2023年12月2日发(作者：新海中学真题数学试卷答案)

全国甲卷数学试卷2023理科一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合Axx3k1,kZ，Bxx3k2,kZ，U为整数集，CUAB（）A.xx3k,kZC.xx3k2,kZ2.若复数ai1ai2，则a（B.xx3k1,kZD.）A.1B.0C.1）D.23.执行下面的程序框图，输出的B（A.21B.34C.55D.894.已知向量ab1，c2且abc0，则cosac,bc（C.25D.45）A.15B.255.已知等比数列an中，a11，Sn为an的前n项和，S55S34，则S4（）A.7B.9C.15D.306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.21D.0.17.“sinsin1”是“sincos0”的（22）A.充分条件但不是必要条件C.充要条件B.必要条件但不是充分条件D.既不是充分条件也不是必要条件x2y28.已知双曲线C：221a0,b0的离心率为5，其中一条渐近线与圆abx22y32A.151交于A,B两点，则AB（55C.255）B.D.4559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.3010.已知函数fx为函数ycos2x线y向左平移个单位所得函数，则yfx与直6611x的交点个数为（22B.2）A.1C.3D.411.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，AB4,PCPD3，PCA45,则PBC的面积为（）A.22B.32C.42D.52x2y212.已知椭圆1，F1，F2为两个焦点，O为坐标原点，P为椭圆上一点，96cosF1PF2A.253，则OP（5B.302）C.35D.352二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.若yx1axsinx2为偶函数，则a2.23x2y314.设x,y满足约束条件2x3y3，设z3x2y，则z的最大值为xy1.15.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.16.在ABC中，AB2，BAC60，BC平分线，则AD.6，D为BC上一点，AD为BAC的三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列an中，a21，设Sn为an的前n项和，2Snnan.（1）求an的通项公式；（2）求数列an1的前n项和Tn.n218.（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，A1C平面ABC，ACB90.A1到平面BCC1B1的距离为1.（1）求证：ACA1C；（2）若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.319.（12分）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.326.1实验组：5.414.418.426.36.617.320.126.46.819.220.426.56.920.221.526.87.823.623.227.08.223.824.627.49.424.524.827.510.025.125.027.610.425.225.428.311.226.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：m对照组试验组m（ii）根据22列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据：PK2k0k00.102.7060.053.8410.0106.63520.（12分）已知直线x2y10与抛物线C：y2pxp0交于A,B两点，2AB415.（1）求p；（2）设C的焦点为F，M,N为C上两点，且MFNF0，求MNF面积的最小值.421.（12分）已知函数fxaxsinx,x0,.3cosx2（1）当a8时，讨论fx的单调性；（2）若fxsin2x，求a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。（10分）22.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知点P2，1，直线l：点，PAPB4.（1）求的值；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程.x2tcos（t为参数），l与x轴、y轴正半轴交于A,B两y1tsin（10分）23.【选修4-5：不等式选讲】已知fx2xaa，a0.（1）解不等式fxx；（2）若yfx与x坐标轴围成的面积为2，求a.5


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