2024年1月24日发(作者：在数学试卷上)

数学知识点汇总（完整版）

初等数学知识点汇总

一、绝对值

1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数a的绝对值非负。

归纳：所有非负性的变量

11（1） 正的偶数次方（根式）

a2,a4,,a2,a40

（2） 负的偶数次方（根式）

a,a,（3） 指数函数 ax (a > 0且a≠1)>0

24,a,a12140

考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。

2、三角不等式，即|a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|

左边等号成立的条件：ab ≤ 0且|a| ≥ |b|

右边等号成立的条件：ab ≥ 0

3、 要求会画绝对值图像

二、比和比例

原值a现值a(1p%) 1、增长率p%原值a现值a(1p%)

下降率p%注意：甲比乙大p%2、 合分比定理：甲乙p%，甲是乙的p%甲乙p%

乙acamcacm1

bdbmdbd

等比定理：aceacea.

bdfbdfb3、增减性

aamaaama1

 (m>0) ,

01

 (m>0)

bbmbbbmb4、 注意本部分的应用题（见专题讲义）

三、平均值

1、当x1,x2,，xn为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即

x1＋x2＋＋xnnx1·x2xn (xi＞0 i＝1,，n)

n当且仅当x1x2＝xn时，等号成立。

a0，b0a＋b2、ab

另一端是常数

2等号能成立3、＋2　　　(ab0)，ab同号

4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。

四、方程

1、判别式（a, b, c ∈R）

0两个不相等的实根b24ac0两个相等的实根

0无实根abba2、图像与根的关系

△= b2–4ac △>0 △= 0 △< 0

f(x)=ax2+bx+c(a>0)

x1 x2 x1,2

f(x) = 0根

x1,2b

2ax1,2b

2a无实根

f(x) > 0 解集

f(x)<0解集

3、根与系数的关系

x < x1 或x > x2

x

1 < x < x2

xb

2aX∈R

x ∈ x ∈

x1, x2 是方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的两个根，则

x1，x2是方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

4、韦达定理的应用

x1＋x2＝－b/a

利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来：

（1）11x1x2

x1x2x1x211(x1x2)22x1x2（2）22

2x1x2(x1x2)（3）x1x2(x1x2)2(x1x2)24x1x2

3322（4）x1x2(x1x2)(x1x1x2x1)(x1x2)[(x1x2)23x1x2]

5、要注意结合图像来快速解题

五、不等式

1、提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数yax2bxc的图像求解。

△= b2–4ac △>0 △= 0 △< 0

f(x) =ax2+bx+c

(a>0)

x1 x2 x1,2

f(x) = 0根

x1,2b

2ax1,2b

2a无实根

f(x) > 0 解集

f(x)<0解集

x < x1 或x > x2

x

1 < x < x2

xb

2aX∈R

x ∈ x ∈

2、注意对任意x都成立的情况

（1）ax2bxc＞0对任意x都成立，则有：a>0且△< 0

（2）ax + bx + c<0对任意x都成立，则有：a<0且△< 0

3、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点

六、二项式（针对十月份在职MBA考生）

1、2CnCn，即：与首末等距的两项的二项式系数相等

01rnr2、CnCnCn2n，即：展开式各项二项式系数之和为2n

n3、常用计算公式

(1)pm(m1)mn(mn1)

有n个(2)p=1规定0！1

m0(3)Cm0npnmn!nm(m1)(mn1)

n!(4)CnCn1

(5)CnCnn

(6)CnCn2n21n1n(n1)

2(k0,1,2,n)

knkabk4、通项公式(△)

第k1项为Tk1Cn5、展开式系数

n(1)当n为偶数时，展开式共有(n+1)项(奇数)，则中间项第(+1)项2二项式系数最大，其为TnC21n2n

(2)当n为奇数时，展开式共有(n+1)项(偶数)，则中间两项，即第n+1项2n1n1n+1n+32和第(+1=)项的二项式系数最大，其为Tn1Cn或Tn3Cn22222

5、 内容列表归纳如下：

公式(ab)CnaCnabCnabCnb所表示的二项式定理

定理成为二项式定理。

knkk第k＋1项为Tk1Cnab，k＝0，1，…，n

通项公式

n0n1n1n1n1nn二项式展开式项 数 展开总共n＋1项

的特征

0；b的指数：由0n； a的指数：由n指 数

各项a与b的指数之和为n

nn当n为偶数时，则中间项（第1项）系数Cn2最大；

2逐项减1逐项加1展开式的n1n3最大系数

当n为奇数时，则中间两项（第和项）系数C22n12n最大。

rnrCn1．Cn，即与首末等距的两项系数相等；

展开式系数之间的

2．Cn0Cn1＋……Cnn2n，即展开式各项系数之和为2n；

关系

024135CnCn...CnCnCn...2n1，即奇数项系数和等3．

Cn于偶数项系数和

七、数列

1、an与Sn的关系()　　(1)已知an，求Sn.　　公式：Sna1a2anaii1n

aS1

(2) 已知Sn，求an an＝1

Sn－Sn－1 (n2)2、等差数列（核心）(1)通项 ana1(n1)dak(nk)dnd(a1d) f(x)xd(a1d)anf(n)比如：已知am及an,求d. (m,am)与(n,an)共线

aa斜率d＝nmnm

(2)前n项和Sn(梯形面积)

a1ann(n1)ddnna1dn2(a1)n2222ddSn＝n2(a1)n22dd抽象成关于n的二次函数f(x)x2(a1)x,Snf(n)

22 函数的特点：(1)无常数项，即过原点d (2)二次项系数为 如Sn＝2n23n, d42 (3)开口方向由d决定 Sn＝3.重要公式及性质(1)通项a（等差数列）n(2)前n项和性质amanakat,当mnkt时成立

1Sn为等差数列前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，仍为等差数列a 2 等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别用Sn和Tn表示，则kbka1a2k1(2k1)Sak2aka1a2k12分析：2k1b1b2k1bk2bkb1b2k1T2k1(2k1)24、等比数列注意：等比数列中任一个元素不为0(1) 通项：ana1qn1akqnk anak(nk)da1(1qn)a1anq(2)前n 项项和公式： Sn1q1q

S2k1T2k1

(3) 所有项和S 对于无穷等比递缩（q＜1，q0）数列，所有项和为 Sa1

1q5. 等比数列性质(1)通项性质：当mnkt时，则amanakat

6、特殊数列求和。（差分求和法）an1,求Snn(n1)1111122334n(n1)11111111(1)()()()122334nn1n1an

Sna1a2


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