2019考研数学真题汇总及解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．

．．．

（2019,101,201,301）当x→0时，若x−tanx与xk是同阶无穷小，则k=

A.1. B.2.

C.3. D.4.

（2019,302）已知方程x−5x+k=0有3个不同的实根，则k的取值范围

A、

(−,−4) B、(4,+) C、−4,4 D、(−4,4)

5xx,x0,（2019,102）设函数f(x)=则x=0是f(x)的

xlnx,x0,A. 可导点，极值点. B. 不可导点，极值点.

C. 可导点，非极值点. D. 不可导点，非极值点.

（2019,202）y=xsinx+2cos（x-A.

(0,2)

π

x2π）的拐点是2B.

(,−2)

C.

,

22D.33,−22



（2019,203）下列反常积分发散的是（ ）

A.C.

（2019,204,303）已知y+ay+by=cex的通解为y=(C1+C2x)e+e,则a,b,c的值为（ ）

A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4

-xx+0+xedx

arctanxdx

21+x−xB.D.+0+xe−xdx

xdx21+x

200|x+y（2019,205）已知平面区域D=（x,y）22，记I1=Dx+ydxdy，

2

I2=sinx2+y2dxdy，I3=(1−cosx2+y2)dxdy，则（ ）

DDA.I3I2I1

C.

I1I2I3

B.

I2I1I3

D.I2I3I1

（2019,206,一二）设函数f(x),g(x)的二阶导函数在x=a处连续，则limx→af(x)−g(x)=02(x−a)是两条曲线

y=f(x),y=g(x)在对应的点处相切及曲率相等的（ ）

A.充分不必要条件

C.必要不充分条件

B.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

（2019,103，一三）设{un}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

uA.

n. B.

n=1nuC.

(1−n). D.

un+1n=1

（2019,304,一三）若(−1)nn=11.

un(un=12n+12−un).

nun绝对收敛，n=1vn条件收敛，则（

）

nn=1绝对收敛

A、uvn=1nn条件收敛 B、uvn=1nnC、

(un=1n+vn)收敛 D、(un+vn)发散

n=1（2019,104，一）设函数Q(x,y)=x.如果对上半平面(y0)内的任意有向光滑封闭曲线2yC都有P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，那么函数P(x,y)可取为

Cx21x2A.

y−3. B.

−3.

yyyC.

111−. D.

x−.

xyy

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．

．．．

（2019,209）lim(x+2)=x→02xx

11（2019,309）lim++n→1223

1+=____________

n(n+1)n（2019,310）曲线y=xsinx+2cosx(−

2x3)的拐点坐标为____________

2x=t−sint3（2019,210，一二）曲线在t=对应点处切线在y轴上的截距为

2y=1−cost

（2019,311）已知f(x)=

（2019,110）微分方程2yy−y2−2=0满足条件y(0)=1的特解y= .

（2019,109）设函数f(u)可导，z=f(siny−sinx)+xy，则

x11+tdt，则x2f(x)dx=____________

4011z1z+= .

cosxxcosyy

y2zz+y= .

（2019,211）设函数f(u)可导，z=yf()，则2xxxy

（2019,212）设函数y=lncos（x0x

（2019,213）已知函数f(x)=x6的弧长为

）x11sint2dt，则f(x)dx= .

0t(−1)nn（2019,111,一三）幂级数x在(0,+)内的和函数S(x)= .

n=0(2n)!

（2019,112，一）设为曲面x2+y2+4z2=4(z0)的上侧，则4−x2−4z2dxdy= .

（2019,312，三）以pA,pB分别表示A,B两种商品的价格，设商品A的需求函数为

22

QA=500−pA−pApB+2pB则当pA=10,pB=20时，求商品A的需求量对对自身价格的需求弹性AA(AA0)为________.

三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上．

．．．（2019,215,315）（本题满分10分）

x2xx0已知函数f(x)=x，求f(x),并求f(x)的极值.

xe+1x0

（2019,216）（本题满分10分）

求不定积分3x+6(x−1)2(x2+x+1)dx.

（2019,115）（本题满分10分）

设函数y(x)是微分方程y+xy=e（1）求y(x)；

（2）求曲线y=y(x)凹凸区间及拐点.

（2019,217,317）（本题满分10分）

设函数y(x)是微分方程y−xy=(1)求y(x);

(2)设平面区域D={(x,y)|1x2,0yy(x)},求D绕x轴旋转所得旋转体的体积.

（2019,218）（本题满分10分）

已知平面区域D=−x22满足条件y(0)=0的特解.

12xe, 满足条件y(1)=e的特解.

x22(x,y)|xy,(x2+y2)3y4，计算二重积分Dx+yx+y22dxdy.

（2019,117,219,318）（本题满分10分）

−x设n为正整数，记Sn为曲线y=esinx(0xn)与x轴所围图形的面积.求Sn，并求limSn.

n→

（2019，316）已知f(u,v)具有2阶连续偏导数,且g(x,y)=xy−f(x+y,x−y) .求2g2g2g++.

x2xyy2

（2019,220）（本题满分11分）

2u2uuu已知函数u(x,y)满足22−22+3+3=0,求a,b的值使得在变换xyxyu(x,y)=v(x,y)eax+by下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式.

（2109,221）（本题满分11分）

已知函数f(x,y)在0,1上具有二阶导数，且f(0)=0,f(1)=1,（1）存在(0,1)，使得f\'()=0；

（2）存在(0,1)，使得f\'\'()−2.

（2019,118,319）设an=10f(x)dx=1，证明：

10xn1−x2dx(n=0,1,2)

（1）证明数列an单调减少；且an=

(2)求lim

n−1an−2(n=2,3)；

n+2an

n→an−12（2019,119,一）设是由锥面x+(y−z)−(1−z)22(0z1)与平面z=0围成的锥体，求的形心坐标。

（2019,116,一）（本题满分10分）

设a,b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l=−3i−4j的方向导数最大，最大值为10.

（1）求a,b；

（2）求曲面z=2+ax2+by2(z0)的面积.

2019年全国硕士研究生入学统一考试

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．

．．．

（2019,101,201,301）当x→0时，若x−tanx与xk是同阶无穷小，则k=

A.1. B.2.

C.3. D.4.

【答案】C

x3【解析】由x−tanx~−可知，k=3，选C.

3(2019,302)已知方程x5-5x+k=0有3个不同的实根，则k的取值范围

A、

(-¥,-4) B、(4,+¥) C、{-4,4} D、(-4,4)

【答案】D

54【解析】设函数f(x)=x−5x+k，则f(x)=5x−5，令f(x)=0，解得x=1或x=−1.

当x(−1,1)时，f(x)0，故f(x)在(−1,1)内单调减少；当x(−,−1)(1,+)时，f(x)0，故f(x)分别在x(−,−1)，(1,+)内单调增加，故f(x)有极大值f(−1)=k+4，极小值f(1)=k−4.

已知方程f(x)有3个不同的零点，所以f(−1)0，f(1)0，解得−4k4.

xx,x0,（2018,102）设函数f(x)=则x=0是f(x)的

xlnx,x0,A. 可导点，极值点. B. 不可导点，极值点.

C. 可导点，非极值点. D. 不可导点，非极值点.

【答案】B

xlnx=limx|x|=0，所以f(x)在x=0连续， 【解析】因为f(0)=lim+−x→0x→0又因为f+(0)=lim+x→0xlnx−0=limlnx=−，所以f(x)在x=0不可导.

x→0+x−0x0−2x,f(x)=，f(x)在x=0的去心左右邻域内异号，所以是极值点，选B.

lnx+1,x0

（2019,202）y=xsinx+2cos（x-

x2）的拐点是2

A.

(0,2) B.

(,−2)

C.

,

22D.33,−22

【答案】B

【解析】y=xcosx−sinx,y=−xsinx,y=−sinx−xcosx，令y=−xsinx=0可得x=，y()=0因此拐点坐标为(,−2)，选C.

（2019,203）下列反常积分发散的是（ ）

A.C.++20+xe−xdx

arctanxdx

1+x2B.D.0+xe−xdx

xdx

1+x200【答案】D

【解析】对于A,对于B，2+0xedx=−−x+0xde−x=1；

+0+xe−xdx=−1+−x212ed(−x)=；

022对于C，0+arctanx2

dx=arctanxdarctanx=01+x28对于D，+0x12dx=lnx+1)=+，故只有D发散，选D.

(21+x20-xx+（2019,204,303）已知y+ay+by=cex的通解为y=(C1+C2x)e+e,则a,b,c依次为（ ）

A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4

【答案】D

【解析】由齐次方程通解形式可知1=2=−1，由此可知特征方程为(+1)2=2+2+1=0，即齐次方程为y+2y+y=0，可知a=2, b=1.由解的结构可知y=ex为非齐次方程的特解，带入y+2y+y=cex，解得c=4.故选D.

|x+y（2019,205）已知平面区域D=（x,y）22，记I1=Dx+ydxdy，

2I2=sinx2+y2dxdy，I3=(1−cosx2+y2)dxdy，则（ ）

DDA.I3I2I1 B.

I2I1I3

C.

I1I2I3

【答案】A

【解析】由于0sinD.I2I3I1

x2+y2x2+y2，所以I2I1；又因为，

sinx2+y2sin2x2+y2=1−cos2x2+y2=(1−cosx2+y2)(1+cosx2+y2) ，（x,y）（|x+y而当x,y）22，x+y22，所以1+cosx+y221，从而，

sinx2+y21−cosx2+y2，故I3I2.

（2019,206,一二）设函数f(x),g(x)的二阶导函数在x=a处连续，则limx→af(x)−g(x)=02(x−a)是两条曲线

y=f(x),y=g(x)在对应的点处相切及曲率相等的（ ）

A.充分不必要条件

C.必要不充分条件

【答案】A

【解析】

由limx→aB.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

f(x)−g(x)=0可知，

f(a)=g(a),f(a)=g(g),f(a)=g(a)；

2(x−a)y相等可知，f(a)=g(a),f(a)=g(g), 由f(x),g(x)相切于a且曲率K=(1+y)322f(a)=g(a)，因此是必要非充分条件，选A

（2019,103，一三）设{un}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

uA.

n. B.

n=1nuC.

(1−n). D.

un+1n=1【答案】D.

【解析】取un=−n(−1)n=11.

un(un=12n+12−un).

11，排除A；取un=−，排除B、C；

lnnn2}收敛.

{un}是单调增加的有界数列，所以{un}收敛，从而{un

因为(un=12n+1−u2n)=(u22−u21)+(u23−u22)+=limun→2n+1−u21存在，所以(un=12n+12−un)收敛.选D

（2019,304,一三）若nun绝对收敛，n=1vn条件收敛，则（

）

nn=1绝对收敛

A、uvn=1nn条件收敛 B、uvn=1nnC、(un=1n+vn)收敛 D、(un+vn)发散

n=1【答案】B

(−1)n(−1)n,vn=【解析】取un=，排除A、D；

n3lnn(−1)nn,v=(−1)取un=，排除C

n3n对于B，由n收敛可知，存在M0，对于任意的正整数n，有n=1n=1vnvnnM，

v故unvn=nunnn收敛.

Mnun，已知nun绝对收敛，所以由比较判别法可知unvn绝对n=1（2019,104，一）设函数Q(x,y)=x.如果对上半平面(y0)内的任意有向光滑封闭曲线2yC都有P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，那么函数P(x,y)可取为

Cx21x2A.

y−3. B.

−3.

yyyC.

111−. D.

x−.

xyy【答案】D

【解析】由题意可知，曲线积分与路径无关，则PQ11==2，从而P(x,y)=f(x)−，yxyy排除A、B；又因为11−在正y轴上没定义，排除C，选D

xy

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．

．．．

（2019,209）lim(x+2)=x→02xx

【答案】4e

【解析】limx+2x→02(x)2x=ex→0x2limlnx+2x()，

2x+2x−1x其中，limln(x+2)=2lim=2lim(1+2xln2)=2(1+ln2)，

x→0xx→0x→0x可知limx+2x→0(x)2x=e2+2ln2=4e2

1+=____________

n(n+1)n11（2019,309）lim++n→1223【答案】1

e1111+=limexpnln(1−+−+n→n(n+1)223nlim−n→n+1n【解析】

11lim++n→1223=e1limnln(1−)n→n+1+11−)nn+1

=e=1e（2019,310）曲线y=xsinx+2cosx(−【答案】(,−2).

【解析】由y=xsinx+2cosx(−2x3)的拐点坐标为____________

22x3)可得，y=xcosx−sinx,y=−xsinx.

2令y=−xsinx=0，解得x=0或x=.

当−2x0时，y0，当0x2时，y0，故点(0,2)不是曲线

y=xsinx+2cosx(−33)的拐点.当x时，y0，当x时，22223y0，故(,−2)是曲线y=xsinx+2cosx(−x)的拐点.

22x

x=t−sint3（2019,210）曲线在t=对应点处切线在y轴上的截距为________.

2y=1−cost

3+2

2dysint3dy33==−1，因此t=时切线方程为【解析】，t=时x=+1,y=1,dx1−cost2dx2233y=−x++2，令x=0，切线在y轴上的截距为+2.

22【答案】

（2019,311）已知f(x)=x11+tdt，则x2f(x)dx=____________

4011−22) 【答案】（【解析】将f(x)带入所求表达式，有计算得，

11810x2f(x)dx=−dxx21+t4dt，交换积分次序并0x1110x2f(x)dx=−dtx21+t4dx=−001t13124t1+tdt=−(1+t)=（1−22)

18（2019,110）微分方程2yy−y2−2=0满足条件y(0)=1的特解y= .

【答案】y=3e−2.

【解析】2yy−y2−2=0化简可得x2y2，两侧积分可得dy=dxln(y+2)=x+C，将2y+2y(0)=1带入得C=ln3，化简的y=3ex−2.

（2019,109）设函数f(u)可导，z=f(siny−sinx)+xy，则

1z1z+= .

cosxxcosyy【答案】yx+

cosxcosy【解析】因为z=f(siny−sinx)+xy，所以

zz=f(siny−sinx)(−cosx)+y,=f(siny−sinx)cosy+x

xy从而1z1zyx+=+

cosxxcosyycosxcosy

y2zz+y=（2019,211）设函数f(u)可导，z=yf()，则2xxxy

y2【答案】yf

x【解析】因为，

2zy2y3y2y=yf−2=−2fxxxxx

22222yy2yy2yyz=f+yf=f+fyxxxxxxy2zz+y=yf 所以，2xxyx（2019,212）设函数y=lncos（x0x【答案】6的弧长为

）1ln3

22【解析】

s=61+(y0)dx=601+tan2xdx60=6011dx=ln+tanxcosxcosx1=ln3=ln32x

（2019,213）已知函数f(x)=x【答案】11sint2dt，则f(x)dx=0t

1(cos1−1)

411sint211F(x)=dt,f(x)dx=xF(x)dx=F(x)dx2100t20|112112112=xF(x)−xdF(x)=−xF(x)dx000222x【解析】

=−1112sinx22xdx=−xsinxdx=cosx20x20401121

1=(cos1−1)4(−1)nn（2019,111,一三）幂级数x在(0,+)内的和函数S(x)= .

n=0(2n)!【答案】cosx

(−1)n2nx,x(−,+)，所以当x(0,+)时， 【解析】因为cosx=n=0(2n)!

(−1)nn(−1)nx=(x)2n=cosx.

n=0(2n)!n=0(2n)!

（2019,112，一）设为曲面x2+y2+4z2=4(z0)的上侧，则4−x2−4z2dxdy= .

32

322【答案】【解析】因为曲面x2+y2+4z2=4(z0)在xOy平面的投影为x+y4，且曲面上侧为32

3正，所以4−x−4zdxdy=22x2+y24ydxdy=42dr2sindr=002（2019,312，三）以pA,pB分别表示A,B两种商品的价格，设商品A的需求函数为

22

QA=500−pA−pApB+2pB

则当pA=10,pB=20时，求商品A的需求量对对自身价格的需求弹性AA(AA0)为________.

【答案】0.4

【解析】AA2dQApA2pA+pApB=−=.

22dpAQA500−pA−pApB+2pB当pA=10,pB=20时，AA=0.4.

三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上．

．．．

（2019,215,315）（本题满分10分）

x2xx0已知函数f(x)=x，求f(x),并求f(x)的极值.

xe+1x02xx(2lnx+2) x0【答案】f(x)=；

xx0(1+x)e−1极小值为f(−1)=−e+1，fe=，极大值为f(0)=1.

−1()1e2e

【解析】当x0时，f(x)=x2x()=(e2xlnx)=e2xlnx(2lnx+2)=x2x(2lnx+2).

当x0时，f(x)=xex+1=ex+xex=(1+x)ex.

当x=0时，f(0)=1，

()x2x−1e2xlnx−12xlnxf+(0)=lim=lim=lim=−++x→0+x→0x→0xxxxex+1−1f−(0)=lim=limex=1.

−−x→0x→0x所以f(0)不存在.

2xx(2lnx+2) x0故f(x)=.

xx0(1+x)e−1令f(x)=0，得驻点x1=e,x2=−1.

（1）当x0,e−1,f(x)0,f(x)单调递减，当xe−1，+,f(x)0,f(x)单调递()()增，故fe1()=e−12e为极小值.

0),f(x)0,f(x)单调递增，当x0,e−1,f(x)0,f(x)单调递减，（2）当x(-1，

故f(0)=1为极大值.

()0),f(x)0,f(x)单调递增，（3）当x(−,−1),f(x)0,f(x)单调递减，当x(-1，

故f(−1)=−e+1为极小值.

−1（2019,216）（本题满分10分）

求不定积分3x+6(x−1)2(x2+x+1)dx.

【答案】lnx+x+1−【解析】

(2)3−2ln|x−1|+C

x−12x+13x+632dx=+−dx22(x−1)2(x2+x+1)x+x+1(x−1)x−1

=ln(x2+x+1)−3−2ln|x−1|+Cx−1

（2019,115）（本题满分10分）

设函数y(x)是微分方程y+xy=e（1）求y(x)；

（2）求曲线y=y(x)凹凸区间及拐点.

【答案】（1）y=xe−x22−x22满足条件y(0)=0的特解.

；

（2）曲线y(x)在区间(−3,0)及(3,+)内是凹的，在区间(−,−3)及(0,3)内是凸的；拐点为(−3,−3e),(0,0),(3,3e).

【解析】

（1）由一阶非齐次线性微分方程的通解公式，得y=e又y(0)=0，所以C=0，从而y=xe（2）y=xe−x22−x22−32−32−xdx(C+e−x22edx)=exdx−x22(C+x),.

−x22的定义域为(−,+)，y=(1−x2)e,y=x(x2−3)e−x22.

令y=0，得x=0及x=3.

由二阶导的符号可知，曲线y(x)在区间(−3,0)及(3,+)内是凹的，在区间(−,−3)及(0,3)内是凸的.

又y(−3)=−3e,y(0)=0,y(3)=3e−32−32，所以曲线y=y(x)的拐点为(−3,−3e),(0,0),(3,3e).

（2019,217,317）（本题满分10分）

设函数y(x)是微分方程y−xy=(1)求y(x);

(2)设平面区域D={(x,y)|1x2,0yy(x)},求D绕x轴旋转所得旋转体的体积.

【答案】

【解析】

（1）注意到，e−x2/2−32−3212xe, 满足条件y(1)=e的特解.

x22(−x2/2y=e−x)2/2(y−xy)=e−x22/212xex2/2=12x

因此，ey=x+Cy=xex/2+Cex/2，又因为y(0)=e，

2

所以，y(x)=（2）V=xex2/2

2x/2221[y(x)]dx=xe12dx =122exedx=2x2x221e4−e

=2（2019,218）（本题满分10分）

已知平面区域D=(x,y)|xy,(x2+y2)3y4，计算二重积分Dx+yx+y22dxdy.

【答案】432

120【解析】因为D关于y轴对称，所以Dxx+y22dxdy=0，

Dyx+yx+yx+y2222dxdy=2D1yx+yyx+y2222dxdy，其中D1是D位于y轴右侧的部分.

sin2Ddxdy=2D1dxdy=2d240rsinrdr=−2sin4d(cos)r4

21243235=−cos−cos+cos=351204（2019,117,219,318）（本题满分10分）

−x设n为正整数，记Sn为曲线y=esinx(0xn)与x轴所围图形的面积.求Sn，并求limSn.

n→eπ+1【答案】

2(eπ−1)【解析】

由题意，

Sn=e|sinx|dx=(−1)−x0k=0nπn−1kk(k+1)e−xsinxdx

因为

e于是，

−xsinxdx=−e−xdcosx=−e−xcosx−e−xcosxdx−x−x−x−x−x=−ecosx−edsinx=−ecosx−esinx+esinxdx

1−x−xesinxdx=−e(cosx+sinx)+C2(k+1)πkπ1e−xsinxdx=−e−x(cosx+sinx)2kπ(k+1)π=(−1)e−(k+1)π+e−kπ2k

1n−1−(k+1)π−kπ(1+e−π)(1−e−nπ)从而，Sn=

e+e=2k=02(1−e−π)1+e−πeπ+1.

limSn==−ππn→2(1−e)2(e−1)（2019，316）设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数,函数g(x,y)=xy−f(x+y,x−y) .求2g2g2g++.

x2xyy22g2g2g(x+y,x−y)−f22(x+y,x−y)

+2=1−3f11【答案】2+xxyy【解析】

因为

g=y−f1(x+y,x−y)−xg=x−f1(x+y,x−y)+yf2(x+y,x−y)f2(x+y,x−y)2g−f12−f21−f22=−f11−2f12−f22

=−f112x2g+f12−f21+f22=1−f11+f22=1−f11xy2g+f12+f21−f22=−f11+2f12−f22=−f112y所以

2g2g2g(x+y,x−y)−f22(x+y,x−y)

++2=1−3f112xxyy

（2019,220）（本题满分11分）

2u2uuu已知函数u(x,y)满足22−22+3+3=0,求a,b的值使得在变换xyxyu(x,y)=v(x,y)eax+by下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式.

332v2v【答案】a=−,b=时原等式可化为原等式化为2−2=0.

44xy【解析】

uvax+by=e+aveax+byxxuvax+by=e+bveax+byyyuvax+byvax+byvax+by=e+ae+ae+a2veax+by22xxxx2u2vax+byvax+byvax+by2ax+by=e+be+be+bvey2y2yy带入原等式，整理得

22，

2v2vvv22−22+(4a+3)+(3−4b)+(2a2−2b2+3a+3b)v=0

xyxy3a=−4a+3=04令，解得.

33−4b=0b=42v2v此时，原等式化为2−2=0.

xy（2019,221）（本题满分11分）

已知函数f(x)在0,1上具有二阶导数，且f(0)=0,f(1)=1,（1）存在(0,1)，使得f\'()=0；

（2）存在(0,1)，使得f\'\'()−2.

【解析】

（1）因为f(x)在0,1上连续，由积分中值定理可知，存在c(0,1)使得

10f(x)dx=1，证明：

10f(x)dx=f(c)=1，因此f(c)=f(1)=1

因为f(x)在0,1上具有二阶导数，由罗尔定理可知，存在(c,1)(0,1)使得f\'()=0.

（2）设函数F(x)=f(x)+x，则有F(0)=0，F(c)=1+c,F(1)=2，因为F(x)在0,1上22（0,c)以及(c,1)上分别使用拉格朗日中值定理可得， 具有二阶导数，在

F(c)−F(0)1+c2（0,c)，使得F(1)=存在1，

=c−0cF(1)−F(c)1−c2存在2(c,1)，使得F(2)===1+c，

1−c1−c对于函数F(x)，在(1,2)上使用拉格朗日中值定理可知，

1+c211+c−1−F(2)−F(1)c=c0

=存在(1,2)(0,1)，使得F()=2−12−12−1（2019,118,319）设an=10xn1−x2dx(n=0,1,2)

（1）证明数列an单调减少；且an=

(2)求limn−1an−2(n=2,3)；

n+2an

n→an−1【答案】lim【解析】

an=1

n→an−11（1）an+1−an=an=0xn(x−1)1−x2dx，因为x(0,1)时，xn(x−1)1−x20且不恒等于0，所以an+1−an0，即an单调减少.

当n2时，因为

an=x01n311n−1221−xdx=−xd(1−x)3021331n−1n−11n−22222=−x(1−x)+0x(1−x)dx33011n−11n−2n−11n2222=x(1−x)dx−x(1−x)dx3030n−1n−1=an−2−an33

所以an=（2）n−1an−2(n=2,3)

n+2ann−1an−2=

an−1n+2an−1

因为an单调减少且an0，所以n−1an1，

n+2an−1从而liman=1

n→an−1222（2019,119,一）设是由锥面x+(y−z)−(1−z)(0z1)与平面z=0围成的椎体，求的形心坐标。

【答案】(0,11,).

44【解析】设的形心坐标为(x,y,z)，因为关于yOz平面对称，所以x=0.

因为V=dxdydz=10π2dxdy=π(1−z)dz=.，

003Dz1112π1−zydxdydz=ydxdy=dzdDz00100(z+rsin)rdr=πz(1−z)2dz=01π.

12zdxdydz=102zdxdy=πz(1−z)dz=Dzπ.

121=,z=V411故的形心坐标为(0,,)

44所以y=ydxdydzzdxdydzV1=.

4

（2019,116,一）（本题满分10分）

设a,b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l=−3i−4j的方向导数最大，最大值为10.

（1）求a,b；

（2）求曲面z=2+ax2+by2(z0)的面积.

【答案】

（1）a=−1,b=−1；（2）【解析】

（1）函数z=2+ax+by在点(3,4)处的梯度为grad z=6ai+8bj

2213π.

3

6a=−3k,8b=−4k,其中k0. 由题设条件，知2236a+64b=10,解得a=−1,b=−1

（2）

S=dS=1+(D22πz2z2)+()dxdy=1+4x2+4y2dxdyxyD2π2=dr1+4rdr=1+4r2d(1+4r2)00402π13π2=(1+4r)=.063