2024年4月18日发(作者：高考数学试卷顺序规律是什么)
2009年专升本（高等数学一）真题试卷
(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题
1．
A．0
B．2/3
C．1
D．3/2
正确答案：A
解析：本题考查的知识点为无穷小量的性质：有界变量与无穷小量之积仍为
无穷小量． 当x→∞时，1/3x→0，即1/3x为无穷小量，又sin2x为有界变量：
-1≤sin2x≤1．由有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量可知
故选A．
2．
A．-2
B．-1
C．1
D．2
正确答案：B
解析：本题考查的知识点为连续的性质：函数f(x)在点x0处连续的充分必
要条件是f(x)在点x0左连续且右连续． 所给函数f(x)为分段函数，x=1为分
段点，在x=1两侧f(x)的表达式不同．应考虑左连续与右连续．注意
f(1)=-1．
，因此a=1，故选
B．
3．
f(x)在点x=1处连续，必有
A．2x-2e
B．2x-e2
C．2x-e
D．2x
正确答案：D
解析：本题考查的知识点为导数的运算． y=x2-e2，则
y’=(x2)’-(e2)’=2x-0=2x． [错误防范] 有些考生没能将e认定为常量，忘记常
量的导数为零，错误地选A．
4．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：本题考查的知识点为复合函数的微分运算．由于y=e-3x，可得
故选
C．
5．
A．1
B．1/3
C．0
D．-1/3
正确答案：B
解析：本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数
值．
故选
B．
6．
A．f(2x)
B．2f(x)
C．-f(2x)
D．-2f(x)
正确答案：A
解析：本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函数，则
F’(x)= ，即可变上限的导数为被积函数在上限
处值．因此 故选A． [错误防范] 有些考
生误选
B．如果令f1(2t)=f1(x)．则上述错误可以避免．
7．
A．sinx+C
B．-sinx+C
C．cosx+C
D．-cosx+C
正确答案：D
解析：本题考查的知识点为不定积分基本公式． ∫sinxdx=-cosx+
C． 故选
D．
8．
A．2x+1
B．2xy+1
C．x2+1
D．2xy
正确答案：B
解析：本题考查的知识点为偏导数计算． 求时，只需将y认定为常量，
依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3，因此
B．
9
， 故选
．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：本题考查的知识点为正项级数的比较判别法． 由正项级数的比较
判别法可知：若与都为正项级数，且un＜vn(n=1，2，…)，则当收
敛时，必定收敛．故选
C．
10．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：本题考查的知识点为求解可分离变量方
程．
可得
C．
填空题
，故选
11． =______．
正确答案：e-1
解析：本题考查的知识点为重要极限公
式．
12． ______．
正确答案：0
解析：本题考查的知识点为极限运算． 所求极限的表达式为分式，其分
母的极限不为零． 因此
13． 设y=e-x，则y“=______”．
正确答案：e-x
解析：本题考查的知识点为二阶导数运
算．
14． 设
正确答案：
，则y’=______．
解析：本题考查的知识点为导数运算． 由于所给函数为分式，由商的求
导法则可得
15． ∫(1-2x)dx=______．
正确答案：x-x2+
C．
解析：本题考查的知识点为不定积分计算． ∫(1-2x)dx=∫dx-∫
2xdx=x-x2+
C．
16． =______．
正确答案：
解析：本题考查的知识点为定积分的换元积分法． 设t=x/2，则x=2t，
dx=2dt．当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2．因此
17． 设z=sin(y-x2)，则=______．
正确答案：COS(y-x2)．
解析：本题考查的知识点为偏导数运算． 求时，只需将x认定为常
量．z=sin(y-x2)，因此
18． 过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______．
正确答案：(x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)．
解析：本题考查的知识点为平面方程． 已知平面π1：x-y+3z=1的法线
向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平行，则平面π的法线向量n∥n1，可
取n=(1，-1，3)，由于所给平面过点M0(1，-1，0)．由平面的点法式方程可知所
求平面方程为 (x-1)-[y-(-1)]+3(z-0)=0， 即 (x-1)-(y+1)+3z=0， 或写为
x-y+3z=2．
19． 设区域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，则
正确答案： 4。
解析：本题考查的知识点为二重积分的性质：，其中σ为区域D
______．
的面积．由于积分区域D是边长为2的正方形，其面积为4，可知．
20． 设y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)
在点(2，3)处的切线方程为______．
正确答案：y=3
解析：本题考查的知识点为：极值的必要条件、切线方程． 由于y=f(x)
可导，点x0=2为f(x)的极值点，由极值的必要条件知f’(2)=0，又f(2)=3．可知
曲线y=f(x)在点[2，f(2)]处的切线方程为 y-f(2)=f’(2)(x-2)， 即
y-3=0·(x-2)=0． 可知y=3为所求．
解答题
21． 求
正确答案：本题考查的知识点为洛必达法则的应
用．
22． 设y=xsinx，求y’．
正确答案：本题考查的知识点为导数运算．由乘积的导数运算可知：
y=xsinx， y’=x’sinx+x(sinx)’=sinx+xcosx．
23． 计算
正确答案：本题考查的知识点为定积分运
算．
24． 求的通解．
正确答案：本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程．由方程通解公式可
知： 方程的通解为：
25． 设z=x2y+2y2，求dz．
正确答案：本题考查的知识点为计算二元函数全微
分．
26． 设曲线x=
，y=2及x=0所围成的平面图形为0． (1)求平面图形
D的面积S； (2)求平面图形0绕丁轴旋转一周生成的旋转体体积V．
正确答案：本题考查的知识点为定积分的几何应用：求平面封闭图形的面积；
平面图形绕坐标轴旋转一周所生成的旋转体的体积． 平面图形0如图X-4所
示，
27． 求
，其中D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，y≥0}．
正确答案：本题考查的知识点为在极坐标系下计算二重积分． D在极坐
标系下可以表示为 0≤θ≤π，1≤r≤2． 则
28． 将f(x)=e-2x展开为x的幂级数．
正确答案：本题考查的知识点为将初等函数展开为幂级数． 因为
所以
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