2022年北京市中考数学试卷

2023年12月3日发(作者：追梦之旅七下数学试卷)

2022年北京市中考数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（2分）下面几何体中，是圆锥的为（ ）

A． B．

C． D．

2．（2分）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（ ）

A．26.2883×1010

C．2.62883×1012

B．2.62883×1011

D．0.262883×1012

3．（2分）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

4．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．a＜﹣2 B．b＜1 C．a＞b D．﹣a＞b

5．（2分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）

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A． B． C． D．

6．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）

A．﹣4 B． C． D．4

7．（2分）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．5

8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．

10．（2分）分解因式：xy2﹣x＝ ．

11．（2分）方程＝的解为 ．

12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．

13．（2分）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：

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鞋号

销售量/双

35

2

36

4

37

5

38

5

39

12

40

6

41

3

42

2

43

1

根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．

14．（2分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．

15．（2分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为 ．

16．（2分）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：

包裹编号 Ⅰ号产品重量/Ⅱ号产品重量/包裹的重量/吨

A

B

C

D

E

5

3

2

4

3

吨

1

2

3

3

5

吨

6

5

5

7

8

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．

（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案

（写出要装运包裹的编号）；

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（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）．

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．（5分）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣18．（5分）解不等式组：+|﹣3|．

．

19．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．

20．（5分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．

已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

方法一

证明：如图，过点A作DE∥BC．

方法二

证明：如图，过点C作CD∥AB．

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21．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．

（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；

（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．

22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．

（1）求该函数的解析式及点A的坐标；

（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．

23．（6分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲、乙两位同学得分的折线图：

b．丙同学得分：

10，10，10，9，9，8，3，9，8，10

c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：

同学

平均数

甲

8.6

乙

8.6

丙

m

根据以上信息，回答下列问题：

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（1）求表中m的值；

（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或“乙”）；

（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填“甲”“乙”或“丙”）．

24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．

（1）求证：∠BOD＝2∠A；

（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．

25．（5分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

某运动员进行了两次训练．

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：

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水平距离x/m

竖直高度y/m

0 2 5 8 11 14

20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．

（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．

27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．

（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；

（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．

对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点第7页（共9页）

为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．

①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；

（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

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