2023年12月2日发(作者：新高三数学试卷推荐理湖南)

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷

数 学

2023.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U{x|x0}，集合A{x|1x2}，则 （A）(,1][2,)

（C）(,1)(2,)

UA

（B）(0,1][2,)

（D）(0,1)(2,)

（2）在复平面内，复数(1i)(ai)对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是

（A）(,1)

（B）(,1)

（C）(1,)

（D）(1,)

x22x3,x≤0,（3）函数f(x)x的零点的个数为

e2,x0（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

x2y2（4）已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为60，则双曲线的离心率为

ab（A）5

2（B）23 （C）3

3（D）2

（5）在△ABC中，“sin2Asin2B”是“△ABC为等腰三角形”的

（A）充分而不必要条件

（C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（6）过直线ykx2上任意一点，总存在直线与圆x2y21相切，则k的最大值为

（A）3 （B）2

（C）

1 （D）（7）已知函数f(x)sin(x)(0，||3

3)，若g(x)f(x)1，2且函数g(x)的部分图象如图所示，则等于

π（A）

3π（B）

6第（7）题

（C）

（D）

π

6π

3（8）2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足v2000ln(1正确的是

M)，

M,m,v之间的关系如图所示，则下列结论m（A）当M3，m800时，v7.9

（B）当M2，m600时，v7.9

（C）当M5，m800时，v11.2

（D）当M3，m600时，v11.2

（9）已知A,B,C是单位圆上不同的三点，ABAC，则ABAC的最小值为

（A）0

第（8）题

11（B） （C）

42（D）1

21(nN)，若存在常数c，对任意的nN，都有anc成立，（10）在数列{an}中，a11，an1kan则正数k的最大值为

1（A）

5（B）11 （C）

43（D）1

2第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》每题5分，共25分。

1（11）在(2x)4的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）

x（12）已知等差数列{an}的公差d0，a14，且a1,a3,a4成等比数列，则an ；其前n项和Sn的最大值为 ．

（13）若函数f(x)cosxsinx在区间[0,a]上单调递减，则实数a的最大值为 ．

（14）抛物线C:yx2的准线l的方程为 ．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则OAP(O是坐标原点)的最大值为 ．

（15）如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P,Q分别为AC1,A1B1的中点，点T在正方体的表面上运动，满足PTBQ.

给出下列四个结论：

① 点T可以是棱DD1的中点； 1② 线段PT长度的最小值为a；

2③ 点T的轨迹是矩形；

④ 点T的轨迹围成的多边形的面积为其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在△ABC中，csinB3bcosC．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若ab6，求c的最小值．

（17）（本小题13分）

跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军．为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：

高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94；

高三（2）班：137，126，116，108；

高三（3）班：163，134，112，103；

高三（4）班：158，132，130，127，110，106．

假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立．

（Ⅰ）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；

（Ⅱ）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望EX；

（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

第（15）题

52a.

2 （18）（本小题14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，AB4，PAPD，E,F分别为BC,PD的中点．

（Ⅰ）求证：EF//平面PAB；

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个

作为已知，求二面角FBEA的余弦值．

条件①：PDEF；

条件②：PD2EF．

3注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

（19）（本小题15分）

x2y2已知椭圆C:221(ab0)的右顶点A(2,0)，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是ab坐标原点，△AOP面积的最大值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）过点H(1,0)的直线PH与椭圆C交于另一点Q，直线AP,AQ分别与y轴相交于点E,F．当|EF|2时，求直线PH的方程．

（20）（本小题15分）

已知函数f(x)lnx(a0)．

ax（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若f(x)≤x1对x(0,)恒成立，求a的取值范围；

a（Ⅲ）若x2lnx1x1lnx20(x1x2)，证明：x1x22． （21）（本小题15分）

已知无穷数列{an}的各项均为正数，当n≤4时，anmax{a1an1,a2an2,a3an3,ana4≤；当n4时，n4,xs}表示x1,x2,x3,,xs这s,an1a1}，其中max{x1,x2,x3,个数中最大的数．

（Ⅰ）若数列{an}的前4项为1,2,2,4，写出a5,a6,a7,a8的值；

（Ⅱ）证明：对任意的nN，均有ana4≤；

n4（Ⅲ）证明：存在正整数N，当nN时，ana4an4． 参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）B

（6）A

（2）A

（7）B

（3）C

（8）C

（4）D （5）D

（9）C （10）B

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（ 11 ）24 （12）5n

10

（13）3

41（14）y （15）②③④

44三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）因为csinB3bcosC，

所以sinCsinB3sinBcosC．

又因为B(0,π)，所以sinB0．

所以tanC3．

又因为C(0,)，

所以C

π．

3（Ⅱ）因为ab6，Cπ，

3由余弦定理c2a2b22abcosC，得

c2(ab)22ab2abcos因为ab≤(π363ab．

3ab2)9，当且仅当ab3时等号成立，

2所以c2≥9，解得c≥3．

所以c的最小值为3．

（17）（本小题13分）

解：（Ⅰ）设事件A1为“高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”．

根据题中数据，高三（1）班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次．

所以P(A1)估计为51．

102（Ⅱ）设事件Ak为“高三（k）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，k1,2,3,4．

根据题中数据，P(A2)估计为212142，P(A3)估计为，P(A4)估计为．

424263根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且

P(X1)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)

P(X0)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)；P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)；

P(X3)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)

P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)；P(X4)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)；

P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)．所以，P(X0)估计为P(X4)估计为157；P(X1)估计为；P(X3)估计为；

24242413；P(X2)估计为．

128

所以EX估计为015371518218131234．

242482412246（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大．

（18）（本小题14分）

解：（Ⅰ）取PA的中点K,连接KF,KB.

因为K,F分别是PA,PD的中点,

所以KF//AD且KF又BE//AD且BE1AD.

21AD，

2

所以KF//BE且KFBE.

故四边形BEFK为平行四边形.

所以EF//BK.

又因为EF平面PAB，BK平面PAB，

所以EF//平面PAB.

（Ⅱ）取AD中点O，连接OP,OE.

在△PAD中，因为PAPD，所以POAD.

又因为平面PAD平面ABCD，

且平面PAD平面ABCDAD，

所以PO平面ABCD. 故OPOA,OPOE.

又在正方形ABCD中，OEOA ,

所以OA,OE,OP两两垂直.

如图建立空间直角坐标Oxyz，

设P(0,0,2t)(t0)，

则O(0,0,0),B(2,4,0),D(2,0,0),E(0,4,0),F(1,0,t).

所以EB(2,0,0)，EF(1,4,t)，

DP(2,0,2t).

设平面BEF的法向量为n(x0,y0,z0)，则

nEB0,2x00,即令y0t，则x00,z04．于是n(0,t,4)．

x4ytz0.00nEF0,0又因为平面ABE的一个法向量为m(0,0,1)，

所以cosm,nmn4．

2|m||n|t16选择条件①：PDEF．

则EFDP0，即22t20．

又t0，所以t1．

此时cosm,n417．

17417．

17由题知二面角FBEA为锐角，所以其余弦值为

选择条件②：PD2EF．

3222则322（2t）2（1）（4）t2，得t21．

此时cosm,n417．

17417．

17由题知二面角FBEA为锐角，所以其余弦值为（19）（本小题15分）

11解：（Ⅰ）因为△AOP面积的最大值为ab，所以ab1．

22 又因为a2，c2a2b2，所以b1，c3．

3x2所以椭圆C的方程为y21，离心率为．

24（Ⅱ）① 当直线PH的斜率不存在时，直线PH的方程为x1．显然△APQ∽△AEF．

因为|PQ|3，所以|EF|223|PQ|2．不合题意．

33② 当直线PH的斜率存在时，设直线PH的方程为yk(x1)．

yk(x1),由2得(14k2)x28k2x(4k24)0．

2x4y4显然0．

8k24k24设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且x12，则x1x2，x1x2．

14k214k2直线AP的方程为yy1(x2)．

x122y12y1，则E(0,)．

x12x12令x0，得点E的纵坐标yE直线AQ的方程为y同理可得F(0,所以|EF||y2(x2)．

x222y2)．

x222y12y2y(x2)y1(x22)|2|21|

x12x22(x12)(x22)2|k(x21)(x12)k(x11)(x22)|

(x12)(x22)6|k||x1x2|2．

x1x22(x1x2)4 所以3|k||x1x2||x1x22(x1x2)4|．

即3k(x1x2)24x1x2x1x22(x1x2)4．

8k224k244k248k2)4|24|． 可得3|k|(14k214k214k214k243k2136k26 化简得3|k|． 解得k．

2214k14k6所以直线PH的方程为x6y10或x6y10．

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,)．

由f(x)lnx1lnx得f(x)．

2axax令f(x)0得xe．

因为a0，所以当x(0,e)时，f(x)0；当x(e,)时，f(x)0．

所以f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)．

（Ⅱ）由a0，依题意，lnxax2x≤0在x(0,)上恒成立．

设g(x)lnxax2x， 12ax2x1则g(x)2ax1．

xx118a118a令g(x)0，得x1，x20（舍）0．

4a4a当x(0,x2)时，g(x)0，所以g(x)在(0,x2)上单调递增；

当x(x2,)时，g(x)0，所以g(x)在(x2,)上单调递减．

故g(x)maxg(x2)lnx2ax22x2．

2又由g(x2)0得ax2x21．

2所以g(x2)lnx2x21x1x2lnx22．

22x21≤0．

2依题意需g(x)max≤0，即lnx2设h(t)lnt又h(1)0，

t1，则易知h(t)在(0,)为增函数．

2所以对任意的t(0,1]，有h(t)≤0；对任意的t(1,)，有h(t)0．

所以0x2≤1，即0118a≤1，解得a≥1．

4a所以a的取值范围为[1,)．

（Ⅲ）由x2lnx1x1lnx20(x1x2)得由（Ⅱ）知，当a1时，所以lnx1lnx20，且x11,x21．

x1x2lnx≤x1，当且仅当x1时取等号．

xlnx1lnx2x11，x21．

x1x2lnx1lnx2x2x12，即x1x220．

x1x2两式相加得故x1x22．

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ）a55，a66，a77，a88．

（Ⅱ）对任意n4，存在i{1,2,若i4或ni4，

则ai或ani又可以写成数列中某两项的和，如aiai1ai2(i1i2i)．

依此类推，存在j1,j2,其中j1j2jkn．

,jk{1,2,3,4}，使得anaj1aj2,n1}，使得anaiani．

ajk， 所以存在p1,p2,p3,p4N，使得anp1a1p2a2p3a3p4a4，

且p12p23p34p4n．

设a4t，则当n≤4时，an≤nt．

4当n4时，anp1a1p2a2p3a3p4a4≤p1tp22tp33tp44t

(p12p23p34p4)tnt．

所以，对任意nN，均有an≤nt，即（Ⅲ）令bnntan，其中tana4≤．

n4a4．由（Ⅱ）知bn≥0，b40.

4 由bi4(k1)bi4k[i4(k1)]tai4(k1)[(i4k)tai4k]

4tai4(k1)ai4k(a4ai4k)ai4(k1)≤0，

得bi4k≥bi4(k1)．

所以，当i1,2,3,4时，bi≥bi4≥bi8≥≥0.

由（Ⅱ）知bn(p12p23p34p4)t(p1a1p2a2p3a3p4a4)

p1(ta1)p2(2ta2)p3(3ta3)p4(4ta4)

p1b1p2b2p3b3p4b4.

若b1b2b3b40，则bn0．此时annt，当n4时，ana4an4.

若b1,b2,b3不全为0，

设Mmax{b1,b2,b3}，m为b1,b2,b3中最小的正数，则bn≤M．

当某个bi0时，必有pi≤设不超过MMM．否则pi，则bn≥pibimM.

mmmM的最大整数为N0，

m则p1b1p2b2p3b3p4b4能表示的不同值的个数不超过(N01)4．

所以，对每一个i1,2,3,4，bi,bi4,bi8,只能取有限多个值.

所以存在k0N，当p≥k0,pN时，bi4p为常数．

令N4k04，则当nN时，bn4bn，即(n4)tan4ntan．

故ana4an4．


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