2024年1月8日发(作者：小学毕业班数学试卷人教版)
目 录
2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .................. 3
2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 ....................... 5
2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 ................... 11
2004年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 ................ 13
2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 ................... 19
2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 23
2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 31
2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 33
2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 ................ 39
2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 41
2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 ................ 47
2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 49
2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 55
2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 57
2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 63
2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 66
2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 73
2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 75
2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 82
2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 .............. 84
1
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2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、解答题（共12小题，满分0分）
1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？
2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？
3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？
4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？
5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．
6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？
3
7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？
8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？
9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？
10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？
11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．
12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
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2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与解析
一、解答题（共12小题，满分0分）
1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？
考点：竖式数字谜．
专题：填运算符号、字母等的竖式与横式问题．
分析：根据整数加法的计算方法进行推算即可．
解答：解：
解法一：
个位上：0+“杯”=4，可得“杯”=4；
十位上：1+“华”的末尾是0，由1+9=10，可得“华”9，向百位上进1；
百位上：9+1=10，向千位上进1；
千位上：1+1=2；
由以上可得：
；
因此，“华杯”代表的两位数是94．
解法二：
已知1910与“华杯”之和等于2004；
那么“华杯”=2004﹣1910=94；
因此，“华杯”代表的两位数是94．
点评：本题非常巧妙地考察了对整数的加法运算法则及数位的进位等知识要点的熟悉掌握
程度．
2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？
考点：百分数的实际应用；长方形的周长；长方形、正方形的面积．
专题：分数百分数应用题．
分析：设长方形的长为a，宽为b，因此各边长增加10%时，则长为（1+10%）a=110%a，长
为（1+10%）b=110%b，因此各边长增加10%时，周长增加2（1.1a+1.1b）﹣2（a+b）=2（a+b）×10%，即周长增加10%．
面积增加1.1a×1.1b﹣ab=1.21ab﹣ab=ab×21%，即面积增加21%．
解答：周长增加10%，面积增加21%
解：设长方形的长为a，宽为b，边长增加10%时，
则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，
5
周长增加：
2（110%a+110%b）﹣2（a+b）
=220%a+220%b﹣2a﹣2b
=2（a+b）×10%；
面积增加：
110%a×110%b﹣ab
=121%ab﹣ab
=ab×21%；
答：周长增加了10%，面积增加了21%．
点评：在求出长宽增加后的长度基础上， 根据长方形的周长与面积公式计算是完成本题的关键．
3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？
考点：正方体的展开图．
专题：立体图形的认识与计算．
分析：如图，是正方体展开图的“222”结构，把它折叠成正方体后，A面与1面相对，B面与
2面相对，C面与4面相对，相使使其对面两数之和为7，A面填6，B面填5，C面填3．
解答：解：如图，
折成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C面与4面相对，
要使其对面之各为7，则A面填6，B面填5，C面填3．
点评：本题是考查正方体的展开图，关键是弄清把它折叠成正方体后，哪两个面相对．
4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于
考点：数列中的规律．
专题：探索数的规律．
分析：
这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要使1﹣？
＜，则n＞999.5，即从n=1000开始，带入分数，即可得解．
解答：解：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，
1﹣＜，
n＞999.5，从n=1000开始，
6
即从答：从开始，满足条件．
开始，1与每个数之差都小于．
点评：找出这列数的规律，根据已知列出等式求解．
5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．
考点：有关圆的应用题．
专题：平面图形的认识与计算．
分析：先圆形轨道的半径，再根据圆的周长公式：C=2πr求出飞船沿圆形轨道飞行1圈的长
度，再乘以10即可求出飞船沿圆形轨道飞行了多少千米．
解答：解：2×3.14×（6371+343）×10
=2×3.14×6714×10
=3.14×134280
=421639.2（千米）；
答：飞船沿圆形轨道飞行了421639.2千米．
点评：考查了有关圆的应用题，关键是熟练掌握圆的周长公式．
6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？
考点：染色问题．
专题：传统应用题专题．
分析：根据四个扇形中有一个红色、两个、三个、四个分类列举即可．
解答：解：按逆时针方向涂染各扇形：
红红红红 红红红黄 红红黄黄
红黄红黄 红黄黄黄 黄黄黄黄
所以，共有6种．
点评：本题考查了排列组合知识中的染色问题，还可以列式解答：4×（4﹣1）÷2=6（种） ．
7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？
考点：时间与钟面．
专题：时钟问题．
分析：可设当前是9点x分，则5分钟前分针指向x﹣5的位置，而分针转动的速度是时针
7
的12倍，分针5分钟后指向x+5的位置，时针指向9刻度后列出方程解答即可．
解答：解：设当前时刻是9点x分．则5分钟后时针的位置为
45+=x﹣5
刻度处，根据题意540+x+5=12x﹣60
11x=605
x=55；
答：此时刻是9点55分．
点评：本题主要考查钟表问题的实际应用，熟练掌握钟表的特征是解答本题的关键．
8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？
考点：抽屉原理．
专题：传统应用题专题．
分析：建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小鬼不相同，那么（54﹣2）÷4=13，所以一共有
13+2=15个抽屉；分别是：1、2、3、…K、小鬼、大鬼，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答．
解答：解：建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看做15个抽屉，
考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，
15+1=16（张），
答：至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数．
点评：此类问题关键是根据点数特点，建立抽屉，这里要注意考虑最差情况．
9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？
考点：带余除法．
专题：余数问题．
分析：先设这个两位数为10a+b， 则可用含a、b的代数式表示将它依次重复写3遍成的一个8位数，再将此8位数除以该两位数得到商为1010101，然后将1010101除以9即可求解．
解答：解：设这个两位数为10a+b，则将它依次重复3遍成的一个8位数为：
1000000（10a+b）+10000（10a+b）+100（10a+b）+10a+b=1010101（10a+b），
将此8位数除以该两位数得到的商为：1010101（10a+b）÷（10a+b）=1010101，
则1010101÷9=112233…4．
答：得到的余数是4．
点评：本题考查了带余除法的定义及应用， 难度中等，用含a、b的代数式正确表示将（10a+b）这个数依次重复写3遍成的一个8位数是解题的关键．
10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？
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考点：图形的拆拼（切拼） ．
专题：平面图形的认识与计算．
分析：因为这块长方形木板的面积为90×40=3600（平方厘米） ，又因为3600=60×60，即所求的正方形的边长为60厘米，如下图所示．
解答：解：因为90×40=3600，3600=60×60，所求的正方形的边长为60厘米，可以如下图拼
成：
因此，能拼成一个正方形．
点评：先求出总面积，看看是否能分成两个数的平方．
11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．
考点：组合图形的面积．
专题：平面图形的认识与计算．
分析：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，利用圆的面积公
式即可求解．
解答：解：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，
所以阴影部分的面积是：
×3.14×（12÷2）2
=×3.14×36
=56.52（平方厘米）；
答：图中阴影部分的面积是56.52平方厘米．
点评：此题可以巧妙地利用“缩小法”， 得出阴影部分的面积与直径为AB的圆的面积的关系，问题即可得解．
12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
考点：有关圆的应用题．
专题：平面图形的认识与计算．
分析：由于小铁环的半径为25厘米，大铁环的半径为50厘米，可得小铁环的半径是大铁环
9
半径的一半．根据周长与半径的关系可得大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，再减去公转的1圈，可得小环自身转动的圈数．
解答：解：由于小铁环的半径是大铁环半径的一半，
所以大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，
其中有1个周长属于小环公转的，而另一个周长才是小环自身转动的，
因此，小环自身转动1圈．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，小铁环运动的圈数乘以它的周长就等于大铁环的周
长．
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2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、解答题（共12小题，满分0分）
1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？
2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？
3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？
4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？
5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．
6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？
，11
7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？
8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？
9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？
10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？
11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？
12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？
12
2004年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共12小题，满分0分）
1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？
考点：日期和时间的推算．
分析：先求出郑和首次下西洋的时间，再求差．
解答：解：2005﹣600=1405（年） ，
1492﹣1405=87（年）．
答：这两次远洋航行相差87年．
点评：本题先根据2005年求出郑和首次下西洋的时间，再用较晚的时间减去较早的时间．
2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？
考点：日期和时间的推算．
分析：先求出2004年的12月21日到2005年的2月4日经过了多少天， 再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．
解答：解：2004年的12月21日到12月31日共有11天，1月份有31天，2月4日是2月
的第四天，
那么一共经过了：11+31+4=46（天），
46÷9=5…1，
说明已经经过了5个9天，还余1天，这一天就是六九的第一天．
答：立春之日是六九的第1天．
点评：本题的是9天为1个周期，先求出经过的天数（注意两头的天数都算） ，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数判断．
3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？
考点：规则立体图形的体积．
分析：根据棱柱的体积公式：底面积×高，进行计算．
解答：解：因为直三棱柱的底面是直角边都为1的直角三角形，高为1，
所以直三棱柱的体积=×1×1×1=．
13
答：这个直三棱柱的体积是．
故答案为：．
点评：本题考查了直三棱柱及展开图的特征和直三棱柱体积计算． 直三棱柱是由三个长方形的侧面和上下两个底面组成．
4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？
考点：加法原理．
分析：可先把我放在第一个位置，进而考虑我的左邻的情况，我的左邻的左邻的情况，找到
总情况数即可．
解答：解：共有6种不同的入座方法．
点评：考查用列表法解决问题； 把1个人固定位置，进而考虑左邻的情况是解决本题的关键．
5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．
考点：分数除法应用题．
分析：
把自行车的距离看成单位“1”，那么长跑的距离就是自行车的，游泳的距离是自行车的，它们的差对应的数量是8.5千米，用除法可以求出自行车的距离，根据自行车的距离求出另外两项的距离，再把三者加起来．
解答：
解：自行车比赛距离是长跑的4倍，那么长跑的距离就是自行车的，
8.5÷（=8.5÷，
）
=40（千米）；
14
40×=10（千米）；
40×=1.5（千米）；
40+10+1.5=51.5（千米）；
答：三项的总距离是51.5千米．
点评：本题关键是把倍数关系看成一个是另一个的几分之几，找出单位“1”分析出数量关系，
再由基本的数量关系求解．
6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？
考点：事物的简单搭配规律．
分析：观察图形， 分析数列，发现规律：从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…据此规律，推出即可．
解答：解：6﹣3=3；10﹣6=4；15﹣10=5；21﹣15=6；…
从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…
往下写数：3，6，10，15，21，28，36，45，55，…第9个数是55．
答：这列数中的第9个是55．
点评：观察图形，分析数列，发现规律，然后利用规律解决问题．
7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？
考点：规则立体图形的体积．
分析：根据圆锥的体积公式求出容器甲容积，根据球的体积公式求出容器乙容积，相除即可
求解．
解答：
解：容器甲容积：V甲=×π×（）2×1=π；
15
容器乙容积：V乙=×π×13=π，
V乙÷V甲=π÷π=8．
答：至少要注水8次．
点评：
考查了圆锥的体积和球的体积．球的体积公式是V=πr3．圆锥的体积是V=sh=πr2h．
8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？
考点：鸡兔同笼．
分析：可设高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，根据等量关系：高年级组数+
低年级组数=41组解答即可．
解答：解：高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，由题意得：
=41，
3x+2（100﹣x）=246，
3x+200﹣2x=246，
x=46，
100﹣46=54（人），
答：高年级有46人，低年级有54人．
点评：此类题目中一般都有两个等量关系，抓住其中一个等量关系设出一个未知数，从而得
出另一个未知数；另一个等量关系用来列方程．
9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？
考点：整数、小数复合应用题；合数与质数；质数与合数问题．
分析：先将48分解质因数：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因数全写出来，再找出里面相
差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价．
解答：解：48=48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，找出里面相差分别是2和4的，那么这两个
算式就分别为零售价和批发价；只有4×12和6×8，12比8多4，4比6少2，则零售价为6元，批发价为4元；
答：零售价为6元．
点评：解答此题应结合合数和质数的含义进行分析，通过分解质因数，找出符合题意的答案
即可．
10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？
考点：最大与最小．
分析：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a人，第二种的人数是8+5b
16
人，因为总人数一定相等，求出a与b的关系，根据a和b关系讨论取值．
解答：解： 设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a，第二种的人数是8+5b，则
5+8a=8+5b即；
8a=5b+3，
当b=1时，a=1，总人数为5+8×1=13（人）；
当b=9时，a=6，总人数为5+8×6=53（人）；
当b=17时，a=11，总人数为5+8×11=93（人）．
数字再大就超过100了，所以最多有93人．
答：最多有93名同学．
点评：本题先找出两种组数之间的关系，然后根据组数是自然数和它们之间的关系讨论取
值，找出100以内最大的即可．
11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？
考点：整数、小数复合应用题．
分析：水平面的刻度是80毫升，说明空的部分是80毫升；根据每分钟的输液量和输液时间
求出已经输出的体积，用100毫升减去已经输出的体积就是瓶内剩下的体积；整个吊瓶的容积就是空的部分加剩下的这部分体积．
解答：解：100﹣2.5×12=70（毫升） ，
80+70=150（毫升），
答：整个吊瓶的容积是150毫升．
点评：本题第12分时瓶子上方没有溶液的容积的等量关系是解决本题的关键．
12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？
考点：乘法原理．
分析：根据题意，“夹角”只能是30°，60°或90°，都是30°的倍数，根据这个倍数，通过旋转
的方法，进一步解答即可．
解答：解：因为夹角只能是30°、60°或者90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆
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时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证两两直线夹角为30°的倍数，即为30°、60°或者90°（因为如果每次旋转度数其他角度，例如15°，则必然会出现两条直线的夹角为15°或15°的其它倍数，如45°这与题目不符）；
因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转过5次，5×30°=150°，如果再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°=180°，这样第七条直线就与第一条直线平行了．
如图：
所以最多能画出六条．
答：至多有6条直线．
点评：根据题意，由题目给出的条件，通过旋转的方法进一步解答即可．
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2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．（6分）如图 所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，
得到小正方形ABCD．取AB的中点M和BC的中点N，剪掉AMBN得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（6分）2008006共有（ ）个质因数．
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
3．（6分）（2007•北塘区）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”．聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（ ）
A． 星 期一 B． 星期二 C． 星期六 D． 星期日
4．（6分）如图，长方形ABCD小AB：BC=5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．
A． A B
B． BC
C． CD D． DA
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5．（6分）如图，ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°）．以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A． 6 .36 B． 3.18 C． 2.12 D． 1.59
6．（6分）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝见、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目，如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法．
A． 4 8 B． 72 C． 96 D． 120
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6.7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于 _________ •
8．（3分）全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有 _________ 人．
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9．（3分）如图是﹣个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为 _________ 立方厘米．（取π=3.14）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）
10．（3分）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 _________
个．
11．（3分）李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥．若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克．那么李大爷共承包了麦田 _________ 亩，这批化肥有 _________ 千克．
12．（3分）将从1开始的到103的连续奇数依次写成﹣个多位数：a=171921…9799101103．则数a共有 _________ 位，数a除以9的余数是
_________ ．
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13．（3分）自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取 _________ 张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 _________ 张牌．
14．（3分）图中有 _________ 个正方形，有 _________ 个三角形．
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2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．（6分）如图 所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，
得到小正方形ABCD．取AB的中点M和BC的中点N，剪掉AMBN得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（ ）
A． B． C． D．
考点：运用平移、对称和旋转设计图案．
分析：此题可以动手操作，验证一下，即可解决问题．
解答：解：找一张正方形纸片，按上述顺序折叠、剪切，展开后得到的图形如右图所示．
故选：D．
点评：图形的折叠和剪切，可动手操作实践一下，也解决问题的好方法．
2．（6分）2008006共有（ ）个质因数．
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考因数、公因数和最大公因数．
点：
分根据分解质因数的方法将所给数字进行分解质因数即可得出答案．
析：
解解：答： 2008006=2×1004003=2×7×143429=2×7×11×13039=2×7×11×13×1003=2×7×11×13×17×59；
即：2008006=2×7×11×13×17×59；
所以2008006的有6个质因数：2、7、11、13、17、59．
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故答案为：C．
此题主要考查的是分解一个合数的质因数． 点评：
3．（6分）（2007•北塘区）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”．聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（ ）
A． 星 期一 B． 星期二 C． 星期六 D． 星期日
考点：周期性问题．
专题：压轴题．
分析：2006年是平年365天， 要想让一年中有53个星期日就要让这一年的第一天是星期日，除去第一天，还有364天，正好是7的倍数（52倍），这样2006年就是53个星期日了．那么接下来的2007年元旦就是新一个星期的开始，即星期一．
解答：解：2006年有365天，而365=7×52+1，又已知2006年有53个星期日，元旦只能是
星期日，且12月31日也是星期日，所以，2007年的元旦是星期一．
故选：A．
点评：此题属于周期性问题，考查学生平年的知识以及推算能力．
4．（6分）如图，长方形ABCD小AB：BC=5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．
A． A B C． CD D． DA
考点：路线图．
分析：由题干，第一次相遇在B点，可知第一只蚂蚁与第二只蚂蚁的速度比也是5：4，那
么相遇后再相遇，它们的路程比仍是5：4，令这个长方形的长和宽分别为5和4，由此即可解决问题．
解答：解：由题意可得蚂蚁的速度之比是5：4，
所以从B点出发再次相遇时它们爬行的路程比仍是5：4
令这个长方形的长和宽分别为5和4，
（5+4）×2=9×2=18，
5+4=9，
B． BC
18×=10，
所以第一只蚂蚁从B点爬了10，
因为BC+CD=4+5=9，
所以此时第一只蚂蚁已经经过C点D点，
24
所以它们是在DA边上相遇．
故选：D．
点评：此题的关键是抓住由路程比的关系得出速度比， 根据长度比设出确切数据计算出结果从而判断二者相遇地点．
5．（6分）如图，ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°）．以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A． 6 .36 B． 3.18 C． 2.12 D． 1.59
考点：三角形的周长和面积．
分析：连接AE、BD，则得到：三角形PBD的面积=三角形PCD的面积，三角形EAD的面
积=三角形EBD的面积=长方形ADEF的一半，由条件长方形ADEF为6.36平方厘米可以求得结果．
解答：解：连接AE、BD，
三角形PBD的面积=三角形PCD的面积，
三角形EAD的面积=三角形EBD的面积=长方形ADEF的一半=6.36÷2=3.18（平方厘米），
故此题选B．
点评：此题主要考查等底等高的三角形面积相等，关键是做出合适的辅助线．
6．（6分）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝见、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目，如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法．
A． 4 8 B． 72 C． 96 D． 120
考点：排列组合．
分析：首先来考虑全部的可能（即包含贝贝和妮妮相邻和不相邻）就有5×4×3×2×1=120种情
况．然后来看贝贝和妮妮相邻的时候，把相邻的贝贝和妮妮看做一个整体，这样就有原先的五人排序变成四个人排序了，情况就有：4×3×2×1，贝贝在妮妮的左边或右边的时候，以上情况再乘以2，就是贝贝和妮妮相邻的情况，再用总情况的次数减去相邻的情况的次数就是他们不相邻去情况的次数．
解答：解：5×4×3×2×1=120（种） ，
4×3×2×1×2=48（种），
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120﹣48=72（种）；
故答案选：B．
点评：排列的计算方法：有几个数进行排列排列的个数就是从这个数乘到1．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6.7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于 35 •
考点：竖式数字谜．
分析：由届+赛=6可得届和赛为2、4或1、5或9、7；一+杯=0可得一和杯为1、9或2、8
或3、7或4、6，还有可能（后面进1）是1、8或2、7或3、6或4、5；十+华=9（减去进的1）可得十和华为1、8或2、7或3、6或4、5；
“第”只能为1（减去进的1）．又因为不同的汉字代表不同的数字，所以“届和赛”只能为9和7（不与“第”重复，不与一和杯、十和华重复），“一和杯”、“十和华”为4和5或3和6（可以交换）．然后计算它们的和即可．
解答：解：“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字和为：
1+3+4+5+6+7+9=35，
故答案为：35．
点评：从“第”为1入手，根据算式特点层层推进，寻求答案．
8．（3分）全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有 23 人．
考点：重叠问题．
分析：这是一道有关重叠的问题，有三角尺的人数：50﹣28=22（人） ，那么有三角尺的女生则为22﹣14=8（人），有直尺的女生为31﹣8=23（人）．
解答：解：31﹣（50﹣28﹣14） ，
=31﹣8，
=23（人）；
答：有直尺的女生有 23人．
点评：这道题考查了有关重叠的问题，应该先算出有三角尺的总人数，再算出有三角尺的女
生人数，最后算出直尺的女生人数．
9．（3分）如图是﹣个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为 226.08 立方厘米．（取π=3.14）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）
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考点：规 则立体图形的体积．
分析：首 先由当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最多能露出4厘米，可知圆柱的高BC为12﹣4=8厘米；再由最少可露出上底面边缘2厘米，由图可知圆柱的底面直径、高、AC（12﹣2=10厘米）构成直角三角形的三条边，利用“勾6、股8、弦10求得圆柱的底面直径AB为6厘米，由此利用圆柱的体积计算公式解决问题．
解答：
解：3.14×（6÷2）2×（12﹣4），
=3.14×32×8，
=3.14×9×8，
=226.08（立方厘米）；
答：这个玻璃杯的容积为226.08立方厘米．
故答案为：226.08．
点评：此 题主要把求玻璃杯的容积，转化为求圆柱的体积，结合图形，分析求出圆柱的高，进一步利用直角三角形的性质求得底面直径求得结论．
10．（3分）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 4
个．
考哈密尔顿圈与哈密尔顿链．
点：
分如下图所示：经过4次将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和析：相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子， 然后将原来的5个棋子拿掉，就又回到第一次的结果了，说明4次一个循环，在这些图中，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 4个．
27
解解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 4个．
答：故答案为： 4．
点此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链．
评：
11．（3分）李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥．若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克．那么李大爷共承包了麦田 500 亩，这批化肥有
2700 千克．
考点：列方程解含有两个未知数的应用题．
分析：设承包了麦田x亩，则化肥有6x﹣300千克，根据题意可得等量关系：化肥的总千克
数（6x﹣300千克）﹣麦田的亩数×5千克=200千克，由此可得方程解决问题．
解答：解：设承包了麦田x亩，则化肥有6x﹣300千克，根据题意可得，
6x﹣300﹣5x=200
x=500，
6x﹣300=6×500﹣300=2700（千克）；
答：李大爷共承包了麦田500亩，这批化肥有2700千克．
故答案为：500，2700．
点评：此题是利用方程思想解决问题的方法的应用， 题目中的两个等量关系一个用来设未知数，一个用来列方程，由此可以解决问题．
12．（3分）将从1开始的到103的连续奇数依次写成﹣个多位数：a=171921…9799101103．则数a共有 101 位，数a除以9的余数是 4 ．
考点：奇偶性问题．
分析：（1）要求a共有多少位，可以分段来解答，即一位的奇数有5个，两位的奇数有45
个，三位奇数有2个．
（2）从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环．
因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1﹣89恰为5个周期，
28
所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4．
解答：解： （1）一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a是一个5+2×45+3×2=101位数．（2）从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环．
因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1﹣89恰为5个周期，
所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4．
故答案为：101，4．
点评：此题考查了数的奇偶性知识，此题可用列举法来进行解答．
13．（3分）自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取 27 张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 37 张牌．
考点：相等和值问题．
分析：（1）每种点数的有4张，要有3个相邻的！则根据抽屉原理，首先要把所有不同的
都能抽出来．
（2）首先，抽第1、2张是两张王牌．然后抽第3﹣15张是黑桃那13张牌，第16﹣28张是红心那13张牌，第29﹣41张是梅花那13张牌．这个时候，已经抽了41张牌了，剩下方块那13张牌．只要从这13张方块中任意抽1张，就必定有4张牌点数相同．
解答：解： （1）可取红，黑色的1，2，3，4，5，6，7，8，9.10，11，12，13点各2张，共13×2=26（张），那么再取一张牌，必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同，这是最坏的情况，因此至少要取27张牌，必须保证有2张牌点数，颜色都相同．
（2）有以下的搭配：
（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12），13
因而对涂阴影部分得9个数，四种花色的牌都取，9×4=36（（张）牌，其中没有3张牌的点数是相邻的．
现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13，则至少有33张牌取自（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12）这4个抽屉，根据抽屉原理，必有9个数来自其中的一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数是相邻的，因此，至少要取37张牌．
故自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取 27张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要37张牌．
故答案为：27，37．
点评：这是一道抽屉原理方面的练习题．
14．（3分）图中有 91 个正方形，有 119 个三角形．
29
考点：图形的密铺．
分析：先观察图形后，首先数正方形个数，数完正方形的个数后，查三角形个数．
（1）有一个小正方形构成的正方形36个，有四个小正方形组成的正方形有25个，由9个小正方形组成的正方形有16个，由16个小正方形组成的正方形有9个，有25个小正方形组成的大正方形有4个，再加上由36个小正方形组成的大正方形1个，正方形共有91个；
（2）最小三角形有72个，有两个小三角形组成的三角形有28个，有四个小三角形组的三角形有12个，由9个小三角组成的三角形有6个，由16个小三角形组成的三角形有1个，因此三角形共有119个．
解答：解：通过观察共有91个正方形，119个三角形．
点评：本题考查平面图形数量的确定，比较简单，注意仔细地观察图形．
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2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题（每小题10分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．
1．（10分）算式等于（ ）
A． 1 020 B． 204 C． 273 D． 747
2．（10分）（2012•广州一模）折叠一批纸鹤，甲同学单独折叠需要半小时，乙同学单独折叠需要45分钟，则甲、乙两同学共同折需要（ ）
A． 1 2分钟 B． 15分钟 C． 18分钟 D． 20分钟
3．（10分）（2012•郑州模拟）如图，将四条长为16cm，宽为2cm的长方形垂直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是（ ）
A．
7
2cm2
B． C． D．
128cm2 20cm2 112cm2
4．（10分）48名少先队员选中队长，候选人是甲、乙、丙三人，开票中途累计．甲得13票，乙得10票，丙得7票．得票多的人当选，则以后甲至少要再得（ ）票才能当选．
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
5．（10分）一个长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，那么这个长方体的表面积是（ ）
A． 7 4 B． 148 C． 150 D． 154
31
6．（10分）从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的三个数的积最大等于（ ）
A． 2 80 B． 270 C． 252 D． 216
二、填空题（每小题10分）．
7．（10分）如图，某公园有两段路AB=175米，BC=125米．在这两段路上安装路灯，要求A，B，C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等．则在这两段路上至少要安装路灯 _________ 个．
8．（10分）将×0.63的积写成小数的形式是 _________ ．
9．（10分）如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了 _________ 个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是 _________ ．
10．（10分）同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示．贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 _________ 种颜色的旗子．如果贝贝从某营地出发，（填“能”或“不能”）不走重复的路就 _________ 完成这项任务．
32
2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．
1．（10分）算式等于（ ）
D． 747 A． 1 020 B． 204 C． 273
考点：整数、分数、小数、百分数四则混合运算．
专题：运算顺序及法则．
分析：把带分数化成小数，先算乘法、再算加法．
解答：
解：2×19.5+7.2×20，
=2.8×19.5+7.2×20.75，
=54.6+149.4，
=204．
故应选：B．
点评：既有加减、又有乘除法，先算乘除法、再算加减．
2．（10分）（2012•广州一模）折叠一批纸鹤，甲同学单独折叠需要半小时，乙同学单独折叠需要45分钟，则甲、乙两同学共同折需要（ ）
A． 1 2分钟 B． 15分钟 C． 18分钟 D． 20分钟
考点：简单的工程问题．
分析：
把这批纸鹤的总量看成单位“1”甲的工作效率是，乙的工作效率是，它们的和是合作的工作效率，用总工作量除以合作的工作效率就是合作需要的时间．
解答：
解：1÷（），
=1，
=18（分钟）；
答：甲、乙两同学共同折需要18分钟．
故选：C．
点评：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工
作总量看做“1”，再利用它们的数量关系解答．
33
3．（10分）（2012•郑州模拟）如图，将四条长为16cm，宽为2cm的长方形垂直相交平放在桌面上，则桌面被盖住的面积是（ ）
A．
7
2cm2
B． C． D．
128cm2 20cm2 112cm2
考点：组合图形的面积；长方形、正方形的面积．
分析：桌面被盖住的面积，就是图中这个组合图形的面积：四个长方形的面积之和减去重叠
部分的4个边长为2厘米的小正方形的面积．
解答：解：16×2×4﹣2×2×4，
=128﹣16，
=112（平方厘米），
故选：D．
点评：此题考查了组合面积的计算方法的灵活应用， 这里要注意图中重叠部分的小正方形的面积要减去．
4．（10分）48名少先队员选中队长，候选人是甲、乙、丙三人，开票中途累计．甲得13票，乙得10票，丙得7票．得票多的人当选，则以后甲至少要再得（ ）票才能当选．
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
考点：逻辑推理．
专题：逻辑推理问题．
分析：甲比乙多了3张选票，已经统计了30张选票，还剩下18张没统计，假设这18张全
部给甲和乙，只要乙的不比甲的多出3张或以上的选票甲就会当选．只要求出乙比甲多2张的情况即可．
解答：解：48﹣（13+10+7）=18（张） ，
甲已经比乙多了：13﹣10=3（张），
若把这18张平均分给二人：
18÷2=9（张），每人9张，甲再给乙1张乙就比甲多2张，
甲分的数量9﹣1=8（张）
答：甲至少再得8张票才能当选．
故选：B．
点评：甲和乙的票数较多，就考虑剩下的选票都给甲和乙，只要甲的总数比乙的总数多1张
甲就可以当选．解决本题就从这两个方面考虑．
5．（10分）一个长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，那么这个长方体的表面积是（ ）
A． 7 4 B． 148 C． 150 D． 154
考点：长方体和正方体的表面积．
专题：立体图形的认识与计算．
分析：根据长方体的棱长总和公式，长方体的棱长=（长+宽+高）×4，体积公式v=abh；已
34
知它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，设出它的长、宽、高，列方程求出它的长、宽、高，再利用表面积公式解决问题．
解答：解：设长为x，则宽为x﹣1，高为x+1，
则体积为 V=x（x﹣1）（x+1），
而所有棱长和为4（x﹣1+x+x+1）=4（3x）=12 x，
所以由题意有 x（x﹣1）（x+1）=2（12x），
化简得x2=25，
x=5，
所以长方体的长为5，宽为4，高为6；
它的表面积是：（5×4+5×6+4×6）×2
=（20+30+24）×2
=74×2
=148；
答：这个长方体的表面积是148．
故选：B．
点评：此题主要根据长方体的棱长总和与表面积的计算方法解决问题．
6．（10分）从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的三个数的积最大等于（ ）
A． 2 80 B． 270
考点：最大与最小．
专题：传统应用题专题．
分析：
先求出余下的数之和：55×C． 252 D． 216
=35，而和为55的10个不同的非零自然数是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，所以取出的三个数的和是55﹣35=20，所以要使取出的三个数的积最大，三个数分别为5、7、8．
解答：
解：因为余下的数之和：55×=35，
而和为55的10个不同的非零自然数是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，
所以取出的三个数的和是55﹣35=20，
所以要使取出的三个数的积最大，三个数分别为5、7、8．
三个数的积最大是5×7×8=280；
故选：A．
点评：关键是根据题意求出取出的三个数的和是20， 再根据当和一定时，三个数相差的越少积就越大来确定三个数．
二、填空题（每小题10分）．
7．（10分）如图，某公园有两段路AB=175米，BC=125米．在这两段路上安装路灯，要求A，B，C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等．则在这两段路上至少要安装路灯 13 个．
35
考点：公因数和公倍数应用题．
专题：约数倍数应用题．
分析：要使ABC三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，求至少要安装路灯多
少，则两个路灯间的距离是175和125的最大公因数，然后用175+125除以这个这个数加1，即可得解．
解答：解：175=5×5×7，
125=5×5×5，
175和125的最大公因数是5×5=25，
（175+125）÷25+1
=7+5+1
=13（个），
答：在这两段路上至少要安装路灯13个．
故答案为：13．
点评：灵活应用最大公因数的求解方法来解决实际问题．
8．（10分）将×0.63的积写成小数的形式是 3.4180180… ．
考点：循环小数及其分类．
分析：首先应把5.425425…写成和的形式，再与0.63相乘，然后把结果化成小数即可．
解答：
解：因为5.425425…=5+，
所以：5.425425…×0.63=5×0.63+0.63×=3.15+0.268018018…=3.4180180…（180循环）
故答案为：3.4180180．
点评：此题考查了学生对循环小数以及循环节概念的理解．
9．（10分）如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了 40 个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是 ．
考点：组合图形的计数；三角形的周长和面积．
专题：几何的计算与计数专题．
36
分析：
根据题干，第一次去掉1个三角形，得到3个小三角形，去掉的三角形的边长为3×；
第二次去掉3个三角形，得到9个小三角形，去掉的三角形的边长为3×3×；第三次去掉9个三角形，得到27个小三角形，去掉的三角形的边长为9×3×；
第四次去掉27个三角形，去掉的三角形的边长为27×3×；据此把四次去掉的三角形的个数加起来就是去掉的三角形的总个数，再把去掉的边长加起来，即可求出去掉的所有的三角形的边长之和，即可解答问题．
解答：
解：第一次去掉1个三角形，得到3个小三角形，去掉的三角形的边长为3×；
第二次去掉3个三角形，得到9个小三角形，去掉的三角形的边长为3×3×；
第三次去掉9个三角形，得到27个小三角形，去掉的三角形的边长为9×3×；
第四次去掉27个三角形，去掉的三角形的边长为27×3×所以，四次共去掉1+3+9+27=40（个）小三角形，
去掉的所有三角形的边长之和是：3×+9×+27×+81×=12．
．
；
答：一共去掉了40个三角形，去掉的所有三角形的边长之和是
故答案为：40；12．
点评：解答此题的关键是根据切割的方法，得出每次去掉的三角形的个数和它们的边长．
10．（10分）同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示．贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 3 种颜色的旗子．如果贝贝从某营地出发，（填“能”或“不能”）不走重复的路就 不能 完成这项任务．
考点：排列组合；一笔画定理．
专题：竞赛专题．
分析：（1）从中间的三点考虑；
（2）从奇点的个数考虑，如果奇点的个数为偶数，不走重复的路就不能完成任务，如果奇点的个数为奇数，不走重复的路就能完成任务．
解答：解：因为中间的三点连成一个三角形，这三点所代表的营地两两相邻，要使相邻营地
没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子，所以最少需要3种颜色的旗子．
37
因为本题共有6个奇点，即偶数个奇点，不走重复路线不能完成插旗的任务．
故答案为：3，不能．
点评：此题考查了排列组合知识，以及一笔画定理：①凡是由偶点组成的连通图，一定可
以一笔画成．画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图；②凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点；③其他情况的图都不能一笔画出．（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成．）
38
2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题．（毎小题10分．以下毎题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在毎题的圆括号内．）
1．（10分）科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点．则B点与A点的距离是（ ）米．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 7
2．（10分）将等边三角形纸片按图1所示的步骤折迭3次（如图1中的虚线是三边中点的连线），然后沿两边中点的连线剪去一角（如图2）．将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（10分）将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少是（ ）个．
A． 8 B． 7 C． 5 D． 6
4．（10分）已知如图是一个轴对称图形．若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有（ ）个．
A． 9
B． 8 C． 7 D． 6
39
5．（10分）若a=1515…15×333…3（有1004个15，有2008个3），则整数a的所有数位上的数字和等于（ ）
A． 1 8063 B． 18072 C． 18079 D． 18054
6．（10分）若，，，则有（ ）
A． a ＞b＞c B． a＞c＞b C． a＜c＜b D． a＜b＜c
二、填空题．（每小题10分，满分40分．第10题每空5分）
7．（10分）甲车从A，乙车从B同时相向而行，两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A，甲乙两车的速度比为 _________ ．
8．（10分）华杯赛网址是www．huabeisai．cn．将其中的字母组成如下算式：
www+hua+bei+sai+cn﹣=2008．
如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且w=8，h=6，a=9，c=7，则三位数b﹣e﹣i﹣的最小值是 _________ ．
9．（10分）（2012•武汉模拟）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米．三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 _________ 平方厘米．
10．（10分）将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为5：4：3，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，期中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是 _________ （填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 _________ 块．
40
2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（毎小题10分．以下毎题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在毎题的圆括号内．）
1．（10分）科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点．则B点与A点的距离是（ ）米．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 7
考点：简单的行程问题．
专题：行程问题．
分析：根据机器人只向南和向东行走，而且两个方向垂直，分别求出其实际向南所走路程和
实际向东所走路程，利用勾股定理求得其终止点与源出发点之间的距离即可．
解答：解：如下图所示：
聪聪实际向南走了1.2+1.8+1=4米，
实际向东走了1+2=3米，
因为正东方向与正南方向垂直，
又因32+42=52，
所以终止点与原出发点的距离为：5米；
所以B点与A点的距离是5米．
故选：C．
点评：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确求出实际向南和向东所走的路程，并
利用勾股定理求解．
2．（10分）将等边三角形纸片按图1所示的步骤折迭3次（如图1中的虚线是三边中点的连线），然后沿两边中点的连线剪去一角（如图2）．将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是（ ）
41
A．
B．
C．
D．
考点：通过操作实验探索规律；图形的拼组；三角形的特性；等腰三角形与等边三角形．
专题：创新题型；尝试法；平面图形的认识与计算．
分析：充分利用想象法或实践操作法即可（直接想象即可得出答案或动手剪一剪） ．
解答：解：因为等边三角形是一个特殊的三角形，它的三条边相等，三个角相等，虚线是三
边中点的连线，所以这样剪得话，右边相邻的三个小三角形的三个角同时被剪去了一个小角，而左边的一个小三角形被剪去了上边的一个小角，所以展开再铺开，就是A．
故选：A．
点评：解题的关键是搞清楚等边三角形的特性，在想象或实际操作的基础上完成．
3．（10分）将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少是（ ）个．
A． 8 B． 7 C． 5 D． 6
考点：图形的拆拼（切拼） ．
专题：平面图形的认识与计算．
分析：先将大长方形分为边长为423的正方形，可分为4个，然后剩下边长分别为141、423
的一个小长方形再把小长方形分为边长为141的正方形，正好可分为3个4+3=7（个）所以答案为7个
解答：解：1833÷423=4…141厘米，所以以长为边可以剪出4个最大的正方形，
423÷141=3，所以以宽为边可以在剩下的图形中的剪出3个最大的正方形，
所以最少分割4+3=7个正方形，如图：
点评：一开始分边的时候，两边尽量接近，尽量使剪出的正方形最大，即可求出可以分割出
的正方形的最少个数，由此逐步找出分割的方法．
4．（10分）已知如图是一个轴对称图形．若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有（ ）个．
A． 9
B． 8 C． 7 D． 6
42
考点：轴对称图形的辨识；组合图形的计数．
专题：平面图形的认识与计算．
分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
解答：解：根据轴对称图形的意义可知，
若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，即把图形里面的3部分的黑点去掉，共有7种情况，
则其中轴对称的新图形共有7个．
故选：C．
点评：掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称
轴对折后两部分能否完全重合．
5．（10分）若a=1515…15×333…3（有1004个15，有2008个3），则整数a的所有数位上的数字和等于（ ）
A． 1 8063 B． 18072 C． 18079 D． 18054
考点：数字问题．
专题：综合题．
分析：由于1515…15=50505…05×3（505…05共1004×2﹣1=2007位数） ，由此原式=50505…05×3×333…3
=50505…05×999…9（505…05共2007位数，999…9共2008位数）据此根据凑整法进行分析解答即可．
解答：解：1515…15×333…3
=50505…05×3×333…3，
=50505…05×999…9，（505…05共2007位数，999…9共2008位数）
=50505…05×（1000…000﹣1），
=50505…05000…000﹣50505…05，
=50505…050494949…49495；
（前面50505…0504共有2007位，中间9有1位，最后4949…49495共2007位）
前面5050505…04加最后4949…49495正好为2007个9，再算是中间的一个9，
因此所有数位上的和为9×2008=18072．
故选：B．
点评：将1515…15进行分解根据凑整法算出得数进行计算是完成本题的关键．
6．（10分）若，，，则有（ ）
D． a＜b＜c A． a ＞b＞c B． a＞c＞b C． a＜c＜b
考点：分数的巧算．
专题：计算问题（巧算速算） ．
分析：
因b，a都是大于0的数，所以用除法比大小，如：a÷b=÷==＜1，×=43
所以a＜b；同理b＜c，即a＜b＜c．
解答：
解：a÷b=÷==
b÷c=÷==×=＜1，所以b＜c；
=×=＜1，所以a＜b；
所以a＜b＜c；
故选：D．
点评：解救这类问题，应仔细观察，发现规律或技巧，灵活解答．
二、填空题．（每小题10分，满分40分．第10题每空5分）
7．（10分）甲车从A，乙车从B同时相向而行，两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A，甲乙两车的速度比为 1：2 ．
考点：简单的行程问题；比的意义．
分析：此题可以用设未知数的方法解答，设甲的速度为X，乙的速度为Y，相遇时间为Z，
则=1，=4，两式相乘得Z=2，进一步解决问题．
解答：解：设甲的速度为X，乙的速度为Y，相遇时间为Z，则：
=1，①
=4，②
①×②得Z=2，b
把Z=2代入①中，得=，即x：y=1：2．
答：甲乙两车的速度比为1：2．
故答案为：1：2．
点评：当条件比较少时，可以用设未知数的方法解答．
8．（10分）华杯赛网址是www．huabeisai．cn．将其中的字母组成如下算式：
www+hua+bei+sai+cn﹣=2008．
如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且w=8，h=6，a=9，c=7，则三位数b﹣e﹣i﹣的最小值是 103 ．
考点：最大与最小．
专题：传统应用题专题．
分析：本题可以直接想整数的加法的计算法则：根据和的最高位是1，要使b﹣e﹣i的值最
小，所以b只能是1，此时s=2，e是0，此时u=4，所i是3，此时n=5，据此推理可得u最大是7，据此即可解答．
44
解答：解：因为w=8，h=6，a=9，c=7，
所以www+hua+bei+sai+cn=888+6u9+bei+s9i+7n=2008；
即6u9+bei+s9i+7n=1120；
所以649+103+293+75=1120；
所以三位数b﹣e﹣i﹣的最小值是103；
故答案为：103．
点评：和一定的情况下，根据加法计算法则和加法进位，进行推理即可解答．
9．（10分）（2012•武汉模拟）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米．三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 1.8 平方厘米．
考点：三角形面积与底的正比关系．
专题：平面图形的认识与计算．
分析：
因三角形AOM和三角形BOC的面积相等都是长方形面积的，可求出三角形AOM与三角形BON的面积的和，再用三角形ABP的面积减付出三角形ABO和三角形AOM和三角形BON的面积，就是四边形PMON的面积．据此解答．
解答：解：要S△AOB=24÷4=6（平方厘米） ，
S△AOM+S△BON
=S△AOD+S△BOC﹣（S△ADM+S△BCN），
=24÷4+24÷4﹣7.8，
=6+6﹣7.8，
=4.2（平方厘米），
S四边形PMON
=S△ABP﹣S△ABO﹣（S△AOM+S△BON），
=24÷2﹣24÷4﹣4.2，
=12﹣6﹣4.2，
=1.8（平方厘米）．
答：四边形PMON的面积是1.8平方厘米．
故答案为：1.8．
点评：本题的关键是根据是求出S△AOM+S△BON的面积．
10．（10分）将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为5：4：3，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，期中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是 丙 （填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为 150 块．
考点：分数四则复合应用题．
专题：分数百分数应用题．
分析：根据题干，把这袋糖果的数量看作单位“1”，那么甲乙丙第一次分得的糖果数目分别
45
占：，，，重新分配后甲乙丙分得的糖果数目分别占：，，，说明甲重新分配后糖果数目减少了，那么可得是丙比原来所得的数目多了15颗，由此可知这位小朋友是丙；
（2）由题意，可得糖果总数为15÷（﹣），然后根据甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，用按比例分配的方法，求出丙实际所得的糖果数．
解答：
解：（1）甲乙丙第一次分得的糖果数目分别占：，，，重新分配后甲乙丙分得的糖果数目分别占：，，，由此可以看出乙这两次分得的糖果数目一样，＞，说明甲重新分配后糖果数目减少了，则丙比原来所得的数目多了15颗，由此可知这位小朋友是丙；
（2）15÷（=15÷×，
，
﹣）×，
=15×36×=150（块）；
答：他实际所得的糖果数为150块．
故答案为：丙，150．
点评：此题的关键是先根据前后各自所占总数的分率，确定出多得15块糖果的小朋友，然
后求出糖果总数，用按比例分配的方法解决问题．
46
2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
一、选择题．(每小题10分，满分60分。以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英语字母写在每题的圆括号内）
1．（10分）下面的表情图片中．没有对称轴的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
2．（10分）开学前6天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了60道题．开学时，两人都完成了数学作业，在这6天中，小明做的题的数目是小张的3倍，他平均每天做了（ ）道题．
A． 6 B． 9 C． 12 D． 15
3．（10分）按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5那么，可供每支球队选择的号码共（ ）个．
A． 3 4 B． 35 C． 40 D． 56
4．（10分）在19，197，2009这三个数中，质数的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
5．（10分）下面有四个算式：
①0.6+= ②0.625= ③+=== ④3×4=14
其中正确的算式是（ ）
A． ① 和② B． ②和④
C． ②和③ D． ①和④
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6．（10分）A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→C，B→E，C→A，D→B，E→D，开始时A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（ ）
A． C 与D B． A与D C． C与E D． A与B
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）下面的算式中同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字：
团团×圆圆=大熊猫
则“大熊猫”代表的数是 _________ ．
8．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：4、6、5和4，则原来给定的4个整数的和为 _________ ．
9．（10分）如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，弧AC=弧CD=弧DB，M是弧CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 _________ 平方厘米．
10．（10分）在大于2009的自然数中，被57除后，商和余数相等的数共有 _________ 个．
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2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．(每小题10分，满分60分。以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英语字母写在每题的圆括号内）
1．（10分）下面的表情图片中．没有对称轴的个数为（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点：轴对称图形的辨识．
专题：图形与变换．
分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
解答：解：根据轴对称图形的意义可知，
从左数，第1、2、5都是轴对称图形，第3、4、6、7、8不是；
故选：A．
点评：掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称
轴对折后两部分能否完全重合．
2．（10分）开学前6天，小明还没做寒假数学作业，而小强已完成了60道题．开学时，两人都完成了数学作业，在这6天中，小明做的题的数目是小张的3倍，他平均每天做了（ ）道题．
A． 6 B． 9 C． 12 D． 15
考点：差倍问题．
专题：传统应用题专题．
分析：依据题意可得：开学前6天，小强比小明多做60道题；小明做的题的数目是小张的3
倍，也就是说60道题目相当于小张每天做题的1+3=4倍，依据除法意义即可解答．
解答：解：60÷（1+3）
=60÷4
=15（道）；
答：他平均每天做了15道题．
故选：D．
点评：解答此题的关键是确定单位“1”和求每天小明比小张多做题目时是标准量的几倍．从
而求出标准量．
3．（10分）按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5那么，可供每支球队选择的号码共（ ）个．
A． 3 4 B． 35 C． 40 D． 56
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