2023年广东省广州市高考数学模拟试卷(一)+答案解析(附后)

2023年12月3日发(作者：惠州高三一模数学试卷及答案)

2023年广东省广州市高考数学模拟试卷（一）1.

若复数A.

2.

已知集合A.

33.

函数B.

4在，则( )B. C. D.

，则集合A的子集个数为( )C.

8上的图像大致为( )D.

16A. B. C. D.

4.

已知为第一象限角，A. B. C.

，则( )D.

5.

“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有( )A.

100个两点，且B.

125个C.

225个D.

250个的直线交C于P，Q6.

已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x铀上，过点，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为( )A.

7.

已知三棱锥B. C.

的四个顶点都在球O的球面上，，D.

1，则球O的表面积为( )A. B. C. D.

，，则下列8.

已知a，b，c均为正实数，e为自然对数的底数，若不等式一定成立的是( )A. B. C. D.

第1页，共21页9.

某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据单位：介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则( )全部A.

频率分布直方图中a的值为B.

这100名学生中体重低于60kg的人数为60C.

据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D.

据此可以估计该校学生体重的平均数约为10.

已知函数A.

函数B.

函数C.

若D.

若11.

已知函数的的图像关于点在对称的图像关于直线对称，则( )有且仅有2个极值点，则，则，，点P，Q分别在函数的最小值为的图像上，O为坐标原点，则下列命题正确的是( )在对称上无解，则A.

若关于x的方程B.

存在P，Q关于直线C.

若存在P，Q关于y轴对称，则D.

若存在P，Q满足，则12.

平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足，则下列结论正确的是( )，A.

点P的横坐标的取值范围是C.

面积的最大值为B.

D.

与的取值范围是的取值范围是13.

已知向量共线，则______ .第2页，共21页14.

已知，则，将数列与数列______ .的公共项从小到大排列得到新数列15.

已知函数则关于x的不等式的定义域为，其导函数为的解集为______ .，若，16.

在棱长为1的正方体是侧面上的动点.且距离的最小值为______ .中，点E，F分别是棱BC，的中点，P平面AEF，则点P的轨迹长为______ .点P到直线AF的17.

已知数列求若的前n项和为，且，并证明数列是等差数列；，求正整数k的所有取值.的内角A，B，C的对边分别为a，b，；，求的面积.中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，已知18.

记证明：若19.

如图，在四棱锥求证：；求平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值.20.

为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.求甲前3次答题得分之和为40分的概率；记甲第i次答题所得分数的数学期望为第3页，共21页①写出②若与满足的等量关系式直接写出结果，不必证明：，求i的最小值.的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线21.

已知椭圆相切.求C的方程；直线l：B两点，与C相交于A，过C上的点P作x轴的平行线交线为坐标原点，的面积为的面积为段AB于点Q，直线OP的斜率为，若，判断，函数，证明：当时，是否为定值？并说明理由.22.

已知若若函数；存在极小值点，证明：第4页，共21页答案和解析1.【答案】A

【解析】解：则故故选：根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．，，，2.【答案】C

【解析】解：集合，集合A的子集个数为故选：求出集合，由此能求出集合A的子集个数．本题考查集合的子集个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B

【解析】解：根据题意，函数在有上，且，，函数，排除A，故选：根据题意，先分析函数的奇偶性，排除CD，再分析本题考查函数的图象，涉及函数值的符号，属于基础题．的符号，排除A，即可得答案．既不是奇函数也不是偶函数，排除CD，，4.【答案】D

第5页，共21页【解析】解：因为两边平方，可得又为第一象限角，所以由①②可得，，①，可得，，②，可得，则故选：将已知等式两边平方，可得，结合为第一象限角，可求，联立可求系式可求，利用二倍角的正切公式可求，的值，利用同角三角函数基本关的值．本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于中档题．5.【答案】C

【解析】解：根据题意，对5位回文数有且仅有两位数字是奇数，分2种类型，分3步进行分析：第一类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法，对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个偶数，有4种取法，则5位回文数有个，第二类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法，则5位回文数有共有225个故选：根据题意，对5位回文数有且仅有两位数字是奇数，分3步进行分析：先分析百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，再分析十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个奇数或偶数，最后分析万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个个，第6页，共21页偶读或奇数，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合综合应用，关键是理解回文数的概念，注意5位回文数中条件的应用，是中档题．6.【答案】A

【解析】解：已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x铀上，过点两点，且，的直线交C于P，Q则抛物线C的焦点F在x轴正半轴上，设抛物线方程为设PQ所在的直线方程为联立消x可得设则又则即即则又则则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，当直线MF的斜率取最大值时，显然又当时，当且仅当即，时取等号，直线MF的斜率的最大值为，第7页，共21页故选：先设抛物线的方程为，，联立直线与抛物线的方程求出F、M点的坐标，然后结合直线的斜率公式及基本不等式求解即可．本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．7.【答案】A

【解析】解：在三棱锥则，而中，如图，，AB，平面ABC，因此，平面ABC，在等腰三角形ABC中，则，，，，令有从而的外接圆圆心为，则平面ABC，，又平面ABC，，又，，，，，取PA中点D，连接OD，则有，四边形为平行四边形，因此球O的半径所以球O的表面积故选：根据给定条件，证明平面ABC，再确定球心O位置，求出球的半径即可．本题考查空间几何体的表面积，考查运算求解能力，属中档题．8.【答案】D

【解析】解：已知a，b，c均为正实数，当，时，，满足，故A错误；，故B错误；，故C错误；，成立，，对于A，对于B，对于C，第8页，共21页对于D，由已知由，则，即下面证明设在区间，，得，则，，，，即，，上单调递增，，，故D正确．故选：利用特殊值法，当，时，，排除ABC，再证明选项D成立．本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】AC

【解析】解：对A选项，根据频率分布直方图可得解得，选项正确；，对B选项，根据A选项分析可得：这100名学生中体重低于60kg的频率为，这100名学生中体重低于60kg的人数为对C选项，设该校学生体重的第78百分位数为t，则解得，选项正确；，，选项错误．，，选项错误；可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62，对D选项，平均数为：可以估计该校学生体重的平均数约为故选：根据频率分布直方图的相关知识，中位数的概念，百分位数的概念，平均数的概念，即可分别求解．本题考查频率分布直方图的相关知识，中位数的概念，百分位数的概念，平均数的概念，属中档题．10.【答案】ABD

第9页，共21页【解析】解：函数，，，可得函数，，即，则

或，的图像关于直线对称，令当，求得，

或的图像关于点有且仅有2个极值点：对称，故A正确；，故B正确；的最小值为半个周期，即，，，，故D正确，，故C错误；若若则而故选：由题意，利用正弦函数的图象和性质，两角和差的余弦公式，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，两角和差的余弦公式，属于中档题．11.【答案】BCD

【解析】解：函数对于A，方程显然函数在，则有上单调递增，则有在上无解，得，，在上有解，，，A错误；在函数的图，解得或对称点则关于x的方程对于B，设点象上，即关于t的方程令函数，，依题意，点Q关于直线有解，即，在有解，此时，，即函数而函数因此函数，的值域为在，又上单调递增，，，有解，，上都单调递增，它们的取值集合分别为，于是在所以存在P，Q关于直线对于C，设点，对称，B正确；，第10页，共21页则点P关于y轴对称点即，则，令在函数，，，的图象上，即函数因此对于D，令得显然当因此当且仅当故选：在上单调递减，，C正确；，，由，，又恒有，，，且时，，函数，即有时取等号，所以，令单调递增，当，时，，，，函数，单调递减，，，D正确；，而，即根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点P，Q的坐标，由方程有解判断B；设出点P，Q的坐标，建立函数关系，求出函数的值域，判断CD作答．本题考查函数的性质，导数的综合应用，属于难题．12.【答案】BC

【解析】解：设P的坐标，由题意可得，所以即可得，即B中，所以即C中，，可得，所以B正确；，当且仅当时，面积取到最大值，此时P点在以MN为直径的圆上，，所以P的横坐标的范围为，所以A不正确；，因为，即，，，，即，即，解得，可得第11页，共21页联立，解得，可得，，即存在D中，由A可得故选：，这时，当或时，；所以C正确；，所以D不正确；设P的坐标，由题意直接求出P的轨迹方程，整理可得坐标的范围，判断A的真假；可得，可得P的横的范围，的表达式，再由P的横坐标的范围，可得判断B的真假；由三角形的面积公式可得当的坐标，判断C的真假；当P在x轴上时，假．，可得面积的最大值，并求出此时的P的值不在所给的范围内，判断D的真本题考查点的轨迹方程的求法，命题真假的判断方法，属于中档题．13.【答案】【解析】解：与，，则故答案为：

，共线，，，，，，利用向量的坐标运算，向量的求模公式求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设即，

，又2n为偶数，则m为偶数，即则则，，，第12页，共21页故答案为：由题意可得可．本题考查了裂项求和，属基础题．，则，然后累加求和即15.【答案】

，则，函数，，在上递减，，【解析】解：根据题意，设又由又由，则则必有，解可得，；即不等式的解集为故答案为：根据题意，设得，由此可得，求出其导数，分析可得在上递减，由的值可，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数导数与单调性的关系，注意构造新函数并分析其单调性，属于中档题．16.【答案】

中，连接【解析】解：在正方体，，，为矩形，如图，对角面因为点E、F分别是棱BC，，而的中点，则，，显然过、平面即平面AEF截正方体所得截面为梯形点与平面分别于因此AF，因此，而，即四边形平行的平面交平面，MN，，连，平面，平面与平面分别交于，为平行四边形，第13页，共21页于是同理N为于是；，即点M为中点，平面的中点，，因为动点P始终满足平面AEF，，又P在侧面上，所以点P的轨迹是线段MN，轨迹长为以点D为原点建立空间直角坐标系，则则令，，，则，于是点P到直线AF的距离，当且仅当故答案为：时取等号，所以点P到直线AF的距离的最小值为根据给定条件，作出平面AEF截正方体所得截面，再确定点P的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答．本题考查了立体几何中的轨迹问题，属于中档题．17.【答案】解：当当时，时，证明：，解得②，，即，①，由①-②得，又数列，，是首项为，公差为的等差数列；第14页，共21页由得，即③，④，，由③-④得，则，令，在在又，，要使，即，，上单调递增，上单调递增，，在，即，，，，上单调递增，故正整数k的所有取值为1，2，【解析】利用与

，即，结合的关系，变形得等差数列的定义，即可证明结论；由得，构造函数案．本题考查等差数列定义和由数列的递推式求数列的通项，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．，即，利用错位相减法求出，不等式转化为，利用函数的单调性，即可得出答18.【答案】证明：，，由正弦定理可得，，，，，第15页，共21页，，；，，，①，，，，即，即②，联立①②解得，，，，，，，

【解析】根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及正弦定理，即可求解；，再结合向量的数量积公式，以及余弦定理，根据已知条件，结合正弦定理，推出解得，再结合三角函数的同角公式，三角形的面积公式，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】因为证明：取AD的中点O，连接OP，OB，，，是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以，在直角梯形ABCD中，因为所以四边形BCDO为平行四边形，又因为所以因为，所以，OP、平面POB，平面POB，所以，平面POB，第16页，共21页解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则由因为又所以所以设平面PAB的法向量为令，则，，所以，，知，，，平面POB，平面ABCD，所以平面，，，，则，，，即，，所以平面POB，，易知，平面ABCD的一个法向量为设平面PAB与平面ABCD的夹角为，则，所以，故平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值为【解析】

，，从而知平面取AD的中点O，连接OP，OB，易证POB，再由线面垂直的性质定理，得证；以D为坐标原点建立空间直角坐标系，先利用平面几何知识，求得点P的坐标，再分别求得平面PAB和平面ABCD的法向量与，然后由空间向量数量积的坐标运算，得解．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求平面与平面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：次的事件，甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅只答对一第17页，共21页所以甲前3次答题得分之和为40分的概率①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为则，显然，甲第次答题所得分数的数学期望为，，，；，而，，显然数列是递增数列，，，，，则，，因此第i次答对题所得分数为于是甲第 i次答题所得分数所以②由①知，因此数列于是而所以 i的最小值是【解析】以与，答错题所得分数为10分，其概率分别为的数学期望为满足的等量关系式是：，当，时，为首项，为公比的等比数列，，由，则有正整数得：，

甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答．①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答．本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．21.【答案】解：由椭圆的离心率为，得相切得：，即有，，，由以C的短轴为直径的圆与直线的方程为为定值，且；，，联立解得第18页，共21页，则，因此于是可得PQ平分设，，，，而直线AP，BP的斜率互为相反数，即，，有，，由，消去y得：，而即，，，，，化简得又在椭圆上，，，，又即为定值，且【解析】不在直线l：，，则有，，

利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于a，b的方程组，解方程即可；，进而可得直线AP，BP的斜率互为相反数，再由给定的面积关系可得直线PQ平分联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断即可．本题考查定值问题，考查椭圆的性质，考查斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属中档题．22.【答案】解：设证明：若，则，，，第19页，共21页，设，，则，则所以所以所以当时，，，定义域为，，在，在，上单调递增，上单调递增，，即，证明：函数，由当当则由否则恒有若当在所以若当当所以知时，时，，解得，则，即时，上单调递减，是，即时，时，是函数，又，，的极小值点，，当，，的极小值点，，时，单调递减，单调递增，，单调递增，在，，或在，当，则单调递减，，其中且，即且，上单调递增，，上单调递增，函数时，无极值点，不符合题意，，则单调递增，第20页，共21页所以综上所述，函数【解析】若，存在极小值点，则，设，即可得出答案．，，定义域为，，求导分析，

，，求导分析单调性，只需证明函数单调性，极值点，进而可得答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．第21页，共21页