小学数学思想

2024年1月24日发(作者：醴陵市2019年数学试卷)

小学数学思想

1.数形结合思想

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”能够借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促动学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。 例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又能够通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都表达了数形结合的思想。

2.集合思想

把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定水准抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所表达。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，能够看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

3.对应思想

对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，实行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

4.函数思想

我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。

函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于协助学生形成初步的函数概念。

5.极限思想

极限的思想方法是人们从有限中理解无限，从近似中理解精确，从量变中理解质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，理解它有重要意义。

现行小学教材中有很多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这个部分内容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是

无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是能够无限延长的。

6.化归思想

化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。客观事物是持续发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。

如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等；在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。

7.归纳思想

在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时使用归纳思想，既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。所以，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。

如：在教学“三角形内角和”时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。这就使用归纳的思想方法。

8.符号化思想

数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存有的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。假如说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操实行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。

人教版教材从一年级就开始用“□”或“（ ）”代替变量 x ，让学生在其中填数。例如： 1 + 2 = □ ，6 +（ ）=8 ， 7 = □+□+□+□+□+□+□；再如：学校有7个球，又买来4个。现在有多少个？要学生填出□ ○ □ = □

（个）。

符号化思想在小学数学内容中随处可见，教师要有意识地实行渗透。数学符号是抽象的结晶与基础，假如不理解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而生畏。所以，教师在教学中要注意学生的可接受性。

9.统计思想

在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。例如，求平均数是一种理想化的统计方法。我们要比

较两个班的学习情况，以班级学生的平均数作为该班成绩的标志是有一定说服力的，这是一种最常用、最简单方便的统计方法

10.分解思想

分解思想就是先把原问题分解为若干便于解决的子问题，分解出若干便于求解的范围，分解出若干便于层层推动的解题步骤，然后逐个加以解决并达到最后顺利解决原问题的目的的一种思想方法。如在五年级《解决问题的策略》教学中“倒退着想”的解题策略就表达了这种思想。

11.转换思想

转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，这里的变换是可逆的双向变换。在解决数学问题时,转换是一种非常有用的策略。对问题实行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论;转换能够是等价的,也能够是不等价的,用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步,第二步要对转换后的问题实行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。假如采用等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这个步。

如计算：2.8÷113÷17÷0.7，直接计算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数方便，故可将原问题转换为：28/10×3/4×7/1×10/7，这样，利用约分就能很快获得此题的解。

再如：某班上午缺席人数是出席人数的1/7，下午因有1人请病假，故缺席人数是出席人数的1/6。问此班有多少人？此题因上下午出席人数起了变化，解题遇到了困难。如将上午缺席人数转换成是全班人数的1/7 1=1/8，下午缺席人数是全班人数的1/6 1=1/7，这样，很快发现其本质关系：1/7与1/8的差是因为缺席1人造成的，故全班人数为：1÷（1/7-1/8）=56（人）。

12.分类思想

分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法表达对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如三角形能够按边分，也能够按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的准确、合理的分类取决于分类标准的准确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构

13.类比思想

数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。类比思想不但使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而能够激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”

如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习

又如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也能够理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b（h）÷2。类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积能够理解为底面积×高÷3

14.假设思想

假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法.利用这种思想能够解一些填空题、判断题和应用题.有些题目数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手.可先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件实行推算，根据数量出现的矛盾，最后找到准确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后能够使得要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

15.比较思想

人类对一切事物的理解，都是建筑在比较的基础上，或同中辨异，或异中求同。俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。”小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系和区别。

在教学分数应用题中，教师要擅长引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，能够协助学生较快地找到解题的途径。

16.有序的思想方法：

思维要有序，即要按照一定的顺序，有条理地，全面地观察和思考问题。假如思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。

例16、用5、6、7、8这四个数字中的三个，能组成几个被5整除的三位数？

17.演绎思想：

演绎也是理智的活动，但是和直观不同，它们不是理智的单纯活动，必须先假定了某些真理（或定义)之后，然后再凭借这些定义推出一些结论。譬如：我们知道了三角形的定义和定理之后，能够推出一个三角形内角的总和等于两直角之和。所以直观的功用是在于提供科学和哲学的最新原则。而演绎则是应用这些原则来建立一些定理和命题。演绎并不要求像直观所拥有的那种直接表现出来的证明，它的确实性在某种水准上宁可说是记忆赋予它的。它通过一系列的间接论证就能得出结论，这就像我们握着一根长链条的第一节就能够理解它的最后一节一样。

这就是说，直观是发明的基本原则，演绎是导致最基本的结论。不过也有哲学家认为演绎是有缺陷的，因为由同一个原则往往会演绎出不同的结论，所以理应有另一个方法来纠正它。这个纠正的方法就是经验，即所谓的诉诸事实。总来说之，直观就是找到最简单、最无可怀疑、最无须辩护的人类知识元素，即发现最简单和最可靠的观点或原理。然后对它们实行演绎推理，导出全部确实可靠的解决方案。

18.模型思想

是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分使用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。

培养学生用数学的眼光理解和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

数学模型方法不但是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法。用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描绘现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式。按广义的解释，从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型。但按狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型。比方根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程实行求解。

19.整体思想方法：

对数学问题的观察和分析应从宏观和大处着手，整体把握，化零为整往往不失为一种更便捷更省时的方法。

例17、128人实行乒乓球淘汰赛，最后决出冠军。比赛共要实行几场？

例18、抗日战争时期军属李奶奶家住着一个八路军伤病员，李奶奶家有20个鸡蛋和一只每天能下一个蛋的母鸡。若伤病员每天吃两个蛋，问最多可连续吃多少天？

例19、李师傅喝了一杯酒的，然后加满饮料，又喝了一杯的，再倒满饮料后又喝了半杯，又加满饮料，最后把一杯都喝了。李师傅喝的酒多还是饮料多？

20.运动的思想方法：

运动是永恒的，静止是相对的。用运动的、变化的眼光看事物，往往最能把握事物间的本

质联系。如几何中的点到线，线到面，面到体，变化的根本原因就在一个“动”字。

例20、甲、乙两人同时绕着一座长8米，宽5米的长方形住屋围墙边作同向前进，起初的位置如图，已知甲每秒行3米，乙每秒行2米。问甲何时最早能看到乙？（甲不许回头看）

例21、在一只装满水的瓶子里插着一根小棒，当把这根小棒轻轻向上提起4厘米时（小棒仍保持一部分浸没在水中），这时小棒上浸湿部分在水面以上的高度（ ）。 [A、比4厘米短 B、比4厘米长 C、正好是4厘米]

21.变中抓不变的思想方法：

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓“不变量”作为突破口，往往问题就可迎刃而解。

例24、科技书和文艺书共630本，其中科技书占20%，后来又买了一些科技书，这时科技书占总数的30%，又买来科技书多少本？

例25、甲、乙两班共120人，若甲班调4人到乙班，则两班人数相等，求甲、乙两班原来各几人？

除了以上介绍的这些主要思想方法外，小学数学还有其它的一些思想方法，如倒推法、类比法、列举法、假定法、实验法等。

必须指出，有时同一个数学问题能够用不同的数学思想方法解决，而有时一个数学问题的解决却必须同时用到几种不同的数学思想方法。如以上例25，就能够应用变中抓不变、倒推、转化、数学模型等多种思想方法解答。

22.系统思想

系统思想是由若干想到关联、想到作用的要素（或成分）构成具有特定功能的有机整体。系统思想的方法便是要求人们从系统要素相互关系的观点，从系统与要素之间、要素与要素之间，以及系统与外部环境之间的相互关联和相互作用中考察对象，以得出研究和解决问题的最正确方案。

系统是由相互联系，相互依赖，相互制约和相互作用的若干事物和过程所组成的一个具有整体功能和综合行为的统一体；要素是构成系统的基本单位，系统内各要素之间是相互联系，相互影响的有机整体，假如一个要素发生变化，其他要素也会相应变化。

例如：应用题教学中的“购物问题”。物品的“单价”、“数量”和“总价”这三个要素就组成了一个系统。数量不变，单价提高，总价变大；单价不变，数量增加，总价变大；单价不变，总价增加，数量变多。“单价、数量、总价”这三个要素之间具有下列关系：

单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量= 单价

把几个概念通过联系来整体把握，由具体到抽象，再由抽象到具体，发现其规律，更好地理解和掌握概念及其相互关系。这些要素不是孤立的、零散的，而是有联系的，有影响的，在教学过程中要引导学生学会理解概念，找到联系，发现规律，只有这样才能更好地掌握所学知识，做到融会贯通，事半功倍。