（-12）=49＞0,∴x=214917,∴原方程的根为x1=-4,x2=3.
222（2）解析：x-2x-1112=0，∵a=1,b=-2,c=-,∴b-4ac=2-4×1×（-）=3＞0,∴444x=232323,∴原方程的根为x1=,x2=.
2222222（3）解析：x+4x+8=2x+11，原方程可化为x+2x-3=0，∵a=1,b=2,c=-3,∴b-4ac=2-4×1×（-3）=16＞0,∴x=21612,∴原方程的根为x1=-3,x2=1.
2222（4）解析：x(x-4)=2-8x，原方程可化为x+4x-2=0，∵a=1,b=4,c=-2,∴b-4ac=4-4×1×（-2）=24＞0,∴x=42426,∴原方程的根为x1=26,x2=26.
222（5）解析：∵a=1,b=2,c=0,∴b-4ac=2-4×1×0=4＞0,∴x=的根为x1=0,x2=-2.
2411,∴原方程222（6）解析：∵a=1,b=25,c=10,∴b-4ac=(25)-4×1×10=-20＜0,∴原方程无实数根.
6.（1）解析：3x-12x=-12，原方程可化为x-4x+4=0，即(x-2)=0，∴原方程的根为x1=x2=2.
2（2）解析：4x-144=0，原方程可化为4（x+6）(x-6)=0，即x+6=0或x-6=0，∴原方程的根为x1=-6，x2=6.
（3）解析：3x(x-1)=2(x-1)，原方程可化为（x-1）(3x-2)=0，即x-1=0或3x-2=0，∴原方程的根为x1=1，x2=2222.
322（4）解析： (2x-1)= (3-x)，原方程可化为[(2x-1)+(3-x)] [(2x-1)-(3-x)]=0，即(x+2)(3x-4)=0,∴x+2=0或3x-4=0，∴原方程的根为x1=-2，x2=24.
37.（1）解析：原方程化为一般形式是：x-3x-8=0，由一元二次方程根与系数得x1+x2=3 ，x1·x2=-8.
（2）解析：由一元二次方程根与系数得x1+x2=-21，x1·x2=-1.
5（3）解析：原方程化为一般形式是：x-4x-6=0，由一元二次方程根与系数得x1+x2=4 ，x1·x2=-6.
（4）解析：原方程化为一般形式是：7x-x-13=0，由一元二次方程根与系数得x1+x2=21 ，7
9
x1·x2=-13.
712x(x+5)=7，所以x+5x-14=0，解得x1=-7，x2=2，因为直角三角形的边长为正数，28. 解析:设这个直角三角形的较短直角边为xcm,则较长直角边长为(x+5)cm，由三角形的面积公式得所以x=-7不合题意，舍去，所以x=2，当x=2时，x+5=7，由勾股定理得，这个直角三角形22的斜边长为x(x5)=53（cm）.答：这个直角三角形的斜边长为53cm.
9.解析：设共有x家公司参加商品交易会，根据题意可知(x-1)+(x-2)+…+2+1=45，即x(x1)45，整理得x2-x-90=0，所以x1=10，x2=-9，因为x必须是正整数，所以x=-92不符合题意舍去，所以x=10.答：共有10家公司参加商品交易会.
22210.解析：公式法：原方程可化为3x-14x+16=0, ∵a=3,b=-14,c=16,∴b-4ac=(-14)-4×3×16=4＞0,∴x=(14)4718,∴原方程的根为x1=2,x2=.
2333因式分解法：原方程可化为[(x-3)+(5-2x)] [(x-3)-(5-2x)]=0，即(2-x)(3x-8)=0,∴2-x=0或3x-8=0，∴原方程的根为x1=2，x2=8.
311.解析：设这个长方形的一边长为xm，则相邻边长为（10-x）m，由题意得x(10-x)=24，2整理得x-10x+24=0，解得x1=4，x2=6，当x=4时，10-x=6；当x=6时，10-x=4.故分别以4m和6m为相邻两边围成矩形即可.
12.解析：设这个凸多边形的边数为n，由题意可知1n(n-3)=20，解得n=8或n=-5，因为2凸多边形的边数不能为负数，所以n=-5不合题意舍去，所以n=8，即这个凸多边形是八边形.
假设这个有18条对角线的多边形边数为x，由题意得33171x(x-3)=18，解得x=,22因为x必须是正整数，所以这个方程无解，即假设不成立，故不存在由18条对角线的多边形.
213.解析：无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p=0总有两个不相等的实数根.理由是：原方程22222222可化为x-5x+6-p=0，△=b-4ac=（-5）-4×1×（6-p）=1+4p，因为4p≥0，所以1+4p＞0，所以原方程总有两个不相等的实数根.
21.3 实际问题与一元二次方程
【解读课标】
1.会分析实际问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题.
2.进一步提高分析问题、解决问题的能力，体会数学建模思想的应用.
3.体会数学来源于实践，发过来又作用于实践，增强应用数学的意识.
【洞悉课本】
知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤（重点）
列一元二次方程解简单的实际应用问题的方法和步骤与列一元一次方程解应用题基本相同.简单地可分为：设、找、列、解、检、答等六个步骤.具体地就是：
（1）设：弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x)表示题目中的一个未知数；
（2）找：找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系；
（3）列：根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出方程；
9
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）检：检验；
（6）答：写出答案(包括单位名称).
友情所示：这六个步骤关键是“列”，难点是“找”.
知识点2 增长率问题（难点）
例2 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2013年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2015年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆.求2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率.
【解题思路】设年平均增长率为x，则第2014年底全市汽车拥有量为15(1+x)万辆，第20152年底全市汽车拥有量为15(1+x)万辆，由此可列出一元二次方程求解.
【解】设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得
215(1+x)=21.6.
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符合题意，舍去）.
答：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率20%.
【友情提示】有关平均增长（降低）率问题，要准确掌握基本关系式：a(1x)=b(其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数，b是增长（或降低）后的数量). 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
【举一反三】
1.(★★) 某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%。商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到135.2万元，试求四、五两个月的平均增长率.
知识点3 每每型问题（重点）
例3 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【解题思路】（1）列表分析如下：
盈利单价(元))
50
日销售量
30
n
9
50－1
50－2
…
50－x
30＋2
30＋2×2
…
30＋2x
以便从中找到需要的关系式；故填 2x 50－x .
（2）题中的等量关系:盈利单价×日销售量＝日盈利总价.
【解】（1）2x 50－x
2（2）由题意得：（50－x）（30＋2x）＝2100，化简得：x－35x+300＝0 解得：x1＝15，x2＝20
∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去. ∴x＝20
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.
【方法归纳】解决该类问题关键要掌握销售中的几个基本关系式，利润=每件的利润×总件数；总价=单价×销量等，同时要知道每降低（或升高）1元，多（或少）卖的件数.
【举一反三】
2.(★★) 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
知识点4 运动问题（难点）
例4 如图所示，已知在△ABC中, ∠B=90º，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿A B边向点B以1 cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度移动．
2（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
2C（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm？说明理由．
【解题思路】设出未知数后，关键是用含未知数的代数式表示与
Q问题有关的线段、面积等．
2【解】（1）设xs后，△PBQ的面积等于4cm.此时，AP=x cm，
PB=（5－x）cm，BQ=2 x cm，由1BPBQ4，得
2PB
2当x=4时，2x=8＞7，说明此时点Q越过C点，不合要求.所以1秒后，△PBQ的面积等于4cm．
2（2）仿（1），由PBBQ=5，得(5x)(2x)5，整理得x2x0，解21A
(5x)2x4，整理得x25x40，解得x11,x24。222222得x10(舍去),x22.所以2秒后，PQ的长度等于5cm．
（3）仿（1），得1(5x)2x7，整理得x25x70，25283＜0，2
9
此方程无解。所以△PQB的面积不可能等于7cm．
【方法归纳】较为复杂的一元二次方程在几何（图形）上的应用，往往要借用一些几何整式，如面积公式、勾股定理、其他乘积关系的几何定理等等．观察图形，寻找相等关系，列出方程是解决这类问题的关键．
【举一反三】
3.(★★)如图，在Rt△ABC中，∠C=90，点P、Q同时由C、B两点出发，点P沿AC方向以2cms的速度移动，点Q沿BC方向以1cms的速度移动，几秒钟后△PCQ的面积为8cm
22
【走出误区】
易错点1 忽略题目中的要求致错
例1某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每天盈利40元，为了扩大销售，
9
增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【解题思路】设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40-x)元，每天可以售出(20+2x)件，把它们相乘即可以得到每天的利润.
2【答案】设每件衬衫应降价x元，由题意得：(40-x)(20+2x)=1200，即x-30x+200=0解得x1=10，x2=20.∵要尽快减少库存，所以x=20.
答：每件衬衫应降价20元．
【误区分析】错解中没有考虑题目中“尽量减少库存”的要求而造成错误.由题意列出方程求出根后，一定要检验所求的根是否符合实际问题的要求．
易错点2 忽视图形的组成致错
例2将一条长为20cm的铁丝围成一个矩形，要使矩形的面积为24cm，请你求出这个矩形的长与宽分别是多少？
【解题思路】矩形的面积等于长与宽的积，故设矩形的长为xcm，则宽为（10-x）cm，由题意得x(20-x)=24即可.
2【答案】设矩形的长为xcm，则宽为（10-x）cm，由题意得x(10-x)=24，整理得x-10x+24=0
解得x1=6,x2=4(舍去)，故所求矩形的长与宽分别是6cm和4cm.
【误区分析】错解误认为长加上宽就是组成矩形铁丝的长度，忽视了矩形是由四条边组成的，长与宽的和应该是周长的一半.
【对接中考】
【考点透视】
中考对这部分内容的考查，单独考查时主要有变化率问题、利润问题、数字问题等，也常与几何图形的面积问题及函数问题相结合，试题难度中等，属于较难题，且试题的类型通常以选择题、填空题、解答题为主.
【中考典例】
例1（2013•东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）.
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解题思路】设参赛球队有x个，由题意得x(x－1)=21，解得，x17,x26（不合题意舍去），故共有7个参赛球队．
【答案】C
【方法归纳】对于球赛问题，如果有x队参加，则每对要进行（x-1）场比赛，但甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场比赛，故比赛的总场次为1x(x1)场.
2例2（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【解题思路】1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
【答案】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=64，x1=7，x2=﹣9（舍去）．
9
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.
（2）64×7=448（人）．
答：第三轮将又有448人被传染．
【方法归纳】先计算出一轮后有（1+x）人患了流感，则第二轮有x（x+1）人患了流感，两轮后共有【1+x+x（x+1）】人患了流感,从而列出方程.
例3（2013山东省威海市）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）
【解题思路】（1）根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可；（2）求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可；
【答案】（1）根据小亮的设计方案列方程得：（52﹣x）（48﹣x）=2300
解得：x1=2，x2=98（舍去），∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m.
（2）作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J，
∵AB∥CD，∠1=60°，∴∠ADI=60°，
∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形，∴BC=AD
由（1）得x=2，∴BC=HE=2=AD
在Rt△ADI中，∵∠ADI=60°，∴DI=1，∴AI=AD2DI2=
2∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48﹣52×2﹣48×2+（）=2299平方米．
【方法归纳】解决第1种方案问题主要采取“靠边站”的方法，把小路看作是可活动的，将小路分别向上、向右平移，转化为规则的图形进而求解；第2种方案主要是用矩形的面积减去两个面积相等平行四边形即可.
【真题演练】
1.（2013云南昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互2相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）.
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2A.100×80﹣100x﹣80x=7644 B.（100﹣x）（80﹣x）+x=7644
C.（100﹣x）（80﹣x）=7644 D.100x+80x=356
2.（2013江苏省淮安市）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
3.（2013四川绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆.
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
9
【小试身手】
1. (★) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）.
A.8人 B.9人 C.10人 D.11人
2. (★★) 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）.
A.x(x1)2070 B.x(x1)2070 C.2x(x1)2070 D.x(x1)2070
23. (★)某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元.若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（ ）.
2222A.72(x+1) =50 B.50(x+1)=72 C.50（x-1）=72 D.72（x-1）=50
4. (★★)如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围．．的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．
围墙ABDC2
5. (★★)我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动。部分同学进入了半决赛，赛制为单循环式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了6场，则共有_______人进入半决赛.
6. (★★)某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？
7. (★★)学校为了美化校园环境，在一块长40米，宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃。
（1）请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建长方形花圃的面
9
积多1平方米，给出你认为合适的三种不同的方案
在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽，如果不能，清说明理由？
【教材习题解答】
P（21）
21. （1）x+10x+21=0原方程可化为(x+3)(x+7)=0，∴ x+3=0或x+7=0，∴原方程的根为x1=-3,x2=-7.
（2）x-x-1=0，∵a=1,b=-1,c=-1,∴b-4ac=（-1）-4×1×（-1）=5＞0,∴x=222(1)5,2∴原方程的根为x1=1515,x2=.
2222（3）3x+6x-4=0，∵a=3,b=6,c=-4,∴b-4ac=6-4×3×（-4）=84＞0，∴x=2684,∴23原方程的根为x1=321213,x2=.
332（4）3x(x+1)=3x+3，原方程可化为x=1，开方得x=±1，∴原方程的根为x1=1,x2=-1.
22（5）原方程可化为(2x-1)= (x+3)，[(2x-1)+(x+3)] [(2x-1)-(x+3)]=0，即(3x+2)( x-4)=0,∴3x+2=0或x-4=0，∴原方程的根为x1=-2，x2=4.
3222（6）7x-6x-5=0，∵a=7,b=-6,c=-5,∴b-4ac=(-6)-4×7×（-5）=146＞0，∴x=(6)14661466146,∴原方程的根为x1=,x2=.
271414
9
2.设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是（x+2），根据题意得x(x+2)=168，∴
2x+2x-168=0，∴x1=-14,x2=12.当x=-14时，x+2=-12；当x=12时，x+2=14.答：这两个偶数分别是-14，-12或12,14.
3.设这个直角三角形的一条直角边为xcm,由三角形的面积公式得21x(14-x)=24，所以2x-14x+48=0，解得x1=6，x2=8. 当x=6时，14-x=8；当x=8时，14-x=6.所以这个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm.答：这个直角三角形两条直角边分别为6cm，8cm.
224.设每个支干长出x个小分支，则1+x+x=91，整理得x+x-90=0，即(x-9)(x+10)=0,解得x1=9，x2=-10（舍）.答：每个支干长出9个小分支.
5.设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为（10-x）cm，由菱形的性质可知1x(10x)12，整理得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6. 当x=4时，10-x=6；当x=6时，210-x=4.所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm.由菱形的性质和勾股定理，得菱形的边长为()2()213，所以菱形的周长是413≈4×3.61≈14.4(cm).答：菱形的周长约是14.4cm.
6.设共有x队参加比赛，根据题意可知(x-1)+(x-2)+…+2+1=2624290x(x1)，即45，整理22125或x1212得x-x-90=0，所以x1=10，x2=-9，因为x必须是正整数，所以x=-9不符合题意舍去，所以x=10.答：共有10队参加比赛.
7.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则7200（1+x）=8450，解得x2（舍）.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为1.
121×22×29，整理得42045182416，8.设镜框边的宽度应是xcm，根据题意得(29+2x)(22+2x)-22×29=8x+204x-319=0，解得x220451824，所以16x1=x2=2045182420451824，因为x=＜0，不合题意，舍去，所以161620451824≈1.5.答：镜框边的宽度应是约1.5cm.
16x=9.设横彩条的宽度为3xcm，则竖彩条的宽度为2xcm，根据题意得1×30×20=30×20-4（30-4x）(20-6x)，整理得12x-130x+75=0，解得x1=2655133655133，x2=，因为121230-4x＞0，且20-6x＞0，所以x＜65513310，所以x=不合题意舍去.所以123
9
x=655133≈0.6，所以3x≈1.8，,2 x≈1.2，答：设计横彩条的宽度约是1.8cm，竖12彩条的宽度约是1.2cm.
10.（1）设线段AC的长度为x，则 x=(1-x)×1，解得x1=21515，x2=（舍），22所以AC=15.
22（2）设线段AD的长度为x，则x=（351515-x）×，解得x1=，x2=-1（舍），222所以AD=35.
22（3）设线段AE的长度为x，则x=（所以AE=-2+5.
353515-x）×，解得x1=-2+5，x2=（舍），222规律：若C为线段AB上一点，且满足AC=BC·AB，则点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点.
章末回顾
【知识梳理】
2AC5151.也叫黄金比，C2AB2【专题归纳】
专题1 考查一元二次方程及根的定义
9
理解一元二次方程及根的概念，注意一元二次方程的二次项系数不为0这个隐含条件.利用方程根可以求方程中含有的未知字母的值或另一个根.中考中，考查此部分的题型，以选择、填空为主.
22例1 关于x的方程x+mx-2m=0 的一个根为1，则m的值为（ ）.
A．1 B．
111 C．1或 D．1或-
2222【解题思路】根据题意，将x=1代入方程，得1+m-2m=0，解得x1=1，x2=1．
2【答案】D
【方法归纳】已知方程的根，求字母的值，其方法是将方程的根代入所给的方程，转化为未知字母的方程，再进一步求解.
专题2 考查一元二次方程根的判别式
2 一元二次方程根的判别式是中考的热点内容之一，既可以用△=b-4ac来判断一元二次方2程根的情况，也可以根据方程根的情况，运用△=b-4ac值的符号求出方程中未知系数或字母的值.本专题题型多样，有选择题、填空题，也有解答题.
2例2 如果关于x的一元二次方程kx﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）.
A.k＜111111 B.k＜且k≠0 C.-≤k＜ D.-≤k＜且k≠0
222222≤k＜，【解题思路】: 根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围.由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴且k≠0．
【答案】D
【方法归纳】由△的值，可知一元二次方程根的情况；反过来也是成立的，通常是由根的情况，转化为不等式，最后求解.
专题3 考查一元二次方程的解法
在一元二方程的解法中，优先选取顺序依次为：分解因式法、公式法 、配方法.要根据方程的特点，灵活选用适当的方法.但要注意无论选择什么样方法，“降次”是各种解法的基本思路.
2例3 解方程：x﹣2x=5．
【解题思路】方法一：方程两边同时加上1，左边即可化成完全平方式的形式，然后进行开方运算，转化成两个一元一次方程，即可求解．
方法二：可以把方程化为一般形式，利用公式法来求解.
2【解】 （1）配方得（x﹣1）=6，∴x﹣1=±，∴x1=1+2，x2=1﹣2.
（2）原方程可化为：x﹣2x-5=0，则a=1，b=-2，c=-5，△=b-4ac=4-4×1×（-5）=24，所以x=224，即x1=1+2，x2=1﹣．
【方法归纳】在解方程时，要依据题目特点适当的方法，同时要选择自己最会用的方法.对于复杂的一元二次方程，一般不急于化为一般式，应观察其特点，看能否用直接开平方法或因式分解法；若不能，再化为一般式求解.
专题4 考查根与系数的关系
9
对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程根与系数的关系是：两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
x2，例4若关于x的一元二次方程x4xk30的两个实数根为x1、且满足x13x2，试求出方程的两个实数根及k的值.
【解题思路】首先根据根与系数之间的关系得到有关方程的解与系数之间的方程，然后再联立组成方程组，从而确定出一元二次方程的解，进而求出k.
【解】 由根与系数的关系得:x1x24① ，x1x2k3②，又∵x13x2③，联立①、③，解方程组得2x13，∴kx1x233136.
x12答：方程两根为x1=3,x2=1;k=6.
【方法归纳】根据两根之和的关系，以及题目中两根存在的关系可以得到方程的两根，再利用两根之积的关系得到要求的k值.
专题5 考查一元二次方程的应用
例5 某市金明寓楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.
（1）求平均每次下调的百分率.
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【解题思路】（1）设平价每次下调的百分率为x，则第一次下调后的价格为60001x元，第二次下调是在60001x元的基础上进行的，下调后的价格为60001x1x元，即60001x，由此可列出一元二次方程求解.
（2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断.
2【解】 （1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）=4860.
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）.∴平均每次下调的百分率10%.
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元，方案②可优惠：100×80=8000元.
∴方案①更优惠.
【方法归纳】对于平均增长（降低）率问题，应用公式a1xb可直接列方程，a为增长率（降低）前的基础数量，x为增长率（降低率），n为增长（降低）的次数，b为增长（降低）后的数量. 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
专题6 考查数形结合思想
例6如图，在长为am，宽为bm的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为
m；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路，22n
9
则此时余下草坪的面积为
m2．
【解题思路】图中草坪的总面积为ab，小路的面积为a1，所以余下的面积为aba1a(b1).当小路弯曲后，可以这样处理，把上面的部分下移1米，两部分就无缝拼接在一起,因而余下部分的面积为a(b1).
【答案】a(b1)
a(b1)
【方法归纳】运用平移的知识可以把几个图形拼成一个整体进行计算，后边的面积计算的时候注意以直代曲的一种思想．
专题7 考查分类讨论思想
2例7一个三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x-16x+60=0的一个实数根，求此三角形的面积.
【解题思路】求三角形的面积时，应该先求出x的值，然后讨论是何种三角形，再对图形进行分析，最后用三角形的面积公式计算出.
2 【解】由x-16x+60=0，解得x1=10，x2=6.
（1）当x1=10时，此三角形为直角三角形，∴S=（2）当x2=6时，此三角形为等腰三角形，S=1×6×8=24；
21×8×624285.所以该三角形的面2积是24或85.
【方法归纳】当求出第三边的长后，一定要先判断是否组成三角形，如果不能组成三角形应该舍去，然后判断出三角形的形状，最后求出面积.
【精题荟萃】
1.下列方程中，一元二次方程有（ ）.
22①3xx20 ②2x3xy40 ③x21x4 ④x21 ⑤x230
x3A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
22.已知x=1是一元二次方程x-2mx+1=0的一个解，则m的值是( ) .
A.1 B.0 C.0或1 D.0或-1
223.把方程x-6x+3=0配方，化为（x+m）=n的形式应为（ ）.
2222A.(x-3)=-6 B.(x-3)=6 C.(x+3)=-6 D.(x+3)=6
24.关于x的一元二次方程x+kx-1=0的根的情况是( ) .
A.有两个不相等的同号实数根 B.有两个不相等的异号实数根
C.有两个相等的实数根 D.没有实数根
25.根据下表，请你判断方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）.
x
ax+bx+c
26.17
-0.03
6.18
-0.01
6.19
0.02
6.20
0.04
A.6＜x＜6.17 B.6.17＜x＜6.18 C.6.18＜x＜6.19 D.6.19＜x＜6.20
26.关于x的方程(a-5)x-4x-1=0有实数根，则a满足（ ）.
A.a≥1 B.a＞1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
27.如果2-2x与x-2x+1互为相反数，则x的值为________.
228.已知代数式x+3x+5的值是7，则代数式3x+9x-3的值是___________.
9.定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=ab+b,当a 10.解方程： 9 （1）(x-3)+2x(x-3)=0 （2）4x-3x+1=0 211.关于的一元二次方程x＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2. （1）求k的取值范围； （2）如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值. 12.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【抛砖引玉】 旋转和对称 人类自古以来对对称美推崇备至，对称的概念几乎已经运用所有的科学领域。在所有的对称中，有两种是最基本、最重要的。下面就看看它们的故事吧。 大自然处处显示出对称之美，小到瓢虫、蝴蝶、雪花、，大到人体、地球、星系。图形或物体对某个点、直线或平面而言，在形状上具有对应关系，这就是对称。就平面而言，最基本的对称无非有两种;另一种是中心对称，也就是关于一个点对称，此时图形绕该点旋转180度后与原图形（或另一个图形）重合。在瓢虫、蝴蝶和人体中，我们都会发现轴对称现象，而一旋涡星系则是中心对称的。雪花则既是轴对称又是中心对称图形 【先睹为快】 22 9 本章主要包括图形的旋转及其有关概念；图形旋转的有关性质；中心对称及其有关概念；中心对称的性质；中心对称图形：关于原点对称的点的坐标以及图案设计. 【众说纷纭】 老师：请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？ 学生1:我认为，时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 学生2: 你们知道什么是旋转吗?把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转． 老师：你们理解是对的.但是,在以后的学习中还要注意中心对称和中心对称图形的区别：中心对称是指两个图形，中心对称图形是指一个图形. 学生1: 关于原点对称的点的坐标怎么求?关于原点对称时，它们的符号都相反. 学生2:是啊,是啊,我们不但要知道以上的内容，还要会设计精美的图案呀.这一章要学习的内容还挺有意思的,我们共同来期待吧! 23.1 图形的旋转 【解读课标】 1.理解并掌握旋转的定义; 2.理解并掌握及基本性质； 3.会按要求做出简单平面图形旋转后的图形，能利用旋转进行简单的图案设计； 【洞悉课本】 知识点1 旋转（重点） 旋转的定义：一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角，叫做图形的旋转. 友情所示：“转动”可以是顺时针转动，也可以是逆时针转动 例1 正方形ABCD又可看成是由正方形CEFG绕______点，顺时针旋转______得到的 【解题思路】根据旋转的定义,找旋转中心点，然后找对应点即可. 【答案】C 180º 【方法归纳】根据旋转的定义。 【举一反三】 1.(★) 下列关于旋转的说法不正确的是( )． A．旋转中心在旋转过程中保持不动 9 B．旋转中心可以是图形上的一点，也可以是图形外的一点 C．旋转由旋转中心所决定 D．旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定 知识点2 旋转的性质（重点） 性质1：旋转前、后对应点到旋转中心的距离相等 性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 性质3：旋转前、后的图形全等， 友情所示：“旋转前、后的两个图形一定全等”和“全等的两个图形不一定可以通过旋转互相得到”。 例2如图，在等边三角形ABC中，AB=9，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为 【解题思路】由在等边三角形ABC中，AB=9，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度． 【解】∵在等边三角形ABC中，AB=9， ∴BC=AB=9，∵BC=3BD， ∴BD=1BC=3， 3∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE， ∴△ABD≌△ACE， ∴CE=BD=3． 【方法归纳】掌握旋转的前后的两个图形全等，旋转中的对应关系． 【举一反三】 2.(★)如图，直角△COD 逆时针旋转后与△AOB重合，若∠AOD=130°，则旋转角度是 . 3.(★)将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，下列结论错误的是（ ）. A．AB=A′B′ B．∠A=∠A′ C．AB∥A′B′ D．△ABC≌△A′B′C′ 知识点3 旋转作图（难点） 着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案． 友情所示：旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和旋转角。图形作旋转变换时，部分与整体是同步的. 例3．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O•为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 9 【解题思路】只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，•旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可． 【解】（1）连结OA （2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A． （3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A． （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶． 那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形． 【方法归纳】在旋转作图时，关键是作出图形上的关键点旋转后的对应点 【举一反三】 4.所示是三个菱形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到？ 5.如图画出四边形绕点O顺时针旋转180°后的四边形. 【走出误区】 易错点1 旋转现象 例1下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（ ）. 【解题思路】根据旋转的性质可知，可以由一个“基本图案”连续旋转45°， 即经过8次旋转得到的. 【答案】B 【误区分析】错解的原因没有正确理解旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 易错点2 旋转的性质 例2如图，△ADB是由△AEC绕点A沿顺时针方向旋转50度得到，则∠BAC= ° 9 【解题思路】∵△ADB是由△AEC绕点A沿顺时针方向旋转50°得到； ∴AB的对应边为AC， ∴旋转角∠BAC=50° 【答案】50° 【误区分析】学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度。 【对接中考】 【考点透视】 中考对这部分内容的考查，主要考察旋转的概念及旋转的性质，试题难度不大，属于简单题，且试题的类型通常以选择题、填空题为主. 【中考典例】 例1（2013•玉溪）如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）. A．30° B．45°C．90° D．135° 【解题思路】∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置， ∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角， ∴旋转的角度为90° 【答案】C 【方法归纳】灵活掌握旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键． 例2（2013•汕头）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E位置，则四边形ACEE的形状是 . 9 【解题思路】根据题意可知DE是△ABC的中位线，于是可证得DE∥AC，结合△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°得到△CDE可得到DEDE，利用平行四边形的判定定理，即可解答此题！ 【答案】四边形ACEE是平行四边形. 【方法归纳】旋转特性：不改变图形的形状和大小. 【真题演练】 1.（2013•梧州★）如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（ ）. A．2 B．3 C．4 D．1.5 2.（2013•莆田★★）如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）. A．55° B．70° C．125° D．145° 3. （2013•铁岭★★）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 9 【小试身手】 1. (★) 下列事件中，属于旋转的是（ ）. A. 小明向北走了4米 B. 电梯从1楼到12楼 C. 一物体从高空坠下 D. 小朋友们在荡秋千时做的运动 1.D 【解析】由旋转的定义逐一判断 2. (★) 在图形旋转中，下列说法错误的是（ ）. A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上每一点移动的角度相同 C．图形上可能存在不动的点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等 2.A 【解析】根据旋转的特征 3. (★) 如图,△ABC是等腰直角三角形,点D是斜边BC中点, △ABD绕点A旋转到△ACE的位置,恰与△ACD组成正方形ADCE,则△ABD所经过的旋转角是( ). A.顺时针旋转225° B.逆时针旋转45° C.顺时针旋转315° D.逆时针旋转90° 3.D 【解析】D和E是一对对应点，∠DAE是一个旋转角. 4. (★★) 如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ）. A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 4.B 【解析】根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE． 5. (★★) 如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）. A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形 9 6. (★★) 如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为_____ ． 7. (★★) 如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=25°，∠C=10°，E，B，C在同一直线上，∠ABC=____________度，旋转角度是_____________度. 8. (★★) 边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为______cm. 9. (★★) 如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB 绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1． （1）线段OA1的长是 ，∠AOB1的度数是 ； （2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形. 【教材习题解答】 P59 1.钟表指针的转动；风车车轮叶片的转动.旋转中分别是钟表的心和转轴，旋转角略. 2.从上午6时到上午9时，经过了3个小时，时针旋转的旋转角为3×30º=90º； 从上午9时到上午10时，时针旋转的旋转角是30º. 3.杠杆的旋转中心是支点，旋转角是∠AOA’或∠BOB’. P61 1.如图，(1)这两点到旋转中心的距离相等. (2)夹角为80°. 9 2.以中间的实心点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转120º两次即可可得到右面的图形. 3. 如图，旋转中心是O，旋转角是∠AOB. P62 (1)选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的旋转效果. (2)改变三角的形状，会出现不同的旋转效果. P62-P63 1.画出△ABC旋转后的图形，关键是分别作出A、B、C旋转后的对应点，运用旋转的性质即可解决。 2.压水机压水时的旋转中心为手柄与机体的连接点，压水机的柄转动的角为旋转角 3.如图，确定点A的对应点是点A，点B的对应点是点C，关键是确定点P的对应点P’。可用如下方法确定点P’； 解法一：由∠PAP’=∠BAC，AP’=AP确定点P’。 解法二：由△CAP’≌△BAP可知，∠CAP’=∠BAP。由∠CAP’=∠BAP，AP’=AP确定点P’。 4.如图，逆时针旋转90°后的图形是△A1 B1 C1 ，逆时针旋转180°后的图形是△A2 B2 C2 5.其中的图案都是由一个基本图形经过旋转多次得到的，观察图案中相邻两个基本图形，从而确定旋转中心和旋转角。图①中，以点O为旋转中心，旋转角为60°。图②中，以点O为旋转中心，旋转角为90° 9 6.由于五角星的五个顶点到中心O的距离相等，且相邻顶点与中心的夹角为360°÷5=72°，所以五角星绕点O旋转72°、144°、216°、288°、360°后都能与自身重合；如图，同理等边三角形可以绕中心O旋转120°、240°、360°后都能与自身重合 7.以点O为旋转中心，将 逆时针旋转90°三次得到风车图案。 8.如图，作△BOC，使∠BCO=∠CBO=54°,接着以△ABC为基本图形，绕O点顺时针旋转72°四次，即可得到一个五角星图案。 9.(1)如图 (2)由旋转的特性可知△ABA’是等腰三角形，底边是BC的2倍，所以AA’=6 10.∵△AEC是等边三角形，∠CAP’=∠BAP，由∠CAP’=∠BAP AP’=AP确定点P’。 ∴AE=AC, ∠EAC=60°. 同理AB=AD, ∠BAD=60° ∴以点A为旋转中心，将△EAB顺时针旋转60°就得到△CAD， ∴△EAB≌△CAD，∴BE=DC 11．(-4, 5). 解析:利用旋转的特征 23.2 中心对称 【解读课标】 1.理解并掌握中心对称和中心对称图形的概念 2.掌握和灵活应用中心对称的性质 3.掌握关于原点对称的点的坐标关系 【洞悉课本】 知识点1 中心对称的概念 9 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 友情所示：中心对称是对两个图形来说的 例1 如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答下列问题： （1）这两个图形成中心对称吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． （2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点． 【解题思路】根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，•对称中心就是旋转中心．旋转后的对应点，便是中心的对称点． 作法如下：（1）延长AD到A′，并且使得DA′=AD. （2）同样可得到：BD=B′D，CD=C′D. （3）顺次连结A′B′、B′C′、C′D、DA′，则四边形A′B′C′D即为所求的四边形(如图所示)． 【解】（1）根据中心对称的定义便知这两个图形成中心对称，对称中心是D点． （2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合． 【方法归纳】正确理解中心对称的概念和性质，然后依次连接对应点 【举一反三】 1.(★)在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2.(★)已知下列命题： ①关于中心对称的两个图形一定不全等; ②关于中心对称的两个图形是全等形; ③两个全等的图形一定关于中心对称. 其中真命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 3. (★★)若点O是平行四边形ABCD的中点，EF⊥AC于O，交AD于E，交BC于F，那么线段DE关于点O的对应线段为 知识点2 中心对称的性质 1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。 2.中心对称的两个图形是全等的。 9 例2如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称， （1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由． （2）若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积． 【解题思路】（1）根据菱形的判定以及中心对称图形的性质得出即可； （2）利用中心对称图形的性质得出四边形BDEG的面积=2×矩形ABCD面积，即可得出答案． 【解】（1）是菱形， ∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称， ∴AD=AG，AB=AE，BE⊥DG， ∴四边形BDEG是菱形； （2）∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称， ∴AD=AG，AB=AE，BE⊥DG， ∴四边形BDEG的面积=2×矩形ABCD面积=2×2=4． 【方法归纳】利用中心对称的性质得出是解题关键． 【举一反三】 4. (★)已知A、B、O三点不共线，A、A’关于O对称，B、B’关于O对称，那么线段AB与A’B’的关系（ ）. A．平行 B．相等 C．平行且相等 D．所在直线交于点O 5. (★)成中心对称的两个图形中，关于它们的性质下列说法正确的是( ). A.成中心对称的两个图形的对应线段不一定相等 B.连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分 C.对应点的连线不一定都经过对称中心 D.以上说法都不对 6. (★★)) 在△ABC中，点D是BC的中点，E、F分别是AB、AC边上两点，且ED⊥FD，你能证明BE+CFEF吗? 知识点3 中心对称图形 中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 友情所示：中心对称图形是对一个图形说的，是一个图形具有特殊性质的图形 例3 求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形． 9 【解题思路】中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分． 【证明】如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、•BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，•四边形ABCD是平行四边形． 【方法归纳】充分利用中心对称图形的特征和平行四边形的判定 【举一反三】 7. (★)在下图中，是中心对称图形的是( ). 8. (★)下列图形中，不是中心对称图形的是( ). A.圆 B.菱形 C.矩形 D.等边三角形 9. (★★)如图，线段AC、BD相交于点O，且AB∥CD，AB=CD，此图形是中心对称图形吗？试说明你的理由． 知识点4 关于原点对称的点的坐标的关系 关于原点对称的点的坐标的关系如点P（x,y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 友情提示：关于x，y轴对称指的是轴对称，关于原点对称指的是中心对称。 例4 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，①写出A、B、C的坐标． ②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1． 9 【解题思路】①根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标； ②首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到A、B、C的对称点坐标，再顺次连接即可． 【解】①A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）；②A1（-1，4），B1（-5，4），C1（-4，1），如图所示： 【方法归纳】关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 【举一反三】 10.(★)在直角坐标系中，点P（3.1）关于原点对称的点在（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D第四象限. 11. (★) 已知点A(1,a)错误!未找到引用源。、点B(b,2)错误!未找到引用源。关于原点对2称，则(a+b)的值为（ ）. A. 1 B.9 C.－1 D.－9 12.(★★)如果点A(－3，2m+1)关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围. 【走出误区】 易错点1 混淆了轴对称和中心对称图形 例1如图,是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是( ). A.它是轴对称图形，但不是中心对称图形；B.它是中心对称图形，但不是轴对称图形 C.它既是轴对称图形，又是中心对称图形；D.它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【解题思路】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断. 【答案】B 【误区分析】对轴对称图形和中心对称图形概念理解不透彻 9 易错点2 漏掉题意隐含的条件 例2 已知点P的坐标为（2-a,3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P关于原点对称的点为( ). A（-3，3）B（-3，-3）C（-6，6）D（-3，-3）或（-6，6） 【解题思路】根据到坐标轴距离相等及原点对称. 【答案】D 【误区分析】不能正确理解对坐标轴相等，而漏了条件， 【对接中考】 【考点透视】 中考对这部分内容的考查，主要结合轴对称及中心对称图形来考察和原点对称点的求法， 学生动动脑程度高，试题难度不大，属于简单题，且试题的类型通常以选择题、填空题或 有些压轴题。 【中考典例】 例1 (2013•湘潭）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）. A．平行四边形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．直角三角形． 【解题思路】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．A．是中心对称图形，故本选项正确； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； D．不是中心对称图形，故本选项错误； 【答案】A 【方法归纳】判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合． 例2（2013•义乌）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解题思路】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 第一个是中心对称图形，也是轴对称图形； 第二个不是中心对称图形，是轴对称图形； 第三个不是中心对称图形，是轴对称图形； 第四个既是中心对称图形又是轴对称图形． 综上可得，共有2个符合题意． 9 【答案】C 【方法归纳】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 例3(2013•深圳）在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（ ）. A．33 B．-33 C．-7 D．7 【解题思路】先根据关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，求出a与b的值，再代入计算即可． ∵点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称， ∴a=-13，b=20， ∴a+b=-13+20=7． 【答案】D 【方法归纳】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【真题演练】 1．（2013•宁波★）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）. A．B．C．D． 2.（2013•德州★★）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）. 3.（2013•泰安★★）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4，2)平移后的对应点P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（ ）. A．(1.4，－1) B．(1.5，2) C．(1.6，1) D．(2.4，1) y A A1 O B B1 C1 【小试身手】 C x 9 1. (★) 下列说法不正确的是（ ）. A．关于中心对称的两个图形面积相等 B．关于中心对称的两个图形周长相等 C．关于中心对称的对称点连线经过对称中心 D．关于中心对称的两个图形一定轴对称 2. (★) 下列图形中，是中心对称图形的有（ ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3. (★) 在平面直角坐标系中，点P（2，—4）关于原点对称的点的坐标是（ ）. A．（2，4） B．（—2，4） C．（—2，—4） D．（—4，2） 4. (★★) 观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5. (★★) 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于点E、F则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的（ ）. A. 3111 B. C. D. 53410 6. (★★) 已知点P(a,3)与P（5，－3）关于原点对称，则a= . 7.(★★) 如图，ABCD是平行四边形, O是对称中心.过O的直线分别交AD、BC于E、F,则图中相等的线段有对 . 8. (★★) 如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB=3，则△DOC中CD边上的高是 9. (★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知A（-1，5），B（4，2），C（-1，0）三点． （1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 ，点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）． （2）求（1）中的△A′B′C′的面积． 9 【教材习题解答】 P66 1.如图(1)(2) 2.任意连接两组对称点，则它们的交点O即为它们的对称中心. P67 1.平行四边形、菱形、圆等都是中心对称图形. 2.第2个图是中心对称图形，中心对称图形的实例如图中的图案等. P69 1.C(2,-1)与F(-2,1)关于原点O对称. 2.A′(-3,-1) 、B′(2,-3)、C′(1,2)、D′(-2,3) 3.∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称，B点与D点关于原点对称 ∴C点坐标为(23,-2)．D点坐标为(1,3) P69-P70 1.如图所示， 2.前两个图形是中心对称图形，对对称中心为其中心，第三个图形不是中心对称图形，正方形是中心对称图形，对称中心是它的对角线的交点，正六边形是中心对称图形，对对称中心是它的对角线的交点，正三角形不是中心对称图形。
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