2021年天津市高考数学试卷(学生版+解析版)

2023年12月3日发(作者：幼儿学中班数学试卷)

2021年天津市高考数学试卷

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（ ）

A．{0} B．{0，1，3，5} C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4}

2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（ ）

A．充分不必要条件

C．充要条件

3．（5分）函数f（x）＝B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（ ）

A．20 B．40 C．64 D．80

0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（ ） 5．（5分）设a＝log20.3，b＝1

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b

，6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）

A．3π B．4π C．9π D．12π

7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（ ）

A．﹣1

8．（5分）已知双曲线B．lg7

﹣C．1 D．log710

＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝A．|AB|，则双曲线的离心率为（ ）

B． C．2 D．3

，若函数f（x）在区间（0，9．（5分）设a∈R，函数f（x）＝+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）

A．（2，]∪（，C．（2，]∪[] B．（，2]∪（，D．（，2）∪[]

，3） ，3）

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．（5分）i是虚数单位，复数＝ ．

11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是 ．

12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝ ．

13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为 ．

14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获胜2次的概率2

为 ．

15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2为 ．

三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．

+|的值为 ；（+）•的最小值（1）求a的值；

（2）求cosC的值；

（3）求sin（2C﹣）的值．

17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．

（1）求证：D1F∥平面A1EC1；

（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；

（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．

18．（15分）已知椭圆且|BF|＝．

+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．

19．（15分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

3

（2）记cn＝b2n+，n∈N*．

（i）证明：{cn2﹣c2n}是等比数列；

（ii）证明：＜2（n∈N*）．

20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xex．

（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；

（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．

4

2021年天津市高考数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（ ）

A．{0} B．{0，1，3，5} C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4}

【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，

所以A∩B＝{1}，

则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．

故选：C．

2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（ ）

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解答】解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，

②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，

∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，

故选：A．

3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．，其定义域为{x|x≠0}，

【解答】解：根据题意，f（x）＝有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，

5

在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，

故选：B．

4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（ ）

A．20 B．40 C．64 D．80

【解答】解：由频率分布直方图知，

评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，

故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，

故选：D．

5．（5分）设a＝log20.3，b＝A．a＜b＜c

0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（ ）

C．b＜c＜a D．a＜c＜b B．c＜a＜b

【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，

∵＞log0.5＝1，∴b＞1，

∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，

∴a＜c＜b，

故选：D．

6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）

A．3π B．4π C．9π D．12π

，

，【解答】解：如图，设球O的半径为R，由题意，6

可得R＝2，则球O的直径为4，

∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，

由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝∴这两个圆锥的体积之和为V＝故选：B．

．

．

7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（ ）

A．﹣1 B．lg7 C．1 D．log710

【解答】解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，

∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，

故选：C．

8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝A．|AB|，则双曲线的离心率为（ ）

B． C．2 D．3

【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，

由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，

由题意可得：＝c，即p＝2c，

可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，

7

可得：|y|＝，所以|CN|＝，

所以可得＝•，可得c＝b，

所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），

解得：c＝故选：A．

9．（5分）设a∈R，函数f（x）＝+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）

A．（2，]∪（，C．（2，]∪[] B．（，2]∪（，D．（，2）∪[]

，若函数f（x）在区间（0，a，所以双曲线的离心率e＝＝，

，3） ，3）

【解答】解：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点

又∵二次方程最多有两个零点，

∴f（x）＝cos（2πx﹣2πa）至少有四个根，

∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），

∴令f（x）＝0，即∴，

k∈Z，

又∵x∈（0，+∞），

∴，即，

﹣4，f（x）有4个零点，即，

，

， ①当x＜a时，﹣5≤﹣6≤﹣7≤﹣5，f（x）有5个零点，即﹣6，f（x）有6个零点，即②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，

∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，

当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，

当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，

8

当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，

∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，

∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，

当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，

综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则需满足：

或或，

解得a∈（2，]∪（，故选：A．

]．

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．（5分）i是虚数单位，复数【解答】解：复数故答案为：4﹣i．

11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是 160 ．

【解答】解：（2x3+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝﹣4r＝ 4﹣i ．

＝＝4﹣i， ＝（2x3）6﹣r＝26rx18﹣，

令18﹣4r＝6，解得r＝3，

所以x6的系数是故答案为：160．

12．（5分）若斜率为＝ ．

的直线与x轴交于D，

，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|23＝160．

【解答】解：假设A在x轴的上方，斜率为则可得tan∠ADO＝径为|BC|＝1，

，所以cot∠BAC＝由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝9

， 故答案为：．

13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为 2 ．

【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，

当且仅当＝∴+且b＝，即a＝b＝，

时取等号，

+b的最小值为 2． 故答案为：214．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ．

【解答】解：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，

∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为故答案为：，．

+××（1﹣）＝．

15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2 ．

【解答】解：如图，设BE＝x，

+|的值为 1 ；（+）•的最小值为

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∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，

∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，

∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，

∴（2则|2∵（＝＝5∴（+）•+++）2＝4|＝1，

）•＝（+）（•+）＝+•

+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，

+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1

+，x∈（0，），

的最小值为．

．

故答案为：1，三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．

（1）求a的值；

（2）求cosC的值；

（3）求sin（2C﹣）的值．

，∴a：b：c＝2：1：， 【解答】解：（1）∵△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：1：∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．

＝（2）△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＝．

（3）由（2）可得sinC＝∴sin2C＝2sinCcosC＝＝，

，cos2C＝2cos2C﹣1＝，

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sin（2C﹣）＝sin2Ccos﹣cos2Csin＝．

17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．

（1）求证：D1F∥平面A1EC1；

（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；

（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．

【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），

故设平面A1EC1的法向量为，

，

则，即，

令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故又F（1，2，0），D1（0，2，2），

所以则，

，又D1F⊄平面A1EC，

，

故D1F∥平面A1EC1；

（2）解：由（1）可知，，

则＝＝，

故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；

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（3）解：由（1）可知，设平面AA1C1的法向量为，

，

则，即，

令a＝1，则b＝﹣1，故，

所以＝＝，

故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．

18．（15分）已知椭圆且|BF|＝．

+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．

【解答】解：（1）因为离心率e＝，|BF|＝，

所以，解得a＝，c＝2，b＝1，

所以椭圆的方程为+y2＝1．

（2）设M（x0，y0），

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则切线MN的方程为令x＝0，得yN＝，

+y0y＝1，

因为PN⊥BF，

所以kPN•kBF＝﹣1，

所以kPN•（﹣）＝﹣1，解得kNP＝2，

设P（x1，0），则kNP＝因为MP∥BF，

所以kMP＝kBF，

所以＝2，即x1＝﹣，

＝﹣，即﹣2y0＝x0+，

所以x0＝﹣2y0﹣，

又因为+y02＝1，

所以+++y02＝1，

解得y0＝±因为yN＞0，

所以y0＞0，

所以y0＝，

，x0＝﹣﹣＝﹣，

所以+y＝1，即x﹣y+＝0．

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19．（15分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn＝b2n+，n∈N*．

（i）证明：{cn2﹣c2n}是等比数列；

（ii）证明：＜2（n∈N*）．

【解答】证明：（1）由数列{an}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，

可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，

所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；

由数列{bn}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，

可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），

所以bn＝4n，n∈N*；

（2）（i）证明：因为an＝2n﹣1，bn＝4n，

所以cn＝b2n+＝42n+，

）＝＝2•4n， 则cn2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+所以又，

，

所以数列{cn2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；

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（ii）证明：设＝，

考虑，则pn＜qn，

所以qk＝++...+，

则，

两式相减可得，＝＝，

所以，

则＜＜2，

故＜2．

20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xex．

（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；

（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．

【解答】（1）解：因为f\'（x）＝a﹣（x+1）ex，所以f\'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，

所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；

（2）证明：令f\'（x）＝a﹣（x+1）ex＝0，则a＝（x+1）ex，

令g（x）＝（x+1）ex，则g\'（x）＝（x+2）ex，令g\'（x）＝0，解得x＝﹣2，

当x∈（﹣∞，﹣2）时，g\'（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（﹣2，+∞）时，g\'（x）＞0，g（x）单调递增，

当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，

作出图象

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所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，

则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，

当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f\'（x）＞0，f（x）为增函数；

当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f\'（x）＜0，f（x）为减函数；

所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；

（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），

此时a＝（1+m）em，（m＞﹣1），

所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）em﹣m﹣mem﹣（1+m）em＝（m2﹣m﹣1）em（m＞﹣1），

令h（x）＝（x2﹣x﹣1）ex（x＞﹣1），

若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，

则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，

而h\'（x）＝（x2+x﹣2）ex＝（x﹣1）（x+2）ex，（x＞﹣1），

当x∈（﹣1，1）时，h\'（x）＜0，h（x）为单调减函数，

当x∈（1，+∞）时，h\'（x）＞0，h（x）为单调增函数，

所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，

所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．

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