高数下册常用常见知识点

2023年12月6日发(作者：天津春考数学试卷)

高等数学下册常用常见知识点

第八章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设a(ax,ay,az)，b(bx,by,bz)，

则

ab(axbx,ayby,azbz),

a(ax,ay,az)；

5、 向量的模、方向角、投影：

1）

向量的模：rx2y2z2；

2222）

两点间的距离公式：AB(x2x1)(y2y1)(z2z1)3）

方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,

xyz, cos, cos4）

方向余弦：cosrrr

5）

投影：Prjuaacos，其中为向量a与u的夹角。

（二） 数量积，向量积

1、

bcos数量积：aba

21）aaa

2）abab0

2、 向量积：cab

bsin，方向：a,b,c符合右手规则 大小：a1）aa0

2）a//bab0

运算律：反交换律

baab

（三） 曲面及其方程

——仅供参考 1、

2、

曲面方程的概念：S:f(x,y,z)0

旋转曲面：（旋转后方程如何写）

yoz面上曲线C:f(y,z)0，

22f(y,xz)0

y绕轴旋转一周：22f(xy,z)0

z绕轴旋转一周：3、 柱面：（特点）

F(x,y)0表示母线平行于z4、 二次曲面（会画简图）

F(x,y)0轴，准线为的柱面

z01）

xy2z椭圆锥面：

a2b2x2y2z2221

2椭球面：abc222）

x2y2z2221

2旋转椭球面：aac3）

x2y2z2221

2*单叶双曲面：abcx2y2z2221

2*双叶双曲面：abc4）

5）

xy2z

2椭圆抛物面：ab226）

x2y22z

2*双曲抛物面（马鞍面）：ab ——仅供参考 7）

x2y221

2椭圆柱面：abx2y221

2双曲柱面：ab2ay 抛物柱面：xF(x,y,z)0一般方程：

G(x,y,z)0xx(t)xacostyy(t)参数方程：，如螺旋线：yasintzz(t)zbt空间曲线在坐标面上的投影

8）

9）

（四） 空间曲线及其方程

1、

2、

3、

F(x,y,z)0，消去zG(x,y,z)01、 点法式方程：H(x,y)0，得到曲线在面xoy上的投影

z0（五） 平面及其方程（法向量）

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

 法向量：n(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)

2、 一般式方程：AxByCzD0（某个系数为零时的特点）

xyz1 截距式方程：abc3、

4、

n(A,B,C)n两平面的夹角：1111，2(A2,B2,C2)，

点P0(x0,y0,z0)到平面AxByCzD0的距离：

（六） 空间直线及其方程（方向向量）

1、

A1xB1yC1zD10一般式方程：

A2xB2yC2zD20 ——仅供参考 xx0yy0zz02、 对称式（点向式）方程：mnp 方向向量：s(m,n,p)，过点(x0,y0,z0)

3、

4、

5、

xx0mtyy0nt参数式方程：

zz0pt两直线的夹角：s1(m1,n1,p1)，s2(m2,n2,p2)，

直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

第九章 多元函数微分法及其应用

（一） 基本概念

1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、

3、

4、

5、

6、

多元函数：z极限：连续：f(x,y)，图形，定义域：

(x,y)(x0,y0)(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A

f(x,y)f(x0,y0)

lim偏导数：

方向导数：

其中fffcoscoslxy7、

,为l的方向角。

梯度：zf(x,y)，则gradf(x0,y0)fx(x0,y0)ify(x0,y0)j。

8、

zzdzdxdy 全微分：设zf(x,y)，则xy（二） 性质

1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

——仅供参考 1

2

偏导数连续 函数可微

偏导数存在

充分条件

必要条件

定义

2

4

3

函数连续

2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）

3、 微分法

1） 定义：

u

x

2） 复合函数求导：链式法则

z

若zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，则

v

zzuzvzzxuxvx，yuuyzvvy

3） 隐函数求导：a.两边求偏导，然后解方程（组），b.公式法

（三） 应用

1、 极值

1） 无条件极值：求函数zf(x,y)的极值

fx0解方程组

f 求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令

y0Afxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，

① 若ACB20，A0，函数有极小值，

若ACB20，A0，函数有极大值；

② 若ACB20，函数没有极值；

③ 若ACB20，不定。

2） 条件极值：求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值

——仅供参考

y 令：L(x,y)f(x,y)(x,y) ——— Lagrange函数

Lx0Ly0解方程组

(x,y)02、

1）

几何应用

曲线的切线与法平面

xx(t):yy(t)，则上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的 曲线zz(t)xx0yy0zz0切线方程为：x(t0)y(t0)z(t0)法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线

x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0

曲面:F(x,y,z)0，则上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：

xx0yy0zz0 法线方程为：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)第十章 重积分

（一） 二重积分

1、

2、

3、

4、

1）

定义：f(f(x,y)dlimD0k1nk,k)k

性质：（6条）

几何意义：曲顶柱体的体积。

计算：

直角坐标

1(x)y2(x)， X型区域：D(x,y)axb1(y)x2(y)， Y型区域：D(x,y)cyd ——仅供参考 *交换积分次序（课后题）

2） 极坐标

（二） 三重积分

1、

2、

3、

1）

定义：

f(x,y,z)dvlim0f(k1nk,k,k)vk

性质：

计算：

直角坐标

2）

f(x,y,z)dvdxdyDz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz -----------投影法“先一后二”

f(x,y,z)dvdzabDZf(x,y,z)dxdy -----------截面法“先二后一”

柱面坐标

xcosysinzz3） *球面坐标*

（三） 应用

曲面，f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz

S:zf(x,y),(x,y)D的面积：

n第十一章 曲线积分与曲面积分

（一） 对弧长的曲线积分

1、

2、

1）

定义：性质：

Lf(x,y)dslimf(i,i)si

0i1[f(x,y)(x,y)]dsLLf(x,y)dsg(x,y)ds.

L2）Lf(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds.

(LL1L2).

L1L23）在L上，若f(x,y)g(x,y)，则Lf(x,y)dsLg(x,y)ds.

( l

为曲线弧

L的长度) 4）L3、

dsl计算：

——仅供参考 设x(t),(t)，其中f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为y(t),(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，则

（二） 对坐标的曲线积分

1、 定义：设 L 为xoy面内从

A

到B

的一条有向光滑弧，函数P(x,y)n，Q(x,y)在

L

上有界，定义LP(x,y)dxlimP(k,k)xk0k1nk，

Q(Q(x,y)dylimL0k1,k)yk.

向量形式：2、

LFdrP(x,y)dxQ(x,y)dy

L用L表示L的反向弧 , 则F(x,y)drF(x,y)dr

LL性质：

3、 计算：

设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续,

L的参数方程为

x(t),(t:)，其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数，且y(t),2(t)2(t)0，则

4、 两类曲线积分之间的关系：

设平面有向曲线弧为x(t)L：

，L上点(x,y)处的切向量的方向角为：,y(t)，(t)cos2(t)2(t)则(t)cos，2(t)2(t)，

LPdxQdy(PcosQcos)ds.

L（三） 格林公式

1、格林公式：设区域

D 是由分段光滑正向曲线

L

围成，函数P(x,y),Q(x,y)在

——仅供参考 QPdxdyPdxQdy

D

上具有连续一阶偏导数, 则有xyDL2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则

QP

曲线积分

PdxQdy在G内与路径无关

xyL曲线积分PdxQdy0

L

P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分

（四） 对面积的曲面积分

1、 定义：

设为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数，

n定义

2、

f(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si

0i1计算：———“一单值显函数、二投影、三代入”

:zz(x,y)，(x,y)Dxy，则

（五） 对坐标的曲面积分

1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量

2、 定义：

设为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在上的有界函数，定义

R(x,y,z)dxdylimR(i,i,i)(Si)xy

0i1n同理，3、

1）P(x,y,z)dydzlimP(i,i,i)(Si)yz

0i1n性质：

12，则

2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算：——“一投二代三定号”

RdxdyRdxdy

 ——仅供参考 :zz(x,y)，(x,y)Dxy，zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在上连续，则R(x,y,z)dxdyDxyR[x,y,z(x,y)]dxdy,为上侧取“ + ”，

为下侧取“ - ”.

5、

其中两类曲面积分之间的关系：

,,为有向曲面在点(x,y,z)处的法向量的方向角。

（六） 高斯公式

1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,

的方向取外侧, 函数P,Q,R在上有连续的一阶偏导数, 则有

PQRdxdydz PcosQcosRcosdS 或xyz2、 *通量与散度*

通量：向量场A(P,Q,R)通过曲面指定侧的通量为：PdydzQdzdxRdxdy

PQR散度：divAxyz

（七） *斯托克斯公式*

1、 斯托克斯公式：设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线,  的侧与 

的正向符合右手法则,

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

2、 *环流量与旋度*

环流量：向量场A(P,Q,R)沿着有向闭曲线的环流量为PdxQdyRdz

RQPRQP旋度：rot Ayz,

zx,

xy

第十二章 无穷级数

（一） 常数项级数

1、 定义：

1）无穷级数：un1nk1nu1u2u3un

部分和：Snuku1u2u3un，

——仅供参考 正项级数：un1n1n，unn0

交错级数：(1)un，un0

2）级数收敛：若limSnnS存在，则称级数un1n收敛，否则称级数un1n发散

3）条件收敛：un1nn收敛，而un1n发散；

绝对收敛：2、

1）

un1收敛。

性质：

改变有限项不影响级数的收敛性；

2） 级数a，bnn1n1n收敛，则(an1nbn)收敛；

3） 级数an1n收敛，则任意加括号后仍然收敛；

4）

3、

必要条件：级数审敛法

un1n收敛limunn0.（注意：不是充分条件！）

正项级数：un1n，un0

存在； 1） 定义：limSnnS2）

un1n收敛S有界；

n3） 比较审敛法：u，vnn1n1n为正项级数，且unvn (n1,2,3,)

n 若vn1n收敛，则un1n收敛；若un1发散，则vn1n发散.

——仅供参考 4） 比较法的推论：u，vnn1n1n为正项级数，若存在正整数m，当nm时，unkvn，而vnn1n1n1收敛，则un1n收敛；若存在正整数m，当nm时，unkvn，而vn发散，则un发散.

5）

unl (0l)，而vn收敛，比较法的极限形式：un，vn为正项级数，若limnvn1n1n1nunun0或lim，而vn发散，则un发散. 则un收敛；若limnvnvn1n1n1nnun1l，则当l1时，级数un收敛；则当l1时，级比值法：un为正项级数，设limnun1n1n6）

数un1n发散；当l1时，级数un可能收敛也可能发散.

n1n7）

*根值法：un1为正项级数，设limnnunl，则当l1时，级数un收敛；则当l1时，级n1数un1n发散；当l1时，级数un可能收敛也可能发散.

n18） 极限审敛法：un1n为正项级数，若limnunn0或limnun，则级数un发散；若存nn1在nunl (0l)，则级数un收敛.

p1，使得limnpn1交错级数：

n(1)un，un0满足：un1un (n1,2,3,)，且limun0，莱布尼茨审敛法：交错级数：n1n则级数n(1)un收敛。

n1任意项级数：

un1n绝对收敛，则un1n收敛。

收敛， q1naq

常见典型级数：几何级数：

n0 q1发散， ——仅供参考 p11收敛，

p

-级数：p

n1n p1发散，（二） 函数项级数

1、 定义：函数项级数un1n(x)，收敛域，收敛半径，和函数；

2、 幂级数：axnn0n

收敛半径的求法：liman1nan1, 0R0,

，则收敛半径

,

03、 泰勒级数

展开步骤：（直接展开法）

1）

2）

求出求出f(n)(x), n1,2,3,；

f(n)(x0),

n0,1,2,；

3） 写出n0f(n)(x0)(xx0)n；

n!4）

f(n1)()n1limR(x)lim(xx)0是否成立。

0验证nnn(n1)!x间接展开法：（利用已知函数的展开式）

1nx, x(,)； 1）en0n!2）sinx(1)n0n11x2n1, x(,)；

(2n1)! ——仅供参考 3）cosx(1)n0n112nx, x(,)；

(2n)!1nx, x(1, 1)；

4）1xn01nn(1)x, x(1, 1)

5）1xn0(1)nn1ln(1x)x, x(1, 1] 6）n0n11n2n(1)x, x(1, 1)

7）21xn0m(m1)(mn1)nm(1x)1x, x(1, 1) 8）n!n14、

1）

*傅里叶级数*

定义：

正交系：1,sin在区间[x,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx函数系中任何不同的两个函数的乘积,

]上积分为零。

a0f(x)(ancosnxbnsinnx)

2n1傅里叶级数：1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,)系数：

1bnf(x)sinnxdx(n1,2,3,)2） 收敛定理：(展开定理)

设 f

(x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:

1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;

2) 在一个周期内只有有限个极值点,

则

f

(x) 的傅里叶级数收敛 , 且有

3） 傅里叶展开：

——仅供参考 1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,)①求出系数：；

1bnf(x)sinnxdx(n1,2,3,)②写出傅里叶级数a0f(x)(ancosnxbnsinnx)；

2n1③根据收敛定理判定收敛性。

——仅供参考