2023年12月2日发(作者：来宾市初中数学试卷题型)

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高等数学上册试卷A卷

一 填空题（每题2分，共10分）

1．

df(x2)dx=

；

２. 设f (x)=e-x，则f(lnx)dx= ；

x３．比较积分的大小：４. 函数F(x)x110exdx_________(1x)dx；

0112dttn(x0)的单调减少区间为 ；

５. 级数a(xb)nn0(b0)，当x=0时收敛，当x=2b时发散，则该级数的收敛半径是 ；

二、求不定积分（每小题4分，共16分）

1.

dxarctanx； 2．xsinxdx； ３．dx；

3x12x(1x)sinx是f (x)的一个原函数，求xf(x)dx.

x三、求定积分（每小题4分，共12分）

4. 已知１．20cos5xsin2xdx；

２．(x1x2)2dx；

111,当x0时21x３．设f(x)求f(x1)dx

01,当x0时1ex四、应用题（每小题5分，共15分）

1．计算由曲线y=x，x=y所围图形的面积；

２.由y=x3、x=2、y=0所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转体的体积.

3. 有一矩形截面面积为20米2，深为5米的水池，盛满了水，若用抽水泵把这水池中的水全部抽到10米高的水塔上去，则要作多少功?（水的比重1000g牛顿/米3 ）

２２五、求下列极限（每题5分，共10分）

nnn1．lim2；

nn12n222n2n2答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 2 页 共 11 页

2. 设函数f (x)在(0，+∞)内可微，且f (x)满足方程f(x)11xf(t)dt，求f (x)。

1x六、判断下列级数的敛散性（每题5分，共15分）

nnsin3 1.

2nn121； 2.

1nn1n2； 3.

1n1nlnn；

n七、求解下列各题（每题5分，共10分）

xn1

1. 求幂级数的收敛域及和函数；

n1n12． 将函数f(x)1展开成（x+4）的幂级数。

x23x2八、证明题（第一小题5分，第二小题7分，共12分）

1．证明：设f (x)在［0，1］上连续且严格单调减少，证明：当0< <1时，0f(x)dxf(x)dx

012. 设有正项级数un、vn，且un1vn1,(n1,2,)。若级数vn收敛，则级n1n1unvnn1数un1n收敛；若级数un1n发散，则级数vn1n发散。

答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 3 页 共 11 页

高等数学上册试卷B卷

一 填空题（每题2分，共10分）

1．

级数an(xb)n(b0)，当x=0时收敛，当x=2b时发散，则该级数的收敛半径n0是 ；

２．设g(x)edxec，则g(x)= ；

３．比较大小：1x1x21lnxdx________(lnx)2dx；

12d1sinx2dx = ；

４.

dx05. 函数F(x)x112dtt(x0)的单调减少区间为 ；

二、计算下列各题（每小题4分，共28分）

1．x(x31)dx； ２．a22dx； ３．xsinxcosxdx；

12x114．aaxdx； 5．(x1x2)2dx；

1,当x0时21x6．设f(x)求f(x1)dx

01,当x0时1ex1x7．lim(1sin2t)tdt

x0x0

1三、几何应用题（每小题5分，共１0分）

11．求曲线y与直线y=x及x=2所围图形的面积。

x２ 2．设D是由抛物线y=2x和直线x=a，x=2及y=0所围成的平面区域，试求D绕x轴旋转而成的旋转体体积V。

四、物理应用题（每小题5分，共１0分）

1．设一圆锥形贮水池，深10米，口径20米，盛满水，今用抽水机将水抽尽，问要作多少功?

2．有一矩形闸门，它底边长为10米，高为20米，上底边与水面相齐，计算闸门的一侧答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 4 页 共 11 页

所受的水压力。

五、求解下列各题（每题5分，共10分）

sinx1. 已知是f (x)的一个原函数，求xf(x)dx；

x1x2. 设函数f (x)在(0，+∞)内可微，且f (x)满足方程f(x)1f(t)dt，求f (x)。

x1

六、判断下列级数的敛散性（每题5分，共15分）

1.

n1nsin22nn3； 2.

11nn1n2； 3.

1n1nlnn；

n七、求解下列各题（每题5分，共10分）

xn1 1. 求幂级数的收敛域及和函数；

n0n12． 将函数f(x)1展开成（x+4）的幂级数。

x23x2八、（7分） 设有正项级数un、vn，且un1vn1,(n1,2,)。若级数vn收n1n1unvnn1敛，则级数

un1n收敛；若级数un1n发散，则级数vn1n发散。

答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 5 页 共 11 页

高等数学上册试卷C卷

一 求极限或判断极限是否存在(20分, 每题4分)

1.

limx03.

esinx111x2x 2.

lim(x01x21xtanx)

xy21cosxlim2lim

x0xy4 4.

x0(e1)ln(1x)y0x1x)5.

lim(cosx0ln(1x)2

二 求导数(20分, 每题4分)

1.求曲面x2y3z21在点（1,－2, 2）的切平面和法线方程.

2.设z222f(xy,e22xy2z),其中f具有二阶连续偏导, 求.

xyx1t2d2y3. 设, 求2.

ycostdxdy4. 设y(xsinx)1e, 求xdx

sin2xf(x)x5. 设0x0x0, 求f(0)和f

2三 计算下列各题(15分, 每题5分)

x2y2z26 1.求曲线

 在点(1,-2,1)处的切线与法平面方程。

xyz0 2．设一带电平板上的电压分布为u50x24y2试问在点(1,2)处：

（1） 沿哪个方向电压升高最快？速率是多少？

（2） 沿哪个方向电压下降最快？速率是多少？

（3） 沿哪个方向电压没变化？

3．为计算长方形的面积A，今测出其边长分别为：1.732、3.21。若测出的边长值均有3位有效数字，试求出A的值及其绝对误差限，并指出A有几答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 6 页 共 11 页

位有效数字。

四 (15分)

1． （8分）设某工厂生产A和B两种产品，产量分别为x和y（单位：千件）。

利润函数为

R(x,y)6xx216y4y22

已知生产这两种产品时，每千件产品均需要消耗某种原料2000千克，现有该原料12000千克，问两种产品各生产多少千件时总利润最大？最大利润是多少？

2．（7分）下表数据是某作物施肥量和产量的实验数据

施肥量(kg/公顷) 0 28 56 84

产量(t/公顷) 10.1 13.2 15.3 17.1

试利用二次插值，计算在施肥量为40kg/公顷时，产量近似值。

五 (15分)

2x4yz01. (7分) 求通过直线且垂直平面4xyz1的平面方3xy2z90程.

2. (8分) 设函数yy(x)由方程ylnyxy0确定, 试判断曲线yy(x)在点(1,1)附近的凹凸性.

六 证明题(15分)

1．（7分）设

12222(xy)sin

xy022xyf(x,y)

0

x2y20证明

f(x,y)在(0,0)点可微。

12.(8分)设f(x)在[0,1]上可导, 且f(0)f(1)0,f()1. 证明: 存在一点2(0,1), 使f()1

答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 7 页 共 11 页

高等数学下册试卷A卷

一、填空（共10分，每小题2分）

1．设数项级数un收敛(un0)收敛，则数项级数n1nn1 ；

un1n2．若级数a(xb)(b0)，当x=0时收敛，当x=2b时发散，则该级数的收敛半n0径是 ；

3．设设是平面3x2yz6在第一卦限部分上侧，用第一类曲面积分表示下列第二类曲面积分P(x,y,z)dydz ；

12224．A(xyz)i(yxz)j(zxy)k，则rotA ；

5．写出y3y2ysinxx3的特解形式y* ．

二、计算下列各题（共10分，每题５分）

1．计算曲面积分2．侧．

三、判断下列级数的敛散性（共15分，每题5分 ）

n11n1．ln12 ； 2．1； 3．lnn1nn1n1n1其中为平面x(z4x2y)dS，yz1在第一卦限内的部分．

242222232zaxy，其中为的外xzdydz(xyz)dzdx(2xyyz)dxdy32(1)3nnn．

四、计算下列各题（共15分）

xn11．求幂级数的收敛区域及和函数（收敛域5分，和函数5分）

n1n12．将f(x)1展开成（x+4）的幂级数（5分）．

x23x2x, 0xT2五、（10分）以为周期的函数f(x)的傅氏级数x2, x0答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 8 页 共 11 页

a0(ancosnxbnsinnx)

2n1１．求系数a0，并证明an0(n1,2,)；（5分）

２．求傅里叶级数的和函数S(x)在[,]上的表达式及S(2)的值．（5分）

六、解下列各题（10分，每题5分）

xyxxyy1．求方程eedxeedy0的通解．

22．求方程y6xy2y0，满足初始条件yx01的解．

七、（10分）设f(x)具有二阶连续导数，f(0)0,f(0)1，且

2fxxyxyxyfxydxdy0

为一个全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

八、解下列各题（共10分，每题5分）

1．设二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的三个特解为：x,求此方程满足初始条件y(0)4,y(0)3的特解．

2．求方程xyxyyx通解。

九、（10分）设空间有界闭区域是由光滑闭曲面围成，用平行z轴的直线穿过内部时与其边界最多交于两点。R(x,y,z)在闭区域上具有一阶连续偏导数，证明

22ex,e3x，RdxdydzR(x,y,z)dxdy

z

答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 9 页 共 11 页

高等数学下册试卷B卷

一 求偏导数(24分)

1. 设uxy,vxy,zeuv，求dz.

xyz0dydz 2. 设yy(x)及zz(x)由方程组2确定，求及.

22dxdxxyz12z2z 3. 设zf(esiny)具有二阶连续偏导数且满足22e2xz，求f(u).

xyx 4. 设ze2x3z2y，求3二 求积分(24分)

zz.

xy 1. 计算x2eydxdy，其中D是以（0，0）、（1，1）、（0，1）为顶点的三角形区域.

D2 2. 设L为y=x2上从（0,0）到（1,1）的一段，求Lyds.

3. 设L为ya2x2上从(a,0)到(a,0)的一段弧，求y2dx.

L

三 判别敛散性(10分)

n! 1.

n

n1n 2.

sinn12

nn1n四 (10分)

12x展成x的幂级数

12x五 求方程的解(10分)

将f(x) 1. 求方程x3yx2y4xy3x2的通解.

2. 求y

六 (10分)

求函数f(x,y)x22y2x2y2在区域D:x2y24,y0上的最大和最小值.

七 (12分)

设f(u,v)具有一阶连续偏导数，满足fu(u,v)fv(u,v)uv，求y(x)e的一阶微分方程并求解.

答案参见我的新浪博客：/s/blog_

2x1yy2lnx的通解

xf(x,x)所满足第 10 页 共 11 页

高等数学下册试卷C卷

一、填空（每小题3分，共15分）

1．设uxyz，则div(gradu)__________.

2．f(x)在a，b上连续，F(x)(xt)f(t)dt，xa，b , F(x) a x 。

3．设f(x)是以2为周期的周期函数，在一个周期上的表达式为f(x)x7，则f(x)的傅立叶系数a7＝ 。

4．已知二阶常系数线性齐次微分方程的通解为Yc1c2ex，则该微分方程的最简形式为 。

5．已知L为圆周x2y21，则Lds=二、计算下列各题（共16分）

.

lim1．naxcostdt02x21(sinx)6 2．1 41xcosx4x2dx

3．0sin3xsin5xdxxarctanxdx

三、计算下列各题（每小题5分，共20分）

max(xeD2,y2)dxdy其中1．计算D(x,y)0x1,0y1。

2．曲面是锥面xzx2y2介于z0和z=1之间的部分，其面密度为z，计算曲面的质量

3．计算(eLsinymy)dx(excosym)dy，其中L为从点(2a,0)沿x2y22ax的上半圆到点(0,0)的曲线弧。

4．计算积分y2dydzz2dxdy，其中为曲面zx2y2被平面z1截下的有限部分的下侧。

四、解下列各题（共19分）

1．判断下列级数的敛散性（9分）

答案参见我的新浪博客：/s/blog_ 第 11 页 共 11 页

2nn!11n(1)；

(2)n；

(3)(1)

nlnn(2n1)2nnn1n1n12．解下列各题（10分）

1n2n（1）求幂级数(1)x的收敛半径。

nn134x展开成x的幂级数。

213x2x五、解下列微分方程（每小题5分，共15分）

（2）将函数f(x)1．求y2dx(xy1)dy0的通解。

2．求y3y2ye2x的通解

3．已知：(0)1，试确定函数y(x)，使曲线积分y[ex(x)]dx(x)dy与L2路径无关。

六、（7分）

在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，其净增长率为0.003 。从某时刻（t=0）开始，有一群鲨鱼来到这些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度与当时大马哈鱼总数的平方成正比，比例系数为0.001。而且，由于一个不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。

(1)建立数学模型以分析该海域大马哈鱼总数随时间的变化。

(2)设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在t时会发生什么情况。

七、（8分）如果某地区AIDS病人数的净增长率为r，已知该地区在1988年有这种病人161个。①问：到2000年该地区这种病人的总数有多少？②若该地区每年为每个AIDS病人所提供的费用是m元。问：从1988~2000这12年间，该地区为这种病人所提供的总费用有多少？。

答案参见我的新浪博客：/s/blog_


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