初一数学下册期末几何压轴题试卷(含答案) (一)解析

2023年12月3日发(作者：漳平高考数学试卷推荐)

一、解答题

1．在平面直角坐标系中，点A(a,1)，B(b,3)满足关系式(a1)2|b2|0．

（1）求a，b的值；

（2）若点P(3,n)满足△ABP的面积等于6，求n的值；

（3）线段AB与y轴交于点C，动点E从点C出发，在y轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点F从点M(8,0)出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，问t为何值时有SABE2SABF，请直接写出t的值．

2．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．

（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；

11（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；

3311（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系

nn

3．已知AM//CN，点B为平面内一点，ABBC于B．

（1）如图1，求证：AC90；

（2）如图2，过点B作BDMA的延长线于点D，求证：ABDC；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，且BF平分DBC，BE平分ABD，若AFCBCF，BFC3DBE，求EBC的度数．

4．阅读下面材料：

小亮同学遇到这样一个问题：

已知：如图甲，AB//CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．

求证：∠BED＝∠B+∠D．

（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．

证明：过点E作EF//AB，

则有∠BEF＝

．

∵AB//CD，

∴

//

，

∴∠FED＝

．

∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．

（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线a//b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．

①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；

②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．

5．如图，MN//PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BGAD，垂足为点G．

（1）如图1，求证：MAGPBG90；

（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，MAG和PBC的平分线交于点H请在图2中补全图形，猜想并证明CBG与AHB的数量关系；

6．（1）如图①，若∠B+∠D=∠E，则直线AB与CD有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）．

（2）如图②中，AB//CD，又能得出什么结论？请直接写出结论

．

（3）如图③，已知AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度数为

．

7．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为M2x.如M2735111, M2561101.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定:

0，并向左边一位进1.如735、、相加的运算过程如下图所示.

561的“模二数”111101与1相加得

根据以上材料，解决下列问题:

(1)M29653的值为______

，M258M29653的值为_

(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不M2124100,M2630010，因为M2124M2630110,M2124630110，变”.如

所以M2124630M2124M2630，即124与630满足“模二相加不变”.

①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；

②与23“模二相加不变”的两位数有______个

8．对非负实数x“四舍五入”到各位的值记为x.即:当n为非负整数时，如果n11xn，则xn；反之，当n为非负整数时，如果xn，则2211n≤xn．

220.480，0.641.491,3.54.124．

例如： 0（1）计算：1.87

；

；

（2）①求满足x12的实数x的取值范围，

②求满足x4x的所有非负实数x的值；

31ax1x2有正整数解，求非负实数a的取值范围．

22（3）若关于x的方程9．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．

（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；

（2）请你参照上面的方法：

①把图3中51的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）

②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及a3．（图中标出必要线段的长）

10．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小华受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．

（1）2020属于

类（填A，B或C）；

（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于

类（填A，B或C）；

②从A、B类数中任取一数，则它们的和属于

类（填A，B或C）；

③从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们都加起来，则最后的结果属于

类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是

（填序号）．

①m2n属于C类；②mn属于A类；③m，n属于同一类．

11．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．

解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+…+22017+22018

将下式减去上式得2S-S=22018-1即S=22018-1

即1+2+22+23+24+…+22017=22018-1

请你仿照此法计算：

(1)1+2+22+23+…+29=_____；

(2)1+5+52+53+54+…+5n(其中n为正整数)；

(3)1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29．

12．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：

现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q,W,E,1,2,3,,25,26这26个自然数（见下表）．

,N,M这26个字母依次对应Q

1

F

14

W

2

G

15

E

3

H

16

R

4

J

17

T

5

K

18

Y

6

L

19

U

7

Z

20

I

8

X

21

O

9

C

22

P

10

V

23

A

11

B

24

S

12

N

25

D

13

M

26

给出一个变换公式：

Jx(x是自然数，1x26,x被3整除)x3Jx217(x是自然数，1x26,x被3除余1)

x3Jx1(x是自然数，1x26,x被3除余2)x38将明文转成密文，如44+211+1+17=19，即R变为L：11+8=12，即A变为S．将密33文转成成明文，如213(2117)210，即X变为P：133(138)114，即D变为F．

（1）按上述方法将明文NET译为密文．

（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．

13．如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0，Bb,0，C0,4，a，b满足a22b40．平移线段AB得到线段CD，使点A与点C对应，点B与点D对应，连接AC，BD．

（1）求a，b的值，并直接写出点D的坐标；

（2）点P在射线AB（不与点A，B重合）上，连接PC，PD．

①若三角形PCD的面积是三角形PBD的面积的2倍，求点P的坐标；

②设PCA，PDB，DPC．求，，满足的关系式．

14．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a,b，且a//b,ABC是直角三角形，BCA90，操作发现：

（1）如图1．若148，求2的度数；

（2）如图2，若A30,1的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把2的位置改变，发现21120，请说明理由．

（3）如图3，若∠A=30°，AC平分BAM，此时发现1与2又存在新的数量关系，请写出1与2的数量关系并说明理由．

15．如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（-3，2）．

（1）直接写出点E的坐标

；D的坐标

（3）点P是线段CE上一动点，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，确定x， y，z之间的数量关系，并证明你的结论．

16．阅读下列材料：

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x||x0|，也就是说，|x1x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离；

例 1．解方程|x|2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2，所以方程|x|2的解为x2．

例 2．解不等式|x1|2，在数轴上找出|x1|2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为1或3，所以方程|x1|2的解为x1或x3，因此不等式|x1|2的解集为x1或x3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x3|5的解为

；

（2）解不等式：|x2|3；

（3）解不等式：x4x28．

17．在平面直角坐标系中，A(a,1)，B(b,3)满足a1b20．

（1）直接写出a、b的值：a

；b

；

（2）如图1，若点P(3,n)满足△ABP的面积等于6，求n的值；

（3）设线段AB交y轴于C，动点E从点C出发，在y轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点F从点(8,0)出发，在x轴上以每秒2个单位长度的速度向右运动，若它们同时出发，运动时间为t秒，问t为何值时，有SABE22SABF？请求出t的值．

18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知两点Aa,0，Bb, 0且a、b满足a4b30；若四边形ABCD为平行四边形，CD//AB且CDAB

，点C0,4在y轴上．

（1）如图①，动点P从C点出发，以每秒2个单位长度沿y轴向下运动，当时间t为何值时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一； （2）如图②，当P从O点出发，沿y轴向上运动，连接PD、PA，CDP、APD、PAB存在什么样的数量关系，请说明理由（排除P在O和C两点的特殊情况）．

19．五一节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．

（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？

（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？

20．每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：

价格（万元/台）

产量（吨/月）

甲型机器

a

240

乙型机器

b

180

经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元．

（1）

求a、b的值；

（2）

若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？

（3）

在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一

种最省钱的购买方案．

21．李师傅要给-块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等, B款瓷砖的长大于宽.已知一块A款瓷砖和-块B款瓷砖的价格和为140元; 3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等.请回答以下问题: (1)分别求出每款瓷砖的单价.

(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000

元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少块?

(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为_

米(直接写出答案).

22．对于不为0的一位数m和一个两位数n，将数m放置于两位数之前，或者将数m放置于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小三位数的差与15的商记为Fm,n．例如：当m1，n68时，可以得到168，618．较大三位数减去较小三位数的差为618168450，而4501530，所以F1,6830．

（1）计算：F2,17．

（2）若a是一位数，b是两位数，b的十位数字为x（1x8，x为自然数），个位数字11为8，当Fa,50F9,b8时，求出所有可能的a，b的值．

6223．某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：

价格(万元/台)

处理污水量(吨/月)

甲型

x

300

乙型

y

260

经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元．

（1）求x，y的值；

（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；

（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．

24．某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3km行程的出租车价格），超过3km行程后，其中除3km的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足1km按1km计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过3km，那么顾客还需付回程的空驶费，超过3km部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A处到相距xkm（x12）的B处办事，在B处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处．现在有两种往返方案：

方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；

方案二：4人乘同一辆出租车往返．

问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）

25．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．

（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；

2x40①；

5x2＜33xx5232②．

x33x1＜425x150（2）若关于x的组合3xa是“有缘组合”，求a的取值范围；

＞a25ax32x3a2（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．

xa1xa226．如图①，在平直角坐标系中，△ABO的三个顶点为A（a，b），B（﹣a，3b），O（0，0），且满足a3|b﹣2|＝0，线段AB与y轴交于点C． （1）求出A，B两点的坐标；

（2）求出△ABO的面积；

（3）如图②，将线段AB平移至B点的对应点B落在x轴的正半轴上时，此时A点的对应点为A，记△ABC的面积为S，若24＜S＜32，求点A的横坐标的取值范围．

x2y3a,①27．已知关于x、y的二元一次方程

xy3a3.②（1）若方程组的解x、y满足x0,y1，求a的取值范围；

（2）求代数式6x3y8的值．

28．在平面直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为1,2，点B的坐标为3,0，如图1所示.

(1)平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为，点B的对应点为C，若点C的坐标为2,4，求点D的坐标；

(2)平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内(A与D对应，

B与C对应)，连接BC，BD，如图2所示.若SBCD7SBCD表示△BCD的面积)，求点C、D的坐标；

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在一点P，使在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

29．我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A光射线自AM顺时针旋转至AN便立即逆时针旋转至AM，如此循环灯B光射线自BP顺时针旋转至BQ便立即逆时针旋转至BP，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a，b

满足SPCD2SPCD表示△PCD的面积)？若存SBCD3(a4b)2(ab5)20．若这一带江水两岸河堤相互平行，即PQ//MN，且BAN60．根据相关信息，解答下列问题．

（1）a__________，b__________．

（2）若灯B的光射线先转动24秒，灯A的光射线才开始转动，在灯B的光射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光射线互相平行？

（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯A的光射线到达AN之前，若两灯射出的光射线交于点C，过点C作CDAC交PQ于点D，则在转动的过程中，BAC与BCD间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．

30．规定:二元一次方程axbyc有无数组解，每组解记为Px,y,称Px,y为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题：

(1)

已知A1,2,B4,3,C3,1，则是隐线3x2y6的亮点的是 ;

1(2)

设P0,2,Q1,是隐线t2xhy6的两个亮点，求方程3122t4xth4y26中x,y的最小的正整数解;

5(3)已知m,n是实数，

且m2n7,若P中的最大值和最小值的和.

m,n是隐线2x3ys的一个亮点，求隐线s

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一、解答题

1．（1）a1，b2；（2）【分析】

（1）根据一个数的平方与绝对值均非负，且其和为0，则可得它们都为0，从而可求得a和b的值；

（2）过点P作直线l垂直于x轴，延长AB交直线l于点Q，设点Q坐标为(3,a)，过A作23122或；（3）或2

1533AHl交直线l于点H，根据面积关系求出Q点坐标，再求出PQ的长度，即可求出n的值；

（3）先根据S梯形AGOCS梯形CONBS梯形AGNB求出C点坐标，再根据SADGS梯形AGNBSDNB求出D点坐标，根据题意可得F点坐标，由S【详解】

ABE2SABF得关于t的方程，求出t值即可．

（1）(a1)20，|b2|0，且(a1)2|b2|0

(a1)20，|b2|0

a1，b2

（2）过P作直线l垂直于x轴，延长AB交直线l于点Q，设点Q坐标为(3,a)，

过A作AHl交直线l于点H，如图所示

∵S△AHQS△ABHS△BQH

∴1114(a1)42(a1)1

2221111，Q点坐标为3,

33解得a∵S△ABPS△AQPS△BPQ∴311n6

23113PQ4PQ1PQ

222解得：n（3）当t123或

3322或2时，有S15ABE2SABF．

如图，延长BA交x轴于点D，过A点作AG⊥x轴于点G，过B点作BN⊥x轴于点N， ∵S梯形AGOCS梯形CONBS梯形AGNB

∴111(1OC)1(OC3)2(13)3

2225解得：OC

35∴C0,

3∵S∴ADGS梯形AGNBSDNB

111DG1(13)3(DG3)3

2223

2解得：DG∵G(1,0)

5∴D,0

2当运动t秒时，F(82t,0)

115∴DF82t2t

22∵CE=t

∴S∵S∴13=CE[2(1)]t，SABE22ABEABFSBDFSDAF111DF(31)2t

222SABF

311t22t

22解得：t【点睛】

22或2．

15本题主要考查三角形的面积，含绝对值方程解法，熟练掌握直角坐标系的知识，三角形的面积，梯形的面积等知识是解题的关键，难点在于对图形进行割补转化为易求面积的图形．

2．（1）65°；（2）【分析】

（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；

（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；

（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．

【详解】

解：（1）如图1，作EG//AB，FH//AB，连结MF，

360；（3）2n∠M+∠BED=360°

6

AB//CD，

EG//AB//FH//CD，

ABFBFH，CDFDFH，ABEBEG180，GEDCDE180，

ABEBEGGEDCDE360，

BEDBEGDEG100，

ABECDE260，

ABE和CDE的角平分线相交于E，

ABFCDF130，

BFDBFHDFH130，

BM、DM分别是ABF和CDF的角平分线，

11MBFABF，MDFCDF，

22MBFMDF65，

BMD1306565；

11（2）如图1，ABMABF，CDMCDF，

33ABF3ABM，CDF3CDM，

ABE与CDE两个角的角平分线相交于点F，

ABE6ABM，CDE6CDM，

6ABM6CDMBED360，

BMDABMCDM，

6BMDBED360， BMD360；

6（3）由（2）结论可得，2nABM2nCDME360，MABMCDM，

则2nMBED360．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．

3．（1）见解析；（2）见解析；（3）EBC105．

【分析】

（1）先根据平行线的性质得到CBDA,然后结合ABBC即可证明；

（2）过B作BH//DM，先说明ABDCBH，然后再说明BH//NC得到CBHC，最后运用等量代换解答即可；

（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠C=2a，∠FBC=2∠DBC=a+45°，根据三角形内角和可得∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，可得∠AFC=∠BCF的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC+∠NCF=180°，代入即可算出a的度数，进而完成解答．

【详解】

（1）证明：∵AM//CN，

∴CBDA，

∵ABBC于B，

∴B90，

∴ABDA90，

∴AC90；

（2）证明：过B作BH//DM，

∵BDMA，

∴ABDABH90，

又∵ABBC，

∴ABHCBH90，

∴ABDCBH，

∵BH//DM，AM//CN

∴BH//NC，

∴CBHC，

∴ABDC；

1 （3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，

∵BE平分∠ABD，

∴∠ABD=∠C=2a，

又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，

∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=2∠DBC=a+45°

又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°

∴∠BCF=135°-4a，

∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，

又∵AM//CN，

∴∠AFC+∠ NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，

∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，

∴∠ABE=15°，

∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．

1114．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣a

22【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；

②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．

【详解】

解：（1）过点E作EF∥AB，

则有∠BEF＝∠B，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD， ∴∠FED＝∠D，

∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；

故答案为：∠B；EF；CD；∠D；

（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．

∵AB∥CD，

∴EF∥CD．

∴∠FED＝∠EDC．

∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．

即∠BED＝∠EBA+∠EDC，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，

∴∠EBA＝2∠ABC＝30°，∠EDC＝2∠ADC＝35°，

∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．

答：∠BED的度数为65°；

②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．

11

∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD．

∴∠FED＝∠EDC．

∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．

即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，

1111∴∠EBA＝2∠ABC＝，∠EDC＝2∠ADC＝，

2211∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣a．

2211答：∠BED的度数为180°﹣a．

22【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 5．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C在AG上时，2AHBCBG90；当点C在DG上时，2AHBCBG90．

【分析】

（1）过点G作GE//MN，根据平行线的性质即可求解；

（2）分两种情况：当点C在AG上，当点C在DG上，再过点H作HF//MN即可求解．

【详解】

（1）证明：如图，过点G作GE//MN，

∴MAGAGE，

∵MN//PQ，

∴GE//PQ．

∴PBGBGE．

∵BGAD，

∴AGB90，

∴MAGPBGAGEBGEAGB90．

（2）补全图形如图2、图3，

猜想：2AHBCBG90或2AHBCBG90．

证明：过点H作HF//MN．

∴1AHF．

∵MN//PQ，

∴HF//PQ

∴2BHF，

∴AHBAHFBHF12．

∵AH平分MAG，

∴MAG21．

如图3，当点C在AG上时，

∵BH平分PBC，

∴PBCPBGCBG22，

∵MN//PQ， ∴MAGGDB，

2AHB2122MAGPBGCBGGDBPBGCBG

90CBG即2AHBCBG90．

如图2，当点C在DG上时，

∵BH平分PBC，

∴PBCPBGCBG22．

∴2AHB2122MAGPBGCBG90CBG．

即2AHBCBG90．

【点睛】

本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．

6．（1）AB//CD，证明见解析；（2）∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D

；（3）(n-1)•180°

【分析】

（1）过点E作EF//AB，利用平行线的性质则可得出∠B=∠BEF，再由已知及平行线的判定即可得出AB∥CD；

（2）如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，根据探究（1）的证明过程及方法，可推出∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，则可由此得出规律，并得出∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D；

（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2，依此即可得出此题结论．

【详解】

解：（1）过点E作EF//AB，

∴∠B=∠BEF．

∵∠BEF+∠FED=∠BED，

∴∠B+∠FED=∠BED．

∵∠B+∠D=∠E（已知），

∴∠FED=∠D．

∴CD//EF（内错角相等，两直线平行）．

∴AB//CD．

（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD，

∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD，

∴∠B=∠BEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGH，∠HGD=∠D，

∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D，

即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．

由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等，

∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．

故答案为：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．

（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，

∴∠APM+∠PME=180°，

∵EF∥AB，GH∥AB，

∴EF∥GH，

∴∠EMN+∠MNG=180°，

∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2，

依次类推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)•180°．

故答案为：(n-1)•180°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．

7．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38

【分析】

(1)

根据“模二数”的定义计算即可；

(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算12，65，97和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案

②设两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据a、b的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与23“模二相加不变”的两位数的个数

【详解】

解: (1)

M296531011，M258M296531010111101 故答案为：1011,1101

2①M22301,M21210，

M212M22311,M2122311

M212M223M21223，

12与23满足“模二相加不变”.

M22301,M26501，，

M265M22310,M2652300

M265M223M26523，

65与23不满足“模二相加不变”.

M22301,M29711，

M297M223100,M29723100，

M297M223M29723，

97与23满足“模二相加不变”

②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a，个位数字为b，1a7，0b7；

当a为偶数，b为偶数时M210ab00,M22301，

∴M210abM22301,M210ab23M210(a2)(b3)01

∴与23满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合）

当a为偶数，b为奇数时M210ab01,M22301，

∴M210abM22310,M210ab23M210(a2)(b3)00

∴与23不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个

当a为奇数，b为奇数时M210ab11,M22301，

∴M210abM223100,M210ab23M210(a2)(b3)10

∴与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合

当a为奇数，b为偶数时M210ab10,M22301，

∴M210abM22311,M210ab23M210(a2)(b3)11

∴与23满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合）

当此两位数大于等于77时，符合共有4个

综上所述共有12+6+16+4=38

故答案为：38

【点睛】

本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键．

57338．（1）2，3

（2）①x②0,,

（3）0a0.5

4222【分析】 （1）根据新定义的运算规则进行计算即可；

（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x的取值范围；②根据新定义的运算规则和4x为整数，即可求出所有非负实数x的值；

3（3）先解方程求得x值范围．

【详解】

2，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a的取2a（1）1.872；3；

（2）①∵x12

∴2≤x12

57解得x；

221212②∵x∴4x

34141x≤xx

32323232解得x≤

∵4x为整数

3333∴x,0,,

44233故所有非负实数x的值有0,,；

42（3）1ax1x2

221ax2x41

x2

2a∵方程的解为正整数

∴2a1或2

①当2a1时，x2是方程的增根，舍去

②当2a2时，0a0.5．

【点睛】

本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．

9．（1）2，2；（2）①图见解析，5；②见解析

【分析】

（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数

（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；

（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．

【详解】

（1）由图1知，小正方形的对角线长是2，

∴图2中点A表示的数是2，点B表示的数是2，

故答案是：2，2；

（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，

∴正方形的边长是5，

如图所示：

故答案是：5；

②如图所示：

【点睛】

本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．

10．（1）A；（2）①B；②C；③B；（3）①③．

【分析】

（1）计算20203，结合计算结果即可进行判断；

（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；

②从A、B两类数中任取两个数进行计算，即可求解；

③根据题意，从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们的余数相加，再除以3，即可得到答案；

（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．

【详解】

解：（1）根据题意，

∵202036731，

∴2020被3除余数为1，属于A类；

故答案为：A．

（2）①从A类数中任取两个数，

如：（1+4）÷3=1…2，（4+7）÷3=3…2，…… ∴两个A类数的和被3除余数为2，

则它们的和属于B类；

②从A、B类数中任取一数，与①同理，

如：（1+2）÷3=1，（1+5）÷3=2，（4+5）÷3=3，……

∴从A、B类数中任取一数，则它们的和属于C类；

③从A类数中任意取出8个数，从B类数中任意取出9个数，从C类数中任意取出10个数，把它们的余数相加，则

8192026，

∴26382，

∴余数为2，属于B类；

故答案为：①B；②C；③B．

（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，

余数之和为：m×1+n×2=m+2n，

∵最后的结果属于C类，

∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；

②若m=1，n=1，则|m-n|=0，不属于B类，②错误；

③观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，③正确；

综上，①③正确．

故答案为：①③．

【点睛】

本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．

5n1111．(1)2-1；(2)；(3)9×210+1．

410【分析】

（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+29的值；

（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+5+52+53+54+…+5n的值．

（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．

【详解】

解：（1）设S=1+2+22+23+…+29，

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+…+29+210，

将下式减去上式得2S-S=210-1，即S=210-1，

即1+2+22+23+…+29=210-1．

故答案为210-1；

（2）设S=1+5+52+53+54+…+5n，

将等式两边同时乘以5得：

5S=5+52+53+54+55+…+5n+5n+1，

将下式减去上式得5S-S=5n+15n11-1，即S=，

45n11即1+5+5+5+5+…+5=；

4234n（3）设S=1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29，

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+2×22+3×23+4×24+…+9×29+10×210，

将上式减去下式得-S=1+2+22+23+…+29+10×210，

-S=210-1-10×210，

S=9×210+1，

即1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29=9×210+1．

【点睛】

本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．

12．（1）N,E,T密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N的明文为F,Y,C．

【分析】

(1)

由图表找出N,E,T对应的自然数,再根据变换公式变成密文.

(2)由图表找出N=M,Q,P对应的自然数，再根据变换.公式变成明文.

【详解】

解：（1）将明文NET转换成密文：

N252521726M

3E3T531Q

351810P

3即N,E,T密文为M,Q,P;

（2）将密文D,W,N转换成明文：

D133138114F

W2326Y

N253(2517)222C

即密文D,W,N的明文为F,Y,C．

【点睛】

本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换．

13．（1）D(6,4)；（2）①P(1,0)或(7,0)；②点P在B点左侧时，；点P在B点右侧时，．

【分析】

（1）根据非负数的性质分别求出a、b，根据平移规律得到平移方式，再由平移的坐标变化规律求出点D的坐标；

（2）①设PBm，根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出m，得到点P的坐标；

②分点P点P在B点左侧、点P在B点右侧时，过点P作PE//AC，根据平行线的性质解答．

【详解】

解：（1）a2b40，

2a20，b40，

，解得，a2，b4．

A(2,0)，B(4,0)，

平移线段AB得到线段CD，使点A(2,0)与点C(0,4)对应，

∴平移线段AB向上平移4个单位，再向右平移2个单位得到线段CD，

∴D(42,04)，即D(6,4)；

（2）①设PBm，

∵线段AB平移得到线段CD，

∴AB//CD，

∵ABCD6，OC4

∵S∴PCD2SPBD，

11CDOC2PBOC，

22∵ABCD6，OC4

∴116424m

22解得m3，

当P在B点左侧时，坐标为（1，0），

当P在B点右侧时，坐标为（7，0），

P(1,0)或(7,0)；

②I、点P在射线AB（不与点A，B重合）上，点P在B点左侧时，，，满足的关系式是．

理由如下：如图1，过点P作PE//AC，

，

∴CPEPCA，

CD由AB平移得到，点A与点C对应，点B与点D对应，

AC//BD，

∴PE//BD

∴DPEPDB，

CPDCPEDPE；即，

II、如图2，点P在射线AB（不与点A，B重合）上，点P在B点右侧时，，，满足的关系式是．

同①的方法得，CPEPCA，DPEPDB，

CPDCPEDPE；即：

综上所述：点P在B点左侧时，．点P在B点右侧时，．

【点睛】

本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．

14．（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析

【分析】

（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC，则∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，进而得出结论；

（3）过点C

作CP∥a，由角平分线定义得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM=60°，∠PCA=∠CAM=30°，∠2=∠BCP=60°，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，

∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°，

∵a∥b，

∴∠2=∠3=42°；

（2）理由如下：

过点B作BD∥a．如图2所示：

则∠2+∠ABD=180°，

∵a∥b，

∴b∥BD，

∴∠1=∠DBC，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1， ∴∠2+60°-∠1=180°，

∴∠2-∠1=120°；

（3）∠1=∠2，理由如下：

过点C

作CP∥a，如图3所示：

∵AC平分∠BAM

∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，

又∵a∥b，

∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，

∴∠PCA=∠CAM=30°，

∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，

又∵CP∥a，

∴∠2=∠BCP=60°，

∴∠1=∠2．

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．

15．（1）（-2，0）；（-3，0）；（2）z=x+y．证明见解析．

【分析】

（1）依据平移的性质可知BC∥x轴，BC=AE=3，然后依据点A和点C的坐标可得到点E和点D的坐标；

（2过点P作PF∥BC交AB于点F，则PF∥AD，然后依据平行线的性质可得到∠BPF=∠CBP=x°，∠APF=∠DAP=y°，最后，再依据角的和差关系进行解答即可．

【详解】

解：（1）∵将三角形OAB沿x轴负方向平移，

∴BC∥x轴，BC=AE=3．

∵C（-3，2），A（1，0），

∴E（-2，0），D（-3,0）．

故答案为：（-2，0）；（-3，0）．

（2）z=x+y．证明如下：如图，过点P作PF∥BC交AB于点F，则PF∥AD，

∴∠BPF=∠CBP=x°，∠APF=∠DAP=y°， ∴∠BPA＝∠BPF+∠APF=x°+y°=z°，

∴z=x+y．

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了点的坐标的特点，平移得性质，平面坐标系中点的坐标和距离的关系，解本题的关键是由线段和部分点的坐标，得出其它点的坐标．

16．（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.

【分析】

（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8求解即可；

（2）先求出|x2|3的解，再求出|x2|3的解集即可；

（3）先在数轴上找出x4x28的解，即可得出x4x28的解集.

【详解】

解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8

∴方程x35的解为x=2或x=-8

（2）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点的对应的数为-1或5

∴方程|x2|3的解为x=-1或x=5

∴|x2|3的解集为-1≤x≤5.

（3）由绝对值的几何意义可知，方程x4x28就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值.

∵在数轴上4和-2对应的点的距离是6

∴满足方程的x的点在4的右边或-2的左边

若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3

∴方程x4x28的解为x=5或x=-3

∴x4x28的解集为x＞5或x＜-3.

故答案为（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.

【点睛】

本题考查了绝对值及不等式的知识.

解题的关键是理解|x1x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离.

17．（1）1，2；（2）n【分析】

（1）由(a1)2b20，求出a和b的值即可；

22123或；（3）t或2

353（2）过P点作直线l//y轴，延长AB交l于Q，设出Q点坐标，根据面积关系求出Q点坐标，再求出PQ的长度，即可求出n值；

（3）先根据S梯形AGOCS梯形CONBS梯形AGNB求出C点坐标，再根据面积关系求出t值即可．

【详解】

解：（1）(a1)2b20，

a10，b20，

a1，b2，

故答案为1，2；

（2）如图1，过P作直线l垂直于x轴，延长AB交直线l于点Q，设Q的坐标为(3,m)，

过A作AHl交直线l于点H，连接BP，BH，

SAHQSABHSBQH，

4(m1)(31)(31)(m1)(32)，

121212解得mQ(3,11，

311)，

3113PQ(31)PQ(32)PQ，

222SABPSAQPSBPQ又点P(3,n)满足ABP的面积等于6，

311|n|6，

23解得n123或；

33（3）如图2，延长BA交x轴于D，过A作AGx轴于G，过B作BNx轴于N，

S梯形AGOCS梯形CONBS梯形AGNB，

111(1OC)1(OC3)2(13)3，

2225解得OC，

35C(0,)，

3SADGS梯形AGNBSDNB，

DG1(13)3(DG3)3，

121212解得DG3，

2G(1,0)，

5D(，0)，

2由题知，当t秒时，F(82t,0)，

511DF|82t()||2t|，

22CEt，

13111SABECE[2(1)]t，SABFSBDFSDAFDF(31)|2t|，

2222SABE2SABF，

t2|2t3211|，

2解得t22或2．

5【点睛】

本题是三角形综合题，考查三角形的面积，熟练掌握直角坐标系的知识，三角形的面积，梯形面积等知识是解题的关键．

18．（1）1或3；（2）∠APD =∠CDP+∠PAB或∠APD=∠PAB-∠CDP，理由见解析

【分析】

（1）由非负数的性质求出a，b，得到AB的长，结合点C坐标求出平行四边形ABCD的面1积，再根据△ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的，列出方程，解之即可；

4（2）分点P在线段OC上和点P在OC的延长线上，两种情况，过P作PQ∥AB，利用平行线的性质求解．

【详解】

解：（1）∵a4b30，

∴a=-4，b=3，

即A（-4，0），B（3，0），

∴AB=3-（-4）=7，又C（0，4），

∴OC=4，

∴平行四边形ABCD的面积=4×7=28，

由题意可知：PC=2t，则OP=42t，

1∵△ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的，

4∴1142t728，

24解得：t=1或t=3，

（2）如图，当点P在线段OC上时，

过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，

∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，

∴∠APD=∠DPQ+∠APQ=∠CDP+∠PAB；

当点P在OC的延长线上时，

过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，

∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，

∴∠APD=∠APQ-∠DPQ=∠PAB-∠CDP．

【点睛】

本题考查了坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握坐标和图形的关系，将坐标与线段长进行转化，同时适当添加辅助线，构造平行线．

19．（1）A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；（2）为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．

【分析】

（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．

（2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式100a150b1000，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可．

【详解】 （1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，

3x2y由题意得：，

x2y400x100解得：，

y150答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；

（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，

由题意得：100a+150b＝1000，

a1a4a7其正整数解为：或或，

b6b4b2当a＝1，b＝6时，利润＝80×1+100×6＝680（元），

当a＝4，b＝4时，利润＝80×4+100×4＝720（元），

当a＝7，b＝2时，利润＝80×7+100×2＝760（元），

∵680＜720＜760，

∴当a＝7，b＝2时，利润最大，

答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．

a3020．（1）；（2）有 4

种方案：3

台甲种机器，7

台乙种机器；2

台甲种机器，8

台b18乙种机器；1

台甲种机器，9

台乙种机器；

10

台乙种机器.

（3）最省钱的方案是购买 2

台甲种机器，8

台乙种机器.

【分析】

（1）根据购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元这一条件建立一元二次方程组求解即可,（2）设买了x台甲种机器,根据该公司购买新机器的资金不超过216万元，建立一次不等式求解即可,（3）将两种机器生产的产量相加,使总产量不低于1890吨，求出x的取值范围,再分别求出对应的成本即可解题.

【详解】

ab12,

（1）解：由题意得2a3b6a30解得，；

b18（2）解：设买了x台甲种机器

由题意得:30＋18(10－x)≤216

解得：x≤3

∵x为非负整数 ∴x＝0、1、2、3

∴有 4

种方案：

3

台甲种机器，7

台乙种机器；

2

台甲种机器，8

台乙种机器；

1

台甲种机器，9

台乙种机器；

10

台乙种机器.

（3）解：由题意得：240＋180（10－x）≥1890

解得：x≥1.5

∴1.5≤x≤ 3

∴整数 x＝2

或 3

当 x＝2

时购买费用＝30×2＋18×8＝204(元)

当 x＝3

时购买费用＝30×3＋18×7＝216(元)

∴最省钱的方案是购买 2

台甲种机器，8

台乙种机器.

【点睛】

本题考查了利润的实际应用,二元一次方程租的实际应用,一元一次不等式的实际应用,难度较大,认真审题,找到等量关系和不等关系并建立方程组和不等式组是解题关键.

21．（1）A款瓷砖单价为80元，B款单价为60元.（2）买了11块A款瓷砖，2块B款;13或8块A款瓷砖，6块B款.（3）B款瓷砖的长和宽分别为1，或1，.

45【分析】

（1）设A款瓷砖单价x元，B款单价y元，根据“一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等”列出二元一次方程组，求解即可；

（2）设A款买了m块，B款买了n块，且m>n，根据共花1000

元列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可；

（3）设A款正方形瓷砖边长为a米，B款长为a米，宽b米，根据图形以及“A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块”可列出方程求出a的值，然后由b的值.

【详解】

解: (1)设A款瓷砖单价x元，B款单价y元，

9b是正整教分情况求出2bxy140则有，

3x4yx80解得，

y60答: A款瓷砖单价为80元，B款单价为60元；

(2)设A款买了m块，B款买了n块，且m>n，

则80m+60n=1000，即4m+3n=50

∵m，n为正整数，且m>n

∴m=11时n=2；m=8时，n=6，

答：买了11块A款瓷砖，2块B款瓷砖或8块A款瓷砖，6块B款瓷砖； (3)设A款正方形瓷砖边长为a米，B款长为a米，宽b米.

79b9b72114，

由题意得：2a2ab2aba解得a=1.

由题可知，设9b是正整教.

2b9bk (k为正整数)，

2b92k，

k177(1,故合去)，

22变形得到b当k=1时，b55当k=2时，b(1，

故舍去)，

33当k=3时，b当k=4时，b3，

41，

513答: B款瓷砖的长和宽分别为1，或1，.

45【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，（1）（2）较为简单，（3）中利用数形结合的思想，找出其中两款瓷砖的数量与图形之间的规律是解题的关键.

22．(1)

F(2,17) =6；(2)a=3，b=78或a=7，b=78.

【分析】

(1)

F(2,17) =(217-127)÷15=6；

(2)分1≤a＜5，a=5，5＜a≤9三种情形讨论计算.

【详解】

(1)

当m2，n17时，可以得到217，127．较大三位数减去较小三位数的差为21712790，而90156，

∴F2,176．

(2)当ma，n50时，可以得a50，5a0．三位数分别为100a+50,500+10a，

当1≤a＜5时，（500+10a）-（100a+50）=450-90a，而(45090a)15306a，

∴Fa,50=306a，

∴1Fa,50=5a；

6当a=5时，（500+10a）-（100a+50）=0，而0150，

∴Fa,50=0，

∴1Fa,50=0；

6当5＜a≤9时，（100a+50）-（500+10a）=90a-450，而(90a450)156a30， ∴Fa,50=6a30，

∴1Fa,50=a-5；

6当m9，nb时，可以得900+10x+8，100x+98．

∵1x8，

∴（900+10x+8）-（100x+98）=810-90x，而(81090x)15546x，

∴F9,b=546x，，

∴1F9,b=273x；

2当1≤a＜5时，5-a+27-3x=8,

∴a+3x=24,

∴当a=1时，x=2322（舍去），当a=2时，x=（舍去），

3320（舍去），

3当a=3时，x=7，当a=4时，x=∴a=3，b=78；

当a=5时，则27-3x=8,

∴x=19（舍去），

3当5＜a≤9时，则a-5+27-3x=8,

∴3x-a=14,

∴当a=6时，x=当a=8时，x=20（舍去），当a=7时，x=7，

32322（舍去），当a=9时，x=（舍去），

33∴a=7，b=78；

综上所述，a=3，b=78或a=7，b=78.

【点睛】

本题考查了新定义问题和二元一次方程的整数解，准确理解新定义的意义，灵活运用分类思想和枚举法是解题的关键.

x1023．（1）；（2）该公司有6种购买方案，方案1：购买10台乙型设备；方案2：y8购买1台甲型设备，9台乙型设备；方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备；方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备；方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备；方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备；（3）最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备．

【分析】

（1）由一台A型设备的价格是x万元，一台乙型设备的价格是y万元，根据题意得等量关系：购买一台甲型设备-购买一台乙型设备=2万元，购买4台乙型设备-购买3台甲型设备=2万元，根据等量关系，列出方程组，再解即可； （2）设购买甲型设备m台，则购买乙型设备（10-m）台，由题意得不等关系：购买甲型设备的花费+购买乙型设备的花费≤91万元，根据不等关系列出不等式，再解即可；

（3）由题意可得：甲型设备处理污水量+乙型设备处理污水量≥2750吨，根据不等关系，列出不等式，再解即可．

【详解】

xy2（1）依题意，得：，

4y3x2x10解得：．

y8（2）设该治污公司购进m台甲型设备，则购进(10﹣m)台乙型设备，

依题意，得：10m+8(10﹣m)≤91，

解得：m≤52．

又∵m为非零整数，

∴m=0，1，2，3，4，5，

∴该公司有6种购买方案，

方案1：购买10台乙型设备；

方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备；

方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备；

方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备；

方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备；

方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备．

（3）依题意，得：300m+260(10﹣m)≥2750，

13解得：m≥3，∴m=4，5．

4当m=4时，总费用为10×4+8×6=88(万元)；

当m=5时，总费用为10×5+8×5=90(万元)．

∵88＜90，

∴最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备．

【点睛】

此题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程（组）和不等式．

24．当x小于5时，方案二省钱；当x=5时，两种方案费用相同；当x大于5且不大于12时时，方案一省钱

【分析】

先根据题意列出方案一的费用：起步价+超过3km的km数×1.6元+回程的空驶费+乘公交的费用，再求出方案二的费用：起步价+超过3km的km数×1.6元+返回时的费用1.6x+1.6元的等候费，最后分三种情况比较两个式子的大小．

【详解】

方案一的费用： 7+（x-3）×1.6+0.8（x-3）+4×2

=7+1.6x-4.8+0.8x-2.4+8

=7.8+2.4x，

方案二的费用：

7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6

=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6

=3.8+3.2x，

①费用相同时x的值

7.8+2.4x=3.8+3.2x，

解得x=5，

所以当x=5km时费用相同；

②方案一费用高时x的值

7.8+2.4x＞3.8+3.2x，

解得x＜5，

所以当x＜5km方案二省钱；

③方案二费用高时x的值

7.8+2.4x＜3.8+3.2x，

解得x＞5，

所以当x＞5km方案一省钱．

【点睛】

此题考查了应用类问题，解答本题的关键是根据题目所示的收费标准，列出x的关系式，再比较．

25．（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a<【分析】

（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；

（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；

（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．

【详解】

解：（1）①∵2x-4＝0，

∴x=2，

∵5x-2＜3，

∴x＜1，

∵2不在x＜1范围内，

∴①组合是“无缘组合”；

②x53x2，

328

13去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），

去括号，得：2x-10＝12-9+3x，

移项，合并同类项，得：x＝-13． 解不等式x33x1，

24去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，

去括号，得：2x+6-4＜3-x，

移项，合并同类项，得：3x＜1，

1化系数为1，得：x＜．

31∵-13在x＜范围内，

3∴②组合是“有缘组合”；

（2）解方程5x+15＝0得，

x＝-3，

解不等式x＞a，

5x150∵关于x的组合3xa是“有缘组合”，

a23xaa，得：

2∴-3在x＞a范围内，

∴a＜-3；

（3）解方程5ax32x3a，

2去分母，得5a-x-6＝4x-6a，

移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，

化系数为1得：x＝解不等式11a6，

5xa+1≤x+a，

2去分母，得：x-a+2≤2x+2a，

移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，

5ax32x3a2∵关于x的组合是“无缘组合，

xa1xa2∴11a6<-3a+2，

5解得：a<8．

13【点睛】

本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解．

26．（1）A（－3，2），B（3，6）；（2）△ABO的面积为12；（3）点A的横坐标的取值范围是0xA4．

【分析】 （1）根据算术平方根和绝对值的非负性可得a＝－3，b＝2，进而可求得A，B两点的坐标；

（2）过A作AE⊥x轴，垂足为E，过B作BF⊥x轴，垂足为F，根据SABOS梯形AEFBSAEOSBOF即可求得答案；

11（3）先根据S△ABOCOxACOxB可求得点C的坐标，设B（m，0），根据平移的22性质可得A（m－6，－4），过点A、B、C分别作坐标轴的平行线，交点记为点M、N、H，根据S【详解】

解：（1）∵ABCS四边形AHNMSAMCSABHSCBN可得S122m，再根据24＜S＜32可求得6m10，进而可求得点A的横坐标的取值范围．

a3b20，a30，b20，

∴a＋3＝0且b－2＝0，

∴a＝－3，b＝2，

又∵A（a，b），B（－a，3b），

∴A，B两点的坐标为A（－3，2），B（3，6）；

（2）如图，过A作AE⊥x轴，垂足为E，过B作BF⊥x轴，垂足为F，

∵ A（－3，2），B（3，6），

∴ AE＝2，BF＝6，EF＝6，EO＝3，OF＝3，

∴SABOS梯形AEFBSAEOSBOF

111(AEBF)EFEOAEFOBF

222111(26)63236

22212

∴△ABO的面积为12；

（3）由（2）知：S△ABO12，

11而S△ABOCOxACOxB

22∴11CO3CO3=12，

22解得：CO＝4，

∴C（0，4），

∵B在x的正半轴上， ∴设B（m，0），且m＞0，

此时由平移的性质易知A（m－6，－4），

∴如图所示，过点A、B、C分别作坐标轴的平行线，交点记为点M、N、H，

则SABCS四边形AHNMSAMCSABHSCBN

11168(6m)864m4

222122m，

即S122m，

又∵24S32，

∴24122m32，

解得：6m10，

∴0m64，

∴点A的横坐标的取值范围是0xA4．

【点睛】

本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，平移的性质，用割补法求三角形的面积，以及解一元一次不等式组，熟练掌握用割补法求三角形的面积是解决本题的关键．

27．（1）0a2；（2）-17

【分析】

（1）解方程组求出x、y的值，根据x0,y1列不等式组求出答案；

（2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案．

【详解】

xa2解：（1）解方程组得，

y12a∵x0,y1，

a20∴,

12a1解得0a2；

（2）由①+②得2x+y=-3，

∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9，

∴6x3y8=-9-8=-17．

【点睛】 此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键．

2264、D2，2；(3)存在点P，其坐标为0,或0,.

28．(1)D4,2；(2)C0，33【分析】

（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；

（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD=7（S△BCD建立方程求解，即可）；

（3）设出点P的坐标，表示出PC用【详解】

(1)∵B(3，0)平移后的对应点C2,4，

0b4，

∴设3a2，b4

∴a5，SSPCDBCD2，建立方程求解即可．

3即线段AB向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，

∴A点平移后的对应点D4,2；

(2)∵点C在y轴上，点D在第二象限，

D2，2y

∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移y个单位，∴C0，y，连接OD，

SBCDSBOCSCODSBOD

111OBOCOC2OB(2y)7，∴y4

2224、D2，2；

∴C0，(3)存在

m，∴PC4m

设点P0，∵∴SPCD2，

SBCD312|4m|27

2314，

3∴|4m|226∴m或m

33226∴存在点P，其坐标为0,或0,.

33【点睛】

本题考查了线段平移的性质，解题的关键在利用平移的性质，得到点坐标的关系、图形面积的关系，根据面积的关系，从而求出点的坐标.

29．（1）4；1；（2）x8或67.2或128；（3）不变，BAC:BCD4:3

【分析】 （1）根据平方的非负性即可求出a，b；

（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行，分三种情况进行讨论，分别求得t的值即可；

（3）设灯A射线转动时间为x秒，根据BAC601804x4x120，BCD90BCA=3x90，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．

【详解】

解：（1）∵(a4b)2(ab5)20

a4b0∴

ab50a4解得

b1故答案为：4；1.

（2）设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行．

①当灯A光射线转第1轮时，

有4xx24，则x8．

②当灯A光射线转第2轮时，

有4x180x24180，则x67.2．

③当灯A光射线转第3轮时，

有4x360x24，则x128．

综上：x8或67.2或128秒时，两灯的光射线互相平行．

（3）设A灯转动x秒，

∵∠CAN=1804x

∴BAC601804x4x120，

∵CDAC，

∴BCD90BCA．

∵BCAPBCCANx1804x1803x，

∴BCD90BCA901803x3x90，

∴BAC:BCD4x120:3x904:3．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0．

x1030．（1）B；（2）x,y的最小整数解为；（3）隐线中s的最大值和最小值的和为y47

2【分析】

（1）将A,B,C三点坐标代入方程,方程成立的点即为所求,

（2）将P,Q代入方程,组成方程组求解即可, （3）将P代入隐线方程,与m2n7组成方程组,求解方程组的解,再由s272n3n147n即可求解.

【详解】

解：（1）将A,B,C三点坐标代入方程,只有B点符合,

∴隐线3x2y6的亮点的是B.

1（2）将P0,2,Q1,代入隐线方程

32h6得：21

th63t25解得

h3代入方程得：5x6y26

x10x,y的最小整数解为

y4m2n7（3）由题意可得

2m3nsm72n

n7m

2s272n3n147n

s7m21

22s的最大值为14，最小值为21

2217

22隐线中s的最大值和最小值的和为14【点睛】

本题考查了二元一次方程的新定义,二元一次方程与直线的关系,运用了数形结合的思想,理解题意是解题关键.