模糊数学在实际生活中的应用

2023年12月9日发(作者：宁波市高三数学试卷)

浅谈模糊数学及在实际中的一些应用

摘要：美国数学家查德早在1965年发表论文《模糊集合》，标志着模糊数学的诞 生。这门新兴学科的产生使得心理学、语言学等过去与数学不相关的学科能够用数 学化进行处理和描述，大大地扩展了数学的应用范圉。LI前，模糊数学体系已基本 形成。系统学科的发展需要促使模糊数学的产生，在多变量的大系统中，模糊性与 精确性构成了一复杂的矛盾体，模糊数学成为描述模糊信息强有力的数学工具。在 深入研究中发现，在决策对象与约束条件较为模糊的情况下，将模糊数学理论应用 于决策研究，便成为模糊决策技术工具，大大降低了决策研究的难度系数，从而获 得更好的决策结果。本次研究主要阐述模糊数学的产生及基本理论，从而分析模糊 数学在考古、医学、模糊识别等领域的实际运用。

关键字：模糊数学；发展；应用；

Abstract ： American mathematician Chad as early as in 1965 published

Mfuzzy set\", marks the birth of fuzzy

mathematics・ The generation of this new discipline in the past such as psychology, linguistics and

mathematical unrelated disciplines can use mathematical processing and description. enlarges the application

range of the mathematics・ At present, fuzzy system has basically formed・ System subject to prompt the

development of fuzzy mathematics, in multivariable system, fuzziness and accuracy make a contradiction of the

complex, fuzzy mathematics to describe fuzzy information powerful mathematical tool. Found in the study,

objects and constraints in the decision under the condition of relatively fuzzy, fuzzy mathematics theory was

applied to the decision-making research, become fuzzy decision technology tools, greatly reduced the difficulty

coefficient of decision-making research, in order to gain better decisions・ This research mainly elaborated and

the basic theory of fuzzy mathematics, so fuzzy mathematical analysis in archaeology, medicine and the

practical application of fuzzy recognition and other fields.

Key words:

fuzzy mathematics; Development; Application

一、模糊数学的产生和发展

经典集合论表明，集合是山确定的元素组成，元素本身具有确定性，且元素与 集合的关系也是十分明确的，要么属于，要么不属于，不存在这之间的情况。但 是，现实生活中，很多事物具有模糊性、不确定性，这样的集合理论局限于模糊概 念的处理。数学家们为了能够解决模糊概念的问题，经过苦苦专研，最终美国控制 论专家扎德教授创立了模糊数学，并提出了 “模糊数学集合论”。I」前，模糊数学 体系已基本形成。系统学科的发展需要促使模糊数学的产生，在多变量的大系统 中，模糊性与精确性构成了一复杂的矛盾体，模1 / 10

糊数学成为描述模糊信息强有力的 数学工具。

模糊数学的历史已有22年之久，这门新兴学科的发展迅速，将心理学、语言学 等过去与数学不相关的学科联系起来，大大地扩展了数学的应用范用。随着模糊数 学理论研究和发展，模糊数学的应用也得到了很大的扩展，广泛应用于心理学、社 会学、生态学、语言学等学科领域。在深入研究中发现，在决策对象与约束条件较 为模糊的情况下，将模糊数学理论应用于决策研究，便成为模糊决策技术丄具，大 大降低了决策研究的难度系数，从而获得更好的决策结果。

二、模糊数学的基本理论及其方法

扎德在论文“Fuzzy Sets”正视了经典集合论中元素与集合的关系：要么属 于，要么不属于。［3］而生活中事物之间的关系并不是\"非此即彼”那么简单，具有 一定的复杂性和不确定性，因此他提出了 “模糊数学”的概念来对事物间的关联进 行描述，因此模糊数学的理论便是以模糊集为基础。

（一）集合及其特征函数

1、集合

论域E中具有的属性P元素作为一个整体称为集合。

（ii

）集合的运算

集合中常用的运算包括：交（门）、并（U）、补

2、特征函数

对于论域疋上的集合力和元素x,如有以下函数:

1,

0,

则称JLU（X）为集合A的特征函数

特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度。可以用集合来表达各种概念的精 确数学定义和各种事物的性质。

（二）模糊集合

查德以精确数学集合论为基础，推出“模糊集合”的概念，用作表现模糊事物，在 模糊集合中建立运算及其运算规律。在模糊集合中，元素与集合的关系不单单只是 “属于”或“不属于”，从属条件不再是“0”或“1”，有明确的界限，而是介于

“0”和“1”之间，存在过度的元素。

2/10

1、概念的模糊性

许多概念集合具有模糊性，例如：

年龄：年轻、年老

成绩：好、差

外貌：美、丑

身高：高、矮

头发：长、短

2、 隶属度函数

如果一个集合的特征函数“A（X）不是｛0,1｝二值取值，而是在闭区间［0, 1］中 取值，则“A（X）是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数，称为隶属度函 数。

1,

当

X G A

“A （x） = v 0 v “A （x） < 1,当x在一定程度上属于A

0,

当

xe A

隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。

3、 模糊子集

①设集合A为集合U的一个子集，x为U中的任意元素，用隶属度函数 “八切来表示％对月的隶属程度，则称A是〃的一个模糊子集，记为

4 =

｛/（兀）,切。模糊子集通常简称模糊集。其中模糊集A渥山隶属函数“八切 唯一确定，一般将二者看为等同的。

②模糊集可以用下式表示

1 °

Zadeh表示法3/10

“如+迪+ +如

召 吃

或

其中

兀

A =

PA(X]

)/*I + 仏(*2 )/*2 +••・ + /

J/心

竽表示兀对模糊集』的隶属度,

兀（=1,2,…屮）称为模糊子集月的支

持点，“+”称为查德记号，而不是加号表示求和。

例1假设以人的岁数作为论域=[0,120],单位是“岁”,那么“年轻”,“年

老”，都属于〃的模糊子集。其隶属函数表示为:

(0

仏（\"）=“年轻”（u）h [ |

-25「

(25

(*)

心矿“年老”如

0

—

(0

z

n-50Y

1 +

5丿」

2—-1

(50

仕）表示：年龄不超过25岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值是1,则表示一 定属于这一子集；而年龄超过25岁的人，子集“年轻”的隶属函数值按

■ \"I\"1

1 + （三兰] 来进行计算，例如年龄为40岁的人，隶属函数值

40-2S

丫

pA （M = 40） = 1+ ----- =0.1 o

r

、夕-1-1

同理，ih(**)得出：仏(u= 55) = 0.5, (w = 60) = 0.8

o

三、模糊数学在实际中的一些应用

现实生活中会遇到很多界限不分明的问题，且不能单纯地规定某种确切的理 论去解决，因为问题具有复杂性和模糊性，这时模糊数学理论变成了解决问题的 有效工具。运用模糊理论解决模糊问题能有更好的效果。[5]人脑具备较强的处 理模糊信息的能力，能在大量的模糊信息中进行识别处理较为复朵的问题。识别 模式是讣算机系统运用的主要模式，在现代生活中，计算机通过运用模糊技术可 以大大地提高系统识别能力，模糊技术的应用也越来越广发。在模糊数学的应用 中，经常应用于聚类分析、模式识别和综合评判等方面。

（一）模糊数学在考古学的应用4/ 10

随着科学的不断进步，考古学也在不断发展，为了保证考古结果的精确性，需 要对考古材料进行定量分析，而分析中发现，考古对象所提供的信息便是大量的模 糊信息，不确定的因素会影响结果的判断，因此模糊数学的理论与方法也广泛应用 于考古研究。

虽然在考古研究工作中，我们也需要会用模糊概念的能力去处理一些模糊现 象，但处理的大多数问题，都是考古中较为简单的问题，在处理较为复杂的考古研 究工作时，比如分类，我们需要一种更为有效的方法进行处理。

模糊数学是以严格的数学方法和模糊的对象为基础，能处理并加工模糊信息， 并作出确切的判断。因此考古学便利用模糊数学进行研究丄作，得出明确的结论。 特别是分类问题，文物的分类是一种较为复朵的问题，它的困难在于划分的模糊 性，因此分类问题可以尝试用模糊数学方法解决。

例2识别岩石的类型

岩石按抗圧强度可以分成五个标准类型：很差（A）、差（应）、较好

（A3）、好（人）、很好（A5）O它们都是X=[0,+co）上的模糊集，其隶属函数如

0 200 400 600 900 1100 1800 2000

(kg/cm)

2图2-1

1

£ (%)= <

0

100

100 v XV 200

x>200

-丄(x - 200)

0

x

200

A2(X)

=

<

1

----- (x - 600)

200

0

0 < X < 200

200 < x < 400

400

600 <

x

5/10

—(x-400)

200

1

^3M

=

<

-丄(x-1100)

200

0

400 < x < 600

600 v x S 900

900

其它

900

丄(x-900)

200

1

人（兀）=<

-丄(x-2200)

400

0

0

A(x) = <

— (x-1800)

400

1

1100

1800

其它

XV 1800

1800c xS 2200

2200 < x

今有某种岩体，经实测得出其抗汗强度为X上的模糊集隶属函数为（图2-

2) o

—(x-712)

88

1

-丄(x-1120)

120

0

712

800

1000

其它

试问岩体3应属于哪一类。

计算B与AQ = 1~5）的格贴近度，得:

匕（外3） = 0, N*

（卷B） = 0,

D

（人

“） = 0.6&

NX（A5,B）

=

0

亿（心3） = 1

按择近原则，3应属于止类，即B属于“较好”类（A类）的岩石。

6/ 10 （二）模糊数学在医学图像处理中的应用

|_|询医学越来越发达，医疗技术也越来越先进。医学上主要利用医学图像对病 患的病情进行诊断。医学图像也涉及了很多的医疗技术，其中图像分割是将图像中 的区域用不同的颜色区分开，且每部分区域颜色的不同代表的意义也不同。图像分 割法是以区域的跟踪分割理论为基础发展的。［6］而医学图像是根据病患的图像与医 学正常解剖结构图像进行空间位置及对应点的对比，进一步找出病变的位置。但 是，在临床试验中发现，医学图像所提供的信息不够全面，医生不能完全把握病患 的病情，所以需要将图像经过多种加工方式结合在一起，为医生提供全面的信息， 这种技术称为图像融合技术。

医学图像经过处理，最终通过观察得出结果的是人，而人本身具有主观意识，所以 结果也带有一定的主观性。因此，在处理和分析图像的过程中，必须要结合图像本 身体征和人的视觉特性进行分析。而图像成像是一个多对一映射的过程，使得图片 难免会有较大的模糊性和不确定性，主要体现为图像灰度以及儿何图形结构的模糊 性和不确定性。［6］这种不确定性是随机的，如果要用精确数学进行计算模糊性的概 率是十分困难的。因此模糊数学走进了医疗技术。通过将模糊数学的理论应用于医 学图像的处理中，使得医学图像的模糊性和不确定性降低，这种技术也得到了很好 的发展。随着不断地研究和技术整合，模糊数学的分支在图像处理中得到了充分的 应用，其运用主要综合了模糊推理系统、模糊聚类算法、典型火灾的模糊识别等儿 种算法。此技术主要运用在图像滤波的融合，与传统的图像处理方法相比，图像的 清晰度和确定性大大增强，促进了医学的进一步发展。

随着科学技术的发展，模糊图像处理技术的应用也越来越地广泛。针对模糊数学理 论如何增强图像的效果这一问题，首先要考虑的是如何增强图像边缘，模糊数学应 用图像处理方法主要是模糊边缘检测方法，通过建立函数关系，增强图像模糊边 缘。同时对于灰度的处理主要使条纹对比度增强，从而改变图像的效果强度。在增 强条纹对比度所运用的模糊算法上要是通过调整图像灰度，校正图像的直方分布动 态范围进行的。

增强图像的对比度是分析和处理图像所要考虑的主要问题。增强图像的对比度 的模糊算法编制了一个映射，从空间域经过一个局部算子映射到模糊域，从而通过 凸函数使得像素之间的差异扩大。［8］将图像局部的对比度定义成像素的平均值或者 像素的绝对值，最终，图像经过一系列处理和模糊算法在通过映射回到空间域，图 像便完成了提升的经历。

(三) 模糊模式识别的应用

在生活中，我们处理问题时，会做出预测和判断，但这往往基于问题的确定条 件和不确定信息的研究。如:疾病的诊断、文物的鉴定、电路的故障等一些列问题都 离不开分析，7/10

而我们需要根据获得的已知信息判定研究对象的类型，解决这一类型 的问题称为“模式识别”。

传统的模式识别问题，除了根据统计方法还用语言进行识别，而这都具有一定 的局限性和模糊性，影响了问题模式的识别。［9］模糊数学应用于模式识别问题，用 模糊集合表示标准类型，使得识别结果更为合理，这种识别模式称为模糊模式识 别。

其中模式识别主要包括以下三个步骤：

第一步：提取识别特征。从识别对象中提取出与识别相关的特征，然后再将不 同的特征设成固定的度量值，然后所识别出的特征便有了对应的度量值，注意提出 的特征是否合理，这会使识别效果受到影响。

第二步：标准类型是模糊集，建立标准类型对应的函数关系，将识别特征与标 准类型联系起来。

第三步：为确定识别对象所属的标准类型，还应建立识别原则：要规定不同标 准类型间的界值(最大隶属度原则)：如果识别对象超出标准类型的范畴，便采取 就近原则。［10］

例3通货膨胀的识别问题

通货膨胀状态一般分为以下五个类型：重度通货膨胀；中度通货膨胀：通货稳 定；恶性通货膨；胀轻度通货膨胀。用疋(非负实数域，下同)上的模糊集

A,川依次表示以上五个类型,其隶属函数分别为：

1,

A.(X)= r

rX-5p_

1 ［expH^-n,

0 < x v 5

、u

y _ 1 A

x>5

A2(X) = exp(-(―-—)2)

A3(x) = exp(-(X-20)2)

A4(x) = exp(-(A ~

>)2)()A,、

exp［-( -------------- )\'), 0 < x < 50

x >50

企(x) = ［円］5

■

1,

其中对x>0,表示物价上涨x%o问x = &40时，分别相对隶属于哪种类

型？

解

A, (8) = 0.3679 , A2(8) = 0.8521

A3(8) = 0.0529 , A4(8) = 0.0032

8/10

^(8) = 0.0000

^(40) = 0.0000 , A2(4O) = 0.0000

£(40) = 0.0003 , A4(40) = 0」299

人(40) = 0.6412

山最大隶属原则可知，x = 8时应相对隶属于A?,即物价上涨8%时，为轻度通 货膨胀；\'*U = 40时，应相对隶属于应，即物价上涨40%时，为恶性通货膨胀。

总结

在传统的概念里，人们惯于运用精确数学和随机数学对事物的运动规律进行研 究。但在解决实际问题的过程中，我们发现我们在分析问题时所获取的大量信息具 有模糊性和不确定性，以前人们总将这种不确定性忽略或用自己的方式规定它，但 这都影响了最终的结果。现实客观事物的复杂性也决定了事物的很多不确定和模糊 性特征，随着计算机、电子设备的更新和发展，人们的需求也越来越高，要想使电 子设备能具备像人的大脑一样加工处理模糊信息的能力，能将人的自然语言转化为 对汁算机的指令，模糊数学占着不可缺少的重要位置，那么，研究模糊数学是必然 的。模糊数学已然走进了我们的生活，但对模糊数学还存在不同的看法，模糊数学 理论还不够成熟，还需要不断地完善，但是它有利于模糊问题的解决，同时也应用 于各个领域，都取得了很好的效果，这足以证明它的应用前景是十分广阔的。

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