初一数学上册期末压轴题汇编(解析版)

2024年1月23日发(作者：成都中考数学试卷近四年)

初一数学上册期末压轴题汇编(解析版)

一、七年级上册数学压轴题

1．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转

（1）试说明∠DPC=90°；

（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；

/秒，同（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．

答案：（1）见解析；（2）；（3）旋转时间为15秒或秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．

【分析】

（1）结合题意利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明．

（2）结合题意根据角平分线的

解析：（1）见解析；（2）30；（3）旋转时间为15秒或条射线平分另两条射线的夹角．

【分析】

（1）结合题意利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明DPC90．

（2）结合题意根据角平分线的定义，利用各角之间的等量关系即可求解．

（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．根据题意求出t的取值范围，再根据情况讨论，利用数形结合的思想列一元一次方程，求解即可．

【详解】

（1）∵两个三角板形状、大小完全相同，

∴CBPD30，

又∵CAPC90，

105秒时，PB、PC、PD其中一4

∴BPDAPC90，

∴DPC180(BPDAPC)1809090．

（2）根据题意可知EPFDPFDPE，

11∵DPFAPD，DPECPD，

22111∴EPFAPDCPD(APDCPD)，

222又∵APDCPDAPC60，

11∴EPFAPC6030．

22（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，

∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，

∴t180536秒．

分三种情况讨论：

当PD平分BPC时，根据题意可列方程5tt9030，解得t=15秒<36秒，符合题意．

1105当PC平分BPD时，根据题意可列方程5tt9030，解得t=秒<36秒，符合题42意．

当PB平分CPD时，根据题意可列方程5tt90230，解得t=意舍去．

所以旋转时间为15秒或【点睛】

本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，图形的旋转．掌握图形旋转的特征，找出其等量关系来列方程求解是解答本题的关键．

2．如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C2r）．

75秒>36秒，不符合题2105秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．

4（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是________；

（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：

2,1,5,4,3,2

①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？

②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？

答案：（1）-2π；（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q

点离原点最远；；②34π；2π．

【分析】

（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；

（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即

解析：（1）-2π；（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；；②34π；2π．

【分析】

（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；

（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；

②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．

【详解】

解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是-2π；

故答案为：-2π；

（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；

②|﹢2|+|-1|+|-5|+|+4|+|+3|+|-2|=17，

Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；

（+2）+（-1）+（-5）+（+4

）+（+3

）+（-2）=1，

1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．

【点睛】

此题主要考查了数轴的应用以及绝对值的性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．

3．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且a，b，c满足c52a2b0．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB．

（1）a

，b

，c

；

（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则AB

，BC

；（结果用含t的代数式表示）这种情况下，BCAB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；

（3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B

变为以每秒n（n0）个单位长度的速度向右运动，当t3时，AC2BC，求n的值．

答案：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或

【分析】

（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个

非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；

（2）用关于

解析：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）【分析】

（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；

（2）用关于t的式子表示BC和AB即可求解；

（3）分别求出当t=3时，A、B、C表示的数，得到AC和BC，根据AC=2BC列出方长，解之即可．

【详解】

解：（1）∵c5a2b0，b是最小的正整数，

∴c-5=0，a+2b=0，b=1，

∴a=-2，b=1，c=5，

故答案为：-2，1，5；

（2）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，

∴t秒后，A表示的数为-t-2，B表示的数为2t+1，C表示的数为5t+5，

∴BC=5t+5-（2t+1）=3t+4，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3，

∴BC-AB=3t+4-（3t+3）=1，

∴BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变，BC-AB=1；

（3）当t=3时，

点A表示-2-3=-5，点B表示1+3n，点C表示5+5×3=20，

∴AC=20-（-5）=25，BC=2013n193n，

∵AC=2BC，

则25=2193n，

则25=2（19-3n），或25=2（3n-19），

解得：n=21321或

261321或．

26【点睛】

此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB，BC的变化情况是关键．

4．已知：a是最大的负整数，且a、b满足|c-7|+(2a+b)2=0，请回答问题：

（1）请直接写出a、b、c的值：a =_____，b =_____，c =_____；

（2）数a、b、c所对应的点分别为A、B、C，已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值（或用这两点所表示的数中较大的数减去较小的数），若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC-AB的值；

（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，则经过t秒钟时，请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值．

答案：（1）-1，2，7；（2）2；（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2

【分析】

（1）根据a是最大的负整数，即可确定a的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即

解析：（1）-1，2，7；（2）2；（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2

【分析】

（1）根据a是最大的负整数，即可确定a的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得b，c的值；

（2）根据两点间的距离公式可求BC、AB的值，进一步得到BC-AB的值；

（3）先求出BC=3t+5，AB=3t+3，从而得出BC-AB，从而求解．

【详解】

解：（1）∵a是最大的负整数，

∴a=-1，

∵|c-7|+（2a+b）2=0，

∴c-7=0，2a+b=0，

∴b=2，c=7．

故答案为：-1，2，7；

（2）BC-AB

=（7-2）-（2+1）

=5-3

=2．

故此时BC-AB的值是2；

（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2．理由如下：

t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+2，点C对应的数为5t+7．

∴BC=（5t+7）-（2t+2）=3t+5，AB=（2t+2）-（-1-t）=3t+3，

∴BC-AB=（3t+5）-（3t+3）=2，

∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2．

【点睛】

此题考查有理数及整式的混合运算，以及数轴，正确理解AB，BC的变化情况是关键．

5．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．

例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．

回答下列问题：

（1）若点A表示数-2，点B表示数1．下列各数-1，2，4，6所对应的点是C1、C2、C3.其中是点A，B的“关联点”的是______．

（2）点A表示数4，点B表示数10，P为数轴上一个动点：

①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，则此时点P表示的数是多少？

②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．

答案：（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13

【分析】

（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；

（2）①根据PA=2PB列方程求解；

②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、

解析：（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13

【分析】

（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；

（2）①根据PA=2PB列方程求解；

②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答．

【详解】

解：（1）∵点A表示数-2，点B表示数1，C1表示的数为-1，

∴AC1=1，BC1=2，

∴C1是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数-2，点B表示数1，C2表示的数为2，

∴AC2=4，BC1=1，

∴C2不是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数-2，点B表示数1，C3表示的数为4，

∴AC3=6，BC3=3，

∴C3是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数-2，点B表示数1，C4表示的数为6，

∴AC4=8，BC4=5，

∴C4不是点A、B的“关联点”；

故答案为：C1，C3；

（2）①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P

表示的数为 x

（Ⅰ）当点P在A的左侧时，则有：2PA=PB，即2（4-x）=10-x，解得，x=-2；

（Ⅱ）当点P在A、B之间时，有2PA=PB或PA=2PB，即有2（x-4）=10-x或x-4=2（10-x），解得，x=6或x=8；

因此点P表示的数为-2或6或8；

②若点P在点B的右侧，

（Ⅰ）若点P是点A、B的“关联点”，则有，2PB=PA，即2（x-10）=x-4，解得，x=16；

（Ⅱ）若点B是点A、P的“关联点”，则有，2AB=PB或AB=2PB，即2（10-4）=x-10或10-4=2（x-10），得，x=22或x=13；

（Ⅲ）若点A是点B、P的“关联点”，则有，2AB=PA，即2（10-4）=x-4，解得，x=16；

因此点P表示的数为16或22或13．

【点睛】

本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：关联点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果．

6．如图，一个电子跳蚤从数轴上的表示数a的点出发，我们把“向右运动两个单位或向左运动一个单位”作为一次操作，如：当a3时，则一次操作后跳蚤可能的位置有两个，所表示的数分别是2和5．

（1）若a0，则两次操作后跳蚤所在的位置表示的数可能是多少？

（2）若a3，且跳蚤向右运动了20次，向左运动了n次．

①它最后的位置所表示的数是多少？（用含n的代数式表示）

②若它最后的位置所表示的数为10，求n的值．

（3）若a10，跳蚤共进行了若干次操作，其中有50次是向左运动，且最后的位置所表示的数为260，求操作的次数．

答案：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次

【分析】

（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；

（2）①根据题意列出代数式即可；

②令①中代数式的值为10，求

解析：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次

【分析】

（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；

（2）①根据题意列出代数式即可；

②令①中代数式的值为10，求出n值即可；

（3）设跳蚤向右运动了m次，根据题意列出方程，解出m值，再加上50即可．

【详解】

解：（1）∵a=0，

则一次操作后表示的数为-1或2，

则两次操作后表示的数为-2或1或4；

（2）①由题意可得：

a=3时，向右运动了20次，向左运动了n次，

∴最后表示的数为：3+20×2-n=43-n；

②令43-n=10，

则n=33；

（3）设跳蚤向右运动了m次，

根据题意可得：

-10-50+2m=260，

则m=160，

∴操作次数为50+160=210．

【点睛】

本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是要理解“一次操作”的意义．

7．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足a2b60．

（1）求a，b的值；

（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC2BC，求C点表示的数；

（3）如图，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒）．

①分别表示出t（秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含t的代数式表示）；

②求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间．

2

答案：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒

【分析】

（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；

（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情

解析：（1）a=-2，b=6；（2）【分析】

（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；

（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；

（3）①根据两个小球的运动情况直接列式即可；

②根据甲、乙两小球在数轴上表示的数列出关于t的方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）∵a2b60，

∴a+2=0，b-6=0，

解得，a=-2，b=6，

故答案为：a=-2，b=6；

210或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒

3

（2）设数轴上点C表示的数为c．

∵AC=2BC，

∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．

∵AC=2BC＞BC，

∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．

①当C点在线段AB上时，则有-2≤c≤6，

得c+2=2（6-c），解得c10；

3②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，

得c+2=2（c-6），解得c=14．

故当AC=2BC时，c=10或c=14；

3（3）①∵甲球运动的路程为：2•t=2t，OA=2，

∴甲球在数轴上表示的数为-2t-2；

乙球运动的路程为：3•t=3t，OB=6，

乙球在数轴上表示的数为：6-3t；

②由题意得：2t2(63t)2，

解得：t=10或t=6，

∴甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间为6秒或10秒．

【点睛】

本题考查了非负数的性质，一元一次方程，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．

8．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．

（1）a＝

，c＝

；

（2）若将数轴折叠，使得A点与点C重合，则点B与数

表示的点重合．

（3）在（1）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，求当x取何值时代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|取得最大值，并求此最大值．

（4）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求第几秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍？

答案：（1）-3，9；（2）5；（3）当x≥9时，|x－a|﹣|x﹣c|取得最大值为12；（4）第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．

【分析】

（1）根据绝对值和偶次方的非

解析：（1）-3，9；（2）5；（3）当x≥9时，|x－a|﹣|x﹣c|取得最大值为12；（4）第

1236秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．

75【分析】

（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可．

（2）根据折叠点为点A与点C的中点，列式求解即可．

（3）将（1）中所得的a与c的值代入代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|，再根据数轴上两点之间的距离与绝对值的关系可得出答案．

（4）先求得线段BC的长，再求得其一半的长，然后分类计算即可：当0＜t≤4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为9﹣2t；当t＞4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为1+2（t﹣4）．

【详解】

解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，

又∵|a+3|≥0，（c﹣9）2≥0，

∴a+3＝0，c﹣9＝0，

∴a＝﹣3，c＝9．

故答案为：﹣3，9．

（2）∵将数轴折叠，使得点A与点C重合，

∴折叠点表示的数为：∴2×3﹣1＝5，

∴点B与数5表示的点重合．

故答案为：5．

（3）∵a＝﹣3，c＝9．

∴|x﹣a|﹣|x﹣c|＝|x+3|﹣|x﹣9|，

∵代数式|x+3|﹣|x﹣9|表示点P到点A的距离减去点P到点C的距离，

∴当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|取得最大值为9﹣（﹣3）＝12．

（4）∵BC＝9﹣1＝8，

∴8÷2＝4，

当0＜t≤4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为9﹣2t，

∴PQ＝9﹣2t﹣（﹣3﹣t）

＝9﹣2t+3+t

＝12﹣t，

CQ＝2t，

∵PQ＝2CQ，

∴12﹣t＝2×2t，

∴5t＝12，

∴t＝39＝3，

212．

5当t＞4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为1+2（t﹣4），

∴CQ＝|9﹣[1+2（t﹣4）]|，

PQ＝1+2（t﹣4）﹣（﹣3﹣t）

＝1+2t﹣8+3+t

＝3t﹣4，

∵PQ＝2CQ，

∴3t﹣4＝2|9﹣[1+2（t﹣4）]|＝2|16﹣2t|，

∴当3t﹣4＝2（16﹣2t）时，

3t﹣4＝32﹣4t，

∴7t＝36，

∴t＝36；

7当3t﹣4＝2（2t﹣16）时，

3t﹣4＝4t﹣32，

∴t＝28．

∴第1236秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．

75【点睛】

本题考查了数轴上的两点之间的距离、绝对值与偶次方的非负性及一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，熟练掌握相关运算性质及正确列式是解题的关键．

9．已知数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别是a、b、c、d，且(a+16)2+(d+12)2=﹣|b﹣8|﹣|c﹣10|．

（1）求a、b、c、d的值；

（2）点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，4秒后两点相遇，点B的速度为每秒2个单位长度，求点A的运动速度；

（3）A，B两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，C点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，若t秒时有2AB=CD，求t的值；

（4）A，B两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，相向而行当A点运动到C点时，迅速以原来速度的2倍返回，到达出发点后，保持改变后的速度又折返向C点运动；当B点运动到A点的起始位置后停止运动．当B点停止运动时，A点也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数．

答案：（1）a=﹣16，b=8，c=10，d=﹣12；（2）点A的运动速度为每秒4个单位长度；（3）t的值是秒或秒；（4）A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数为：0或9或10.2．

【分析】

（1）根据

解析：（1）a=﹣16，b=8，c=10，d=﹣12；（2）点A的运动速度为每秒4个单位长度；（3）t的值是或10.2．

【分析】

7026秒或秒；（4）A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数为：0或953

（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出结论；

（2）设点A的运动速度为每秒v个单位长度，根据题意，列出一元一次方程即可求出结论；

（3）根据题意，画出对称轴，然后用t表示点A、B、C表示的数，最后分类讨论列出方程即可求出结论；

（4）求出B点运动至A点所需的时间，然后根据点A和点B相遇的情况分类讨论，列出方程求出t的值即可求出结论．

【详解】

（1）∵(a+16)2+(d+12)2=﹣|b﹣8|﹣|c﹣10|，

(a+16)2+(d+12)2+|b﹣8|+|c﹣10|=0，

∴a=﹣16，b=8，c=10，d=﹣12；

（2）设点A的运动速度为每秒v个单位长度，

4v+4×2=8+16，

v=4，

答：点A的运动速度为每秒4个单位长度；

（3）如图1，

t秒时，点A表示的数为：﹣16+4t，

点B表示的数为：8+2t，

点C表示的数为：10+t．

∵2AB=CD，

①2[(﹣16+4t)﹣(8+2t)]=10+t+12，

2(﹣24+2t)=22+t，

﹣48+4t=22+t，

3t=70，

t70；

3②2[(8+2t)﹣(﹣16+4t)]=10+t+12，

2(24﹣2t)=22+t，

5t=26，

t26，

5综上，t的值是7026秒或秒；

53816212(s)，故t≤12，

（4）B点运动至A点所需的时间为①由（2）得：

当t=4时，A，B两点同时到达的点表示的数是﹣16+4×4=0；

②当点A从点C返回出发点时，若与B相遇，

由题意得：101610166.5(s)，3.25(s)，

48∴点A到C，从点C返回到出发点A，用时6.5+3.25=9.75(s)，

则2×4×(t﹣6.5)=10﹣8+2t，

t=9＜9.75，

此时A，B两点同时到达的点表示的数是8﹣9×2=﹣10；

③当点A第二次从出发点返回点C时，若与点B相遇，则

8(t﹣9.75)+2t=16+8，

解得：t=10.2；

综上所述：A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数为：0或9或10.2．

【点睛】

此题考查的是一元一次方程的应用、数轴与动点问题，掌握平方、绝对值的非负性、行程问题公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．

10．已知AOB150，OC为AOB内部的一条射线，BOC60．

1（1）如图1，若OE平分AOB，OD为BOC内部的一条射线，CODBOD，求2DOE的度数；

（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间t秒，当EOCFOC时，求t的值．

答案：（1）35°；（2）3s或7.5s或24s

【分析】

（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；

（2）分三种情形列出方程即可解决问题．

【详解】

解：（1）∵∠AOB

解析：（1）35°；（2）3s或7.5s或24s

【分析】

（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；

（2）分三种情形列出方程即可解决问题．

【详解】

解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，

∴∠EOB=2∠AOB=75°，

∵∠BOC=60°，∠COD=2∠BOD，

∴∠BOD=40°，∠COD=20°，

∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=75°-40°=35°．

（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，

∴90-15t=60-5t，

解得：t=3．

当OE与OF重合时，15t+5t=150，

解得：t=7.5．

当OE与OB重合时，OF仍在运动，此时∠EOC=60°，

此时OF在∠AOC内部，且∠FOC=60°，

∴t=120=24，

511综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s或24s．

【点睛】

本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

11．如图1，在AOB内部作射线OC，OD，OC在OD左侧，且AOB2COD．

（1）图1中，若AOB160,OE平分AOC,OF平分BOD，则EOF______；

（2）如图2，OE平分AOD，探究BOD与COE之间的数量关系，并证明；

（3）设CODm，过点O作射线OE，使OC为AOE的平分线，再作COD的角平分线OF，若EOC3EOF，画出相应的图形并求AOE的度数（用含m的式子表示）．

答案：（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或

【分析】

（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；

（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；

（3）根据角

33解析：（1）120；（2）BOD2AOE，见解析；（3）见解析，m或m

42

【分析】

11（1）根据角平分线的性质得到AOECOEAOC,DOFBOFBOD，再22结合已知条件即可得出答案；

（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；

（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．

【详解】

解：（1）∵AOB160，AOB2COD，

∴COD80，

∴AOCBOD80

，

∵OE平分AOC,OF平分BOD，

11∴AOECOEAOC,DOFBOFBOD，

221∴COEDOF(AOCBOD)40，

2∴EOFCOEFODCOD120，

故答案为：120；

（2）BOD2AOE．

证明：∵OE平分AOD，

∴AOD2EOD，

∵COECODEOD，

∴EODCODCOE．

∴AOD2(CODCOE)2COD2COE．

∵AOB2COD，

∴AODAOB2COE．

∵BODAOBAOD，

∴BODAOB(AOB2COE)2COE，

∴BOD2COE；

（3）如图1，当OE在OF的左侧时，

∵OF平分COD，

1∴COFCOD，CODm，

21∴COFm，

2∵COFCOEEOF，COE3EOF，

∴COF4EOF1m，

21∴EOFm，

8

3∴COE3EOFm．

8∵OC为AOE的平分线，

∴AOE2COE．

3∴AOEm；

4

如图2，当OE在OF的右侧时，

∵OF平分COD，

1∴COFCOD，

2∵CODm，

1∴COFm，

2∵COFCOEEOF，COE3EOF，

∴COF2EOF1m，

21∴EOFm，

4∴COE3EOF3m．

43m．

2∵OC为AOE的平分线，AOE2COE33综上所述，AOE的度数为m或m．

42【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．

12．如图①，直线AB､CD相交于点O，射线OECD，垂足为点O，过点O作射线OF使BOF130．

（1）将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，OE在BOF的内部，当OE平分BOF时，OC是否平分AOF，请说明理由；

（2）将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图③，OD在AOF的内部，探究AOE与∠DOF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若BOE20，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度0a180设旋转的时间为t秒，当AOC与EOF互余时，求t的值．

答案：（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或时，与互余．

【分析】

（1）根据平分线的定义可得，根据，可得，从而得到，所以可得结论；

（2）设为，根据可得，根据可得，从而得到与之间的数量关系

解析：（1）OC平分AOF，理由见解析；（2）AOEDOF40，理由见解析；（3）t17或t35时，AOC与EOF互余．

【分析】

（1）根据平分线的定义可得FOEBOE65，根据OECD，可得FOC25，从而得到AOC25，所以可得结论；

（2）设∠DOF为，根据BOF130可得AOD50，根据OECD可得AOE40，从而得到AOE与∠DOF之间的数量关系；

（3）根据题意可知EOF150，因为OECD，所以可得BOC70，可求出AOC110，根据“直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出AOC1105t(0t22)，AOC5t11022t36，EOF1505t(0t30)，EOF5t15030t36，然后分情况进行讨论：①0t22时，AOCEOF90②22t30时，AOCEOF90③30t36时，AOCEOF90，从而得出结果．

【详解】

解：（1）OC平分AOF，理由如下：

∵BOF130且OE平分BOF

∴FOEBOE65

∵OECD

∴EOC90

∴FOC906525

∴AOC180BOFFOC1801302525

∴AOCFOC

即OC平分AOF

（2）AOEDOF40，理由如下：

设∠DOF为，则AOD180BOFDOF18013050

∵OECD

∴EOD90

∴AOE90AOD40

即AOEDOF40

（3）∵BOE20且BOF130

∴EOF150

又∵OECD

∴BOC70

∴AOC110

∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转

∴AOC1105t(0t22)

AOC5t11022t36

EOF1505t(0t30)

EOF5t15030t36

①0t22时，AOC1105t,EOF1505t

若AOC与EOF互余，则1105t1505t90

解得t17

②22t30时，AOC5t110,EOF1505t

若AOC与EOF互余，则5t1101505t90

此时无解

③30t36时，AOC5t110,EOF5t150

若AOC与EOF互余，则5t1105t15090

解得t35

综上所述，t17或t35时，AOC与EOF互余．

【点睛】

本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系．

3213．已知a16x20xb2x5是关于x的二次二项式，A，B是数轴上两点，且A，B对应的数分别为a，b．

（1）求线段AB的中点C所对应的数；

（2）如图，在数轴上方从点C出发引出射线CD，CE，CF，CG，且CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，试猜想∠DCE与∠FCG之间是否存在确定的数量关系，并说明理由；

/秒的速度逆（3）在（2）的条件下，已知∠DCE=20°，∠ACE=30°，当∠DCE绕着点C以2°时针旋转t秒(0t65)时，∠ACF和∠BCG中的一个角的度数恰好是另一个角度数的两倍，求t的值

答案：（1）7；（2）；（3）或．

【分析】

（1）根据是关于x的二次二项式可知，，求出a、b的值即为A、B对应的数，即可求出C点对应的数．

（2）根据角平分线可知，．即可求出．再根据题意可知，，代入整理

解析：（1）7；（2）2FCGDCE180；（3）t【分析】

32（1）根据a16x20xb2x5是关于x的二次二项式可知a160，b20，12525或t．

33求出a、b的值即为A、B对应的数，即可求出C点对应的数．

11（2）根据角平分线可知ACFDCFACD，BCGECGBCE．即可求22出BCE2FCG2ECF．再根据题意可知BCEECFACF180，ACFDCFDCEECF，代入整理即可得到2FCGDCE180

（3）根据题意可用t表示出BCG和ACF．再分类讨论当ACF2BCG时和当2ACFBCG时，列出的关于t的一元一次方程，解出t即可．

【详解】

a16a160

，解得（1）根据题意可得出，

b20b2即A、B对应的数分别为16、-2，

∴C对应的数为ab7．

2（2）∵CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，

11∴ACFDCFACD，BCGECGBCE．

22∵FCGECGECF，

1∴FCGBCEECF，即BCE2FCG2ECF．

2∵BCEECFACF180，ACFDCFDCEECF，

∴2FCG2ECFECFDCEECF180，即2FCGDCE180．

故存在数量关系，为：2FCGDCE180．

（3）∵DCE20，ACE30，

∴BCE180(302t)，即BCE1502t．

1∴BCGBCE751t．

2∵ACD180BCD180(BCEDCE)，

∴ACD502t．

1∴ACFACD251t．

2当ACF2BCG时，

即251t2(751t)，

解得：t125且小于65，

3当2ACFBCG时，

即2(251t)751t，

解得：t25且小于65．

312525或t时符合题意．

33综上可知t【点睛】

本题考查多项式的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，结合分类讨论以及数形结合的思想是解答本题的关键．

14．如图 1，射线OC

在AOB

的内部，图中共有 3

个角：AOB

、AOC

和BOC

，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC

是AOB

的奇妙线．

（1）一个角的角平分线

这个角的奇妙线．（填是或不是）

（2）如图 2，若MPN

 60

，射线 PQ

绕点 P

从 PN

位置开始，以每秒10

的速度逆时针旋转，

当QPN

首次等于180

时停止旋转，设旋转的时间为t(s)

．

①当t

为何值时，射线 PM

是QPN

的奇妙线？

②若射线 PM

同时绕点 P

以每秒6

的速度逆时针旋转，并与 PQ

同时停止旋转．请求出当射线 PQ

是MPN

的奇妙线时t

的值．

答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或

【分析】

（1）根据奇妙线定义即可求解；

（2）①分3种情况，QPN=2=2MPN．列出方程求解即可；

②分

MPN；MPN=2QPM；QPM

53020解析：（1）是；（2）①9或12或18；②或或

273【分析】

（1）根据奇妙线定义即可求解；

（2）①分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM =2MPN．列出方程求解即可；

②分3种情况，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN =2MPQ．列出方程求解即可．

【详解】

（1）设∠α被角平分线分成的两个角为∠1和∠2，

则有∠α=2∠1，

∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；

故答案是：是；

（2）①由题意可知射线 PM

在QPN的内部，

∴QPN=（10t），QPM=（10t-60），

（a）当QPN=2MPN时，

10t=2×60，

解得t=12；

（b）当MPN=2QPM时，

60=2×（10t-60），

解得t=9；

（c）当QPM =2MPN时，

（10t-60）=2×60，

解得t=18．

故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；

②由题意可知射线 PQ

在MPN的内部，

∴QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），

（a）当MPN=2QPN时，

60+6t=2×10t，

解得t=30；

7（b）当MPQ=2QPN时，

60-4t=2×10t，

5解得t=；

2（c）当QPN =2MPQ时，

10t=2×（60-4t），

解得t=20．

353020故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．

273

【点睛】

本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．

15．已知AOB150，OD为∠AOB内部的一条射线．

1（1）如图（1），若BOC60，OD为∠AOB内部的一条射线，CODBOC，OE3平分∠AOB，求∠DOE的度数；

（2）如图（2），若OC、OD是∠AOB内部的两条射线，OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，且MOCNOD，求AOCBOD的值；

MOCNOD/s的（3）如图（3），C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t35），OE平分∠AOB1，1OF为∠C1OB1的三等分线，C1OFC1OB1，若C1OFAOE30，直接写出t的3值为_________．

答案：（1）当OD在∠BOC内部时，；当OD在∠AOC内部时，；（2）的值为2；（3）3或15．

【分析】

（1）先根据当OD在∠BOC内部时，当OD在∠AOC内部时，求出的度数，再根据角平分线的定义求出

解析：（1）当OD在∠BOC内部时，DOE35；当OD在∠AOC内部时，DOE5；（2）AOCBOD的值为2；（3）3或15．

MOCNOD【分析】

（1）先根据当OD在∠BOC内部时，当OD在∠AOC内部时，求出BOD的度数，再根据角平分线的定义求出BOE，然后根据角的和差即可得；

（2）设AOD2x,BOC2y，先根据角平分线的定义得出AOMMODx,BONNOCy，再根据角的和差化简所求式子的分子分母即可得；

（3）先依题意，找到两个临界位置：OB1在AO的反向延长线上；OB1与OC1重合；然后根据角平分线的定义、角的和差倍分求解即可得．

【详解】

（1）如图1，当OD在∠BOC内部时，

1CODBOC,BOC60，

3BOD22BOC6040，

3311AOB15075，

22OE平分AOB，AOB150，

BOEDOEBOEBOD754035；

当OD在∠AOC内部时，

1BOC60，CODBOC=20，

3BODBOC+COD80，

OE平分AOB，AOB150，

BOE11AOB15075，

22DOEBODBOE80755；

（2）设AOD2x,BOC2y，

则AOMMODx,BONNOCy，

∴AOCBOD(AODCOD)(BOCCOD)，

MOCNOD(MODCOD)(NOCCOD)AODBOC，

MODNOC2x2y，

xy2(xy)，

xy

2，

故AOCBOD的值为2；

MOCNOD

（3）0t35,AOB150，旋转速度为6/s，

射线OB旋转到OA即停止转动，

由题意得，BOB16t，

OE平分AOB1，

1AOEAOB1，

2因0AOB1180,0C1OB1180，

则有两个临界位置：OB1在AO的反向延长线上，此时tOB1与OC1重合，此时t1801505(s)；

618030(s)，

6因此，分以下三种情况分析：

如图3-1，当0t5时，

111AOEAOB(AOBBOB)(1506t)753t11222则，

111COFCOB(180BOB)(1806t)602t1111333C1OFAOE602t(753t)155t30，

解得t3(s)，符合题设，

②如图3-2，当5t30时，

111AOEAOB(360AOBBOB)(3601506t)1053t11222则，

111COFCOB(180BOB)(1806t)602t1111333C1OFAOE602t(1053t)451t30，

解得t15(s)，符合题设，

③如图3-3，当30t35时，

111AOEAOB(360AOBBOB)(3601506t)1053t11222则，

11COFCOB(6t180)2t6011133C1OFAOE2t60(1053t)5t16530，

解得t39(s)或27(s)，均不符题设，舍去，

综上，t的值为3或15，

故答案为：3或15．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），依据题意，找出两个临界位置，从而分三种情况讨论构造方程是解题关键．

16．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？

在①135，②125，③75，④25中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是

；（填序号）

（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB）的顶点与60角（COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边OB与射线OF第一次重合时停止．

①当OB平分EOD时，求旋转角度；

②是否存在BOC2AOD？若存在，求旋转角度；若不存在，请说明理由．

答案：（1）②③；（2）①15°；②存在，或

【分析】

（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来；

（2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论

解析：（1）②③；（2）①15°；②存在，105或125

【分析】

（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15的倍数的角都可以画出来；

（2）①根据已知条件得到EOD180COD18060120，根据角平分线的定义得到11EOBEOD12060，于是得到结论；

22②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．

【详解】

解：（1）1359045，753045，

25和125不能写成90、60、45、30的和或差，故画不出；

故选②③；

（2）①COD60，

EOD180COD18060120，

OB平分EOD，

11EOBEOD12060，

22AOB45，

EOBAOB604515；

②当OA在OD的左侧时，如图②，

则AOD120，BOC135，

BOC2AOD，

1352(120)，

105；

当OA在OD的右侧时如图③，则AOD120，BOC135，

BOC2AOD，

1352(120)，

125，

综上所述，当105或125时，存在BOC2AOD．

【点睛】

本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．

17．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，AOC30，将一直角三角板（M30）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（注：本题旋转角度最多180．）

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t秒后，AON______度（用含t的式子表示），若OM恰好平分BOC，则t______秒（直接写结果）．

（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t秒后，AOC______度（用含t的式子表示）若OC平分MON，求t为多少秒？

（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC平分BOM？（直接写结果）

答案：（1），5；（2），；（3）经过秒平分

【分析】

（1）根据图形和题意得出，再除以每秒速度，即可得出；

（2）根据图形和题意得出，再根据转动速度从而得出答案；

（3）分别根据转动速度关系和平分画图即

解析：（1）3t，5；（2）306t，5；（3）经过【分析】

（1）根据图形和题意得出AON15，再除以每秒速度，即可得出t；

（2）根据图形和题意得出CON45，再根据转动速度从而得出答案；

（3）分别根据转动速度关系和OC平分BOM画图即可．

【详解】

（1）AON3t

∵AOC30

∴BOC150

∵OM平分BOC，MON90

∴COM75°

∴CON15

∴AONAOCCON30°15°15°

解得：t15°3°5秒

（2）AOC306t度

∵MON90，OC平分MON

∴CONCOM45°

∴AOCAONCON45°

∴306t3t45解得：t5秒

（3）如图：

70秒OC平分BOM

3

∵AONBOM90°，BOCCOM

由题可设AON为3t，AOC为30°6t

∴COMBOC190°3t

2∵BOCAOC180

306t903t180

解得：t答：经过70秒

31270秒OC平分BOM．

3

【点睛】

此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．

18．如图①，O是直线AB上的一点，COD是直角，OE平分BOC．

（1）若AOC30，则BOD____________°，DOE____________°；

（2）将图①中的COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若AOC，求DOE的度数（用含的式子表示）；

（3）将图①中的COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出AOC和DOE的度数之间的关系：__________________．（不用证明）

答案：（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．

【分析】

（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由

解析：（1）60°，15°；（2）∠DOE【分析】

（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC利用角的和差即可求出∠DOE的度数；

（2）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度数；

（3）由∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠BOC+∠AOC=180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．

【详解】

解：（1）∵AOC30，

∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，

∵OE平分∠BOC，

2；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．

∴∠COE=2∠BOC=2×150°=75°，

又∵∠COD是直角，

∴∠BOD=90°-∠AOC=60°，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-75°=15°，

故答案为：60°，15°；

（2）∵AOC，

∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-α，

∵OE平分∠BOC，

∴∠COE=2∠BOC=90又∵∠COD是直角，

1112，

∴∠DOE=∠COD-∠COE=90(90)；

22（3）∠AOC=360°-2∠DOE；

理由：∵OE平分∠BOC，

∴∠BOE=∠COE，

则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（∠DOE-90°），

所以得：∠AOC=360°-2∠DOE；

故答案为：∠AOC=360°-2∠DOE．

【点睛】

本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．

19．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．

（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝

；

（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝

；

（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有1∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．

3

答案：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．

【分析】

（1）利用余角的定义可求解；

（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；

（3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在

解析：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．

【分析】

（1）利用余角的定义可求解；

（2）由平角的定义及角平分线的定义求解COE的度数，进而可求解；

（3）可分两种情况：①当COD在BOC的内部时，②当COD在BOC的外部时，根据角的和差可求解．

【详解】

解：（1）由题意得BOD90，

BOC40，

COD904050，

故答案为50；

（2）AOCBOC180，BOC40，

AOC18040140，

OE平分AOC，

1COEAOC70，

2DOE90，

COD907020，

故答案为20；

（3）①当COD在BOC的内部时，

CODBOCBOD，而BOC40，

COD40BOD，

AOEEODBOD180，EOD90，

AOE90BOD，

又1CODAOE，

3140BOD(90BOD)，

3BOD15；

②当COD在BOC的外部时，

CODBODBOC，而BOC40，

CODBOD40，

AOEEODBOD180，EOD90，

AOE90BOD，

1又CODAOE，

31BOD40(90BOD)，

3BOD52.5，

综上所述：BOD的度数为15或52.5．

【点睛】

本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．

20．已知：AOD160，OB、OM、ON，是AOD

内的射线．

（1）如图 1，若 OM

平分

AOB， ON平分BOD．当射线OB

绕点O

在AOD

内旋转时，MON=

度．

（2）OC也是AOD内的射线，如图2，若BOC20

，OM平分AOC，ON平分BOD，当射线OB绕点O在AOC内旋转时，求MON的大小．

（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒2的速度逆时针旋转t3，求t的值．

秒，如图3，若AOM：DON2：答案：（1）80；（2）70°；（3）26

【分析】

（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；

（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MO

解析：（1）80；（2）70°；（3）26

【分析】

（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；

（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=2∠AOC，1

∠BON=2∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；

（3）依据∠AOM=2（10°+2t+20°），∠DON=2（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值．

【详解】

解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，

∴∠MOB=2∠AOB，∠BON=2∠BOD，

∴∠MON=∠MOB+∠BON=2∠AOB+2∠BOD=2（∠AOB+∠BOD）=2∠AOD=80°，

故答案为：80；

（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠MOC=2∠AOC，∠BON=2∠BOD，

∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC

=2∠AOC+2∠BOD-∠BOC

=2（∠AOC+∠BOD）-∠BOC

=2×180-20

=70°；

（3）∵∠AOM=2（2t+20°），∠DON=2（160°-2t），

又∠AOM：∠DON=2：3，

∴3（20°+2t）=2（160°-2t）

解得，t=26．

答：t为26秒．

【点睛】

本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．

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