高二数学复习考点知识与题型专题讲解5---用空间向量研究直线、平面的位

2024年3月16日发(作者：无锡2023数学试卷下载)

高二数学复习考点知识与题型专题讲解

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

【考点梳理】

考点一：空间中点、直线和平面的向量表示

1.空间中点的位置向量

如图，在空间中，我们取一定点

O

作为基点，那么空间中任意一点

P

就可以用向量

→

OP

来

表示．我们把向量

→

OP

称为点

P

的位置向量．

2.空间中直线的向量表示式

直线

l

的方向向量为

a

，且过点

A

.如图，取定空间中的任意一点

O

，可以得到点

P

在直

线

l

上的充要条件是存在实数

t

，使

→

OP

＝

→

OA

＋

ta

，①

把

→

AB

＝

a

代入①式得

→→

，②

OP

＝

→

OA

＋

tAB

①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

3.空间中平面的向量表示式

平面

ABC

的向量表示式：空间一点

P

位于平面

ABC

内的充要条件是存在实数

x

，

y

，使

→

OP

→

＋

yAC

→

.我们称为空间平面

ABC

的向量表示式． ＝

→

OA

＋

xAB

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考点二 空间中平面的法向量

平面的法向量

如图，若直线

l

⊥

α

，取直线

l

的方向向量

a

，我们称

a

为平面

α

的法向量；过点

A

且以

a

为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {

P

|

a

·

→

AP

＝0}．

考点三： 空间中直线、平面的平行

1.线线平行的向量表示

设

u

1

，

u

2

分别是直线

l

1

，

l

2

的方向向量，则

l

1

∥

l

2

⇔

u

1

∥

u

2

⇔∃

λ

∈R，使得

u

1

＝

λu

2

.

2.线面平行的向量表示

设

u

是直线

l

的方向向量，

n

是平面

α

的法向量，

l

⊄

α

，则

l

∥

α

⇔

u

⊥

n

⇔

u

·

n

＝0.

面面平行的向量表示

设

n

1

，

n

2

分别是平面

α

，

β

的法向量，则

α

∥

β

⇔

n

1

∥

n

2

⇔∃

λ

∈R，使得

n

1

＝

λn

2

.

考点四：空间中直线、平面的垂直

1.线线垂直的向量表示

设

u

1

，

u

2

分别是直线

l

1

,

l

2

的方向向量，则

l

1

⊥

l

2

⇔

u

1

⊥

u

2

⇔

u

1

·

u

2

＝0.

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