2023年12月10日发(作者：溧水区军考数学试卷分析)
引言
数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论. “悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”. 这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义.
1 数学悖论的概述 值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说.
1.1 悖论的产生背景及定义
悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡.
那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：
(1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的；
(2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论；
(3）对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”.因为悖论与诡辩有含义上的不同.后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因.
我们认为，布拉里——弗蒂与希尔伯特关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但是这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论.
数学悖论也叫“逆论”或“反论”，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学悖论.这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定是错了，但实际却是对的；有的看起来是对的，但实际是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境.数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后的逐步发展又动摇了某些数学基础，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩.历史上人民对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革.
1.2研究数学悖论的意义
数学科学历来视为严格、和谐、精确的典型学科，但是数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠信仰的动摇.数学史上的三次数学危机皆由数学产生悖论而引起.悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使那些著名数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考.可以说是悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的.
悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就是不完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平.消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程.
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻.从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的.因而研究悖论的定义、悖论产生背景、解决方案以及对数学发展是非常必要的.
数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关.在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的.在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”.因此，它的发生是必然的、不可避免的.数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义.
2 数学史上三个著名的悖论出现、消除及历史意义
数学拥有“美”的内容，也存在着“丑”的东西，数学悖论就是一种“丑”的表现，追求数学美能促进数学发展，同样的，为了消除它的“丑”必然也能推动数学自身的发展，数学三次危机的克服对数学发展的推动作用，就是历史事实.
数学发展是矛盾运动的结果.爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要.”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化.数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动.数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、试验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化，从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法.数学的历史，就是不断解决数学矛盾又产生新的数学矛盾的过程.从哲学上看，数学是现实世界量的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾.正像恩格斯所指出的：不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾.
比如：正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与或然、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分、几何变换与其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构理性的，等等.当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾.例如：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等.他们可以说贯穿了整个数学发展史，而这些大大小小矛盾的产生，发展到激化，到解决，总是不断为数学产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的危机. 危机实际上是一种激化的、非解决不可的矛盾，而这些矛盾的消除、危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力的基本原理.
纵观数学与数学文化的发展史，数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，它的提出和解决是推动数学发展的重要力量.
2.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的化解
2.1.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的出现
在古希腊毕达哥拉斯时期,数学思维尚处于刚刚形成有理数观念的早期阶段.由于数量概念源于测量,而测量得到的任何量在任何精确度的范围内都可以表示成有理数,所以,人们普遍相信一切量均可用有理数表示.这种认识反映到历史上第一个数学共同体——毕达哥拉斯学派的理论体系中,便凝练为可公度原理,即“一切量均可表示为整数与整数之比”.
毕氏学派深信数的和谐与数是万物的本源,而宇宙间的一切现象都归纳为整数和整数比的信条.然而，毕达哥拉斯定理（勾股定理）却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生.这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派是致命打击，对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它竟然把以前所知道的事情从根本上推翻了.更糟糕的是，面对这一“荒谬”人们竟然毫无办法.这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”. 2.1.2 第一次数学危机的解决
第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”的彷徨之中.为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力.在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得.在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯给出的两个比相等的新定义所解决，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立.欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统，并编写出《几何原本》一书.这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次数学危机的产物.
第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数.由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了一个难听的名字—无理数.不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑.甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”.戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法.这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具.第一次数学危机也随之化解.这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展.复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了.
第一次数学危机持续了两千多年. 1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论.十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论.实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质.实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了.直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！
2.1.3 “毕达哥拉斯悖论”的历史意义
这次危机导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后，许多数学家正式研究了无理数，直到19世纪下半叶，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论.无理数本质才被彻底搞清，无理数在数学中的合法地位才被真正确立，同时也为数学分析的发展奠定了基础.
第一次数学危机还表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示.反之，数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击.于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根.进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识，古典逻辑学应运而生.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.
第一次数学危机的影响是巨大的.首先，它推动了数学及相关学科的发展.例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的.其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引发了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间几乎成为是全部严密数学的基础，这不得不说是数学思想史上的一次巨大革命.
当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘做法，对数学的发展也产生了不利的影响.不可公度量的发现，使希腊人把几何看成了全部数学的基础，在数的研究过程中割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大弊端是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，从而导致了基本理论变的十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.
总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念，并取得重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上取得杰出成就，甚至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础. 2.2“贝克莱悖论”与第二次数学危机的化解
2.2.1 “贝克莱悖论”与第二次数学危机的出现
在希腊的后期，除了研究直线、折线的长度、直线形的面积外，还讨论过曲线的长度和曲线形的面积问题.经过中世纪和文艺复兴，直到十七、八世纪，人们发现下列问题需要处理：
(1)知路程函数，求速度以及它的逆问题；
(2)求——曲线的切线；
(3)求——函数的极值.在研究上述问题过程中逐步产生了微积分.
牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法，有计算微分的明确步骤，确立它是(不定)积分的逆运算，得到牛顿——莱布尼茨公式，这一新生而有力的数学方法，受到数学家们的欢迎，解决了大量过去无法解决的问题，同时，微积分基础的问题也越来越严重了.这就是如何解释“无穷小”的问题，牛顿给出瞬时速度的定义，又给出有效的计算方法：第一步，他用无穷小作分母进行除法运算；第二步，他又把无穷小看作零，以去掉那些包含着它的项，而得到所要的公式.这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在着漏洞，还不能自圆其说.
例如，牛顿当时是这样求函数yxn的导数的：
(xx)nxnnxn1xnn12xn2xx
2n然后把函数的增量△y 除以自变量的增量△x，得到：
yxxxnxnxxxn1nn12xn2xnxxn2xn1
最后，扔掉其中所有含
x的项，就得到函数yxn的导数为nxn1 .
“无穷小”在逻辑推理上是零与非零的矛盾，而牛顿却不能在逻辑上说清楚，他说：“量在其中消失的终极比，严格地说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限.”无论牛顿用数学语言，还是利用物理意义，他都没有说清楚无穷小量是什么.科学家们相信它，因为它使用起来十分有效，得出的结果总是对的，但是由于逻辑上的漏洞，遭到一些人指责，甚至嘲讽与攻击.如1695年，荷兰数学家纽汶蒂在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等.法国数学家罗尔（罗尔中值定理以他的名字命名）也对微积分表示怀疑.然而，对新生的微积分攻击得最厉害的是爱尔兰主教贝克莱，他的观点是“存在即被感知”，认为一切事物不过是人的感知的综合，他的哲学目的是论证上帝的存在.贝克莱在1734
年写了题为《分析学家》，副标题“致不信神的数学家”一书，该书对微积分大肆攻击：“既不是有限量，也不是无穷小，但又不是无”、“是消失了的量的鬼魂”.
尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳，但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱.贝克莱是出于恐惧当时自然科学发展所造成对宗教信仰的威胁，也是由于当时的微积分理论缺乏牢固基础，所以当时的微积分遭到攻击和非难在所难免. 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现的混乱情形叫做“第二次数学危机”，也把贝克莱的攻击称为“贝克莱悖论”.
2.2.2 第二次数学危机的解决
贝克莱悖论的提出与第二次数学危机的出现，使微积分基础问题引起了更大的重视.十七、十八世纪，数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击，受微积分有大用的鼓舞，继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦.在英国，数学家马克劳林对贝克莱悖论做出最重要的回应.虽然马克劳林巨大的努力回答了贝克莱的质疑，但十八世纪的大多数数学家对他这种用几何方法严格论证微积分的工作并不欣赏.后来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等为微积分的基础严密化做了重大贡献，但是微积分逻辑基础在十八世纪结束的时候仍然是一个悬而未决的问题.
十九世纪初，许多迫切的问题基本上得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来.一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础.例如波尔查诺、阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等，波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量，而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；狄利克雷给出了函数的现代定义.在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，完成了一套被认为是天衣无缝的严格刻画了极限的定义.人们放弃了无穷小，而以一个无限过N语言，程刻画的极限理论统一了导数和积分概念.由于这个理论用不着“无穷小”，一切都按程序操作,“无穷小”引起的混乱被消除了.十九世纪八十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限理论的基本定理，这样，数学分析中微积分的理论基础——严格的极限理论建立起来了，微积分的发展从此进入了一个新的阶段.原有的悖论在新的体系下可以圆满地予以清除，第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在十九世纪消除.
第二次数学危机的消除，与第一次数学危机的消除，两者实际上是密不分的.为解决微积分问题，必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论，加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论，这样，第一、二次数学危机就相继消除.
2.2.3 “贝克莱悖论”的历史意义
“贝克莱数学上的悖论”源于他的哲学上的悖论认知.比如,他的著名观点“存在就是被感知”,就包含了存在、感知、观念、精神以及上帝.这里就潜藏着悖论因子:如果从上帝开始,那么,那是《创世纪》的方向,一切以经文为准,即“信仰之道”；相反,如从观念开始,就成了逆式的“哲学之路”了.这样他就混淆了这两条路:论证的路一再被信仰打破；而论证的困境一次又一次地因信仰而解决.事实上,贝克莱的思想处处充满逻辑悖论.对于他的“物质”观念化,我们就有理由追问:他的上帝似乎在虚无中创世,而创造的也是虚无.尽管作为抽象概念的物质并不存在,但在感知的另一头,是否会有某些不可名状的东西?但如果没有被动的观念,哪来主动的精神?既然没有物质实体,精神实体又在何处?如果没有精神实体,无限精神又当如何?最后的归宿就是:没有上帝,他的哲学注定漂无定所,假设有上帝,哲学又将变得可疑；如果哲学的虚拟性贯穿始终,则上帝将止于空洞的说词.可见,他的矛盾式的、悖论式的哲学思想就为微积分的缺口的批判——无穷小悖论做了伏笔.
虽然从贝克莱本人的目的来看,他试图通过对微积分的批判,曲解数学而为神学辩护.但从客观上看,微积分的理论体系还是具有高度的精确性(虽然不十分严谨)和广泛的应用性.贝克莱悖论的出现只是从一个更高层次上对新生的微积分理论体系所提出的更高的要求,这样迫使数学家认真对待这一悖论：柯西用极限法代替了模糊的无穷小量；戴德金在实数论的基础上,证明了极限论的基本定理；魏尔斯特拉斯,康托都加入这个行列，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作.数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，经过了半个多世纪努力，使微积分有了较为可靠的基础——集合论.有了极限理论、实数理论和集合论这三大理论，使微积分这座人类数学史上空前雄伟的大厦建立在了牢固可靠的基础上，并且不断健康的发展，同时也为数学分析奠定了一个严格的基础，进而开辟了下一个世纪函数论的发展道路.
从上面很容易地看出,与其说贝克莱是在自觉地调和宗教与科学的矛盾,还不如说他在反对科学干涉神学,维护神学宗教的地位.一方面,为了抵挡当时科学对神学的冲击,他对牛顿、莱布尼茨刚发明的微积分基础进行了无情攻击和冷嘲热讽；另一方面,有力地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾,动摇了人们对微积分正确性的信念,这在当时数学界引起了混乱,从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机.
但是,从他对微积分乃至科学理论的责难中,也产生了一些对科学发展有利的附属品.他对牛顿流数法中使用的无穷小量概念的批判,正确地指出了牛顿在数学推导上的逻辑漏洞,从而加速了后来数学家对微积分基础的研究；他正确地指出了当时数学家是归纳地而非演绎地推进,他们对自己的每一步既没有给出逻辑,也没有说明理由；他从认识的相对性出发,正确地批判了牛顿的绝对时空和绝对运动理论.这也正是贝克莱悖论的价值所在.
微积分理论基础的建立，在数学上有深远的意义.一方面它消除了微积分长期以来带有的“神秘性”，这个过程虽然是曲折的，但是人们的思想终于突破了形而上学的框框，掌握了无穷小的辩证本质；另一方面，它加速了微积分的发展，产生了复变函数、实变函数、微分方程、变分学、积分方程、泛函分析等学科, 形成庞大的分析体系，成为数学重要的分支，对数学的发展具有深刻的意义.
2.3 “罗素悖论”与第三次数学危机的化解
2.3.1 “罗素悖论”与第三次数学危机的出现
十七世纪，十八世纪，十九世纪都是近代数学蓬勃发展的世纪，但特点有所不同.前两个世纪可以说是迅猛前进，广为开拓的世纪；后一个世纪则可以说是走向更加成熟的世纪，重大理论成果累累的世纪.非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的公理、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等.然而，一波未平，又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年，又卷起了第三次数学危机的轩然大波.
1874年，数学家康托尔创立了一门崭新的数学分支——集合论，集合论是数学上最具革命性的理论，初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.到十九世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家们的承认，并且集合论成功地应用到了其它的数学分支上，集合论可以算最基本的学科.往大的说，它不仅是一切数学的基础，而且是其他科学的基础，有了集合论，数学似乎已经达到了“绝对的严格”.一句话，整个数学的严格性建立在集合论基础之上了.数学家们为这一切而陶醉.在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱兴高采烈地宣布：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”这表达了数学家们当时欣欣自得的共同心情.无穷集合，成了数学的伊甸园.
正当人们在无穷集合的伊甸园中悠哉悠哉，并陶醉于数学绝对严格性的时候，一个惊人的消息迅速传遍了数学界：“集合论是有漏洞的！”一串串数学悖论冒了出来，其中英国数学家罗素1902 年提出的罗素悖论影响最大.
罗素悖论也叫罗素—策梅罗悖论，因为策梅罗也曾同时独立地发现了它.罗素悖论叙述如下：
罗素构造了一个集合：BXXX，也就是说：把一切不以自身为元素的集合X作为元素，这样的集合记为B.罗素问道：B是否属于B？回答试试看！
若BB，即B是B的元素，则B应满足集合B中的元素的条件，于是有BB；
若BB，则已符合集合B的元素的条件，于是又有BB.真奇怪:无论哪种情况,都使我们陷于自相矛盾、进退两难的尴尬境地!
为了使它更通俗易懂罗素本人在1919年将其改写为“塞维尔村理发师悖论”：
李家村上所有有理发习惯的人分为两类，一类是自己给自己理发的，另一类是由别人给他理发的.这个村上有一位有理发习惯的理发师自己约定：“给且只给村里自己不给自己理发的人理发.”
现在问：这位理发师属于哪类人？
容易得出:
(1)若他是属于自理理发的一类，也就是他自己给自己理发的人，那么（P）按他的约定，这位理发师就不能给自己理发，也就是说，他的头发只能由别人来理.因此，他属于由别人给他理发的一类（P），（PP）；
(2)若他是属于由别人给他理发的一类（P），也就是说，他是不给自己理发的人.那么，按他的约定，他的头发就应由这位理发师来理.因此他是自己给自己理发的人了，即他是属于自己理发的一类，（PP）.
（P）这两类人是不同的，按上面推理这个理发师又要给自己刮胡子，又不给自己刮胡子，左右为难.而对集合定义来说是自相矛盾！
应当说在罗素悖论提出之前，集合论就已经出现过悖论.其中在1895年，布拉里——弗蒂和康托尔先后提出了最大序数悖论和最大基数悖论.罗素的信中不仅对引用集合的逻辑提出了挑战，也对只含概念(谓词)而不引用集合的逻辑提出了挑战.罗素的悖论引发了数学界一场非常热闹的探索和争论，可以说它引起了数学王国的一场大地震，动摇了整个数学的基础，使号称“天衣无缝”的数学陷入了自相矛盾的危机，这就是所谓的第三次数学危机.史称“罗素悖论”.
2.3.2 第三次数学危机的解决
罗素悖论像一个颗重磅炸弹，使人们从美梦中惊醒，引起了数学界的极大恐慌.有一位叫弗雷格的数学家，一直主张用集合论作为数学的“永恒的、可靠的基础”.他写了一本书，叫《算术的基本规律》，当他把书稿送去出版社复印后，收到罗素的信，信中阐述了那个悖论.弗雷格看完信后，又到出版社在书稿末尾补写了一句话：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之际，它的基础跨掉了.当本书等待复印之际，罗素先生的一封信把我置于这样的境地.”另一位数学家狄德金也是这样，他写的书《连续性与无理数》的第三版本已送出版社复印，他一知道罗素悖论之后，赶快把书稿抽回来重新审查.还有一位荷兰的著名数家布劳威尔，在知道罗素悖论以后，宣布自己过去对数学的研究成果全是“废话”.连大数学家庞加莱后来也不得改口说：“我们设置栅栏，把羊群围住，免受狼的侵袭，但是很可能在围栅栏的时候就已经有一条狼被围在其中了.”
罗素悖论的出现,震撼了整个数学界.本应作为全部数学之基础的集合论，居然出现了内耗！怎么办？数学家们立即投入到消除悖论的工作中.庆幸的是：产生罗素悖论的根源很快被找到了！原来是，康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构成“一切集合的集体”这种过大的集合，让罗素这样的“好事者”“钻了空子”.
罗素为了解决悖论，曾提出过多种解决悖论的方法.他在《数学的原理》中尝试性地提出了类型论，但是后来抛弃了；接着他又提出非类理论：类和关系完全都禁用.很快他发现非类理论不适当.后来，罗素把悖论加以分析之后得出结论，认为一切悖论的共同特征是“自我指谓”或自指示、自反性.它们都来源于某种“恶性循环”.这种恶性循环来源于某种不合法的集体(或总体或全体).这类集体的不合法之处在于，定义它的成员时，要涉及到这个集体的整体，罗素悖论是最明显的例子.定义不属于自身的集合时，涉及到“自身”这个整体，这是不合法的.这种涉及到自身的定义称为非直谓定义.所以要避免悖论，只需遵循“(消除)
恶性循环原理”，“凡是涉及一个集体的整体的对象，它本身不能是该集体的成员”.根据这个原则，罗素提出了他的分支类型论.但是分支类型论禁例太严，以致无法推出全部数学.为此罗素引进可化归公理：“任何公式都可以和一个直谓公式等价”.这样一来可以不必考虑约束变元的级了.这种类型称为简单类型论.虽然简单类型论也许能够消除悖论，但是缺点很多，非常烦琐，特别是引进可化归公理，具有很大的任意性.因此受到很多批评，不过它的历史作用还是很大的.借助它,罗素才实现了他的逻辑主义纲领，完成了前人没有完成的计划.
1908年，策梅罗采用集合论公理化的方法来消除罗素悖论.他在著名论文《关于集合论基础的研究》中，把集合论变成一个完全抽象的公理化理论.在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直都不加以定义，而它的性质就已经由公理反映出来了.他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进了七条公理：外延公理、初等集合公理、分离公理、幂集合公理、并集合公理、选择公理、无穷公理.策梅罗的公理系统Z把集合限制得使之不要太大，从而回避了比如说：所有“对象”，所有序数等等，从而消除了罗素悖论产生的条件.策梅罗首次提出集合论公理系统，意义是非常重大的.但是，其中有许多缺点和毛病，遭到了各方面的批评.另一方面，许多人对策梅罗公理集合论提出了许多改进意见.首先，策梅罗公理集合论太狭窄不足以满足对集合论的合法需要，有许多集合不能由它产生出来，也不能够由此造出序数的一般理论和超穷归纳法.为了弥补这个缺陷，弗兰克尔加进了一个公理组——替换公理.另外，弗兰克尔还把公理以符号逻辑表示出来，形成了现在通用的ZF系统.一般认为经过弗兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统足够数学发展的需要，但是还需要加一条限制性公理.即除了满足这些公理集合之外没有其他集合.采取这样一个公理是出于一个悖论的启发，这个悖论最初是由法国数学家米里马诺夫在1917年提出的.这个悖论涉及所谓的基础集合，为了排除这种集合，冯•诺伊曼引进基础公理，从而消除了上述悖论.这样定义的集合论(ZF)中，虽然与连续系统假设有关的“幂集公理”不留下疑点,但正因为不包含有很多问题的“选择公理(AC)”，所以纯率性很高，满足了数学发展的需要，避免了许多麻烦的产生.
除了ZF系统外，常用的集合论公理系统还有由冯•诺伊曼开创并由贝耐斯、哥德尔加以改进、简化的集合论公理系统—NGB系统.冯•诺伊曼的处理方法是策梅罗集合论公理化的推广.原来的理论基本保持了下来，但它的形成有所变化.策梅罗、冯•诺伊曼等人的公理回避了集合论悖论中的矛盾，从而消除了以罗素悖论为代表的一系列集合悖论.但是，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决.然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近.可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果.
2.3.3 “罗素悖论”的历史意义
由此看来,集合论悖论的产生不过是对康托尔创立集合论时提出的外延公理和概括原则及其相互间的关系理解不透罢了,即忽视了这两个公理的一致性问题,包括康托尔本人也是如此.但是,集合论悖论的出现,仍有其重要意义,不过,这个意义不在集合论本身,而在于解决集合论悖论的过程,特别是在解决过程中寻找解决的方法,促进了逻辑和数学的发展.
罗素悖论出现后,人们普遍认为这动摇了数学的基础,就连当时像弗雷格、贝克莱等数学界和逻辑界的许多大学者都为之震惊.虽说这只是一场虚惊,但毕竟引导人们去解决这个不成问题的“问题”.罗素于1906年和1908年先后发表了《逻辑悖论》和《基于类论型的数理逻辑》,并提出了解决这一悖论的方案简单类型论.简单类型论的基本思想是:首先把论域分成类型,个体为类型0,个体的集合为类型1,个体的集合的集为类型2,……依次类推,并规定任何对象只能属于更高一个已知类型.这样,在AB中,
A和B总是属于不同级的类型.据此,
AA的表述是不允许的,是无意义的.一句话,简单类型论的中心原则是:一个集合不能是该集合本身的元素,集合不能包含它自身在内.这样一来,罗素悖论自然就可以避免了.其实,这已经是康托尔的外延公理所规定的,但它超出了外延公理的范围,提出了较为详细的理论,特别是对后来他为了进一步解决语义悖论而提出的分支类型论打下了基础,这就促进了逻辑理论的发展.
大约在1905年,罗素为了解决集合论悖论,还提了另外三种理论:
（1）曲折理论:只有当命题函项非常简单时,才能决定一个类,而其它的异常复杂时就不能决定类；
（2）限制大小理论:他通过对命题函数的外延加以限制,否定了所有实体的大全类和导致悖论的无限制的类的存在；
（3）非类理论:他否定了类的存在,把关于对定类的叙述都代之以相应的命题函项的表述.
其中,罗素的限制大小理论实际上是试图通过对康托尔朴素的集合概念加以限制来消除悖论.这一思想在策梅罗那里得到了贯彻和实行.
1908年,德国数学家、公理化集合论的首创者策梅罗发表了他的著名论文《关于集合论基础的研究I》,提出了集合论的公理化.策梅罗企图通过把公理强加给集合来限制集合,避免大全集,从而消除悖论.在该理论中,策梅罗把无限制的概括原则具体化为若干条公理,所有这些公理都不允许采用所有集合的集合.其实,这在康托尔的外延公理已经作了规定.另一方面,这些公理又容许推导出数学家们在集合论方面所需要的东西,这直接回答了当时数学家们迫切要求解决的问题,因而,促进了数学的发展.策梅罗所构建的系统,后来历经弗兰克尔和斯科伦等人的发展,成为了现今著名的ZF系统.
1925年,美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼沿着另一条路线构造了一个不同于ZF系统的另一种集合论的公理系统.后经贝尔奈斯和K·歌德尔的改进和简化,演变成为现今的NBG系统.在这一系统中,他把“集合”和“类”加以区分,凡本身不属于其它集合元素的集合称为“真类”(或“类”)；凡本身可以成为其它集合元素的集合则称为“真集合”(或集合),NBG系统的主导思想是:不像ZF系统那样,通过限制集合的产生的方式来从根本上否认大全集的存在来排除悖论,而是承认大全集的存在,但不让这类过大的总体再成为集合(包括自己)的元素的方法来排除悖论.
综上所述,集合论悖论的出现,并非是人们无限制地使用概括原则所造成的,也不是由于康托尔的集合论不完善所致,而是人们忽略了康托尔集合论中的两个公理(概括原则和处延公理)的一致性所引起的,但这一误解导致了这两大理论类型论和公理集合论的产生.特别是公理集合论,对逻辑和数学的发展都有着重大意义.
第三次数学危机比较圆满地解决了.但是在另一方面，罗素悖论导致的第三次数学危机对数学的影响更为深刻.第三次数学危机造成了关于数学基础的大论战，推动了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生.这场研究数学基础的大论战，终于使人们意识到以集合论为基础的数学最为理想.在解决这次危机的过程中，相继出现了逻辑主义、直觉主义、形式主义；产生了公理化方法、点集拓扑学、数理逻辑等新颖学科，极大地促进了数学的发展，为二十世纪抽象代数、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论、概率论的进一步发展及非标准分析、突变理论、模糊数学的建立奠定了新的理论基础.
3 数学悖论对数学发展的影响
3.1 悖论是科学发展的产物
科学中所出现的悖论我们都可以将它看成是科学发展的产物,是人类认识即将进入一个新阶段的预兆.数学史上三次危机的出现证明了悖论的产生有力地推动了数学的发展,“不可公度线段”的出现迫使人们去进一步认识和理解有理数,同时整数的权威受到了质疑,希腊人转而重视几何的演绎推理,由此完成了数学思想史上的一次巨大革命——建立了几何公理体系,在此基础上,古典逻辑也随之向前迈进.魏尔施特拉斯采用排除无穷小量的办法来解决存在于微积分中的种种缺点,从而解决了由无穷小概念所产生的各种困难.后来集合论成为数学的重要基础,并由此推广到化学、物理、生物等学科,促进了人类科学的巨大发展.而这一切均是建立在对无限系统分析的基础之上的,无限被推上王位,享受着大获全胜的统治,无限在它的扶摇直上中达到了惊人的高度成功.然而集合论悖论的出现使大批的数学家再次投身于悖论的研究,数学哲学的三大流派直觉主义、逻辑主义、形式主义在消除悖论的努力中,提出了更多崭新的数学理论,如能行性理论、类型论、证明论等,其中尤以公理化系统理论成就最大,公理化系统的雏形是由策梅罗提出的确定性、基本集合存、分出、幂集、并集、无限、选择七条公理,加上弗兰克尔的替换公理和公认的一阶逻辑公理构成了公理化集合论的框架,并进而衍生出ZF、ZFC和BG系统.在这些理论的基础之上还产生了被称为数学和逻辑发展里程碑的哥德尔不完全性定理,在推动数学发展的同时也促进了人类认识的提高,解决悖论的过程就是发展人的认识(即发展数学)以克服历史局限性的过程.可以说,解决悖论的过程甚至比发现悖论的过程还要重要.在推动数学发展的同时,悖论的研究也促进了逻辑学和数学哲学的发展,因此,悖论的消除对于推进人类的认识向无限发展,从而实现对无限的认识,最终推动整个科学的发展,无疑具有不可比拟的重大作用.
3.2 悖论与科学理论创新
悖论在整个科学发展史中,起着不可磨灭的作用,它的作用主要表现在检验、完善某一理论体系,促进科学进步.由于悖论大多出现在某一理论体系不够完善的时期,对悖论的研究,不应以推翻或否定此理论体系为目标,而应体现在以消除悖论的方式来检验、加固此理论体系的严谨性.
3.2.1 国外研究概况
古希腊和中世纪的逻辑悖论研究重心是在具体悖论个案及其变体的消解方面,虽然中世纪有学者提及解悖的一般路径,如解悖的“废弃、限定、有条件的解答”的基本思路,但这只是涉及解悖方法论的零散意见.从既有的研究资料看,罗素才是真正自觉地进行解悖方法论思考的肇端者.在消解集合论——语形悖论的过程中,罗素指出:“如果这个解决完全令人满意,那就必须有三个条件.其中第一个是绝对必要的,那就是,这些矛盾必须消失；第二个条件最好具备,虽然在逻辑上不是非此不可,那就是,这个解决应尽可能使数学原样不动；第三个条件不容易说得准确,那就是,这个解决仔细想来应该投合一种东西,我们姑且名之为‘逻辑的常识’,那就是说,它最终应该像是我们一直所期待的.”罗素在此探讨的正是构成一种良好的解悖方案.
公理化集合论ZF系统的奠基人策梅罗从数学本体和形式技术角度论及了解悖的方法论问题.他认为:“要使问题得到解决,我们必须一方面使得这些原则足够狭窄,能够排除掉所有矛盾；另一方面又要充分宽广,能够保留这个理论中一切有价值的东西.”其实,策梅罗所谓的“足够狭窄”和“充分宽广”,类似于罗素解悖标准中的第一、第二两个条件.
在承继前人成果的基础上,苏珊·哈克对解悖一般标准的理解是:“某些矛盾的结论,通过表面上无懈可击的推导,从表面上无懈可击的前提而被推出.” 这表明,对一种解决方案需要提出两个要求:一方面,它应当给出一个相容的形式理论(语义学的或集合论的,视具体情况而论),就是说,要表明哪些表面上无懈可击的前提或推理原则是必须拒斥的(形式上的解决)；另一方面,它还应当提供某些说明,以解释为什么那种前提或原则是可反对的,而不管其表面上如何(哲学上的解决).更进一步的要求是关于一种解决是广度的.它既不应过于宽泛以至于损伤我们必须保留的推论(‘不能因泄愤而伤己’原则),又应充分地宽泛到足以阻止所有相关的悖论性论证(‘不能跳出油锅又进火坑’原则).努力的方向应当是,揭示出那些被摒弃的前提或原则是一种具有某些独立的——即不依赖于其导出悖论这一点而存在的缺陷的东西.重要的是,要避免那种看上去有而实际上没有说明性,而只是给出问题语句贴上‘标签’的所谓‘解决’.与罗素和策梅罗的见解相比较,哈克的探究已具有某种程度的系统性,但仍然不够简洁和明晰.
3.2.2国内研究概况
随着国外科学理论研究的最新成果不断被引入和评介,我国学界在“科学理论”和“悖论研究”两个领域都有了一定的积淀,一些较为突出的成果相继问世.在20世纪80年代初期,辩证逻辑研究者章士嵘就敏锐地发现了悖论研究之于科学理论创新的重要意义:“悖论的出现就破坏了科学理论体系的可证明性和思维前后一贯的逻辑严密性.科学史表明,悖论的出现和解决是推动科学发展的内在的逻辑力量.”此后,这一课题受到学界持续而广泛的关注.如刘永振随后提到“悖论是科学变革的内在逻辑力量”,林可济和郑毓信则更为具体地指出:“对于前提中包含有直接错误的第一类悖论来说,悖论的积极意义是不言而喻的.通过悖论或佯谬引出逻辑矛盾,有助于揭露推理前提中隐含的错误,检查推理过程中的漏洞.这对于增强思维的严密性,推动人们的认识不断向前发展,无疑是有益的.对于前提中并不包含错误,或看上去没有问题的第二类悖论来说,悖论对科学发展的意义就更加重大了.”在分析大量佯谬史料的基础上,桂起权和张掌然甚至得出了“发现佯谬是产生新思想的源泉之一”的重要结论.这些看法虽属零散的研究心得,对于系统地研究悖论维度的科学理论创新机制却具有重要的启发价值.
1990年,张建军结构性地阐释了悖论之于科学理论创新的关系问题:“首先,就科学发现而言,悖论作为一种特殊的反常问题,是创立新的科学理论的重要契机……其次,就科学检验而言,悖论作为一种特殊的逻辑矛盾,是一种重要的证伪手段……再次,就科学发展而言,悖论的发现和解决愈益成为一种重要的推动力量.”无矛盾性是构建科学理论的基本诉求.这种基本诉求决定了任何常态的科学理论都必然要拒斥逻辑矛盾.然而,具有一定复杂度的科学理论都无法彻底摆脱悖论的纠缠.这是因为:从科学理论的组织方式上看,任何科学理论都是以一定的“背景信念”为“奇异点”自组织起来的,而任何“背景信念”却只能是“信其为真”而不是“确证为真”.随着普通的逻辑矛盾不断被清理,科学理论体系逐步严密化,背景信念中的不合理成分就可能暴露出来,危及科学理论“硬核”的悖论就可能生成；从科学理论的构建方法上看,构造科学理论的方法有多种,最为严密的当推公理化方法.
然而,“迄今已经建立起来的最完整的形式系统,一是《数学原理》,一是策墨罗——弗兰克尔集合论系统”,哥德尔却指出,它们的“证明情况并非如此.”哥德尔定理表明,对于一个包含自然数的形式系统,如果是相容的(或协调的、无矛盾的),则是不完备的,而且其相容性不可能在该系统内部得到证明.这个定理的推广意义是,任何复杂到一定程度(只要达到算术系统的复杂程度)的理论,如果是完备的,则是不相容的；如果是相容的,则是不完备的,而且其相容性不可能在该理论内部得到证明.换句话说,任何复杂到一定程度的科学理论,不能说它一定含有悖论,但可以肯定地说,它无法证明自己一定不包含悖论.因此,从悖论维度探究科学理论创新的动力和机制应该具有普适性意义和价值.
3.2.3 未来研究取向
首先,以逻辑悖论为基点,构建演绎科学与经验自然科学相统一的科学方法论理论.逻辑悖论方法论并非只能在演绎科学中发挥作用,一方面,那种分析与综合截然二分的逻辑经验主义的教条,通过奎因的批判,被证明是不能成立的,奎因已经打通了演绎科学与经验自然科学之间的认识隔膜,创建了“没有教条的经验论”的整体主义知识观.另一方面,演绎科学与经验科学在方法论上具有相通性.1906年,罗素在多方探索悖论解决方案时就深刻地体会到:“逻辑斯蒂的方法,从根本上说,跟每一门别的科学的方法是一样的……比方说天文学,只不过天文学里检验不靠直觉而靠感觉来实行.逻辑斯蒂取作演绎开端的‘初始命题’,如果可能,应当是直觉上明显的；但这不是不可少的,无论如何,这总不是采纳它们的全部理由.这理由是归纳的,也就是说,从它们推出的结论中间(包括它们本身在内),许多由直觉显出真,无一由直觉显出假,而且,凡是由直觉显出真的,据人们目力所及,从任何与本系统不一致的不可实证命题的系统都是不能演绎出来的.”现在的问题是要认真吸取国外逻辑悖论研究的教训—— “在逻辑学、数学和哲学的专门文献中,对各种不同类型的悖论的讨论可谓众多.但是这些多种多样的悖论都被单独地、孤立地处理,为每个悖论提供满足其自身需求样式的解决方案.迄今还没有对悖论及其解决方法这一主题作统一的全面处理的尝试.” 如果雷歇尔所感慨的这种悖论研究状况能够得到真正改观,那么以科学理论创新为切入点,从科学逻辑和科学方法论的角度,汲取既往科学理论创新模式,比如逻辑实证主义的标准模式、波普尔的证伪模式、库恩的“范式”模式、拉卡托斯的研究纲领、夏皮尔的关联模式等长处,深入挖掘逻辑悖论在科学理论创新发展中的作用机理,建构一种演绎科学与经验自然科学相统一的动态的科学理论创新发展的悖论模式,进而发挥逻辑悖论研究在演绎科学和经验自然科学,乃至在哲学和社会科学领域中的方法论功用,应该是我们下一步研究的主攻取向之一.其次,尽可能发挥逻辑悖论方法论在实践领域中的应用价值.当代社会是一个力求在对立中寻求合作、实现“共赢”的社会.对立是一种矛盾.若以“悖论度”的视角去审视各种对立关系或矛盾,或可将它们纳入广义逻辑悖论的视域.广义逻辑悖论对悖论性矛盾的“最优”性化解方法,对消解社会生活领域中的种种“矛盾”,进而对统筹城乡发展、统筹区域发展、统筹经济社会发展、统筹人与自然和谐发展、统筹国内发展和对外开放,落实科学发展观,推动实现和谐社会乃至和谐世界,无疑具有十分明显的推广和应用价值.
3.3 数学悖论对数学教育的意义与作用 数学悖论，特别是对中学生和大学生学好数学、逻辑学、物理学和语言学是有很大帮助的,他们可以从古今中外数学思想中、经验中获得激励自己的意志.这里认为数学悖论的教育意义或价值至少有以下几点:
（1）激发学生对数学的学习或研究兴趣；
（2）促使学生更好地了解某些重要的数学思想；
（3）开发丰富多彩的数学学习活动；
（4）帮助学生洞察数学问题(包括悖论)的解决过程；
（5）提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、甚至幽默性质的鉴赏力.
小 结
数学的无穷无尽的诱人之处在于，它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的理论之花.在人类思维和科学发展史上,人们对悖论的研究曾经出现过三次高潮,它们分别出现在古希腊、中世纪和20世纪初以来.悖论研究的范围也在不断地扩大,早期主要在哲学、数学和逻辑学领域,现代已发展到自然科学和社会科学的许多领域.
数学史上由于“悖论”而导致的三次危机与解决过程中，尽管各种数学悖论产生的历史背景不同，表现形式各异，但它们都是某一数学理论原有体系中蕴藏着（逻辑）矛盾的反应.数学家在设法消除这些已被发现的矛盾的进程中更新了数学观念、完善了思维方法、推动了数学理论的发展，在更高的层次上实现了新的和谐统一与完善.
数学要想发展，就一定会有悖论的出现.因此数学悖论是促使数学理论不断追求和谐、不断趋于完善的一种重要的推动力，是给数学的发展带来新的生机和希望的火种，它对数学的发展具有积极的作用.故而我们不应害怕、回避数学悖论，相反，应重视、研究数学悖论，充分使它发挥积极作用，不断地促使数学理论向更高更深的层次发展和完善.我们要记住这样一句名言：要怀疑一切才能有所发现.今后我会将以上知识应用在工作和学习中，不断地提高自己!
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