初中数学竞赛辅导资料

2023年12月11日发(作者：湖北21年中考数学试卷)

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第一篇 一元一次方程的讨论

第一部分 基本方法

1。 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。

例如:方程 2x＋6＝0， x（x－1)=0, ｜x|=6, 0x=0, 0x=2的解

分别是： x=－3, x=0或x=1， x=±6， 所有的数，无解.

2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后,

讨论它的解:当a≠0时，有唯一的解 x=b；

a当a=0且b≠0时，无解；

当a=0且b＝0时,有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立)

3. 求方程ax=b（a≠0）的整数解、正整数解、正数解

当a|b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时,方程有正整数解；

当a、b同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b

第二部分 典例精析

例1 a取什么值时，方程a(a－2）x=4（a－2） ①有唯一的解？②无解?

③有无数多解？④是正数解？

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例2 k取什么整数值时,方程①k（x+1)=k－2(x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数?

例3 己知方程a（x－2）=b(x+1）－2a 无解.问a和b应满足什么关系?

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例4 a、b取什么值时,方程(3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解?

第三部分 典题精练

1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：

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① （x+1）=0， ②x2=9, ③|x｜=9, ④｜x|=－3，

⑤3x+1=3x－1， ⑥x+2=2+x

2。 关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________

3。 在方程a（a－3）x=a中，

当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解; 当a＿＿＿时无解；

当a＿＿＿＿＿时，有无数多解; 当a＿＿＿＿时，解是负数.

4。 k取什么整数值时,下列等式中的x是整数?

① x=462k33k2 ②x= ③x= ④x=

kk1kk15. k取什么值时,方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？

6. m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数?

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7. 己知方程

8. m取什么整数值时，方程(

5

3x6a2的根是正数,那么a、b应满足什么关系?

142x21)m1m的解是整数？

33初中数学竞赛辅导资料

9。 己知方程b3(x1)1ax有无数多解，求a、b的值。

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第二篇 二元一次方程的整数解

第一部分 基本方法

1。 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a，b的最大公约数能整除c，则方程有整数解。即

如果(a，b)｜c 则方程ax+by=c有整数解

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显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立,方程9x+3y=10和 4x－2y=1都没有整数解，

∵(9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2)＝2,而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a，b）中的a,b实为它们的绝对值。

2。 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数.

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

解：x=111y1y10y1y=2y （1） ，

555 设1y，则y=1－5k (2） ，

k(k是整数）5把（2）代入（1)得x=k－2 （1－5k)=11k－2

∴原方程所有的整数解是x11k2（k是整数)

y15k方法二,公式法：

xx0xx0bk设ax+by=c有整数解则通解是（x0，y0可用观察法）

yyyyak001， 求二元一次方程的正整数解：

① 出整数解的通解，再解x，y的不等式组，确定k值

② 用观察法直接写出。

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第二部分 典例精析

例1 求方程5x－9y=18整数解的能通解

例2 求方程5x+6y=100的正整数解

例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？

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第三部分 典题精练

1。 求下列方程的整数解

①公式法：x+7y=4， 5x－11y=3

2. 求方程的正整数解：①5x+7y=87，

②整除法:3x+10y=1,

②5x+3y=110

9

11x+3y=4

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3. 一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？

4. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,求兄弟三人的岁数。

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5。 下列方程中没有整数解的是哪几个？答: （填编号）

③ 4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,

④18x－9y=98， ⑤91x－13y=169， ⑥120x+121y=324。

6. 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分,选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分,他最多得几分？

7。 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解:

y=

x=1

4

－2

17y

3

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第三篇 二元一次方程组解的讨论

第一部分 基本方法

1。 二元一次方程组a1xb1yc1的解的情况有以下三种：

a2xb2yc2① 当a1b1c1时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）

a2b2c2a1b1c1② 当时,方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）

a2b2c2a1b1(即a1b2－a2b1≠0)时,方程组有唯一的解:

a2b2③ 当c1b2c2b1xa1b2a2b1

 （这个解可用加减消元法求得)

yc2a1c1a2a1b2a2b12． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解,即有无数多解，若要求整数解,可按二 12 初中数学竞赛辅导资料

元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数)，再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）

第二部分 典例精析

例1。 选择一组a，c值使方程组5xy7

ax2yc

例2. a取什么值时,方程组xya 的解是正数？

5x3y31

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例3。 m取何整数值时，方程组2xmy4的解x和y都是整数?

x4y1

例4。 (古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3,4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板.问桃,李，榄橄各买几粒？

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第三部分 典题精练

1。 不解方程组，判定下列方程组解的情况：

①

3x5y1x2y32xy3 ② ③

3x5y13x6y94x2y3

2x3yaa11． a取什么值时方程组的解是正数？

29x6y9a2a2

2． a取哪些正整数值,方程组x2y5a的解x和y都是正整数？

3x4y2a

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3． 要使方程组xkyk的解都是整数, k应取哪些整数值？

x2y1

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4． （古代问题)今有鸡翁一，值钱五，鸡母一,值钱三,鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母,鸡雏都买，可各买多少？

第四篇 用交集解题

第一部分 基本方法

1。 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作{6的正约数｝＝｛1，2,3,6｝，它有4个元素1，2，3，6;除以3余1的正整数 17 初中数学竞赛辅导资料

集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1,4,7，10……}，它的个元素有无数多个.

1． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集

例如6的正约数集合A＝{1，2，3，6｝,10的正约数集合B＝｛1，2，5,10｝，6与10的公约数集合C＝{1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集.

2． 几个集合的交集可用图形形象地表示，

右图中左边的椭圆表示正数集合,

右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆

的公共部分，是它们的交集――正整数集。

不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。

正数集正整数集整数集例如不等式组2x6(1)解的集合就是

x2(2)不等式(1）的解集x〉3和不等式(2）的解集x＞2的交集，x〉3。

如数轴所示：

0 2 3

4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集)就是所求的答案。

有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.（如例2)

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第二部分 典例精析

例1. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。

例2。 有两个二位的质数，它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同，求这两个数。

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A＝28只A22ABB＝216只B15初中数学竞赛辅导资料

例3。 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人?

[公式一］N＝N+ N（A)+N（B）－N（AB）。

例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人,

问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？

A24AB 6ACABC 4 1C 10B18 20 初中数学竞赛辅导资料

例5. 十进制中，六位数19xy87能被33整除，求x和y的值

第三部分 典题精练

1。 负数集合与分数集合的交集是 。 等腰直角三角形集合是 三角形集合与 三角形集合的交集。

2. 12的正约数集合A＝｛ ｝，30的正约数集合B＝｛ ｝

12和30的公约数集合C＝｛ }，集合C是集合A和集合B的＿＿

3. 某数除以3余1，除以5余1,除以7余2，求某数的最小值。

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4。 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少？

5. 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。

6。 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？

7. 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决,赞成A的有52票，赞成B的有60票,其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人?

22 初中数学竞赛辅导资料

8. 数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计，数学24人,物理18人,化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人,没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）

9.

xy3xy50

10。 十进制中,六位数1xy285能被21整除,求x,y的值（仿例5）

第五篇 用枚举法解题

第一部分 基本方法

有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：

① 按一定的顺序，有系统地进行；

② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；

③ 遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手，由列举中找到规律.

第二部分 典例精析

例1. 如图由西向东走，从A处到B处有几种走法？

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例2。 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。

例3。 讨论不等式ax

例4。 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数

第三部分 典题精练

1。 己知x，y都是整数,且xy=6,那么适合等式解共 个,它们是 。

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2。 a+b=37,适合等式的非负整数解共 组，它们是 .

3. xyz=6，写出所有的正整数解有: .

4。 如图线段AF上有B,C,D,E四点，试分别写出以A，B,C，D,E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。

A B C D E F

5. 写出以a，b，c中的一个或几个字母组成的非同类项(系数为1）的 所有三次单项式 .

6. 除以4余1 两位数共有几个？

7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？

8。 把 边长等于4的正方形各边4等分,連结各对应点成16个小正方形,试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？

9。 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A到B（只能从北向南,从西向东)，有几种走法?

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AB初中数学竞赛辅导资料

10. 一个正整数加上3是5的倍数,减去3是6的倍数,

则这个正整数的最小值是 。

第六篇 经验归纳法

第一部分 基本方法

1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。

通过有限的几个特例，观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法.例如

①由 ( － 1）2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……，

归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1,而－ 1 的偶次幂 是 1 。

②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），

三位数从 100 到 999 共900个（9×102），

四位数有9×103＝9000个（9×103），

…………

归纳出n 位数共有9×10n－1

(个)

③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……

推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

26 初中数学竞赛辅导资料

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。

2。 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性,所猜想的结论，有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明)

第二部分 典例精析

例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？

例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘.例如

5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）!的大小（n 是正整数）

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例3．求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解.

丙练习14

1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个,三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。

2． 十进制的两位数a1a2可记作10a1＋a2,三位数a1a2a3记作100a1+10a2+a3，四位数a1a2a3a4记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿

3． 由13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝（1＋2＋3）2,13＋23＋33＋43

＝(＿＿＿）2

,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=（ ）2。

4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论(是什么正整数的平方)

①1111－2222＝（＿＿＿)2；1111－2222＝( ＿＿）2.

；10个15个22n个1n个2②11115556＝（＿＿＿＿）2；11115556＝（＿＿＿）2

9位9位n位n位 28 初中数学竞赛辅导资料

5． 把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100

① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少

6．计算1111＋＋＋…＋＝

1112121313141920 (提示把每个分数写成两个分数的差）

7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1）a的大8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然

后把宽3等分，把长8等分，分成24个

小长方形,那么这24个长方形中,

两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个.

本题如果改为把宽m等分，长n等分（m，n都是大于1的自然数）那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个

9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分,切成64个小正方体,那么这64个中,三面涂色的有＿＿个,两面涂色的有＿＿＿个,一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。

本题如果改为把长m等分，宽n等分,高p等分，(m，n，p都是大于2的自然数)那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。

10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。

小.

29 初中数学竞赛辅导资料

11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。

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