2019年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷

2023年12月3日发(作者：15年江西高考数学试卷)

2019年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷

一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分

1．（3分）有一透明实物如图，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（ ）

A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）

，则BC的长为（ ） 3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝

A．8 B．12 C．13 D．18

4．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论中错误的是（ ）

A．图象在二，四象限内

C．当﹣1＜x＜0时，y＞8

B．图象必经过（﹣2，4）

D．y随x的增大而减小

5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（ ）

A．25° B．35° C．50° D．65°

6．（3分）三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形第1页（共37页）

的周长是（ ）

A．11 B．13 C．11或13 D．11和13

7．（3分）如图，正方形ABCD内接于圆O，点P在上．则∠BPC＝（ ）

A．35° B．40° C．45° D．50°

8．（3分）我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（ ）

A． B． C． D．1

9．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx+m的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．（3分）在方格图中，称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．如图，在5×5的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形，sin∠ACB的值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：（共4个小题，每小题4分，满分16分）

11．（4分）若＝，则＝ ．

12．（4分）如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，且AE：ED＝3：2，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，若FD＝2，则CD＝ ．

第2页（共37页）

13．（4分）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，若“图象数”是[m﹣1，m﹣2，m﹣3]的二次函数的图象经过原点，则m＝ ．

14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为 ．

三、解答题（15小题每小题12分,16小题6分,共18分)

15．（12分）（1）计算：﹣22+3tan30°﹣|（2）解方程：x（x﹣5）+x﹣5＝0

16．（6分）为进一步普及我市中小学生的法律知识，提升学生法律意识，在2018年12月4日第五个国家宪法日来临之际，我市某区在中小学举行了“学习宪法”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得优胜奖的学生共400名，请结合图中信息，解答下列问题：

（1）求获得一等奖的学生人数；

（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场法律知识抢答赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．

﹣2|+（）0

四、解答题：（每小题8分，共16分）

第3页（共37页）

17．（8分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．

（1）求城门大楼的高度；

（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

18．（8分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于G，交线段AC于H．

（1）若∠P＝25°，求∠AHG的大小；

（2）求证：AE2＝EF•EP．

五、解答题：（每小题10分，共20分）

19．（10分）如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B，A两点，与双曲线y＝（k≠0）相交于C，D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝4，OE＝2．

（1）求直线和双曲线的表达式；

（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标；

（3）求点D的坐标，并结合图象直接写出不等式﹣x+m≥的解集．

第4页（共37页）

20．（10分）如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．

（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；

（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．

①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；

②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．

六、填空题（每小题4分，共15分）

21．（4分）设m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，则m3+2020n﹣2019＝ ．

22．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为 ．

23．（4分）如图，将矩形OABC置于一平面直角坐标系中，顶点A，C分别位于x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），双曲线y＝（k≠0）在第一象限中的图象经过BC第5页（共37页）

的中点D，与AB交于点E，P为y轴正半轴上一动点，把△OAP沿直线AP翻折，使点O落在点F处，连接FE，若FE∥x轴，则点P的坐标为 ．

24．（4分）如图，AC是▱ABCD的对角线，且AC⊥AB，在AD上截取AH＝AB，连接BH交AC于点F，过点C作CE平分∠ACB交BH于点G，且GF＝＝ ．

，CG＝3，则AC

25．（4分）如图，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，A点坐标为（0，2），点D是线段OC上的一个动点，连结AD，以AD为边作矩形ADEF，使边EF过点B，连接OF，当点D与点C重合时，所作矩形ADEF的面积为6．在点D的运动过程中，当线段OF有最小值时，直线OF的解析式为 ．

七、解答题（本题满分8分）

26．（8分）雾霾是对大气中各种悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，雾霾的主要危害可归纳为两种：一是对人体产生危害，二是对交通产生危害．雾霾天气是一种大气污染状态，成都市区冬天雾霾天气比较严重，很多家庭兴起了为家里添置“空气清洁器”的热潮，为此，我市某商场根据民众健康要，代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台．

第6页（共37页）

（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；

（2）请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？

（3）若政府计划递选部分商场，将销售“空气清洁器”纳入民生工程项目，规定：每销售一台“空气淸洁器”，财政补贴商家200元，但销售利润不能高于进价的25%，请问：该商场想获取最大利润，是否参与竞标此民生工程项目？并说明理由．

三、解答题：（本题满分10分）

27．（10分）如图，在等边△ABC中，点E，F分别是边AB，BC上的动点（不与端点重合），且始终保持AE＝BF，连接AF，CE相交于点P．过点A作直线m∥BC，过点C作直线n∥AB，直线m，n相交于点D，连接PD交AC于点G．

（1）求∠APC的大小；

（2）求证：△APD∽△EAC；

（3）在点E，F的运动过程中，若＝，求的值．

四、解答题（本题满分12分）

28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点，过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，试判断在点E运动过程中，以点O，B，E，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM交x轴于点M，当点E在抛物线上B，D之间运动时，连接EA交DM于点N，连接BE并延长交DM于点P，猜想在点E的运动过程中，MN+MP的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明第7页（共37页）

理由．

第8页（共37页）

2019年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分

1．（3分）有一透明实物如图，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】细心观察图中几何体摆放的位置和形状，根据主视图是从正面看到的图象判定则可．

【解答】解：正面看，它是中间小两头大的一个图形，里面有两条虚线，表示看不到的轮廓线．

故选：B．

【点评】本题考查了立体图形的三视图，要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．

2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（ ）

A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）

【分析】根据顶点式直接可得顶点坐标．

【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣4是抛物线的顶点式，

∴顶点坐标为（3，﹣4）．

∴则答案为C

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的解析式的特点解决问题．

第9页（共37页）

3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（ ）

A．8 B．12 C．13 D．18

【分析】先根据∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝即可得到BC的长．

，即可得到AB的长，再根据勾股定理，【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝∴＝，

，

∴AB＝13，

∴BC＝故选：B．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．

4．（3分）已知反比例函数y＝﹣，下列结论中错误的是（ ）

A．图象在二，四象限内

C．当﹣1＜x＜0时，y＞8

B．图象必经过（﹣2，4）

D．y随x的增大而减小

＝12，

【分析】依据反比例函数的性质以及图象进行判断，即可得到错误的选项．

【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣8＜0，

∴图象在二，四象限内，故A选项正确；

∵﹣2×4＝﹣8，

∴图象必经过（﹣2，4），故B选项正确；

由图可得，当﹣1＜x＜0时，y＞8，故C选项正确；

∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣8＜0，

∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误；

故选：D．

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第第10页（共37页）

二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（ ）

A．25° B．35° C．50° D．65°

【分析】直接利用菱形的性质得出∠C的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．

【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝130°，

∴∠C＝130°，BC＝DC，

∴∠DBC＝∠CDB＝（180°﹣130°）＝25°．

故选：A．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．

6．（3分）三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）

A．11 B．13 C．11或13 D．11和13

【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．

【解答】解：方程x2﹣6x+8＝0，

分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，

可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，

解得：x1＝2，x2＝4，

当x＝2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；

当x＝4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6＝13．

故选：B．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

7．（3分）如图，正方形ABCD内接于圆O，点P在上．则∠BPC＝（ ）

第11页（共37页）

A．35° B．40° C．45° D．50°

【分析】由此图可知，正方形正好把圆周长平分为四等分，即把圆心角平分为四等份，所以∠BPC等于90°÷2＝45°．

【解答】解：连接OB、OC；

∵四边形ABCD是正方形，且内接于⊙O，

∴∠BOC＝90°；

∴∠BPC＝∠BOC＝45°；

故选：C．

【点评】此题主要考查了正方形的性质及圆周角定理的应用．

8．（3分）我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（ ）

A． B． C． D．1

【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．再根据概率公式计算即可求解．

【解答】解：从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的有正三角形，正四边形，正六边形，一共3种，

故概率是3÷4＝．

故选：C．

【点评】考查了概率公式，平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正第12页（共37页）

四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

9．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx+m的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＜0，所以m＜﹣1，然后根据一次函数的性质判断一次函数y＝mx+m的图象所在的象限即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，

∴m≠0且△＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＜0，

∴m＜﹣1，

∵一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．

10．（3分）在方格图中，称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．如图，在5×5的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形，sin∠ACB的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据等积法可以求得BD的长，然后根据锐角三角函数即可解答本题．

【解答】解：作BD⊥AC于点D，作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如右图所示，

∵每个小正方形的边长都是1，

∴AB＝2，CE＝1，AC＝∵，

，BC＝，

第13页（共37页）

∴BD＝，

∴sin∠ACB＝故选：C．

＝，

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

二、填空题：（共4个小题，每小题4分，满分16分）

11．（4分）若＝，则＝ ﹣ ．

【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式进行计算即可得解．

【解答】解：∵＝，

∴设x＝2k，y＝3k，

∴＝＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．

12．（4分）如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，且AE：ED＝3：2，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，若FD＝2，则CD＝ 3 ．

【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：∵▱ABCD，

∴AB∥CF，AB＝CD，

∴△ABE∽△DFE，

第14页（共37页）

∴∴，

，

∵FD＝2，

∴CD＝3，

故答案为：3

【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．

13．（4分）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，若“图象数”是[m﹣1，m﹣2，m﹣3]的二次函数的图象经过原点，则m＝ 3 ．

【分析】根据新定义得到y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m﹣3，然后把原点坐标代入可求出m的值．

【解答】解：根据题意得y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m﹣3，

把（0，0）代入得m﹣3＝0，解得m＝3．

故答案为3．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为 6 ．

【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4可知AB＝2BC＝8，再由作法可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．

第15页（共37页）

【解答】解：如图，连接CD，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝8．

由题可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，

∴∠CDB＝∠CBD＝60°，DF＝BD，

∴AD＝CD＝BC＝4，

∴BD＝AD＝4，

∴BF＝DF＝2，

∴AF＝AD+DF＝4+2＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

三、解答题（15小题每小题12分,16小题6分,共18分)

15．（12分）（1）计算：﹣22+3tan30°﹣|（2）解方程：x（x﹣5）+x﹣5＝0

【分析】（1）原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值；

（2）方程利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：（1）原式＝﹣4+3×（2）分解得：（x﹣5）（x+1）＝0，

可得x﹣5＝0或x+1＝0，

解得：x＝5或x＝﹣1．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

第16页（共37页）

﹣2|+（）0

﹣2++1＝2﹣5； 16．（6分）为进一步普及我市中小学生的法律知识，提升学生法律意识，在2018年12月4日第五个国家宪法日来临之际，我市某区在中小学举行了“学习宪法”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得优胜奖的学生共400名，请结合图中信息，解答下列问题：

（1）求获得一等奖的学生人数；

（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场法律知识抢答赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．

【分析】（1）先用400除以优胜奖的学生的百分比得到获奖总人数，然后用获奖总人数乘以一等奖所占的百分比得到获得一等奖的学生人数；

（2）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出选到A，B两所学校的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）获奖学生人数为400÷40%＝1000（人），

获得一等奖的学生人数＝1000×（1﹣20%﹣25%﹣40%）＝150（人）；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，恰好选到A，B两所学校的结果数为2，

所以恰好选到A，B两所学校的概率＝＝．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

四、解答题：（每小题8分，共16分）

17．（8分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．

第17页（共37页）

（1）求城门大楼的高度；

（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；

（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得A，B之间所挂彩旗的长度．

【解答】解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，

由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，

∵∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠DAE＝45°，

∴∠DAE＝∠ADE，

∴AE＝DE，

设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，

∵tan∠B＝∴tan22°＝即解得，a＝12，

答：城门大楼的高度是12米；

（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝∴sin22°＝∴AB，

，

，

，

，

＝32，

第18页（共37页）

即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．

18．（8分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于G，交线段AC于H．

（1）若∠P＝25°，求∠AHG的大小；

（2）求证：AE2＝EF•EP．

【分析】（1）由∠ACB＝∠P+∠CAP，求出∠CAP即可解决问题；

（2）连接EC，证明△ECF∽△EPC即可解决问题；

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵∠ACB＝∠P+∠CAP，

∴∠CAP＝20°，

∵BG⊥AP，

∴∠AGH＝90°，

∴AHG＝90°﹣20°＝70°．

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°，

∴EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵∠ACB＝∠P+∠CAE＝45°，∠ECF+∠ECA＝45°，

第19页（共37页）

∴∠ECF＝∠P，

∵∠CEF＝∠PEC，

∴△CEF∽△PEC，

∴＝，

∴EC2＝EF•EP，

∴EA2＝EF•EP．

【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

五、解答题：（每小题10分，共20分）

19．（10分）如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B，A两点，与双曲线y＝（k≠0）相交于C，D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝4，OE＝2．

（1）求直线和双曲线的表达式；

（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标；

（3）求点D的坐标，并结合图象直接写出不等式﹣x+m≥的解集．

【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；

（2）根据三角形面积公式求得EF的长，即可求得点F的坐标；

（3）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，然后根据函数的图象和交点坐标即可求解．

第20页（共37页）

【解答】解：（1）∵OB＝4，OE＝2，

∴B（4，0），C点的横坐标为﹣2，

∵直线y＝﹣x+m经过点B，

∴0＝﹣+m，解得m＝，

∴直线为：y＝﹣x+，

把x＝﹣2代入y＝﹣x+得，y＝﹣×（﹣2）+＝2，

∴C（﹣2，2），

∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，

∴k＝﹣2×2＝﹣4，

∴双曲线的表达式为：y＝﹣；

（2）∵B（4，0），C（﹣2，2），

∴OB＝4，CE＝2，

∴S△COB＝×4×2＝4，

∵S△CEF＝2S△COB，

∴S△CEF＝×EF×2＝8，

∴EF＝8，

∵E（﹣2，0），

∴F（﹣10，0）或（6，0）；

（3）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，

可得交点D的坐标为（6，﹣），

由图象得，不等式﹣x+m≥的解集为x≤﹣2或0＜x≤6．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无第21页（共37页）

解，则两者无交点．

20．（10分）如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．

（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；

（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．

①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；

②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．

【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．

（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为＝，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．

②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接OC．

∵OA＝OC，EC＝EA，

第22页（共37页）

∴OF⊥AC，

∴FC＝FA，

∴∠OFA＝∠OFC，

∵∠CFA＝2∠BAC，

∴∠OFA＝∠BAC，

∵∠OEA＝90°，

∴∠EAO+∠EOA＝90°，

∴∠OFA+∠AOE＝90°，

∴∠FAO＝90°，

∴AF⊥AB．

（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．

理由：连接FC．

∵OF垂直平分线段AC，

∴FG＝FA，

∵FG＝FA，

∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．

∵＝，

∴∠GFA＝2∠ACG，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ABC+∠BCA＝90°，

∵∠BCD+∠ACD＝90°，

第23页（共37页）

∴∠ABC＝∠ACG，

∴∠GFA＝2∠ABC．

②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．

∵BD＝OE，∠CDB＝∠AEO＝90°，∠B＝∠AOE，

∴△CDB≌△AEO（AAS），

∴CD＝AE，

∵EC＝EA，

∴AC＝2CD．

∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，

∴∠GFA＝120°，

∵OA＝OB＝2，

∴OE＝1，AE＝，BA＝4，BD＝OD＝1，

∵∠GOE＝∠AEO＝90°，

∴OG∥AC，

∴DG＝∴AG＝，OG＝＝，

，

∵FG＝FA，FH⊥AG，

∴AH＝HG＝∴AF＝，∠AFH＝60°，

＝，

＝， 在Rt△AEF中，EF＝∴OF＝OE+EF＝，

∵PE∥OG，

第24页（共37页）

∴＝，

∴＝，

∴PE＝．

【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

六、填空题（每小题4分，共15分）

21．（4分）设m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，则m3+2020n﹣2019＝ 2020 ．

【分析】先利用一元二次方程的定义得到m2＝m+2019，m3＝2020m+2019，所以m3+2020n﹣2019＝2020（m+n），然后利用根与系数的关系得到m+n＝1，最后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2019＝0的根，

∴m2﹣m﹣2019＝0，

∴m2＝m+2019，

m3＝m2+2019m＝m+2019+2019m＝2020m+2019，

∴m3+2020n﹣2019＝2020m+2019+2020n﹣2019＝2020（m+n），

∵m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，

∴m+n＝1，

∴m3+2020n﹣2019＝2020．

故答案为2020．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．

22．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为 12 ．

第25页（共37页）

【分析】根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据勾股定理得到CD＝推出点C是PB的中点，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∵AC＝10，AD＝8，

∴CD＝∵AC⊥BD，

∴AC平分BD，

∵PD⊥BD，

∴AC∥PD，

∴点C是PB的中点，

∴PB＝2CD＝12，

故答案为：12．

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

23．（4分）如图，将矩形OABC置于一平面直角坐标系中，顶点A，C分别位于x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），双曲线y＝（k≠0）在第一象限中的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，P为y轴正半轴上一动点，把△OAP沿直线AP翻折，使点O落在点F处，连接FE，若FE∥x轴，则点P的坐标为 （0，）或（0，15） ．

＝6，

＝6，第26页（共37页）

【分析】延长EF交CO于G，依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到点E的横坐标为5，点E的纵坐标为3，再根据勾股定理可得EF的长，设OP＝x，则PG＝3﹣x，分两种情况讨论，依据Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，即可得到x的值，进而得出点P的坐标．

【解答】解：如图所示，延长EF交CO于G，

∵EF∥x轴，

∴∠FGP＝90°＝∠AEF，

∵双曲线y＝（k≠0）经过矩形OABC的边BC的中点D，点B的坐标为（5，6），

∴点D（，6），

∴k＝15，

又∵点E的横坐标为5，

∴点E的纵坐标为＝3，即AE＝3，

①当点F在AB左侧时，由折叠可得，AF＝AO＝5，

∴Rt△AEF中，EF＝∴GF＝5﹣4＝1，

设OP＝x，则PG＝3﹣x，

∵Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，

∴12+（3﹣x）2＝x2，

解得x＝，

∴点P的坐标为（0，）；

②当点F在AB右侧时，同理可得EF＝4，

∴GF＝5+4＝9，

第27页（共37页）

＝＝4， 设OP＝x，则PG＝x﹣3，

∵Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，

∴92+（x﹣3）2＝x2，

解得x＝15，

∴点P的坐标为（0，15）；

故答案为：（0，）或（0，15）．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，翻折变换、勾股定理等知识的综合运用，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

24．（4分）如图，AC是▱ABCD的对角线，且AC⊥AB，在AD上截取AH＝AB，连接BH交AC于点F，过点C作CE平分∠ACB交BH于点G，且GF＝ ．

，CG＝3，则AC＝

第28页（共37页）

【分析】如图，连接AG，作GN⊥AC于N，FM⊥EC于M．想办法证明等G是△ABC的内心，推出∠FGN＝∠CAG＝45°，解直角三角形即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AG，作GN⊥AC于N，FM⊥EC于M．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AHB＝∠HBC，

∵AB＝AH，

∴∠ABH＝∠AHB，

∴∠ABH＝∠CBH，

∵∠ECA＝∠ECB，∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠GBC+∠GCB＝45°，

∴∠FGC＝∠GBC+∠GCB＝45°，

∵FM⊥CG，GN⊥AC，FG＝∴FM＝GM＝1，

∵CG＝3，

∴CM＝2，

∴tan∠FCM＝∴CN＝2CG，

∴GN＝，CN＝，

＝＝，

，

∵BG，CG是△ABC的角平分线，

∴AG也是△ABC的角平分线，

∴∠NAG＝45°，

∴AN＝GN＝∴AC＝AN+NC＝，

．

第29页（共37页）

故答案为．

【点评】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，三角形的内心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

25．（4分）如图，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，A点坐标为（0，2），点D是线段OC上的一个动点，连结AD，以AD为边作矩形ADEF，使边EF过点B，连接OF，当点D与点C重合时，所作矩形ADEF的面积为6．在点D的运动过程中，当线段OF有最小值时，直线OF的解析式为 y＝ ．

【分析】先根据点D与点C重合时求出矩形的长和宽，再根据相似三角形求出OF的最小值，再求出F的横纵坐标，最后得出一次函数的表达式．

【解答】解：当点D与点C重合时，如图，过F作FG⊥y轴于G

∵S△ABC＝∴S矩形AOCB＝6，

∵A点坐标为（0，2），

∴OA＝2，

∴2OC＝6

∴OC＝3，

∵∠FAD＝90°

易得△FGA∽△AOD

∴，即，

第30页（共37页）

＝3， 设|FG|＝2a，|AG|＝3a

由勾股定理得：OF＝令t＝13a2+12a+4，

∴∴当a＝﹣时，t有最小值．

）|＝，|AG|＝|3×（

）|＝

，

＝＝

∴|FG|＝|2×（点F的横坐标为：，纵坐标为设OF解析式为y＝kx

求得k＝，故函数的解析式为y＝

．

故答案为：y＝【点评】此题稍有难度，关键是找到辅助线找到相似三角形，考查了用待定系数法求函数解析式．

七、解答题（本题满分8分）

26．（8分）雾霾是对大气中各种悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，雾霾的主要危害可归纳为两种：一是对人体产生危害，二是对交通产生危害．雾霾天气是一种大气污染状态，成都市区冬天雾霾天气比较严重，很多家庭兴起了为家里添置“空气清洁器”的热潮，为此，我市某商场根据民众健康要，代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台．

（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；

（2）请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？

（3）若政府计划递选部分商场，将销售“空气清洁器”纳入民生工程项目，规定：每销售一台“空气淸洁器”，财政补贴商家200元，但销售利润不能高于进价的25%，请问：该商场想获取最大利润，是否参与竞标此民生工程项目？并说明理由．

【分析】（1）由题意得：y＝350﹣（x﹣700），即可求解；

（2）由题意得：w＝y（x﹣600），即可求解；

第31页（共37页）

（3）每台销售利润不能高于进价的25%，即600×（1+25%）＝750，即：x≤750，由题意得：w＝（700﹣x）（x﹣600+200）＝﹣（x﹣1400）（x﹣400），x≤750时，当x＝750时，取得最大值利润，即可求解．

【解答】解：（1）由题意得：y＝350﹣（x﹣700）＝﹣x+700；

（2）由题意得：w＝y（x﹣600）＝﹣（x﹣600）（x﹣1400），

∵＜0，故函数有最大值，当x＝﹣＝1000时，w＝80000；

（3）每台销售利润不能高于进价的25%，即600×（1+25%）＝750，即：x≤750，

由题意得：w＝（700﹣x）（x﹣600+200）＝﹣（x﹣1400）（x﹣400），

x≤750时，当x＝750时，取得最大值利润为：113750＞80000，

故：该商场想获取最大利润，会参与竞标此民生工程项目．

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝三、解答题：（本题满分10分）

27．（10分）如图，在等边△ABC中，点E，F分别是边AB，BC上的动点（不与端点重合），且始终保持AE＝BF，连接AF，CE相交于点P．过点A作直线m∥BC，过点C作直线n∥AB，直线m，n相交于点D，连接PD交AC于点G．

（1）求∠APC的大小；

（2）求证：△APD∽△EAC；

（3）在点E，F的运动过程中，若＝，求的值．

时取得．

第32页（共37页）

【分析】（1）证明△ABF≌△CAE（SAS），推出∠BAF＝∠ACE，可得∠CPF＝∠ACP+∠CAP＝∠BAF+∠CAP＝∠CAB＝60°解决问题．

（2）首先证明A，P，C，D四点共圆，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可解决问题．

（3）作DH⊥AC于H．由AG，AC即可解决问题．

【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，∠B＝∠CAE＝60°，

∵AE＝BF，

∴△ABF≌△CAE（SAS），

∴∠BAF＝∠ACE，

∴∠CPF＝∠ACP+∠CAP＝∠BAF+∠CAP＝∠CAB＝60°，

∴∠APC＝120°．

（2）证明：∵m∥BC，n∥AB，

∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BAC＝60°，

∴△ADC是等边三角形，

∴∠ADC＝60°，

∵∠APC+∠ADC＝180°，

∴A，P，C，D四点共圆，

∴∠ACP＝∠ADP，∠APD＝∠ACD＝60°

∵∠APD＝∠CAE＝60°，∠ACE＝∠ADP，

∴△APD∽△EAC．

（3）解：作DH⊥AC于H．

∵＝＝，

＝＝，可以假设PG＝k，DG＝4k，想办法求出∴可以假设PG＝k，DG＝4k，

∵∠ADG＝∠ADP，∠DAG＝∠DPA＝60°，

第33页（共37页）

∴△DAG∽△DPA，

∴DA2＝DG•DA＝20k2，

∵DA＞0，

∴DA＝2k，

k，DH＝k，

＝k，

k

∴AH＝AD＝在Rt△DGH中，GH＝∴AG＝AH﹣GH＝∴＝＝k﹣k，AC＝2．

当点G在点H下方时，根据对称性可得：综上所述，的值为或．

＝．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题

四、解答题（本题满分12分）

28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点，过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，试判断在点E运动过程中，以点O，B，E，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM交x轴于点M，当点E在抛物线上B，D之间运动时，连接EA交DM于点N，连接BE并延长交DM于点P，猜想在第34页（共37页）

点E的运动过程中，MN+MP的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，即抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）设点E（m，m2+2m﹣3），由于直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），可得直线表达式为y＝x，因为EF平行OA，可求得点F的横坐标，进而得出EF的长度，当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，即，解方程求得m的值，进而得出点E的坐标；

（3）如图，作EH⊥OA于点H，证明△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，可得，设点E（m，m2+2m﹣3），可求得MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，进而得出MP+MN＝8，其值为定值，

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）设点E（m，m2+2m﹣3），

∵直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），

∴﹣3＝﹣2k，k＝，

∴y＝x，

第35页（共37页）

∵过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，

∴m2+2m﹣3＝∴，

，

当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，

∴，

或m＝）或（或m＝，）；

（舍去）， 解得m＝1（舍去）或m＝∴点E的坐标为（，（3）如图，作EH⊥OA于点H，

∵PM⊥OA，

∴PM∥EH，

∴△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，

∴，

设点E（m，m2+2m﹣3），

则，，

∴MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，

∴MP+MN＝8，

∴在点E的运动过程中，MN+MP的和是定值，该定值为8．

【点评】本题考查二次函数，平行四边形，相似三角形等知识，综合性强．用点的坐标来表示线段的长是解决本题的关键．

第36页（共37页）

第37页（共37页）