2024年1月11日发(作者：4下数学试卷期末)
苏教版课程标准实验教科书
数学
六年级(上册) 教材分析
第一单元 方程
一、教学内容
本单元是在学生初步理解了方程的意义、等式的性质、会用等式的性质解简单的方程，会列方程解决简单实际问题的基本上，继续结合具体的情境，学习运用等式的性质解方程，以及列方程解决相应的实际问题。教材的基本结构如下：
例1 列方程解决实际问题
例2 列方程解决实际问题
整理与练习
二、教材编写特点和教学建议
1．精心选择能够承载教学内容的现实素材。
方程是用字母符号表示现实生活中的等量关系的，无论是表达形式，还是思维水平都比算术的方式更抽象，其对学生思维水平的发展有着十分重要的意义。因此，教材精心选择学生熟悉的，并能承载相应教学内容的现实素材，引导学生在解决实际问题的过程中，自主寻求实际问题中的等量关系，探索方程的解法，体会列方程解决实际问题的基本思想和方法。例1是列形如
“ax±b=c”的方程解决的实际问题，是“求比一个数的几倍（多）少几的数是多少”的实际问题的逆运算；例2是列形如“ax±bx=c”的方程解决的实际问题，是“几倍求和”的实际问题的逆运算。例题和学生已经学过的相应的实际问题相比，数量间的相等关系完全一致，只是条件和问题不同。这样的实际问题，如果用算术方法解，思路比较特殊，思维难度也比较大，学生往往不知道从哪里想起。而用方程解，学生就可以利用已有的解题经验，根据题目中的等量关系列出方程。这样，选择学生熟悉的数量关系作为方程的学习内容，既能够激活学生已有的知识和经验，调动学生参与学习和探索活动的积极性，又能够帮助学生初步感受代数的思想方法，体会方程的实际应用价值。
练习一
练习二
（P1~3）
（P4～6）
（P7～9）
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2．突出实际问题的等量关系。
在现实情境中找出数量间的相等关系，是列方程解决实际问题的关键。教材十分重视引导学生根据题目中的条件和问题，找出等量关系，并以形式化的方式表达出来。
例1在提出问题后，要求学生“找出大雁塔与小雁塔高度之间的相等关系”，并通过交流，抽象出数量关系式：小雁塔的高度×2－22＝大雁的高度。在此基础上，引导学生对数量关系式进行分析，明确“已知大雁塔的高度，求小雁塔的高度，可以列方程解答”。需要说明的是：让学生自主地找出实际问题的等量关系，必然会出现不同的结果，如：小雁塔的高度×2－大雁的高度＝22等，教学时，要鼓励学生列不同的方程去解决，并通过比较，使学生体会到虽然列出的方程不同，但解题的基本思路是一致的，都是根据“大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”这一关系列出方程的。
相对而言，例2的数量关系比较复杂，为了更好地帮助学生理解实际问题的等量关系，教学时可以借助线段图引导学生思考：如果颐和园的陆地面积是290公顷，那么水面面积可以用怎样的式子来表示？颐和园的占地面积与颐和园的陆地面积、水面面积之间有什么关系？再引导学生自主地抽象出数量关系式：陆地面积+水面面积＝颐和园的占地面积，并根据实际问题的等量关系列出方程。
3．继续应用等式的性质解方程。
教材没有单独安排解方程的例题，而是把解方程作为解决实际问题过程中一个环节来安排，目的是帮助学生体会解方程是解决实际问题的需要，感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型。教材在引导学生根据实际问题的等量关系列出方程后，继续引导学生应用等式的性质解方程。教学时，例1要结合实际问题的数量关系，着重引导学生理解在解方程“2x-22=64”时，为什么要先在等式的两边同时加上22？例2要通过讨论“x加上3x等于64，也就是几个x等于64？”等问题，引导学生从实际问题的数量关系、乘法分配律等不同的角度解释其中的
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道理。求出陆地面积后，可以让学生通过独立的活动，用不同的方法求出水面的面积。
4．重视培养自觉检验的意识和习惯。
教材十分重视教给学生正确的检验方程的方法，培养自觉检验的意识和习惯。例1要求学生把方程的解代入原方程，检验求出的答案是否符合实际问题中的已知条件；例2主要引导学生用不同的检验的方法进行检验，其检验方法大致有两种：一是把求出的答案代入原方程进行检验；二是根据求出的答案，先检验水面面积加上陆地面积是否等于颐和园的占地面积，再检验水面面积是否等于陆地面积的3倍。教学时可以提出“这道题怎样检验？”的问题，引导学生通过讨论提出不同的检验方法，并对不同检验方法进行比较，体会每一种检验方法的不同思路。
5．有层次地组织练习。
为了配合例题的教学，教材有层次地安排相应的练习，以帮助学生掌握列方程解决实际问题的基本思想和方法，培养解决问题能力。一方面，安排和例题结构相同或相似的实际问题，使学生在解决实际问题的过程中，进一步体会方程的思想和方法，掌握列方程解决实际问题的一般步骤。如：第1、4页的“练一练”，练习一、练习二的第3、4、5题等；另一方面，安排了一定数量的富有变化的实际问题，以帮助学生进一步打开寻求实际问题中等量关系的思路，提高分析问题和解决问题的能力和举一反三的能力。如：练习一的第7、8、9、12、13题，练习二的第7至11题等。
此外“整理与练习”的第14题，让学生在有趣的活动中，应用数学模型解决问题，既有利于提高学生的数学思考能力，又有利于发展学生学习数学的兴趣。
第二单元 长方体和正方体
一、教学内容
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本单元的教学内容主要有认识长方体、正方体的特征和展开图，长方体、正方体的表面积和体积计算，体积和容积单位的意义及体积单位之间的进率。教材的基本结构如下：
例1、例2
例3
例4、例5
例6、例7
例8
长方体、正方体的特征
练习三 （P10～14）
长方体、正方体的展开图
长方体、正方体的表面积计算
体积和容积的意义
常用的体积单位
练习四 （P15～18）
练习五 （P19～24）
例9、例10 长方体、正方体的体积计算（V=abh）
练习六 （P25～29）
P27
例11
整理和练习
实践与综合运用
长方体、正方体的体积计算(V=sh）
体积单位的进率 练习七 （P30～32）
（P33～35）
表面积的变化 （P36～37）
二、教材编写特点和教学建议
1．在对实物的观察中，认识长方体、正方体的特征。
在一年级上册，学生已经直观地认识了长方体和正方体，并在以后的学习中多次接触过长方体和正方体的实物、几何图形；在日常生活中，学生也会经常遇到一些长方体、正方体的实物，如：粉笔盒、牙膏盒、食品盒等，对长方体、正方体已经积累了丰富的感性认识。这是学生探索长方体和正方体特征的重要基础。
⑴ 从学生已有的知识和经验出发，组织探索长方体的特征的活动。
例1从学生已有的知识和经验出发，结合具体的实例，按“再现实物表象→抽象立体图→探索特征→认识长、宽、高”的顺序，引导学生在具体的活动中认识长方体的特征。例1组织了三个层次的活动：① 再现表象，激活经验。先让学生观察实物图，说一说哪些物体是长方体？再说一说“生活中哪些物体的形状是长方体”，既激活了学生已有的经验，又丰富了感知。② 抽象图形，修正表
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象。通过观察长方体，说一说从不同的角度观察一个长方体，最多能同时看到几个面？引导学生不断修正、抽象已经形成的实物表象，使其更准确、更清晰。在此基础上，揭示标准的长方体，以及面、棱、顶点等概念。③ 自主活动，发现特征。教材让学生再次观察长方体模型，并通过数一数、量一量、比一比等活动，自主探索长方体的特征，认识长方体的长、宽、高。教学时要注意以下以几个问题：一是在交流生活中见到的长方体时，可以让学生说一说已经知道有关长方体的哪些知识？以便了解学生已有的知识基础，使下面的教学活动更贴近学生的生活实际，更符合学生的认知水平；二是观察长方体模型时，可以引导学生在头脑中想像长方体的样子，并试着描述或画出头脑中的影像，帮助学生建立正确的表象；三是探索长方体的特征时，要鼓励学生用自己的语言进行描述、归纳长方体的特征。
⑵ 通过自主的活动，发现正方体的特征。
例2是引导学生通过看一看、量一量、比一比等活动自主探索正方体的特征，并通过比较长方体和正方体有哪些相同点，有哪些不同点，体会正方体和长方体的联系。教学时要注意三点：① 重视学习方法的指导。要让学生想一想前面是怎样发现长方体的特征的，再用探索长方体特征的方法自主发现正方体的特征。② 加大自主探索的空间。放手让学生通过自主的活动探索和发现正方体特征，在合作与交流的过程中，进一步积累数学活动的经验。③ 突出长方体和正方体的联系。要通过比较，使学生体会到正方体在具有长方体所有特征的同时，本身还具有一些特殊性，感受长方体和正方体的联系。
2．在具体的操作活动中，认识长方体、正方体的展开图。
几何体的展开图是用二维的面表现三维的体的一种形式，在日常生活和生产中有着广泛的应用。认识长方体、正方体的展开图既能够促进学生准确把握其特征，发展空间观念，又能为学习长方体和正方体的表面积作一些准备。教材通过沿着棱把长方体、正方体剪开的活动，引导学生认识长方体、正方体的展开图。教学时要注意以下几点：⑴ 做好课前准备。课前要准备好必要的教具和学具，
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如：长方体、正方体的纸盒，剪刀等，并在纸盒的每个面上涂上不同的颜色（或给每一个面编上号）。⑵ 突出实物和展开图面的对应关系。教师示范前要让学生仔细观察正方体的每一组对面，记住每组对面的颜色（或编号），并按例3所示的步骤将正方体展开。得到正方体的展开图后，要让学生说一说哪两个面是正方体的相对的面。⑶ 变中求同，感悟规律。在组织操作时，既要放手让学生按自己的想法将正方体的六个面展开，又要提醒学生注意“要让正方体的六面互相连接着，不能互相分离”。反馈时，可以让学生把正方体复原，先说一说自己是沿着哪几条棱剪的，再将展开图展开，分别指出三组相对的面，以帮助学生体会展开图中六个面的排列规律，发展空间观念。
“试一试”引导学生通过自主的活动探索长方体展开图。教学时要组织好学生的操作活动，并着重引导学生讨论怎样“从展开图中找到3组相对的面？”这样的活动，可以使学生把展开后的每个面和展开前这个面的位置联系起来，更深刻地体会长方体的有关特征，发展初步的空间想像能力。
3．联系生活实际，自主探索表面积的计算方法。
表面积的计算，是在学生认识了长方体、正方体特征的基础上教学的。由于长方体、正方体表面积的计算在日常生活中有着非常广泛的应用，且在不同的条件下，所要计算的面的个数是不一样。因此，教材没有总结长方体、正方体的表面积计算公式，而是从现实的情境出发，引导学生在自主的探索活动中，灵活掌握表面积的计算方法。
例4主要教学计算长方体表面积的基本方法。教学时应注意以下三个环节：⑴ 联系生活实际理解题意。要通过交流，使学生在理解“求至少要用多少平方厘米的硬纸板，就是求长方体6个面的和”的同时，弄清如何根据给出的长方体的长、宽、高，确定每个面的长方形的长和宽，初步感知长方体表面的计算方法。⑵ 放手让学生自主探索长方体表面积的方法。可以引导学生结合已有的知识和经验，通过独立思考，求出长方体6个面的和。交流时，要让学生具体地说一说是怎样求出长方体6个面的和的？⑶ 通过比较和交流，理解求长方体表面积的
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基本方法。交流后，要引导学生对不同的方法进行比较，说一说“哪种方法比较简便？”并鼓励学生用自己喜欢的方法算出结果。
学生理解了长方体表面积的计算方法，就可以自觉地把长方体表面积的计算方法迁移到正方体表面积的计算中来。因此，教材没有出计算正方体表面积的例题，而是通过“试一试”让学生自主解决，又一次为学生提供了自主探索的机会。
日常生活中，经常遇到不需要算出长方体全部6个面总和的实际问题，如：无盖的长方体水箱，火柴盒的外壳等，解决这样的问题需要联系生活实际考虑应该计算哪几个面的面积的和。教材安排的例5，通过怎样求“制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？”，引导学生寻求解决这类问题的策略。教学时要注意两点：一是在审题时，要让学生结合生活实际说一说“鱼缸的上面没有玻璃”是什么意思？求“制作这个玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米”，就是求几个面的和？分别是哪几个面？二是在交流不同的算法时，要着重引导学生通过对不同算法的交流和比较，弄清哪组对面都要算，它们的长和宽各是多少？哪组对面只需要算一个，它的长和宽各是多少？以帮助学生理解计算方法，防止混淆。
练习中，教材还设计了更为丰富的现实情境，引导学生灵活运用所学知识解决实际问题，加深对长方体、正方体表面积的计算方法理解，发展数学思考。如：饼干盒的商标纸（1/P16）、影集的封套(6/P17)、昆虫箱（7/P18）、火柴盒（10/P18）等。
4．通过实例，初步建立体积和容积的概念，感受体积单位的实际意义。
学生的空间知识来源于丰富的现实原型，与现实生活有着非常紧密联系。教材十分重视从实例出发，引导学生在具体的操作活动中，初步了解体积和容积的含义，感受体积和容积单位的实际意义。教材安排了三个例题：
例6按照“物体占一定的空间→物体的大小不同所占的空间也不同→抽象体积概念”的认识线索，引导学生逐步认识体积的含义。教材安排了三次实验活动，首先，呈现两个大小相同的杯子，第一个杯里面盛满水，第二个杯里面放着桃，通过把第一个杯中的水倒入第二个杯中的实验，说明“杯中有一部分空间被桃占
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了”。接着，在第一个杯中放入一个荔枝，继续通过往两个杯中倒水的实验，说明“桃占的空间大，荔枝占的空间小”。然后，呈现三个大小不同的水果，通过“说一说哪一个占的空间大，想一想，把它们放在同样大的杯中，再倒满水，哪个杯里水占的空间大？”引导学生归纳体积的含义。教学时要注意三点：第一，组织第一次实验时，要着重引导学生通过观察、比较和说理，充分体会“空间”一词的含义。可以让学生联系四年级下册认识的容量的概念，体会玻璃杯中的空间就是指玻璃杯的容量，第二个杯中的空间被桃占了，所以，盛的水比第一个杯子少。第二，组织第二次实验时，要通过比较和交流使学生认识到物体大小不同，所占的空间也不同。第三，在揭示了体积的概念后，要让学生举例说一说物体的体积。如：文具盒的大小就是文具盒的体积等。
例7结合实例认识容积的概念，主要是通过比较两个盒子里容纳书的体积的不同，引导学生初步建立容积的概念。关于容积的概念，学生已经积累了相当丰富的感性认识，教学时要注意三点：一是要充分关注学生已有的知识和经验，可以让学生结合升和毫升的认识，举例说明容器所能容纳物体的体积。二是要通过观察和比较，使学生体会到每个盒子里书的体积就是每个盒子所能容纳物体的体积。三是在揭示容积的概念后，要告诉学生容积的大小也叫做容量，以加深对容积的理解。
建立了体积和容积的概念之后，教材继续通过实例引导学生认识常用的体积单位和容积单位。教材的编排有以下特点：⑴ 在比较体积大小中引入体积单位。例8首先创设了比较长方体和正方体体积的问题情境。这两个物体的体积只通过观察是不能比较出它们的大小的，这就激活了学生在认识面积单位时积累起来的经验和策略——把它们分割成相同大小的小正方体，再比较大小，从而引出体积单位的概念，同时指出常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米。⑵ 在语言描述、实物比拟、动作比划中感受体积、容积单位的实际意义。教材除了通过标准的正方体模型，帮助学生准确地建立体积、容积单位的表象外，还引导学生联系身边的事物感受体积、容积单位的实际意义。如：用“手指头”比拟1
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立方厘米的大小，用手势比划1立方分米的大小、用3根1米长的木条在墙角外围出1立方米的空间等活动，都为学生准确地建立体积单位的表象提供了强有力的实物支撑。同时教材还重视通过计量体积的活动，帮助学生感受体积单位的实际大小。如：在认识了1立方厘米后，教材安排了用棱长1厘米的小正方体摆长方体，并数出体积的活动，引导学生进一步感受1立方厘米的实际大小。⑶ 在类比中认识1立方米。教材在安排学生活动时，恰到好处地处理了“扶”与“放”的关系。在认识了1立方厘米、1立方分米后，教材留出了足够的空间，让学生类推出1立方米的大小。并在想办法围出1立方米的空间等活动中，感受1立方米的实际大小。
此外，由于学生已经初步认识了升和毫升，教材对容积单位的认识作了相对简单的处理。教学时，要着重引导学生通过实验说明1立方分米=1升，并在交流中提升的认识。
5．在摆长方体的操作中，探索长方体体积的计算方法。
长方体、正方体体积的教学，教材突出了探索体积计算公式的过程，引导学生在用1立方厘米的小正方体摆长方体的活动中，通过观察、比较、分析、推理、概括和抽象，自主地发现长方体的体积计算公式，进一步积累数学活动经验，经历将具体问题数学化的过程，获得解决问题的策略，感受数学结论的严谨性和确定性。
例8通过摆长方体的活动，引导学生初步感知长方体的体积与它的长、宽、高的关系。一方面，这一活动具有较强开放性，只要求学生用1立方厘米的小正方形摆4个不同的长方体，没有规定怎样摆，摆什么样的长方体，充分体现了学生活动的自主性，为学生探索、发现长方体体积的计算公式提供了丰富感性材料。另一方面，教材设计了一个极富启发性的表格，让学生把实验的结果填在表格里，既有利于进一步的比较与分析，又可以启发学生把长方体的体积与它的长、宽、高联系起来，发现其中的规律。教学时要注意两点：一是要切实组织好学生摆长方体的操作活动。既要充分操作，又要对操作的过程作适当调控。因为摆长方体
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的目的是为进一步的比较、分析和交流活动提供材料，要注意控制操作的度，不宜花太多的时间和精力。二是在组织交流时，要着重引导学生发现摆出的长方体的体积与它的长、宽、高的关系，从而提出合理的猜想。
例10结合具体的实例，引导学生先通过观察、操作、比较、想像、验证等活动，自主发现长方体的体积与它的长、宽、高之间的关系，并概括出长方体体积计算公式。教学时可以按以下三个步骤组织学生的活动：⑴先出示三个长方体，让学生说一说每个长方体的长、宽、高分别是多少，体积应该是多少？⑵先在小组里讨论：用什么方法可以正确地得出每个长方体的体积，再让学生按自己的方法操作，得出正确的结果。操作时，要注意引导学生体会最优的摆法，即沿着相交于一点的三条棱摆出所需要的小正方体的个数，就可以知道这个长方体含有多少个1立方厘米的小正方体。⑶组织学生在小组内讨论：长方体的体积与它的长、宽、高有什么关系？怎样求长方体的体积？并在交流的基础上，归纳出长方体体积计算公式。
之后，教材引导学生根据长方体和正方体之间联系，通过独立思考概括正方体体积的计算公式。这里教材还结合正方体体积计算公式引入了“立方”的概念，说明3个a相乘就是a的立方。
在初步理解长、正方体体积计算公式的基础上，教材及时提升学生对体积计算公式的认识，通过对体积计算公式的分析和比较，明确长方体和正方体的体积计算公式可以统一成“底面积×高”。这是所有柱体的体积计算公式，是更具有普遍意义的体积计算方法，既加深了学生对体积公式的理解，又为后面探索圆柱的体积作了必要的准备。
6．在观察、比较和推理中，自主发现体积单位之间的进率。
体积单位之间的进率是在学生掌握了长方体和正方体体积计算方法的基础上教学的。例11首先引导学生通过比较棱长1分米、棱长10厘米的两个正方体的体积，推出1立方分米=1000立方厘米，再通过自主的活动发现“1立方米等于多少立方分米”，帮助学生正确地理解并记忆相邻两个单位之间的进率是
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1000。关于体积单位的换算，教材通过练一练，让学生自己解决。教学时，要放手让学生在自主的活动中，通过观察、比较、推理等活动，寻求解决问题的方法。
7．实践活动“表面积的变化”的重点是引导学生经历发现表面积的变化规律的过程。
本单元的最后，还安排了实践活动“表面积的变化”，着重引导学生探索和发现在拼长方体或正方体的过程中所引起的表面积变化规律。这一实践活动有两个特点：一是活动的本身蕴含着丰富的数学思想和方法，有利于促进学生积累数学活动经验，发展数学思考，提高解决问题的能力；二是表面的变化规律在日常生活中有着广泛的应用，如：包装的最优方案等，有利于学生体会数学与生活的联系，感受数学的实际价值，发展数学应用意识，培养对数学学习的兴趣。教材安排了“拼拼算算”和“拼拼说说”等两个活动。“拼拼算算”首先用两个体积是1立方厘米的正方体拼成一个长方体，引导学生发现表面积比原来少了两个面的面积，再用3个、4个、5个小正方体拼成长方体（宽和高都1），通过比较和交流发现：像这样拼出的长方体，每增加一个小正方体，拼成的大长方体的表面积就减少两个面的面积。接着，通过用不同的方法把两个完全一样的长方体拼成三个不同的大长方体，引导学生发现拼成的大长方体的表面积都比原来减少了2个面的面积，但不同的拼法，减少的面积是不一样的。“拼拼说说”先通过“用6个1立方厘米的正方体拼成不同的长方体”，引导学生体会用不同的方法拼出的大长方体的表面积是不一样的，看表面积减少了多少，只要看有多少组重合的面，有一组重合的面，表面积就减少两个面的面积。再通过讨论把10盒火柴包装成一包，有哪些不同的包装方法，哪种包装的方法最节省包装纸？使学生在探索最优包装方案的过程中，感受数学的实际应用价值，培养数学应用意识，发展数学素养。教学时要抓住问题的本质，引导学生体会解决问题的一般策略。要着重引导学生体会：在拼长方体过程中，只要有两个面完全重合在了一起，表面积就减少两个面的面积。弄清了这一点，学生只要找出是怎样的两个面重合在一起、有几组面重合在一起，就能够举一反三，触类旁通。
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第三单元 分数乘法
一、教学内容
本单元的教学内容主要有分数乘法的意义、分数乘法的计算法则，简单的分数乘法实际问题，分数连乘和倒数的认识。教材的基本结构如下：
例1
例2、例3
例4、例5
例6
例7
整理和练习
二、教材编写特点和教学建议
1．结合现实的问题情境，引导学生理解分数乘法的意义。
分数乘法的意义包括两个方面，一是整数乘法意义的推广，即：求几个相同加数和的简便运算。二是对乘法意义的扩展，即：求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。其对学生理解分数乘、除法实际问题的数量关系，理解分数乘、除法的计算法则都有着十分重要作用。教材从现实的情境出发，引导学生联系实际问题的数量关系和分数的意义，理解分数乘法的意义。
⑴ 乘法意义的推广。例1创设了小芳做绸花的实际情境，通过给绸带涂色的活动，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式。教材给出了两种预设，33333一种是用“10+10+10”来计算，另一种是用“3×10”或“10×3”来。既有利于分数与整数相乘
练习八 （P38～44）
分数乘法的实际问题
分数与分数相乘
练习九 （P45～49）
分数连乘
认识例数 练习十 （P50～51）
（P52～54）
学生主动地把整数乘法的意义推广到分数中来，即分数和整数相乘的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的简便运算， 又可以启发学生用加法算310×3的结果。
⑵ 乘法意义的扩展。例2主要是引导学生结合分数的意义体会“求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算”。第⑴问结合小芳做绸花的情境提出怎样“求10朵的12是多少”的问题。由于学生在三年级下册认识分数时，已经初步
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接触过求一个数的几分之几是多少的实际问题，学生可以根据分数的意义用两种方法算出结果：一种是在图上分一分，圈出是10朵的12；另一种是用“10÷2”算出结果。因此，教材先引导学生自己想办法解决，再告诉学生“求10朵的12是多少，还可以用乘法计算”。并通过合情推理，体会到“求10朵的12是多少”可以用10×1第⑵问继续引导学生在解决实际问题的过程中体会分数乘2来计算。法的意义。教材组织了三个层次的活动：第一层，让学生根据题意在示意图上圈出绿花的朵数，体会绿花的朵数是黄花的25是把黄花的朵数看作单位“1”的。第二层，根据已有认识和经验，列式解答。学生可能根据分数的意义用10÷5×2算出绿花的朵数，也可能由前面的第⑴问想到用10×25算出绿花的朵数。第三层，在比较中体会两种计算方法的联系，概括分数乘法的意义。
⑶ 练习中加深理解。教材通过多种形式的练习，帮助学生不断加深对分数乘法意义的理解。①操作性练习。引导学生借助直观进一步感知分数乘法的意义。如：第39页第1题，第41页第1、2题等。②对比性练习。如：P42第6题，引导学生通过比较，沟通知识之间的联系，加深对分数乘法意义的理解。
分数乘法意义的教学要强调三点：⑴ 重直观。由于分数乘法的意义比较抽象，学生理解起来会有一定的困难。因此，要让学生借助给示意图涂色、看图填空等活动，充分感知分数乘法的意义，建立表象。⑵ 重感悟。要精心组织好学生的自主探索活动，引导学生在解决实际问题的过程中结合分数的意义，体会分数乘法的意义。⑶ 重比较。要引导学生通过比较，沟通知识间的内在联系，不断深化对分数乘法意义的理解。
2．从学生的已有知识和经验出发，循序渐进地组织探索分数乘法的计算法则的活动。
教材由易到难，循序渐进地组织学生展开探索分数乘法计算法则的活动。分数乘法计算法则的教学大致可以分为两段：先教学分数和整数相乘，再教学分数和分数相乘。
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⑴ 自主探索分数和整数相乘的计算方法。由于整数与分数相乘可以转化成几个相同加数连加的算式，因此，例1放手让学生尝试计算，并通过交流和比较理解分数和整数相乘的算理。教学时要注意三点：一是学生通过自主探索，会出现一些不同的算法（如：把10改写成0.3再算），交流时，要着重让学生说一说用加法算乘法的思考过程，理解分数和整数相乘的计算方法；二是要通过比较帮助学生体会到先约分再计算可以使计算过程简便；三是在讨论算法时，要通过交流明确“分数和整数相乘，用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变”。
⑵ 借助直观图理解分数和分数相乘的算理。相对而言，分数和分数相乘计算法则的推导过程较难理解。教材联系分数乘法的意义，利用直观的图示，引导学生通过观察、比较、分析和交流，理解分数和分数相乘的计算方法。
例4安排了三个层次的活动：
第一层，观察示意图（如右图），
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说一说画斜线的部分各占根据分数乘法的意义列式计算通过观察直接得出得数。
例5引导学生在示意图上画斜线分别算出231212的几分之几，各是这张纸的几分之几？第二层，的14、12的34各是多少；第三层，借助示意图，×5、3×1245得数。并引导学生通过观察和比较，发现积的分子、分母与两个因数的分子、分母之间的联系，概括分数和分数相乘的计算法则。例4和例5的教学要引导学生经历两个过程：一是要引导学生经历利用示意图寻求算式得数的过程，以突出示意图对理解算理的作用。二是要精心组织学生的比较活动，引导学生经历由具体到抽象地归纳分数和分数相乘的计算法则的过程。
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“试一试”主要是让学生体会计算分数和分数相乘时，也可以先约分再计算。教学时除了让学生明确“可以先约分再计算”外，还可以让学生想一想怎样用示意图表示计算结果，以加深对算理的理解。
⑶ 结合实例，统一计算法则。因为整数可以看作分母是1的分数，所以分数和分数相乘的计算法则对于分数和整数相乘也同样适用。教材通过“用分数和分数相乘的方法计算11×3和4×256，引导学生体会可以用分数和分数相乘的方法计算分数和整数相乘，这样就把分数乘法的两种情况统一到分数和分数相乘的法则中，既加深了对学生对分数乘法计算法则的理解，又便于学生正确地掌握和灵活地运用。
此外，教材还安排了“例题6”分数连乘的两步计算，有利于促进学生对分数乘法计算法则的理解。
3．在解决问题的过程中，加深对分数乘法意义的理解。
教材结合分数乘法的意义、计算法则的教学，同时展开分数乘法实际问题的教学，先教学求一个数的几分之几是多少的实际问题，再教学分数连乘的实际问题。
教材的例2是最基本的分数乘法实际问题，其对学生理解分数乘法的意义，掌握分数乘法实际问题的结构和数量关系都有着非常重要的意义。在例2教学的基础上，例3教学已知一个数比另一个数多几分之几，求多的部分是多少。掌握这类问题的数量关系和解题思路，对以后学习分数除法实际问题及稍复杂的分数实际问题有着重要的促进作用。教材以图文结合的方式呈现实际问题的条件和问题，着重通过对“红花比黄花多的是多少朵的10？”的思考和交流，明确红花比黄多的朵数是黄花朵数的10，也就是50朵的10，所以可以用50×10计算。教学时要注意两点：一是要引导学生借助示意图理解题意；二是要抓住“红花比黄花多10”这一关键，引导学生理解题目中的数量关系。可以让学生结合条形统计图讨论：红花比黄花多的朵数在图上是哪一段？红花比黄花多的朵数是谁的11011111，要把谁看着单位“1”？
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“试一试”是已知“绿花比黄花少25，求“绿花比黄花少多少朵”的实际问25题，教学时，要提醒学生先看图想一想“绿花比黄少”是什么意思，再列式解答，反馈时要着重让学生说一说解题时的思考过程，以帮助学生理解分数乘法实际问题的数量关系，理清解决问题的思路。
例6是分数连乘的实际问题。由于题目中增加了一个条件，数量关系相对比较复杂，且解题时需要两次判断把哪一个量看着单位“1”，这就增加了学习的难度。例6的教学，可以按教材设计的思路：“借助线段图分析数量关系→分步列式解答→列综合算式解答”，组织学生的探索活动。同时，要注意以下几点：⑴ 要让学生根据题目中的条件和问题，画出表示三班做绸花朵数的线段，并说一说是怎样画出表示三班做的朵数的线段，为什么可以这样画？以帮助学生弄清题目中的数量关系，确定解决问题的思路。⑵ 每一步计算都要让学生说一说是把谁看作单位“1”的，为什么可以这样算？⑶ 列出综合算式后，可以让学生说一说每一步算出的结果所表示的意思。⑷ 要注意引导学生体会计算分数连乘时可以先约分，再一次完成计算的方法。
4．安排倒数的认识，为分数除法的教学作准备。
由于倒数的概念是学生探索分数除法计算法则的必要基础。所以教材在分数乘法计算的教学之后，安排了倒数的认识。例7主要教学倒数的认识和求一个数倒数的方法。教学时要注意两点：第一，在组织学生认识倒数的概念时，要通过交流，着重引导学生体会倒数是表示两个数之间的关系，互为倒数的两个数是相互依存的；第二，根据倒数的意义，求一个数的倒数应该用1除以这个数。但倒数的认识是为分数除法的教学服务的，必须安排在分数除法教学之间进行教学。因此，在引导学生探索求一个的倒数的方法时，要结合实例，引导学生观察互为倒数的两个数的分子、分母的位置变化，概括求一个数的倒数的方法。
第四单元 分数除法
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一、教学内容
本单元的教学内容主要有分数除法的计算法则，简单的分数除法实际问题，分数连除和乘除混合运算。教材的基本结构如下：
例1 分数除以整数
练习十一 （P55～61） 例2、例3 整数除以分数
例4
例5
例6
整理和练习
二、教材编写特点和教学建议
分数除以分数
简单的分数除法实际问题
练习十二
分数连除、乘除混合
（P62～65）
（P66～67）
1．合理安排教学内容，提高学习和探索活动的有效性。
教材遵循由易到难的原则，从学生的知识和经验出发，合理安排教学内容，精心设计学生自主探索和合作交流的活动线索，引领学生在解决实际问题的过程中，经历探索分数除法的计算法则的过程，积累丰富的数学活动经验，获得更充分地发展。本单元的教材同时存在着两线索：一是分数除法的计算；二是有关的分数除法实际问题。分数除法的计算包括计算法则的推导，以及分数连除、乘除混合的两步计算。其中，计算法则的推导是按照“分数除以整数→整数除以分数→分数除以分数”的顺序展开的，是本单元教学的重点。分数除法的实际问题主要是列方程解决简单的分数除法实际问题，也是本单元教学的重点内容之一。这样，把计算和解决实际问题有机地结合起来，以小步推进的方式组织教学内容，符合学生的认识规律，能够促进学生有效地参与数学学习活动。
2．借助直观图示，理解分数除法的计算法则。
分数除法计算法则的教学，如果只要求学生学会按法则进行计算并不难。因为学生只要把除以一个数转化为乘这个数的倒数就能够算出正确的结果。但如果要让学生在理解的基础上掌握计算法则，就不是一件容易的事了。因为分数除法的计算法则是根据分数除法的算理抽象出来的形式化、程序化的数学知识，且学
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生毕竟习惯于除法运算会使量变小。教材充分利用示意图，把抽象的算法以直观形象的方式表达出来，帮助学生理解分数除法的算理，自主发现分数除法的计算法则。
4÷2的算式，5
再让学生在图上分一分，并算出结果。学生受直观图示的启发，会想到多种不同41的算法。教材给出了两种算法：一是根据除法的意义，÷2就是把4个平均55例1主要教学分数除以整数。教材先结合现实的情境，列出分成2份，即：44422÷2==二是根据分数乘法的意义，把升果汁55，55414421升的，即÷2=× =引导学生通过52555,2平均分给2个小朋友喝，每人喝对不同算法的比较，初步感知分数除以整数的计算方法。“试一试”继续结合例41的情境引导学生探索÷3的算法。由于除数是3，用例1的第一种方法计算5会出现除不尽的情况，学生通过尝试计算能够充分地感受到第二种算法的合理441性，进而主动把÷3转化成×再计算。在此基础上，引导学生通过讨论和553交流，归纳分数除以整数的计算方法。
例2和例3主要教学整数除以分数。理解整数除以分数的算理，是推导分数除法计算法则的关键。一方面，从除数是整数的除法到除数是分数的除法，是学生探索分数除法计算法则过程中的一次重要转折。另一方面，整数除以分数和分数除以分数一样，除数都是分数，都要把除以一个分数转化成乘这个分数的倒数再进行计算。因此，教材安排了两个例题，先教学整数除以几分之一，再教整数除以几分之几。
例2首先通过第⑴问和第⑵问，引导学生把整数除法的数量关系推广到分数中来，并列出算式。接着引导学生借助实物图用不同的方法算出结果。教材给出1了两种预设，一种算法是4÷=8；另一种算法是4×2=8。然后引导学生通过对21不同算法的比较，得到4÷=4×2的等式，并通过讨论体会到一个数除以一个2分数等于这个数乘这个分数的倒数。例2的第⑶问，留出了更大的空间，引导学生在自主的活动中不断地积累整数除以分数的经验，提升认识。例3教学一个整2数除以几分之几，要求学生在借助示意图算出结果的同时，通过讨论等式4÷
3
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3是否成立，再次感知分数除法的计算方法。在此基础上，教材引导学生“比2较两道例题中的等式”，概括整数除以分数的计算方法。
=4×例4主要教学分数除以分数，概括分数除法的计算法则。在前面的学习中，学生已经积累了丰富的分数除法计算的经验，因此，教材提高了对学生的要求，引导学生通过合情推理，先尝试用乘除数的倒数的方法算出结果，再用画示意的方法进行检验，遵循了认识事物的一般过程。最后引导学生联系分数除以整数，整数除以分数的计算，归纳分数除法的计算法则。
分数除法计算法则的教学，要注意以下几点：⑴ 引导学生在解决实际问题的过程中，把整数除法的意义扩展到分数中来。分数除法的意义和整数除法相同，教学时，引导学生结合实际问题的数量关系，体会分数除法的意义，完成除法意义的扩展。⑵ 突出示意图在学生理解分数除法计算法则过程中的作用。直观形象的示意图，在学生理解分数除法算理的过程中，起作不可替代的作用。教学时，要充分用好示意图，既要让学生经历借助示意图寻求计算结果的过程，又要让学生经历利用示意图验证计算结果的过程。⑶ 引导学生通过比较不断提升对计算方法的认识水平，经历再“创造”分数除法的计算法则的过程。要精心设计教学过程，最大限度地开放教学时空，通过观察、操作、比较、分析和概括，不断积累计算经验，引导学生经历从模糊到清晰，从现象到本质，从算理到算法，再“创造”分数除法计算法则的过程。
3．列方程解简单的分数除法实际问题，沟通分数乘、除法的联系。
例5主要教学已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题。它和求一个数的几分之几是多少的实际问题的数量关系相同，只是条件和问题不同。以往的教材，都是既教用方程解，又教用算术方法解。苏教版教材改变了这一做法，只教用方程解。这样学生就可以直接根据分数乘法的意义找出数量关系，列方程解答，既降低了思维的难度，便于学生理解和掌握，又沟通了分数乘、除法实际问题之间的联系，有利于学生构建合理的知识结构。教学时，要抓住分数除法实际问题的关键，引导学生根据“大瓶和小瓶的果汁量的关系”写出数量关系式，并列方程解答。
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4．安排分数连除和乘除混合，加深对计算法则的理解。
教材结合分数除法的教学，安排了分数连除和乘除混合运算。计算分数连除或乘除混合运算时，要先把除以一个数转化成乘这个数的倒数，再按分数连乘的计算方法进行计算。学生受思维定势的影响，在计算乘除混合运算时，往往会再把乘一个数也改写成乘这个数的倒数。教学时，要引导学生通过比较，弄清计算方法，提高计算的正确率。
此外，练习十二第12题是一组分数乘、除法实际问题的对比练习，信息量大，数量关系也比较复杂。教学时，要注意引导学生审题，弄清题目中数量关系之间的联系与区别，并要通过比较，体会分数乘法和除法之间的联系。
5．精心设计练习，促进学生发展。
教材安排了内容丰富、形式多样的练习，帮助学生加深对分数除法的计算法则的理解，促进计算技能的形成，发展数学思考，提高解决问题的能力。⑴ 在操作中加深理解。教材结合分数除法计算法则的教学，安排了一些操作性练习，帮助学生进一步强化感知，加深对分数除法计算法则的理解。如：第56页第1题、第58页第1题等。⑵ 在比较中沟通联系。教材安排很多题组练习，引导学生通过比较，沟通分数乘法和除法之间的联系，促进计算技能的形成和发展。如：第59页第2题，第60页第7题，第65页第7、12题，第66页第4题等。
第五单元 认识比
一、教学内容
本单元的教学内容主要有比的意义，比的基本性质和化简比，有关比的实际问题（按比例分配）。教材的基本结构如下：
例1、例2 比的意义、求比值
练习十三
例3、例4 比的基本性质、化简比
例5 按比例分配的实际问题
实践与综合应用
（P68～74）
（P75～77）
（P78～79）
练习十四
大树有多高
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在分数除法单元之后，安排“认识比”的单元，是苏教版教材的一大特色。这样安排主要有两点考虑：一是比和分数有着密切的联系，提前学习比的有关知识，可以加深对分数乘、除法的理解，有利于学生沟通知识的联系，把握知识的本质。二是学生掌握了比的有关知识，就可以灵活应用所学知识解决实际问题，有利于发展学生的解题策略，提高解决实际问题的能力。
二、教材编写特点和教学建议
1．结合已有知识和经验理解比的意义。
两个数的比表示两个数相除。比又可以分为两种情况，一种是两个同类量之间的相除关系，如：一班人数和二班人数的比等。整数中一个数量是另一个数量的几倍、分数中的一个数量是另一数量的几分之几，都可以看成是两个同类量的比。另一种是两个（相关联的）不同类量的之间的相除关系，两个不同类量的比表示一种新的量。如：路程与时间的比表示速度，质量与体积的比表示密度等。传统的教材只强调两个同类量的比。考虑到两个不同类量的比在日常中有着广泛的应用，且只认识同类量的比，不利于学生形成正确的比的概念。因此，教材引导学生分两步理解比的意义，先教学两个同类量的比，再教学两个不同类量的比。
学生对两个同类量之间的关系比较熟悉，如：一个数量比另一个数量多（或）几、一个数量是另一个数量的几分之几（或几倍）。因此，教材注重从学生已有的知识和经验出发，组织学生认识比的活动。例1教学两个同类量的比，教材创设了妈妈准备早餐的情境，通过提出“可以怎样表示2杯果汁和3杯牛奶之间的关系”的问题，激活学生已有的知识和经验。学生可以从两个数量的相差关系、两个数量的倍数关系等角度描述2杯果汁和3杯牛奶之间的关系。在此基础上，指出这两个量还可以表示成：“果汁与牛奶杯数的比是2∶3，牛奶与果汁杯数的比是3∶2。同时教学比的读法、写法，比的前项、后项等有关知识。“试一试”通过配制洗洁液的情境，引导学生写出不同浓度的溶液中所含洗洁液和水的体积比，同时，教材还启发学生用分数表示两种液体体积之间的关系。这样，从学生的已有知识和经验出发，引导学生在具体的活动中认识比，既有利于学生形
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成正确的表象，初步建立比的概念，又有利于学生有效参与学习和探索活动，提高学习效率。
例2教学两个不同类量的比。教材通过学生熟悉的路程与时间的关系，指出也可以用比来表示路程和时间的关系，并通过提问“两个数的比可以表示什么”，引导学生体会路程和时间的比表示速度。
在例1和例2教学的基础上，教材引导学生概括比的意义，并根据比的意义求比值。
“试一试”先结合具体的实例，引导学生体会两个数量的比也可以写成分数形式，再通过比较和讨论“比的前项、后项和比值分别相当于除法算式或分数中的什么？比的后项可以是0吗？”等问题，帮助学生弄清比和除法、分数三者的联系。
比的意义的教学要注意三个问题：⑴ 找准知识的生长点，引导学生在已有知识和经验的基础上理解比的意义。⑵ 分别用比、分数两种形式表示两个同类量的关系，并通过比较和交流，沟通比和分数之间的联系。⑶ 结合实例引导学生感受比的两种情况，但不要求学生区分什么情况下是两个同类量的比，什么情况下是两个不同类量的比。⑷ 讨论比、分数、除法的联系时，可以引导学生通过列表，理清三者之间的联系。
2．加大探索的空间，自主发现比的基本性质。
前面的学习中，学生已经对比、除法、分数三者之间的联系有了比较深刻的理解，这是学生探索和发现比的基本性质的重要基础。教材进一步加大了自主探索的空间，引领学生在具体的活动中，自主发现比的基本性质。教学时可以分四步组织学生活动：第一步，出示小冬在实验室测量几瓶液体的质量和体积的数据，让学生通过观察和比较找出三个相等的比，并用等式表示出来。第二步，引导学生观察三个比相等的式子，说一说根据等式中比的前项和后项的变化规律，能想到些什么？比可能有什么性质？引导学生根据已有知识和经验提出猜想。第三步，组织学生先通过举例，验证猜想，再联系商不变的性质、分数的基本性质说
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明比的基本性质。第四步，比较等式中三个相等的比，并通过交流明确“前项和后项只有公因数1的比是最简单的整数比”，并告诉学生应用比的基本性质，可以把一些比化成最简单的整数比。
例4主要教学应用比的基本性质化简比。例4的三个问题涉及了化简比的各种情况：第⑴题比的前项和后项都是整数，化简时，要用比的前项和后项分别除以它们的最大公约数。第⑵题比的前项和后项都是分数，化简时，要用比的前项和后项分别乘它们分母的最小公倍数。第⑶题比的前项和后项都是小数，化简时，要先把小数比改写成整数比，再化简。教学时可以先让学生想办法自己解决，再通过交流，归纳化简比的方法。
3．沟通知识间的联系，形成解决问题的策略。
比的实际应用包括按比例分配和比例尺两个方面，本单元教学按比例分配的实际问题。例5提供的问题情境按是“分别给30个方格涂上红色和黄色，使红色与黄色方格的比是3∶2。求两种颜色各应涂多少格？”根据已有的知识和经验，学生会主动尝试把比的实际问题转化成分数或除法的实际问题去解决。教材给出了两种最基本的解决题思路，一种思路是把30个方格按3∶2涂成红色和黄色，就是把30个方格平均分成5份，其中的3份涂红色，2份涂黄色。另一种思路是把比转化成分数，红色方格占总数的，黄色方格点总数的。教学时，
要放手让学生通过自主的活动，寻求解决问题的策略，并通过交流，帮助学生弄清题目的数量关系，形成解决问题的思路。交流时，要着重引导学生体会教材提供的两种思路，不但要说清楚是怎样想的，还要说一说为什么可以这样想，并通过比较，体会两种思路的联系。需要说明的是：第二种思路突出了比和分数的联系，有利于学生灵活运用所学知识解决分数乘、除法的实际问题，教学时要着重引导学生理解和掌握这一解题方法。
“试一试”是“把30个方格按1∶2∶3涂成红、黄、绿色三种颜色，求三种颜色各应涂多少格？”由于这是第一次出现三个数的连比，思维难度相对较大。教材通过“三种颜色的方格各占总数的几分之几？”，启发学生把比转化成分数
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求出红、黄、绿三种颜色的方格各应涂多少格，为学生的思维指明了正确的方向，有利于促进学生解决问题策略的优化。
4．引导学生经历探索规律的过程，培养学生的实践能力，发展数学素养。
本单元的最后，还安排了实践活动“大树有多高”，主要通过具体的活动探索同一时刻、同一地点竿高与影长之间比值相等的规律，并应用这一规律解决一些简单的实际问题。对学生来说，这是一个极富挑战性的问题，能够引起学生参与学习和探索活动的兴趣。教材围绕解决一棵大树有多高的问题，组织了“量量比比”和“议议做做”两个活动：“量量比比”主要是通过两次实验发现在同一时刻、同一地点竹竿高度和影长的比值相等的规律。第一次实验：在太阳下，把几根同样长的竹竿直立在地面上，测量竹竿的影长。并通过比较每次测量的结果，发现竹竿高度相同，影长也相同，初步感知竿高与影长的关系。第二次实验：把几根长度不同的竹竿，直立在地面上，量出每根竹竿的影长，并把测量的结果记录在表格里，感悟竹竿的高度不同，影长也不同，再求出竹竿高度与影长的比的比值，并通过比较，发现同一地点，同一时刻竿高和影长的比的比值相等。“议议做做”主要是通过讨论和交流，引导学生利用发现的规律，解决大树有多高的问题。首先，引导学生结合上面的实验，推想一根3米长的竹竿当时直立在地面上影长应该是多少？学生会想到，这根竹竿的高度与影长的比的比值应该等于实验时得到的比的比值。接着，引导学生小组交流怎样根据上面的发现，求出一棵大树的高度，同时，再一次组织测量活动，获得必要的数据，求出大树的高度。然后，引导学生应用发现的规律解决实际问题。最后通过讨论明确用这样的方法计算物体的高度，必须是同一时刻、同一地点的测得的物体高度与影长，否则就不能算出正确的结果。教学时，要把活动的重点放在引导学生经历提出问题、设计实验、收集数据、发现规律、应用规律解决问题的过程上，使学生通过活动，积累一些数学活动的经验，获得一些解决问题的策略。可以采取课外、课内相结合的形式分三步组织学生活动：⑴ 提出解决问题的方案。可以在课前提出问题，引导学生通过讨论、实验、查阅资料等不同的形式提出解决问题的办法，并选择
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合适时机组织学生交流，确定解决问题的方案。⑵ 实施户外测量。学生提出解决问题的方案后，可以利用数学活动课，组织学生小组合作完成户外测量，收集所需要的数据。测量时要教给学生正确地测量方法，有效控制测量误差，保证测量结果的准确性。如：要选择一块相对平整场地，不能将竹竿插入土中，也不能把竹竿斜放在地面上等。⑶ 通过交流发现规律。在上述活动的基础上，通过组织观察、比较、分析、推理、概括等活动，引导学生发现规律，并应用规律解决问题。
小学数学六年级上册第六单元《分数四则混合运算》教学分析稿
一、单元教材基本分析
在进入“分数四则混合运算”单元学习之前，学生已经学习了整数、小数四则混合运算，分数加、减、乘、除计算，也具备了解决简单分数实际问题的相关经验，这就构成了学习分数四则混合运算的基础。通过这部分内容的教学，一方面可以使学生基本完成分数四则运算的学习；另一方面，可以使学生增进对相关运算律的理解，提高应用分数四则计算解决简单实际问题的能力。这单元教学内容大致可以分为三段。第一段主要教学把整数四则混合运算的运算顺序推广到分数四则混合运算，把整数的运算律推广到分数。第二段，主要教学运用分数乘法和加、减法解决一些稍复杂的实际问题，使学生在解决实际问题的过程中进一步体会分数四则运算的实际应用价值，加深对用分数表示的数量关系的理解，提高分析问题和解决问题的能力。第三段是本单元的整理与练习。
二、教学重难点的认识及处理意见
本单元的教学重难点是联系已有的整数、小数四则混合运算的知识，理解并掌握分数四则混合运算的运算顺序；能正确进行分数的四则混合运算；了解整数运算律对分数同样适用，并能应用运算律，进行有关分数的简便计算。关键是学会用画线段图的方法分析数量关系，利用分数乘法、加减法解决一些稍复杂的实际问题。这一单元的教学，既要重视如何让学生从对计算的已有认识出发，在尝试与探究中自主建构，也要关注怎样使学生在经历解决问题的过程中，体验并掌握基本的解题策略，还要研究如何设计合理的练习，逐步提高学生的计算技能。
三、对课本主要例题、课内练习及课外作业的选用建议
例1求做两种中国结一共用的彩绳数量，由于这个实际问题具有特殊性（两种中国结的个数相同，两种中国结每个用彩绳的米数不同），所以它有不同的解法。教材充分利用这一特殊性，让学生按不同的思路列综合算式解答，能有两个
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收获：第一个收获是体会分数四则混合运算的运算顺序。算式2/5×18+3/5×18的思路是，先分别求出两种中国结各用彩绳多少米，因此列出的算式要先算乘法。算式（2/5+3/5）×18的思路是，先求出两种中国结各做一个要用彩绳的米数，这正是在算式里加括号的目的。所以，计算有括号的算式，要先算括号里面的。类似这样的体会，在教学整数四则混合运算时曾经有过。教学分数四则混合运算，再次体会运算顺序的合理性、必要性和可操作性是认知的需要。而且，获得这些体会并不困难。第二个收获是两种解法的结果相同，不但相互印证解答正确，还为理解运算律创造了具体的背景。
基于以上认识，教学分数四则混合运算的顺序时，要重点抓住以下三个环节。首先，在学生列出两种不同的算式后，可以让学生结合所列的算式说说解决问题的步骤，即先求出什么，再求出什么；其次，计算完成后，可以让学生在回顾解决问题步骤的基础上，通过两种算式的对比，初步小结分数四则混合运算的运算顺序；最后，进一步引导学生回忆整数四则混合运算的运算顺序，并和分数四则混合运算的运算顺序比较，从而看到两者的相同点，进而再揭示出分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。
比较两种解法之间的联系是感受运算律的存在，比较哪种方法简便是引导简便运算。需要说明的是，第三单元计算分数连乘，把各个乘数的分子、分母交叉约分，已经在应用乘法交换律和结合律，所以本单元着重体会乘法分配律。教学时要处理好三点：首先是观察、讲述两种解法的联系，要让学生说说怎样把其中一道综合算式改写成另一道综合算式，加强对乘法分配律的理解和表述。然后是回忆分数连乘，让学生感受以前的计算已经应用了乘法的另两条运算律。如1/4×1/3×9/10,交叉约分时应用了乘法结合律，只是没有写出1/4×（1/3×9/10）；又如2/3×1/5×3/4，约分时应用了乘法交换律，只是2/3×3/4×1/5这个过程没有写出来。最后才总结出整数的运算律在分数运算中同样适用，即分数乘法也存在交换律、结合律、分配律，运算律也能使一些计算变得简便。
应用乘法分配律进行简便运算，例1仅作些引导，要通过练习才能掌握。和整数、小数范围内应用乘法分配律简便计算相比，这里的计算往往有两个特点：一是隐蔽，如6/5×6/7-1/5÷7/6。这是一道两数之积减两数之商的题，似乎与运算律对不上号。如果把分数除法转化成分数乘法，就显露出两个乘法算式有相同的因数，具备应用乘法分配律的必要条件。二是易混，如4÷4/5+4/5÷4。粗糙地看这道计算题，它的两道除法算式似乎很有联系，稍不留心就陷入简算误区。只有细心地把分数除法变成乘法，才会明白这道题不适宜应用分配律。本单元教材设计简便运算的练习题，注意了这两个特点。
例2和例3是稍复杂的分数乘法应用题，它们都含有求一个数的几分之几是多少的数量关系。说它们“稍复杂”，是因为还分别含有其他的数量关系，有多种解法。就例2来说，它是已知某小学六年级参加学校运动会的总人数，以及其中男运动员占总人数的几分之几，要求女运动员的实际人数的实际问题。这是一个部分数与总数之间相比较的问题。它涉及两个基本数量关系：一个是男运动员
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人数与女运动员人数相加的和等于六年级运动员的总人数；另一个是男运动员人数与运动员总人数的分数关系。这两个数量关系学生都很熟悉。解决这个问题的关键是：根据需要解决的问题，想到先用分数乘法算出男运动员的人数。为此，教材首先呈现一条表示运动员总人数的线段，要求学生在这条线段上分别表示男、女运动员所占的部分。通过这样的操作，一方面能使男运动员人数与总人数的关系更加清晰，另一方面也利于启发学生想到：要求女运动员的人数，可以先算出男运动员有多少人。学生画图操作后，教材不再呈现具体的分析过程，而是引导学生通过互相交流，进一步明确解题思路，并在此基础上列式解答。需要注意的是，教材在这里没有出现另一种方法，而是启发学生想一想：还可以怎样算？这表明了教材上出现的算式应作为对学生的基本要求，而对于另一种算法，则不要求学生都去掌握。实际上例3也存在这样的情况。这是因为教材中这种解法的数量关系，是实际问题中最基本的数量关系，学生比较熟悉，已经掌握，容易寻找。而且，这些数量关系还是列方程解答其他分数、百分数应用题的基本关系，在以后的教学直至初中数学里经常应用。至于后一种解法，发展了对一个数的几分之几的认识，从一个已知的分率联想了其他的分率。如果学生能够独立想到，并且喜欢这样列式，应该是允许的。教材不出现后一种解法，不把它教给学生，是着眼今后，突出重点，减轻负担。
例3是已知某小学去年的班级数，以及今年的班级数比去年增加了几分之几，要求今年班级数的实际问题。这是两个相对独立的数量之间进行比较的问题，要用到两条线段才能清楚地反映出它们的关系。解决这个问题的关键是要正确理解今年的班级数与去年班级数的关系，并明确：要求今年的班级数，可以先算出今年增加了几个班级。为此，教材先呈现了一条表示该校去年班级数的线段，并启发学生根据“今年班级数比去年增加了1/4”这一已知条件，画出表示今年班级数的线段。通过这样的操作，一方面能使今年班级数与去年班级数的关系更加清晰，另一方面有利于启发学生认识到：要求今年的班级数，可以先算出今年增加了几个班级。
例1和例2教材引导学生画线段图，其目的不仅是帮助理解例题的数量关系和解题步骤，还要积累画线段图的体会和经验。以后解决实际问题，尤其是完成“练一练”和练习十六里的习题时，若有需要，能主动地通过画图帮助思考。为此，要加强画线段图的教学。首先让学生理解，先画出表示运动员总人数的线段和表示去年班级数的线段，才能继续表示男运动员人数和今年的班级数。这是分析“男运动员占5/9”以及“今年班级数比去年增加1/4”这两个分数的意义，得出的画图思路。其次让学生理解，男运动员是运动员总人数的一部分，可以表示在运动员总人数的线段图上。而今年的班级数与去年的班级数之间是比较关系，不存在包含与被包含的关系，因此各画一条线段表示它们。最后让学生看着画成的线段图，复述实际问题的题意，从中获得解题思路，体会线段图是表示数量关系的手段，是解决实际问题的工具。
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练习十六里设计了一些题组，通过解题和比较，能进一步理解数量关系，明确解题思路。第4题的两问是连续的，先求得已经铺设的米数，就能继续求还要铺设的米数。比较这两问，能明白前一问里求840米的3/5是多少，后一问是从电缆总长里去掉已经铺设的米数。第8题的两小题分别是“面粉比大米少1/5”和“面粉比大米多1/5”，比较两个分数的意义，能理解两个问题的解法有何不同，以及为什么不同。第12题的两小题里都有1/4，一道题里是“用去1/4”，另一道题里是“还剩1/4”。因此，算式5/8×1/4在两道题里的意义不同。虽然两题都是求钢条还剩下的米数，解法不同的道理是很清楚的。第13题里设计了两个意义不同的1/8，其中一个1/8表示的是实际用煤节约的吨数相当于计划用煤吨数的份额，另一个1/8是实际用煤节约的吨数。一个表示的是两个数量之间的倍比关系，另一个表示的是具体数量，因此解决这两个问题的思路和方法也就不同。主要的目的还是让学生进一步认识到：在具体情境中，分数可以表示不同的含义。
四、单元教学课时安排
本单元计划7课时，具体安排如下：
教 学 内 容
1、分数四则混合运算（P.80～82）
2、用分数乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题（P.83～86）
3、整理与练习（P.87～88）
五、单元教学资源推荐
ME博客和小学数学教学网
课 时
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小学数学六年级上册第七单元《解决问题的策略》教学分析稿
一、单元教材基本分析
本单元主要教学用替换和假设的策略解决简单的实际问题。在此之前，学生已经在四年级时学习了画图、列表的策略，和五年级时学习的一一列举、倒过来推想等策略来解决简单的实际问题，并在学习和运用这些策略的过程中，感受了策略对于解决问题的价值，同时也逐步形成了一定的策略意识。这些都为本单元的学习奠定了基础。其中画图和列表的策略，还将继续广泛应用于本单元解决实际问题的过程中。
二、教学重难点的认识及处理意见
从最初的画图、列表到随后的一一列举、倒过来推想，再到现在的替换和假设，苏教版课程标准小学数学教材“解决问题的策略”这一板块内容的编排整体呈现了由直观到抽象、由简单到复杂、由单一到综合的渐变趋势。如何引导学生
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在解决实际问题的过程中感受、领会替换和假设的策略，初步学会运用策略分析数量关系、确定解题思路，并有效地解决问题，尤其是，如何化解学生思维形象性与策略抽象性之间的主要矛盾都是本单元要解决的重难点。
对于六年级学生而言，无论是替换、假设这一策略本身，或者是承载着这一策略的数学问题（具体表现为教材中的例题和习题），其难度是不言而喻的。“鸡兔同笼”问题历来是小学数学奥数题中的经典问题，如今作为习题“堂而皇之”地走进数学教材，这本身便是很好的说明。鉴于此，教学过程中，教师要善于给学生搭建思维的“脚手架”，让学生真正经历解决问题的策略的形成过程，在直观、生动的数学活动中领会替换和假设策略的内涵。
三、对课本主要例题、课内练习及课外作业的选用建议
例1出示了这样一个实际问题：将一定数量的果汁倒入两种不同的杯子中，已知这两种杯子容量之间用分数表示的数量关系，要求每种杯子的容量分别是多少。通过解决这个问题，让学生初步理解并掌握等量替换的策略。解决这个问题的关键，一是能够由题意想到可以把“大杯”替换成“小杯”，或都把“小杯”替换成“大杯”；二是正确把握替换后的数量关系，从而实现将复杂问题转化为简单问题的意图。考虑到学生从已有的知识经验出发，解决这个问题有一定难度，教材在运用图文结合的方式呈现问题后，进行启发：如果把720毫升果汁全部倒入小杯，需要几个小杯？全部倒入大杯呢？提出这一个启发性问题的意义在于：如果进行替换，那么原来的问题就能转化成一个较为简单的问题。接下来的关键是如何进行“替换”。教材通过两个示意图呈现了不同的替换过程，即可以用1个大杯换3个小杯，从而使原来的问题转化为“把720毫升果汁正好倒入9个小杯，每个小杯的容量是多少？”或者把6个小杯换成2个大杯，使原问题转化为“把720毫升果汁正好倒入3个大杯，每个大杯的容量是多少？”
这就是利用“小杯的容量是大杯的1/3”这个数量关系进行的替换活动，把较复杂的问题转化成简单的问题。可见，在学生的经验结构里有替换，不过是潜在的、无意识的。教学的任务是把沉睡的方法唤醒，使隐含的思想清晰起来。这是例题的编写意图，也是设计的教学思路。教材接着提出：为什么要这样替换？替换后问题可以怎样解决？引导他们回顾刚才的替换活动，反思是怎样替换的，清楚地知道可以从哪个数量关系引发替换的思考。这是十分重要的教学环节，使例题的教学意义超越解答一道题目，得到一组答案，体会一种思想方法。
教材让学生列式解答，把替换的思考和方法用算式表示出来。部分学生可能会有困难，他们或者列算式720÷3=240(毫升)，先算1个大杯的容量，或者列算式720÷9=80（毫升），先算1个小杯的容量。教学应指导学生在这两道算式的前面，先写出小杯替换成大杯时的6÷3+1=3（个）或者大杯替换成小杯时的6+3=9（个），用算式表达自己的替换。也通过这样的算式，使替换时的思考数学化、模型化。检验结果要抓住两点进行： 一是果汁总量720毫升，二是小杯的容量是大杯的1/3，只有同时满足这两个关系的答案才是正确答案。教材把检验安排在写答句的前面，有两层意思：一层是先经过检验确认结果，再写出答句是解决
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问题的程序，也是良好的习惯。另一层是一种新的方法是否可行、是否可信要检验，这是严谨的态度与科学的精神，是教学应该倡导和培养的。
第90页“练一练”依然是把一种物体分装在两种不同容器中的实际问题。与例一的区别在于，大盒和小盒的关系不是用分数表示，而是用差数表示。例1中两种物体的数量总和没有变，而这题中的两种物体的数量总和发生了变化。这道题仍然用图画配合文字呈现问题情境，有助于学生进行替换。通过两个大卡通的提问，指导学生开展替换活动。每个大盒比小盒多装8个球，如果把2个大盒替换成2个小盒，会少装8×2=16(个)球，7个小盒一共装100-16=84（个）球。如果把5个小盒都替换成大盒，就会多装8×5=40（个）球，7个大盒一共装100+40=140（个）球。学生看着示意图，容易理清这些变化。例1和“练一练”都有不同解法，这是由于替换策略有不同的具体应用。教材希望学生理解各种解法，体会应用策略的灵活性，但不要求他们一题多解。
例2是一个类似中国古典算题“鸡兔同笼”的问题。通过解决这一问题，让学生进一步体会假设策略在不同问题情境中的应用特点和思考过程。因为学生解答例1时所用的替换策略，本质上就是假设，所以教材在呈现问题后，直接提出“你准备怎样来解决这个问题？” 这个问题的提出不是要求学生说出解题的思路和步骤，而是鼓励学生选择解决问题的形式，正如“猴子”卡通用画图的方法，“兔子”卡通用列表的方法，丰富思考问题的手段。画图和列表都能用于解决实际问题，在前几册教材里已多次教学，这里只要稍加启发，学生能够想到。
“猴子”卡通画了10只船，每只船上画5个圆表示乘坐5人，先假设乘的都是大船，这些船一共可以坐50人，比实际多8人。怎么办？可以从一只船上去掉2人，把这只大船换成小船；又从另一只船上去掉2人，也用小船替换大船……照这样替换4次，得到6只大船和4只小船一共乘42人，和全班人数相同，得到了问题的答案。“兔子”卡通先假设乘了5只大船和5只小船，这些船一共可以乘40人，比全班人数少2人。为了让这2人也乘船，所以把其中1只小船换成大船，得到的答案也是租用6只大船、4只小船。
教材把替换留给学生进行。用“猴子”卡通的方法，可以在图画里划去一些圆，表示减少乘坐的人数，把大船换成了小船。教学时要让学生知道在一只船上只能而且必须同时划去2个圆，体会每划去2个圆就是进行了一次替换。用“兔子”卡通的方法，教材里有一张表格，里面填了“兔子”卡通的假设，空格是让学生替换时用的。要注意的是，教材没有要求学生列式计算。这里有两个原因：一是解决实际问题未必都要列式计算，画图和列表也是解题的形式。二是像例2这样的题算式比较难列，如果列式计算，不仅增加了教学的困难，而且会弱化替换活动。
仅从表面看，两个卡通的解法是不同的。其实都应用了替换策略，都是先提出一个假设，再通过替换进行大船与小船的调整，逐渐逼近，直至获得准确结果。可见，例2应用替换策略的水平，比例1高了一个台阶。教材要学生研究两种方法的共同特点，就是要体会上述的替换策略。
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在“猴子”“兔子”卡通的启发下，学生还可能会提出其他的假设，比如假设10只都是小船、假设1只大船和9只小船、假设2只大船和8只小船……并希望按自己的假设画图或列表解答这个问题，甚至少数学生还会想到别的解题形式。教材满足学生的需要，让他们在小组里交流“还可以用什么方法找出答案”，再次经历解决问题的过程。比比各种假设进行的替换和次数，感受怎样假设能较快地解决问题，进一步体验替换思想和方法
本单元连同例题和“你知道吗”中的问题在内，一共仅给学生提供10道题目，并且其中绝大多数题目所涉及的计算都较为简单。教材这样编排，其意图并不在于要让学生掌握多少实际问题的具体解法，而是侧重于让学生感受解决问题过程中策略的应用。因为这些“数字比较小”的问题，学生即使不会条分缕析的“列式解答”，也能借助画图、列表等已有策略顺利解决，因此教材上不管是例题呈现、习题解读，还是思路点拨、解法剖析，都配有形象生动的实物图和丰富直观的示意图，并且同时列举多种策略，帮助学生采用不同的方法解决问题。在听课过程中，发现有的老师组织教学时始终把目光投放在用新知解决问题，而忽视了画图或列表策略解决问题的优势，使一些原本并不复杂的习题转瞬之间便成了学生眼中的“难题”。
如老师出示这样了这样一道题：4只苹果的价钱等于5只香蕉的价钱，已知一只苹果比一只香蕉贵0.4元。问1只香蕉多少钱？
师：这道题可以采用怎样的策略解决问题？
生：替换！（因为已知信息中“一只苹果比一只香蕉贵0.4元”就是比较典型的“已知差数然后替换”的题型特征之一，所以学生马上回答“用替换的策略解决问题”。）
师：好，那请同学们试一试。
很快地，学生便由最初的信心十足转变为愣神、搁置、皱眉、挠腮……直到数分钟后，才有一两个同学举手，示意自己完成了习题的解答。老师请其中一位学生发言，但她的话语疙疙瘩瘩，感觉难以表达，而其他专心聆听的同学也大都作不解。最后，还是由老师简单地分析解题思路后，匆忙结束。其实，解答这道习题，老师只要利用画图的策略化抽象为具体，直观“替换”，就可以顺利引导学生寻找到数量之间的关系，思考过程也将变得非常简洁明了（○代表苹果，△代表香蕉）。
经过这样三个步骤，不难找到一个香蕉的价钱等于0.4×4＝1.6（元）
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四、单元教学课时安排
本单元计划3课时，具体安排如下：
教 学 内 容
1、替换（P.89～90）例1、练一练和练习第1题
2、假设（P.91～92）例2、练一练
3、练习（P.93）练习第2～4题
课 时
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五、单元教学资源推荐：小学数学教学中的“教学设计”和“视频点播”
小学数学六年级上册第八单元《可能性》教学分析稿
一、单元教材基本分析
现代社会，人们经常面临在不确定的情况下作出决策的情况。小到根据降水概率决定第二天出门是否要带雨具，大到根据某个企业的业绩预计其股票盈利的可能性。虽然作了决定，但其中总是有风险的。《数学课程标准》在统计与概率领域增加了有关概率的初步知识，苏教版课程标准数学实验教材对此做了统筹安排。在二年级上册教学用“可能”“一定”“不可能”等词语描述事情发生的结果，初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的；三年级上册初步认识事件发生的可能性是有大小的，学会用“经常”“偶尔”“差不多”等词语描述生活中一些事情发生的可能性；四年级上册教学事件发生的等可能性和游戏规则的公平性，并能设计公平的游戏规则。本单元继续教学可能性，用分数表示事情发生的可能性有多大。从感性描述可能性到定量刻画可能性，对可能性的体验深入了一步。当然，现在的量化只能是初步的，为以后学习概率略作准备。
二、教学重难点的认识及处理意见
学生在前面的学习中，通过直观的摸球、抛小正方体、转盘游戏等活动，初步体验了事件发生的可能性是有大小的以及等可能性，这是对事件发生可能性大小的定性描述。本单元的教学以此为基础，要求学生能够初步学会用几分之一、几分之几来表示事件发生的可能性大小，也就是对事件的可能性大小能够定量刻画。很显然，能够对事件发生的可能性进行定性描述是定量刻画的基础。而实现从定性描述到定量刻画的提升，关键要借助对事件发生等可能性的认识和对分数意义的理解。
三、对课本主要例题、课内练习及课外作业的选用建议
例1、第94页“试一试”、例2的第（1）个问题，分别用1/2表示猜对与猜错的可能性，用1/2或1/3表示摸到红球的可能性，用1/6表示摸到某张牌的可能性。它们是同一认知层次的教学内容，教材预设的教学策略是，着力教学用1/2表示可能性，把其中的思想方法向其他问题情境迁移，带出用其他分数表示可能性。
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例1选择很简单的现象，用最简单的分数描述可能性。首先用图画呈现情境，乒乓球比赛常用猜左右的方法决定谁先发球。裁判员把1个乒乓球握在手里，不让任何人知道球在哪只手里，给参加比赛的运动员猜。由于乒乓球可能在左手，也可能在右手，所以，有可能猜对，也可能猜错。教学活动是讨论大卡通提出的问题：“这个方法公平吗？为什么？”从中突出猜对与猜错的可能性相等，为接受新知识搭建认知平台。然后教学猜对与猜错的可能性都是1/2，首次用分数表示可能性，是新知识。为什么可以用1/2来表示猜对与猜错的可能性？有两个原因：一是猜的结果只有两种可能，二是两种结果的可能性相等，这两点与1/2的分数意义完全吻合。为了让学生体会用1/2表示猜对与猜错的可能性是合理的，要引导他们进行这样的推理：由于“乒乓球在哪只手里”只有两种可能，所以猜的结果只有“对”或“错”两种可能；由于猜对与猜错的可能性相等，所以猜对与猜错的可能性都是1/2。学生经历这样的推理过程，不仅能有意义地接受新知识，还为下面继续教学可能性打下了扎实基础。
第94页“试一试”编排的两个问题承前启后。左边的口袋里摸到红球的可能性是1/2，这题和例1紧密衔接，编排意图是引导学生把例1里学到的思想方法应用到相似的情境中，加强对可能性是1/2的理解。右边口袋里摸到红球的可能性是1/3，稍微变化些问题情境，开启用其他分数表示可能性的窗口。教学“试一试”要促进学生有条理地思考，先想任意摸一个球有哪几种可能，再体会摸到各个球的可能性是相等的，然后用分数表示摸到红球的可能性。 “试一试”中还可以安排一次比较，为什么两个口袋里摸到红球的可能性分别是1/2和1/3？进一步体验怎样用分数表示可能性。 表面上看，事件发生的可能性从1/2到1/3的变化只是结果的改变，但这样的变化却十分有利于促成学生对用分数表示事件发生可能性认识的提升。
研究表明，如果“用不同的替代物来模拟同一概率问题”，将促进学生对问题的理解，因此，例2创设了摸牌的情境。例2的第（1）题延伸例1和“试一试”，连续提出三个问题，从摸到红桃A的可能性是1/6、摸到黑桃A的可能性是1/6，联想摸到其他每张牌的可能性也是1/6，从而得出摸到每张牌的可能性都是1/6。这个结论包含了三个问题的答案，在认识上是一次概括。教学这道题要注意两点：一是帮助学生得出概括性的结论，正确理解摸到每张牌的可能性都是1/6的含义；二是引导学生回忆例1和“试一试”里用1/2、1/3表示可能性，以及现在用1/6表示可能性，小结这一阶段的教学。 通过解决这样的问题，学生可以比较清晰地体会用分数表示事件发生的可能性大小时，分数的分母表示的意义。
例2的第（2）题，在3张红桃、3张黑桃共6张牌里任意摸1张，求摸到红桃的可能性是几分之几。第95页“试一试”在3个红球和2个黄球里任意摸1个球，求摸到红球的可能性是几分之几。这些问题是本单元第二层次的内容，与前一层次的不同在于，求的是一类对象（红桃牌、红色球）的可能性。既与前一层次的知识有联系，又发展、提高了前一层次的认识。
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教材鼓励学生自主探索，独立解决问题。这样安排的原因，首先是三年级教材里和本单元第一层次的教学中，学生已经具有解决新问题的知识。通过应用旧知识解决新问题，能加强基础、发展数学思维，培养应用知识的能力。其次是与新问题有关的旧知识比较多，解决问题的背景很宽。学生可以从自身实际出发，应用熟悉的旧知识解决问题。由于联系的知识多样，解决问题的思路和方法必定多样，能为教学生成很多有价值的资源。教材仅呈现了三种比较典型的方法。“小鸟”卡通应用了前一题里学到的知识，其想法是红桃牌有3张，分别是红桃A、红桃2和红桃3，摸到每张牌的可能性都是1/6，摸到红桃的可能性是3个1/6。这种思考比较严密，有条理。“兔子”卡通应用了三年级教材里的知识，把3张红桃牌看成一部分，3张黑桃牌看作另一部分。两部分牌的张数相等，都占牌总数的1/2。任意摸1张，摸到红桃和黑桃的可能性相等，所以摸到红桃的可能性是1/2。这种思考充分利用了情境的直观成分，简单快捷。各种解法是相融、相通的，在交流中能互补、共享，有助于学生完善自己的思考，选用最适合自己的方法。其实，在例2的6张牌里任意摸一张，还能提出其他求可能性的问题，如摸到黑桃牌的可能性是几分之几？摸到“A”（或“2”“3”）的可能性是几分之几？适当从中选择几个问题进行解答，进一步巩固求可能性是几分之几的方法。 进一步帮助学生理解用分数表示事件发生的可能性大小时，分数的分子表示的意义。
第95页“试一试”的口袋里红球和黄球的个数不同。任意摸一个球，摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大，这道题用分数表示可能性不等的现象，是例2的又一次变式。在求得摸到红球的可能性和摸到黄球的可能性之后，要组织学生先比比两种颜色球的个数，再比比摸到的可能性。进一步体会红球个数占总数的3/5与摸到红球的可能性是3/5之间的必然联系，黄球个数占总数的2/5与摸到黄球的可能性是2/5之间的因果关系，进一步掌握求可能性的技巧。
第96页第3题，9个数里有5个奇数、4个偶数。先求摸到每个数的可能性，再求摸到奇数的可能性和摸到偶数的可能性，综合练习了全单元教学的知识。第（3）小题里的游戏规则显然是不公平的。在三年级，学生曾经从可能性的感性体验出发作出判断，在这里，要利用求得的可能性，根据两个分数的大小不相等作出判断，体现用分数表示可能性的现实意义。
在用分数表示事件发生的可能性时，如果事件发生的所有可能情况不容易知道，对学生而言是有难度的。为了让学生对这种相对复杂一些的情境中事件发生的可能性有所感受，教材安排了练习十八第6题。创设了小芳和小娟做石头、剪布的游戏情境，让学生思考小芳和小娟获胜的可能性是几分之几。考虑到学生的认知水平，教材提示学生用列表的策略列举游戏中所有可能的情况。如果有学生直接利用搭配的规律列式计算，也是可以的。
四、单元教学课时安排
本单元计划2课时，具体安排如下：
教 学 内 容
课 时
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1、例1、例2以及相应的试一试，练习十八第1、2题（P.94～96）
2、练习十八第3～7题（P.96～97）
五、单元教学资源推荐：小学数学教学中的“教学设计”
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小学数学六年级上册第九单元《认识百分数》教学分析稿
一、单元教材基本分析
“认识百分数”是在学生已经掌握整数、小数，特别是分数的意义、性质和实际应用的基础上进行教学的。在这个单元中，主要学习内容分为四个板块：百分数的意义和读写；百分数与小数、分数的互化；求一个数是另一数的百分之几的实际问题；整理与练习。本单元的最后，还安排了实践与综合应用《算出它们的普及率》。这部分内容的学习与先前所学的分数有着较多的联系，而且，百分数在生活中有着广泛的应用。也就是说，学生在学习本单元之前已经积淀了相当一部分与本单元学习有关的感性认识与知识经验。
二、教学重难点的认识及处理意见
把百分数的意义和实际应用列为全单元的教学重点是教材的一个重要特点。百分数在生产、生活中应用很广，尤其是统计和比较，通常使用百分数。人类历史上，百分数是实际应用中逐渐形成和完善的一种特殊形式的数。把百分数的应用作为重点，能充分体现它的教育价值。本单元只教学一步计算的求百分之几的实际问题，包括求合格率、发芽率、出勤率的问题。至于百分数的其他实际问题，将在六年级（下册）里继续教学。
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。解答百分数的实际问题，是应用百分数的意义，理解概念是正确应用的前提。因此，把百分数的意义作为教学重点之一，是毫无疑义的。
三、对课本主要例题、课内练习及课外作业的选用建议
例1安排了三个层次的学习活动，引导学生逐步理解百分数的意义。第一层次，呈现学校篮球队3名队员在投篮练习中投篮次数和投中次数的统计表，并提出“谁投中的比率高一些”这个问题，引导学生通过比较表中分数的大小作出判断。第二层次，告诉学生：“为了便于统计和比较，通常把这些分数用分母是100的分数来表示。”由此，让学生把表中的几个分数分别改写成分母是100的分数，并比较它们的大小，初步体会百分数的特点和作用。第三层次，在学生初步感知百分数的特点和作用的基础上，揭示百分数的概念，介绍百分数的读写法。
分数和百分数是两个有联系的概念，教材利用它们的共同属性，从分数引出百分数，初步揭示百分数的意义。例1的统计表里是三名篮球队员的投篮情况，应用五年级（下册）里的分数知识，根据各人的投篮次数和投中次数，能分别算
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出投中的次数占投篮次数的几分之几。表格里写出“投中的比率”，让学生体会这三个分数也可以看作投中次数与投篮次数的比。初步接触“比率”这个词，对接受“百分数又叫做百分比或百分率”有好处。比较三人投中的比率是比较三个分数的大小，学生会把异分母分数化成同分母分数。在比较大小和回答实际问题时，要注意教材里的两点。一点是通分前明确指出：为了便于统计和比较，通常用分母是100的分数来表示。在解决问题起始，就突出“分母是100的分数”，把学习重心向百分数上引。另一点是用三行文字分别解释64/100、65/100、60/100的具体含义，突出它们都表示投中次数占投篮次数的一百分之几，充分显示这些分数都是“表示一个数是另一个数的百分之几的数”，为概括百分数的意义积累比较充实的感性认识。
百分数与比也有联系，人们往往把百分数说成百分比，换个角度揭示百分数的本质特征。第99页“试一试”，先把“男生人数是女生的45%”里的百分数，改写成（）/100的形式，再次感受百分数是分母为100的分数。然后写成后项是100的比，进一步体会百分数和分数一样，都表示两个数量间的比较关系。而百分数在表示一个数与另一个数的倍数关系时，采用了特定的表达：分母是100的分数，通常不写成分数形式。如果说“试一试”里把45%写成45∶100，通过45/100为中介，那么练习十九第4题根据百分数写出比、第5题根据后项是100的比写成百分数，都在直接体验百分数与比的联系。
进一步弄清百分数与分数的联系和区别，能加强百分数的概念。第100页第3题，现实材料里的分数的分母都是100，判断哪些分数可以用百分数表示，哪些不能。编制这道题，是为了进一步凸显百分数的意义。当分数具有一个数与另一个数“比倍”（是几倍或是几分之几）的意义时，它与百分数在意义上是一致的，可以写成百分数的形式。当分数不表示两个数量的倍数关系时，不能把它视为百分数。这道题里，75/100表示运走的煤与原来煤的质量关系，即运走煤的吨数是这堆煤原来吨数的75/100，显然它是一个百分数，可以写成75%。97/100吨表示一堆煤的质量，不具备“一个数是另一个数的百分之几”的含义，虽然它的分母是100，也不能把它看作百分数，更不能表示成百分数的形式。通过这些辨别，学生能清楚地知道，百分数是分母为100的分数，而分母是100的分数不一定是百分数，这种感受使他们更关注百分数的本质特征。
教材精心设计练习，使学生对百分数的认识逐渐变宽、变深、变清。第一，牢固确定“1”的概念。第99页“练一练”，涂色的部分和没有涂色的部分分别是大正方形的7%和93%、30%和70%、95%和5%。每个大正方形都表示“1”，涂色的和没有涂色的都是大正方形的一部分，根据图写出的百分数都表示占“1”的百分之几。同一幅图里涂色的部分和没有涂色的部分合起来刚好是大正方形，与图对应的两个百分数之和是100%，等于1。如果把这题里获得的认识应用于第101页第8题，体会“已完成65%”的含义，就能把需要下载的任务（即示意图的整个线条）看作“1”，想到（或算出）还有35%没有完成。带着这些经验继续看第9题的统计图以及其中两个百分数的意义，就能理解佳美超市的营业额是
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“1”（即100%），至诚超市和大达超市的营业额分别相当于佳美超市的120%和85%。第二，百分数只表示一个数是另一个数的百分之几，不表示两个数各是多少。第101页第10题，如果100人表演团体操，其中男生有40人；如果２00人表演团体操，其中男生有80人。两次男生人数都是根据“男生人数占40%”的含义推算出来的，可见，这个百分数只表示参加团体操表演的男生人数与总人数的关系，也就是只表示男生人数在总人数里占的份额。这个关系或份额是确定的。至于男生究竟有几人，还与参加表演的总人数有关。由此可知，第11题两个学校的女生人数不一定相同，尽管两校的女生人数都占学生总数的49%。
百分数与小数的改写是相互进行的，这些改写经常应用于百分数的计算和解决实际问题。例2联系比较数的大小的问题，首先让学生感到小数与百分数的改写是客观需要。如果不把1.15改写成百分数，或者不把110%改写成小数，直接比出1.15和110%的大小是很困难的。例题同时出现把小数化成百分数的过程和百分数化成小数的过程。这是考虑了学生独立解决问题，会有不同的思路，会选择不同的方法，教学应该尊重他们的想法和做法。在交流的时候，学生既介绍自己的思考，也吸收他人的方法，集思广益、资源互补、成果共享，获得完整的知识。教材鼓励学生联系已有的数概念，主动探索改写的方法。如两位小数表示百分之几，1.15可以写成115/100；百分数是分母为100的分数，110%可以写成110/100。只要小数概念和百分数的意义清楚、正确，独立进行这些改写是完全可能的。
第102页“试一试”第1题继续把一位小数和三位小数化成百分数。一位小数表示十分之几，可以直接写成（）/10；三位小数表示千分之几，可以直接写成（）/1000。把十分之几和千分之几的分数都写成（）/100是十分重要的一步，教学要让学生体会这一步是写成百分数的需要，在应用分数的基本性质。教材还通过大卡通的提问，引导学生把写成的百分数与原来的小数比较，研究从小数到百分数，数的外在形式发生了哪些变化。发现小数改写百分数，原来的小数点要向右移动两位同时添上百分号，数的大小不变。把这些变化视为规律，当成改写操作的要领和方法，可以直接应用到小数改写成百分数中去，简化改写的思路与过程。至于百分数化成小数，是小数改写成百分数的反向行为，学生在例2“兔子”卡通的改写中体验了思考与方法。教材要求在得出小数直接写成百分数的方法后，通过逆向推理，得出百分数直接写成小数的方法，并在“试一试”第2题验证和应用，体会去掉百分号的同时，把小数点向左移动两位，数的大小不变。
例3教学分数化成百分数，“试一试”里是百分数化成分数。把分数与百分数相互改写的教学分开编排，是因为两个改写的方法不一样。分开编排，便于教和学。分数化成百分数，一般利用分数和除法的关系，先把分数化成小数，再把小数写成百分数。小数作为分数化成百分数的中间环节，把分数向百分数的改写分解成连续的两步改写，充分利用了已有的知识经验。分子除以分母，有除尽或者除不尽两种可能，例3兼顾了这两种情况，其中前一小题的商是有限小数，后
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一小题的商是无限小数。对除不尽这种情况，教材示范了得数保留三位小数，以及把近似数化成百分数的方法和书写格式，还在底注里作了说明。
百分数改写成分数，一般先把百分数写成分母是100的分数，再约分化简。在教学百分数的表示方法时，教材曾经指出： 百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”。现在把百分数写成分母是100的分数形式，是逆向应用这个知识。“试一试”把三个百分数都先写成（）/100，突出了百分数改写成分数的基本思路。写出的23/100是最简分数，23%化成分数的最后结果就是它。75/100可以约分，75%改写成的分数应该化简为3/4。12.5/100的分子是小数，还要应用分数的基本性质，把分数的分子和分母都变成整数，并约分化简。在“试一试”的最后，要求学生想一想分数改写成百分数要注意什么，百分数改写成分数要注意什么，用这种方式小结例3的教学。“注意什么”应包括改写的基本思路与方法，改写时一些技术性的常规要求和处理习惯。
求一个数是另一个数的百分之几，是百分数的一类简单应用，例4和例5都解决这方面的实际问题。例4教学比较一般的问题，容易找到相比较的两个数量，并和百分数的意义联系起来。例5教学求百分率的问题，如合格率、出勤率等，是百分数意义的专业应用。先编排比较一般的问题，理解求百分之几问题的数量关系和解答方法。以这些知识和经验为基础，教学求百分率的问题，难度就降低了。
例4用条形图表示王红等3人一周中长跑的路程，学生看了条形图，不仅能了解各人跑的千米数，还能引起对旧知识的回忆，这个旧知识就是五下“认识分数”单元例4中求黄彩带长是红彩带长的几分之几？直观地感觉到图中的那些与几分之几有关的数量，如李芳跑的路程是王红的4/5，王红跑的路程是李芳的5/4……这些都是解答一个数是另一个数的百分之几可利用的经验。
求一个数是另一个数的百分之几，可以看作求一个数是另一个数的几分之几的特殊情况。它的问题表述形式、数量关系以及解答方法，都与求一个数是另一个数的几分之几相同。它的特殊表现在答案必须是百分之几，并用百分数的形式表示。例4在条形图的情境中，提出李芳跑的路程是王红的百分之几，引导学生把这个问题与李芳跑的路程是王红的几分之几联系起来，使已有的解题经验迁移到新的问题情境中，想到先算李芳跑的路程是王红的几分之几，再化成百分数。在学生列式计算4÷5=4/5=80%以后，教材注意指导求百分之几的计算技巧：计算4÷5，可以写出小数形式的商，再把小数改写成百分数。让学生体会，如果先写成分数形式的商，还得化成小数，再写成百分数，不如用小数表示除法计算的结果简便。
“试一试”求王红跑的路程是林小刚的百分之几。提出这个问题，教学时要注意两点：一是突出求百分之几问题的数量关系，例4是李芳跑的路程和王红跑的路程比，把王红跑的路程看作“1”；这题是王红跑的路程与林小刚跑的路程比，把林小刚跑的路程看作“1”。王红跑的千米数，在前一个问题的算式里是除数，在后一个问题的算式里是被除数。二是算式5÷7的商是无限小数，应该和前面
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的分数化成百分数一样，遇到除不尽时，商保留三位小数，即百分号前保留一位小数。
例5教学求百分率的实际问题，关键是理解出勤率的含义。教材指出，出勤率就是实际出勤人数占应出勤人数的百分之几，把求百分率解释成求一个数是另一个数的百分之几，学生列式计算出勤率就不会有困难了。在计算田径队周一的出勤率后，自己选择两天的数据计算出勤率，巩固对出勤率的理解。周三、周四的实际出勤人数和应出勤人数相同，算式是40÷40=1，要指导学生把1改写成100%。还要让学生反思，为什么周一、周二、周五的出勤率不是100%？出勤率能高于100%吗？使他们对出勤率的理解深入一步，成为理解其他百分率的基础。第106页“练一练”里求树苗的成活率、说说生活中百分率的例子，练习二十一里还在现实的素材里出现入学率、升学率、普及率、森林覆盖率、合格率……教材没有解释这些百分率的含义，让学生在出勤率的基础上，体会并说说这些百分率的含义，进一步理解百分数的意义，感受百分率在生活、生产中的广泛应用。
实践活动《算出它们的普及率》，是以家庭电话、电脑的拥有情况为内容的一次调查活动。应用百分率的知识分别统计电话普及率和电脑普及率，进一步感受百分数在生活中的应用。并从家庭电话、电脑的普及率，反映我国人民生活质量在迅速提高。所以，这是一次很有意义的实践活动。教材分两段编写：第一段是阅读两张统计表，在阅读时可以简单介绍抽样调查。如电话的普及率，在全国各地的城市、农村随机抽取一部分家庭，调查有多少户安装了固定电话、购买了移动电话，分别计算安装固定电话的户数和购买移动电话的户数占接受调查总户数的百分之几，可以得到全国电话的普及率。第二段组织学生统计班内同学家庭中电话和电脑的普及率，按“小组里调查—全班数据整理—计算普及率”的步骤开展统计活动。鼓励学生设计调查表，特别指出收集和整理的是已装电话和已购电脑的家庭数。
四、单元教学课时安排
本单元计划9课时，具体安排如下：
教 学 内 容
1、百分数的意义和读写（P.98～101）
2、百分数与小数、分数的互化（P.102～104）
3、求一个数是另一个数的百分之几的简单应用（P.105～108）
4、整理与练习（P.109～112）
5、实践活动（P.113）
课 时
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2
2
1
五、单元教学资源推荐：小学数学教学中的“教学设计”“视频点播”。
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