2024年3月27日发(作者：深圳福田区初二数学试卷)
高三《一题多解 一题多变》题目
一题多解 一题多变（一）
原题：
f(x)=mx
2
+
8
x+
4
的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意
mx
2
+
8
x+
4
≥
0
在R上恒成立
m0
且Δ
0
，得
m4
变1：
f(x)=log
3
mx
2
+
8
x+
4
的定义域为R，求m的取值范围
解：由题意
mx
2
+
8
x+
4
>
0
在R上恒成立
m0
且Δ
<0
，得
m>4
变2：
f
(
x
)
=
log
3
(
mx
2
+
8
x+
4)
的值域为R，求m的取值范围
解：令
t=
mx
2
+
8
x+
4
，则要求t能取到所有大于0的实数，
当
m0
时，t能取到所有大于0的实数
当
m0
时，
m>0
且Δ
≥0⇒0m≤4
0m4
mx
2
+
8
x
+
n
变3：
f(x)
=
log
3
的定义域为R,值域为
[
0,2
]
，求m,n的值
2
x
+
1
mx
2
+
8
x
+
n
∈
[
1,9
]
，得
（y-m）x
2
-8xy-n0
解：由题意，令
y
=
2
x
+
1
ym
时，Δ
≥0
y
2
-(mn)ymn-160
-
1和9时
y
2
-(m+n)y+mn-
16
=
0
的两个根
n-m
=
0
xR
，也符合题意
8
m=n=5
当
y=m
时，
x
=
m=n=5
一 题 多 解-
解不等式
3<2x-3<5
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
- 1 -
（1）当
2x-3≥0
时，不等式可化为
3<2x-3<5⇒3 （2）当 2x-3<0 时，不等式可化为 3<-2x+3<5⇒-1 综上：解集为 { x3 } 解法二：转化为不等式组求解 原不等式等价于 2x-3>3且2x-3<5⇒3 综上：解集为 { x3 } 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于 3<2x-3<5或-5<2x-3<-3 ，即 3 解集为 { x3 } 解法四：利用绝对值的集合意义 原不等式可化为 3 3 3 5 < x- < ，不等式的几何意义时数轴上的点 x到 的距离大于 2 2 2 2 35 ，且小于，由图得， 解集为 { x3 22 } 一题多解 一题多变（二） 已知 s n 是等比数列的前n想项和， s 3 ,s 6 ,s 9 成等差数列，求证： a 2 ,a 5 ,a 8 成等差数列 a 1 ( 1 一q n ) 法一：用公式 s n = ， 1 一q - 2 - 因为 s 3 ,s 6 ,s 9 成等差数列，所以 s 3 +s 6 =2s 9 且 q≠1 则 a 1 ( 1 一q 3 )a 1 ( 1 一q 6 ) 2 a 1 ( 1 一q 9 ) +=⇒ q 3 + q 6 = 2 q 9 ( q ≠ 1 )⇒ 1 + q 3 = 2 q 6 1 一q 1 一q 1 一q 所以 a 2 +a 5 =a 1 q+a 1 q 4 =a 1 q(2q 6 )=2a 1 q 7 =2a 8 所以 a 2 ,a 5 ,a 8 成等差数列｀ 法二用公式 s n = a一aqa一aq 2 (a一aq) a 1 一a n q ， s 3 +s 6 = 2 s 9 ,∴ 13 + 16 = 19 1 一q 1 一q 1 一q 1 一q 则 a 3 + a 6 =2 a 9 ⇒ a 2 q + a 5 q =2 a 8 q ⇒a 2 +a 5 =2a 8 ，所以 a 2 ,a 5 ,a 8 成等 差数列｀ 证法三：（用公式 s 2 n = s n ( 1+ q n ),s 3 n = s n ( 1+ q n + q 2 n ) ） s 6 =s 3 +a 4 +a 5 +a 6 =s 3 +(a 1 +a 2 +a 3 )q 3 =(1+q 3 )s 3 s 9 =s 3 ( 1+q 3 +q 6 ) s 3 +s 6 =2s 9 ⇒s 3 +s 3 ( 1+q 3 ) =2s 3 ( 1+q 3 +q 6 ) 解得 q 3 =一 （下略） - 3 - 1 2 变题： 已知 sinα= 且 α 是第二象限角，求 tanα 解 sinα= 4 5 ： α 是第二象限角， 434 ⇒cosα=一 1 一sin 2 α=一,tanα=一 553 4 变1： sinα= ，求 tanα 5 4 解： sinα=> 0 ，所以 α 是第一或第二象限角 5 34 若是第一象限角，则 cosα=,tanα= 53 44 若是第二象限角，则 cosα=一,tanα=一 53 变2：已知 sinα=m(m>0) 求 tanα 解：由条件 0 ，所以 当 0 时， α 是第一或第二象限角 若是第一象限角时 cos α = 1 一 m ,tan α = 2 m 1 一m 2 若是第二象限角 cos α =一 1 一 m 2 ,tan α =一 当 m=1 时 tanα 不存在 变3：已知 sinα=m(m≤1) ，求 tanα 解：当 m=1,一1 时， tanα 不存在 当 m=0 时， tanα=0 当 α 时第一、第四象限角时， tan α = m 1 一m 2 m 1 一 m 2 - 4 - 当 α 是第二、第三象限角时， tan α =一 一题多解 一题多变（三） 题目：求函数 f(x)=x+( x 0) 的值域 方法一：判别式法 -- 1 x m 1 一 m 2 设 y = x + ，则 x 2 -yx+1=0 ，由Δ =y 2 - 4≥0⇒y≥2 当 y=2 时， x 2 - 2x+1=0⇒x=1 ， 因此当 x=1 时， 1 f(x)=x+( x 0) 有最小值2，即值域为 [ 2,+∞ ) x 1 x 方法二：单调性法 先判断函数 f(x)=x+( x 0) 的单调性 任取 0x 1 x 2 ，则 f(x 1 )-f(x 2 )= (x 1 -x 2 )(x 1 x 2 - 1 ) x 1 x 2 1 x 当 0 x 1 x 2 ≤ 2 时，即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，此时 f(x) 在 ( 0,1 ] 上时减函数 当 2x 1 x 2 时， f ( x 1 ) f ( x 2 ) f(x) 在 ( 2,+∞ ) 上是增函数 ) 上是增函数，知 由 f(x) 在 ( 0,1 ] 上是减函数， f(x) 在 ( 1,+∞ x=1 时， f(x) 有最小值2，即值域为 [ 2,+∞ ) 方法三：配方法 f ( x )= x +=( x - 1 x 1 x ) 2 + 2 ，当 x- 1 x = 0 时， x=1 ，此时 f(x) 有最小值2，即值域为 [ 2,+∞ ) 方法四：基本不等式法 - 5 - 1 2 1 1 2 =2 f ( x )= x + = (x) + () ≥ 2 x x xx f(x) 有最小值2，即值域为 [ 2,+∞ ) 变 题 原题：若函数 f(x) = 范围 解：由题意得 ax 2 + 2 x+ 1 0 在R上恒成立，则要求 1 ax + 2 x + 1 2 的定义域为R，求实数a的取值 a0 且Δ =4-4a0⇒a1 变式一：函数 f ( x ) = log 2 ( ax 2 + 2 x+ 1) 的定义域为R，求实数a的取 值范围 解：由题意得 ax 2 + 2 x+ 1 0 在R上恒成立，则要求 a0 且Δ =4-4a0⇒a1 变式二：函数 f ( x ) = log 2 ( ax 2 + 2 x+ 1) 的值域为R，求实数a的取 值范围 解：令 u= ax 2 + 2 x+ 1 能取到所有大于0的实数，则 a=0 时， u=zx+1 能取到所有大于0的实数 a≠0 时， a0 且Δ =4-4a≥0⇒0a≤1 综上 0≤a≤1 - 6 - 一题多解 一题多变（四） 题目：求函数 f(x)=x+( x 0) 的值域 方法一：判别式法 -- 1 设 y = x + ，则 x 2 -yx+1=0 ，由Δ =y 2 - 4≥0⇒y≥2 x 1 x 当 y=2 时， x 2 - 2x+1=0⇒x=1 ， 因此当 x=1 时， 1 f(x)=x+( x 0) 有最小值2，即值域为 [ 2,+∞ ) x 方法二：单调性法 先判断函数 f(x)=x+( x 0) 的单调性 任取 0x 1 x 2 ，则 f(x 1 )-f(x 2 )= (x 1 -x 2 )(x 1 x 2 - 1 ) x 1 x 2 1 x 当 0 x 1 x 2 ≤ 2 时，即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，此时 f(x) 在 ( 0,1 ] 上时减函数 当 2x 1 x 2 时， f ( x 1 ) f ( x 2 ) f(x) 在 ( 2,+∞ ) 上是增函数 ) 上是增函数，知 由 f(x) 在 ( 0,1 ] 上时减函数， f(x) 在 ( 1,+∞ x=1 时， f(x) 有最小值2，即值域为 [ 2,+∞ ) 方法三：配方法 f ( x )= x +=( x - 1 x 1 x ) 2 + 2 ，当 x- 1 x = 0 时， x=1 ，此时 f(x) 有最小值2，即值域为 [ 2,+∞ ) 方法四：基本不等式法 1 2 1 1 2 =2 f ( x )= x + = (x) + () ≥ 2 x x xx f(x) 有最小值2，即值域为 [ 2,+∞ ) - 7 - 变 题 原题：若函数 f(x) = 范围 解：由题意得 ax 2 + 2 x+ 1 0 在R上恒成立，则要求 1 ax + 2 x + 1 2 的定义域为R，求实数a的取值 a0 且Δ =4-4a0⇒a1 变式一：函数 f ( x ) = log 2 ( ax 2 + 2 x+ 1) 的定义域为R，求实数a的取 值范围 解：由题意得 ax 2 + 2 x+ 1 0 在R上恒成立，则要求 a0 且Δ =4-4a0⇒a1 变式二：函数 f ( x ) = log 2 ( ax 2 + 2 x+ 1) 的值域为R，求实数a的取 值范围 解：令 u= ax 2 + 2 x+ 1 能取到所有大于0的实数，则 a=0 时， u=zx+1 能取到所有大于0的实数 a≠0 时， a0 且Δ =4-4a≥0⇒0a≤1 综上 0≤a≤1 一题多解 一题多变（五） - 8 - x 2 y 2 题目：椭圆 1 的焦点是 F 1 、F 2 ，椭圆上一点P满足 PF 1 PF 2 ， 2516 下面结论正确的是————————————————————— ——（ ） （A）P点有两个 （B）P点有四个 （C）P点不一定存在 （D）P点一定不存在 解法一： 以 F 1 F 2 为直径构圆，知：圆的半径 rc34b ，即圆与椭圆不可能 有交点。故选D 解法二： 由题知 (S pFF ) max F 1 F 2 •b3412 ，而在椭圆中： 12 1 2 S PF 1 F 2 b 2 tan 4 16 ， 不可能成立 1216, 故选D 解法三： 由题意知当p点在短轴端点处 F 1 PF 2 最大，设 F 1 PF 2 2 ， tan 3 1, , 此时 F 1 PF 2 为锐角，与题设矛盾。故选D 44 解法四： 设 P(5con ,4sin ) ，由 PF 1 PF 2 , 知 PF 1 PF 2 PF 1 •PF 2 0 ，而 - 9 - PF 1 •PF 2 (5con 3,4sin )(5con 3,4sin )25con 2 916sin 2 0con 2 7 9 无解，故选D 解法五： 设 PF 1 F 2 ，假设 PF 1 PF 2 ，则 |PF 1 ||PF 2 |6con 6sin 62sin( 4 而 |PF 1 ||PF 2 |2a10 )62 ， 即： 1062 ，不可能。故选D 解法六： |PF 1 | 2 |PF 2 | 2 36(|PF 1 | 2 |PF 2 | 2 )2|PF 1 ||PF 2 |36642|PF 1 |PF 2 | conF 1 PF 2 |PF 1 ||PF 2 |2|PF 1 ||PF 2 |2|PF 1 ||PF 2 | 3232327 1110 ，故 |PF||PF| |PF 1 ||PF 2 |2525 12 () 2 2 F 1 PF 2 90 PF 1 PF 2 不可能。故选D 解法七：设 P(x 0 ,y 0 ) 由焦半径知： 33 |PF 1 |aex 0 5x 0 ,|PF 2 |aex 0 5x 0 ,PF 1 PF 2 55 |PF 1 | 2 |PF 2 | 2 |F 1 F 2 | 2 3318 2 625 2 (5x 0 ) 2 (5x 0 ) 2 10 2 x 0 50x 0 55259 x 25 3 25 > 8 ,故不符合题意，故选D 3 而在椭圆中 |x 0 |5 而 |x 0 | 解法八. - 10 - 设圆方程为： x 2 y 2 9 x 2 y 2 椭圆方程为： 1 2516 两者联立解方程组得： 16x 2 25y 2 2516 16x 2 25(9x 2 )2516 9x 2 2516259257 x 2 257 9 不可能 x 2 y 2 故圆 xy9 与椭圆 1 无交点 2516 22 即 PF 1 不可能垂直 PF 2 故选D 一题多解 一题多变（六） 一变题：课本P110 写出数列 {a n } 的前5项： a 1 ,a n 1 1 2 1 4 1 a n-1 变题：已知函数 f(x)2x2,x[,1] ，设 f(x) 的反函数为 y=g(x) ， a 1 =1 , a 2 =g ( a 1 ) a n =g(a n-1 ) ，求数列 {a n } 的通项公式。 解：由题意得， y = g ( x )=1- x ， a n =1 -a n-1 1 2 1 2 - 11 - a n 2 11 212 (a n1 ) ，令 b n =a n - ，则 {b n } 是以为首项， - 为公 3 32 323 比的等比数列， 故 b n = (-) n-1 ( n≥ 1 ) 22 n + (- 1 ) n-1 ( n≥ 1 ) 从而， a n =b n += 3 3 × 2 n-1 1 3 1 2 二、一题多解 x 2 + 2 x + a ,x∈[ 1 ,+∞) 已知函数 f(x) = x （1）当 a= 时，求函数 f(x) 的最小值；- （2）若对于任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围， 2 11 x= 解：（1）当 a= 时， f(x) = x +2+≥ 2 + 22 ，当且仅当 时 2 22 x 1 2 取等号 由 f(x)=x+(k>0) 性质可知， f(x) 在 [ k x 2 ,+∞) 上是增函数 2 x∈[1,+∞) ，所以 f(x) 在 [1,+∞) 是增函数， f(x) 在区间 [1,+∞) 上的 最小值为 f(1)= x 2 + 2 x + a > 0 恒成立（2）法一：在区间上 [1,+∞) ， f(x) = x 7 2 ⇔x 2 + 2 x+a> 0 恒成立 ) 设 y=x 2 +2x+a ， x∈[1,+∞) y=x 2 +2x+a=(x+1) 2 +a-1 在 [1,+∞ 上增 所以 x=1 时， y min =a+ 3 ，于是当且仅当 y min =a+3>0 时，函数 f(x)>0 恒成立， - 12 - 故 a>-3 法二： f(x)=x++2,x∈[1,+∞) 当 a≥0 时，函数 f(x) 的值恒为正； 当 a<0 时，函数 f(x) 为增函数，故当 x=1 时， y min =a+ 3 ，于是 当且仅当 y min =a+ 3 > 0 时，函数 f(x)>0 恒成，故 a>-3 x 2 + 2 x + a > 0 恒成立 ⇔x 2 + 2 x+a> 0 法三：在区间 [1,+∞) 上， f(x) = x a x 恒成立 ⇔a>-x 2 -2x 恒成立，故 a 应大于 u=-x 2 -2x ， x∈[1,+∞) 时的最大值 -3， 所以 a>-3 一题多解 一题多变（七） 原题：:若 f() =x+ 1 +x 2 ( x> 0) ,则 f(x)= 分析:用倒数换元 解: 令 t =则 x = , 所以 11 f(t) =+ 1 + () 2 ( t> 0) tt 1 x 1 x 1 t 将t换成x得到: 11 f(t) =+ 1 + () 2 ( x> 0) xx 变题1：设 f(x) 满足关系式 f(x) +2 f() = 3x, 求 f(x) 的解析式 解： t =则 x = 1 x 1 t 1 x - 13 - 11 f ()+ 2 f ( t )= 3 tt 将t换成x得到: 11 f ()+ 2 f ( x )= 3 xx 1 与原式联立方程组消去 f() 得到 x 2 f(x)x(x0) x 变题2：已知 af(x)f(x)bx ，其中 a 2 ≠ 1 试求 f(x) 的解析式 解：用相反数换元 令 tx,xt 代入到原式当中得到： af(t)f(t)bt 将t换成x得到: af(x)f(x)bx 与原式联立方程组，得到： (a 2 1)f(x)b(a1)x a 2 ≠ 1 ∴ f(x) b(a1)b xx 2 (a1)a1 变题3：已知 af(4x3)bf(34x)2x,a 2 b 2 ，试求 f(x) 的解析式 解：令 4x3t ，则 2 x = t + 3 2 t3 ( 1 ) ∴ af(t)bf(t) 2 将 ( 1 ) 中t换－t得到: af(t)bf(t) t3 2 与 ( 1 ) 联立方程组得到： - 14 - (a 2 b 2 )f(t) a 2 ≠b 2 f(t) ab3 t(ab) 22 13 t 2(ab)2(ab) 13 x 2(ab)2(ab) f(x) 变题4：已知 af(x n )f(x n )bx，其中a 2 1,n为奇数， 求 f(x) 解：设 x n =t,x= n t 代入原式得： af(t)f(t)b n t 将t换成—t得到: af(—t)+f(t)=—b n t 与上式联立方程组得到 (a 2 — 1)f(t) = b(a + 1) n t a 2 ≠ 1 f(x) b(a1) n b n tt (a 2 1)a1 b(a1) n b n xx 2 (a1)a1 ∴ ∴ f(x) 的解析式为： f(x) 一题多解 题目：设二次函数 f(x) 满足 f(x—2)=f(—x—2)， 且函数图象y轴上的 截距为1，被x轴截的线段长为 22 ，求 f(x) 的解析式 分析：设二次函数的一般形式 f ( x ) =ax 2 +bx+c ( a≠ 0) ，然后 根据条件求出待定系数a,b,c 解法一：设 f ( x ) =ax 2 +bx+c ( a≠ 0) - 15 - 由 f(x—2)=f(—x—2)， 得： 4a—b=0 又 x 1 —x 2 = Δ a = 22 ∴b 2 —4ac=8a 2 由题意可知 c=1 解之得： 1 a=,b= 2 ,c= 1 2 1 f(x)=x+ 2 x+ 1 2 解法二： f(x—2)=f(—x—2)， 故函数 y=f(x) 的图象有对称轴 x=—2 可设 y=a ( x+ 2) 2 +k 函数图象与y轴上的截距为1，则 4a+k=1 Δ d = 22 又 被x轴截的线段长为 22 ，则 x 1 —x 2 = 整理得： 2a+k=0 解之得： a=,k=—1 f(x)= 1 x+ 2 x+ 1 2 1 2 解法三：： 故 f(x—2)=f(—x—2)， - 16 - 函数 y=f(x) 的图象有对称轴 x=—2 ，又 x 1 —x 2 = 22 ∴ y=(x) 与x轴的交点为： (—2—22，0)， (—2+22,0) ∴ 故可设 y=a(x+2+22) 1 ∴ f(0)=1,a= 2 1 ∴ f(x)=x+ 2 x+ 1 2 一题多解 一题多变（八） 原题 设 y=f ( x ) 有反函数 y=f -1 (x) ，又 y=f(x+2) 与 y=f -1 (x-1) 互为反函数，则 f -1 ( 1 )- f -1 ( 0 ) = __________ （《教学与测试》P 77 ） 变题 设 y=f ( x ) 有反函数 y=f -1 (x) ，又 y=f(x+1) 的图象与 y=f ( x+1 ) 的图象关于 y=x 对称 -1 （1） 求 f(1)-f(0) 及 f -1 ( 1 )- f -1 ( 0 ) 的值； （2） 若 a,b 均为整数，请用 a,b 表示 f(a)f(b) 及 f -1 (a)-f -1 (b) 解(1)因 y=f ( x+1 ) 的反函数是 y=f ( x ) -1 ，从而 f(x+1)=f ( x ) -1 ,于是有 f(x+1)-f ( x ) =-1 ，令 x=1 得 f(1)-f(0)=-1 ； -1 同样， y=f(x+1) 得反函数为 y=f -1 ( x ) -1 ，从而 f -1 ( x+ 1) =f -1 ( x ) -1 ，于是， f -1 ( x+ 1)- f -1 ( x ) = -1 ． (2) f(x+2)-f(x+1)=-1 ,而 f(x+1)-f ( x ) =-1 ,故 f(x+2)-(f ( x ) -1)=-1 ,即 f(x+2)-f ( x ) =-2 , … f(x+n)-f ( x ) =-n ， - 17 - 从而 f(a)-f ( b ) =f [ a+(b-a) ] -f ( a ) =b-a ． 同理， f -1 (a)f -1 b ba ． 一题多解 1．函数 f(x)x 2 bxc,f(1)f(3) ，则( ) （A） f(1)cf(1) （B） f(1)cf(1) （C） cf(1)f(1) （D） cf(1)f(1) 解法1. 由 f(1)f(3) 知 f ( x ) 的图象关于 x=1 对称，得 b2 而 f(1)1 2 (2)•1cc1,f(1)(-1) 2 (2)•(1)cc3 ，且 c3cc1 ，因此 f(1)cf(1) . 解法2.由 f(1)f(3) 知 f ( x ) 的图象关于 x=1 对称，而 c=f(0) ，而 f ( x ) 在[－1,1]上递减，易得答案为B． y -1 0 1 x - 18 - 一题多解 一题多变（九） 姜忠杰 变 题 ,1-3) 是减函数，则 a 的取值范原题：若在区间 y = x 2 -ax-a 2 在区间 (-∞ 围是多少？ ,1-3) 上是减函数，则 a 的取值范变1：若函数 y = x 2 -ax-a 2 在 (-∞ 围是多少？ 变2、若函数 y = log(x 2 -ax-a 2 ) 在 (-∞,1-3) 上是增函数，则 a 的取值 1 2 范围是多少？ ,1-3) 上是增函数，且函数的变3、若函数 y = log(x 2 -ax-a 2 ) 在 (-∞ 1 2 值域为R，则 a 的取值范围是多少？ aa （-∞，（-∞， ,1-3)⊆ 解： 函数 y=x 2 -ax-a 2 的减区间为 ∴ (-∞ 2 ] ， 2 ] +∞） ∴ [2-23， - ,1-3) 为减函数， ,1-3) ，变1、设 u=x 2 -ax-a 2 ，则 u 在 (-∞ 且在 (-∞ u ≥ 0 所以有 1-3 ≤ a 2 且 u （ 1-3 ） ≥0 ， ∴ a 的取值范围是 [ ( 3 -1)(1-5) 2 , (3-1)(1 + 5) 2 ] ,1-3] ， u ≥ 0- 变2：设 u=x 2 -ax-a 2 ，则 u 在为减函数，且在 (-∞ 所以有 1-3 ≤ a 2 且 u （ 1-3 ） ≥0 ， ∴ a 的取值范围是 [ ( 3 -1)(1-5) 2 , (3-1)(1 + 5) 2 ] ,1-3) 减区间， u 在 (-∞,1-3) 取到变3：设 u=x 2 -ax-a 2 ，则 u 在 (-∞ 一切正实数 - 19 - 1-3 ≤ a 2 ， u(1-3)=0 ，所以 a= (3-1)(1-5) 2 或 (3-1)(1+5) 2 一题多解： 设 a+lga=10 ， b+10 b =10 ，求 a+b 的值。 解法一（构造函数）：设 f(x)=x+lgx ，则 f(a)=10=b+10 b =lg10 b +10 b =f(10 b ) ，由于 f(x) 在 (0,+∞) 上是单调递 增函数，所以 a=10 b ，故 a+b=10 b +b=10 。 解法二（图象法） 因为 a 是方程 x+lgx=10 的一个根，也就是方程 lgx=10-x 的一个 根 b 是方程 x+10 x =10 的一个根，也就是方程 10 x =10-x 的一个 根 令 g(x)=lgx ， h(x)=10 x ， Φ (x)=10-x ，在同一坐标系中作出他们 的图象，如图所示： 10 8 6 4 2 -5 B 5 A C 10 A a 是方程 g(x)= Φ (x) 的根，即图中OA= a b 是方程 h(x)= Φ (x) 的根，即图中OB= b - 20 - 易得OA+OB=10，所以 a+b=10 解法三：方程 x+lgx=10 ， x+10 x =10 的根为 a ， b 由 x+10 x =10 ，得 10 x =10-x ， ∴ x=lg(10-x) ，又 x+lgx=10∴lg(10-x)+lgx=10 ， 即x(10-x)=10 10 ， 即x 2 -10x + 10 10 = 0 x 1 +x 2 = 10 (虚根 Δ <0) 一题多解 一题多变（十） x 1 + x 2 f(x 1 ) + f(x 2 ) ) = ; 22 （课本P 102 ）证明： x + xf(x) + f(x) 212 ( 2 ) 若f ( x ) = x 2 + ax + b , 则f ( 1 )≤ 22 （ 1 ）若f(x) = ax + b,则f( 变题：1、如图所示， f(x i )(i=1,2,3,4) 是定义在[0，1]上的四个函数， 其中满足性质：“对[0，1]中的任意的 x 1 ,x 2 ，任意 [0,1],f[ x 1 (1 )x 2 ] f(x 1 )(1 )f(x 2 ) 恒成立” 的只有（ A ） - 21 - A、 f(x 1 ),f(x 3 ) B、 f(x 2 ) C、 f(x 2 ),f(x 3 ) D、 f(x 4 ) 变题2、定义在R上的函数 f(x) 满足：如果对于任意 x 1 ,x 2 ∈R 都有 f ( x 1 + x 2 f(x 1 ) + f(x 2 ) )≤ 22 则称函数 f(x) 是R上的凹函数。已知二次函数 f ( x ) =ax 2 +x ( a∈R , a≠ 0) （1）求证：当 a>0 时，函数 f(x) 是凹函数； （2）如果 x∈[0,1] 时， |f(x)|≤1 ，试求实数 a 的取值范围。 （1）证明：略 （2）实数 a 的取值范围是 [2,0) 二、一题多解 不查表计算： lg 3 2+lg 3 5+3lg2lg5 解法一：原式= (lg 2+ lg 5 )(lg 2 2-lg2lg5 + lg 2 5) + 3lg2lg5 = lg 2 2-lg2lg5+lg 2 5+3lg2lg5 = lg 2 2+2lg2lg5+lg 2 5 = (lg 2 +lg 5 ) 2 = 1 - 22 - 解法二：原式= (lg2lg5) 3 3lg 2 2lg5-3lg2lg 2 53lg2lg5 =1- 3lg2lg5(lg2lg51) =1 解法三：原式= (lg2+lg5) 3 -3lg2lg5(lg2+lg5)+3lg2lg5 = 1-3lg2lg5+3lg2lg5 =1 解法四：原 = lg 3 2+lg 3 5+3lg 2 2lg5+3lg2lg 2 5-3lg 2 2lg5-3lg2lg 2 5+3lg2lg5 = (lg2 + lg5) 3 -3lg2lg5(lg2 + lg5-1) =1 解法五：原式= lg 3 2 +lg 3 5 + 3 lg 2 lg 5 × 1 = lg 3 2 + lg 3 5 + 3lg2lg5 × (lg2 + lg5) = (lg2+lg5) 3 =1 一题多解 一题多变（十一） 一题多解- 1． 已知 f(x)= 2 1 -x 2 （ x<-1) ，求 f -1 (－ 2 3 ) 的值 解法1 先求反函数 由 y 2 1－x 2 得 x 2 1－ 2 y x<-1 - 23 - 式 ∴ x=-1- 2 y 且 y<0 故原函数的反函数是 f -1 ( x ) = -1- 2 x (x<0) ∴ f -1 (- 2 3 ) = -2 解法2从互为反函数的函数的关系看 令 2 2 1 -x 2 = - 3 解得 x=±2 x<-1 ∴ x=-2 即 f -1 (- 2 3 ) = -2 变题 2． 已知 f(x) 对于任意实数 x.y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ，当 时， f(x)<0 （1） 求证 f(x)=-f(-x) - 24 - x>0 （2） 判断 f(x) 的单调性 证明 （1）令 x=y=0, 得 f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0 - 令 x=-y ，得 f(0)=f(x)+f(-x)=0 ∴ f(x)=-f(-x) （2）设 x 1 2 ， f(x 2 )=f[x 1 +(x 2 -x 1 )]=f(x 1 )+f(x 2 -x 1 ) 1 ) ∴ f(x) 在R上是单调函数 变题 1. 已知函数是定义R在上的增函数， f( x y )=f(x)- f(y) （1） 求 f(1) 的值 （2） 若 f(6)=1, 解不等式 f ( x +5)- f ( 1 x )< 2 解 （1） 令 x=y=1 ，得 f(1)=f(1)-f(1) ∴ f(1)=0 - （3） 在 f( x y )=f(x)-f(y) 中，令 x=1,y=6 得 f( 1 6 )=-f( 6 )=- 1 从而 f(36)=f(6)-f( 1 6 )= 2 又原不等式可化为 - 25 - 则 且满足 f[x(x+5)] ， 且 f(x) 是 (0,+∞) 上的增函数， ∴ 原不等式等价于 x(x+5)<36 ∴ -9 又 x>0 x+5>0 解得 0 ∴ 原不等式的解集为（0，4） 一题多解 一题多变（十二） 考查知识点：函数的对称中心 原题：函数 y= lg( x+x 2 + 1) 的图象关于原点对称。 解：该函数定义域为R，且 f (- x ) +f ( x ) = lg(- x+ (- x ) 2 + 1) + lg( x+x 2 + 1) = lg(-x+x 2 +1)(x+x 2 +1) = lg1=0 ∴f(-x)=-f(x) ， ∴ 该函数图像关于原点对称 变题1：已知函数 y=f(x) 满足 f(-x+1)=-f(x+1) 则 y=f(x) 的图象的关 于 (1,0) 对称 f(- 解：即 y=f(x+1) 的图象关 x+1)=-f(x+1) ∴ y=f(x+1) 为奇函数， 于原点 (0,0) 对称，故 y=f(x) 的图象关于 (1,0) 对称。 x)=2 ，则函数 y=f(x) 的图象变题2：已知函数 y=f(x) 满足 f(x)+f(- 关于 (0,1) 对称 x)=2 得， ∴ f(-x)-1=-[f(x)-1] ， y=f(x) －1为奇函数， 解：由 f(x)+f(- 即 y=f(x) －1的图象关于（0，0）对称， ∴ y=f(x) 的图象关于 (0,1) 对 - 26 - 称 变题3：已知函数 y=f(x) 满足 f(x)+f(2+x)=2 ，则 y=f(x) 的图象关 于（1，1）对称 解：令 x=t- 则 - 故由 f(x)+f(2+x)=2 得 f(1+t)+f(1-t)=2 ， 1 ， x=1-t ， 即 f(x) 满足 f(1+x)+f(1-x)=2 ，即 f(-x+1)-1=-[f(x+1)-1] ， ∴ y=f(x+1)-1 的图 象关于原点（0，0）对称，故 y=f(x) 的图象关于（1，1）对称。 结论：若函数 y=f(x) 满足 f(a+x)+f(c-x)=b ，则 y=f(x) 的图象关于 cb ( a + 2 , 2 ) 对称。 4 x 变题4：已知 f(x) = x 求证：（1） f(x)+f(1-x)=1 （2）指出该函数 4 + 2 图象的对称中心并说明理由。 12 )+f( 1000 )++f( 1000 （3）求 f( 10001001 ) 的值。 4 x 4 1 -x 4 x 2 x) = x + x =+= 1 ，得证。- （1）证明： f(x) + f( 1 - 4 + 24 1 - + 24 x + 24 x + 2 1 （2）解：该函数图象的对称中心为 （ 1 x)=1 得 2 ， 2 ） ，由 f(x)+f(1- 1 f( 1 2 +x)+f( 2 -x)= 1 11111 即 f (- x+ 1 2 )- 2 = -[ f ( x+ 2 )- 2 ] ， ∴ y=f(x+ 2 )- 2 的图象关于原点中心对 1 （ 1 称，故 y=f(x) 的图象关于对称。 2 ， 2 ） （3）解： f(x)+f(1-x)=1 ，故 1 f( 1001 )+f( 1000 1001 )= 1 ， 999 212 f( 1001 )+f( 1001 )= 1 ，……， ∴ f ( 1000 ) +f ( 1000 ) ++f ( 1000 1001 ) =500 变题5：求证：二次函数 f ( x ) =ax 2 +bx+c ( a≠ 0) 的图象没有对称中心。 证明：假设 (m,n) 是 f ( x ) =ax 2 +bx+c ( a≠ 0) 的图象的对称中心，则对任 - 27 - 意 x∈R ，都有 f(m+x)+f(m-x)=2n ，即 a ( m + x ) 2 + b ( m + x )+ c + a ( m - x ) 2 + b ( m - x )+ c = 2n 恒成立， 即有 ax 2 +am 2 +bm+c=n 恒成立，也就是 a=0 且 am 2 +bm+c-n= 0 与 a≠0 矛盾 所以 f ( x ) =ax 2 +bx+c ( a≠ 0) 的图象没有对称中心。 一题多解 一题多变（十三） 题目：已知函数 x 2 + 2 x + a ) 若对任意 f （ x ）= x∈ [ 1， +∞ x x∈ [ 1，+∞ ) ，f（x）＞0 恒成立，试求实数a的取值范围。 x 2 + 2 x + a ，+∞ ) 上， f（x） 解法一：在区间 [ 1 => 0 恒成立 ⇔ x 2 + 2 x+a> 0 x ，+∞ ) 递增 ， ∴ 当x=1时恒成立，设 y= x 2 +2x+a 在 [ 1 y min =3+a ，于是当且仅当 y min =3+a>0 时，函数恒成立，故 a>—3。 解法二： f（x）=x++2，x∈ [ 1，+∞ ) 当a ≥0 的值恒为正,当a<0时,函 数 f（x） 为增函数故当x=1时 f（x） min =3+a 于是当且仅当 3+a>)时恒成立, 故 a>—3。 x 2 + 2 x + a ，+∞ ) 上 f（x） = 解法三：在区间 [ 1 恒成立 ⇔ x 2 + 2 x+a> 0 恒成 x a x 立 ⇔a>— x 2 —2x 恒成立，故 - 28 - a应大于 u =— x 2 —2 x ， x ∈ [ 1，+∞ ) 时的最大值—3， ∴a>— ( x+ 1 ) + 1 2 当x=1时，取得最大值 —3 ∴a>—3。 题目： 将函数 f(x) 的图象向左平移1个单位，再向上平移1 个单位，求所得图象的函数表达式。 1 中的x换成x+1，y换成y-1得 x 11x f(x)1f(x)1f(x) x1x1x1 x1 变题1：作出函数 f(x) 的图象 x1 x122 解： 函数 f(x) = 1 ，它是由函数 f(x) 的图象向左平 x1x1x 1 x 解： 将函数 f(x) 移1个单位，再向上平移1个单位得到。图象为： 变题2：求函数 f(x) x1 的单调递增区间 x1 - 29 - 解： 由图象知 函数 f(x) 变题3：求函数 f(x) 解： 由 x1 的单调递增区间为： ,1 , 1, x1 x1 的单调递增区间 x1 x1 的单调递增区 x1 x1 0 得 x1或x1 所以函数 f(x) x1 间为 ,1 , 1, 变题4： 求函数 f(x) log 2 ( 解： 由 增区间 为 1, , ,1 变题5 函数 f(x) 求实数a 解： 由 f(x) ax1 1 知对称中心为（（a+1，-1）， xa1x(a1) x1 ) 的单调递增区间 x1 x1x1 0x1或x1 ，所以函数 f(x) log () 的单调递 2 x1x1 ax 的反函数的图象的对称中心为（-1，3）， xa1 所以它的反函数的对称中心为（-1，a+1），由题意知：a+1=3 得a=2。 x2 的图象关于y=x对称求a的值 xa x2 解： 因为函数 f(x) 的反函数是它本身，且过点（2，0）， xa x2 所以其反函数的图象必过点（0，2），即函数 f(x) 也 xa 变题6 ：函数 f(x) 过点（0，2），代入得a=-1。 变题7 设（a，b）与（c，d）都是函数f（x）的单调区间， 且 x x （a，b） （c，d） x 、 x 1212 则 f( x 1 ) 与 f( x 2 ) 的大小关系为 （ ） （A） f( x 1 )f( x 2 ) （B） f( x 1 )f( x 2 ) （C） f( x 1 )f( x 2 ) （D）不能确 - 30 - 定 解 ： 构造函数 f(x) 它在 ,0 , 0, 上都是增函数，但在 1 x ,0 0, 上无单调性，故选D ax11 (a) 在 (2,) 上的单调性。 x22 ax112a11 解： f(x)a(a) 由 f(x) 的图象知 ，当 a 时在上 x2x222 1 是增函数；当 a 时在上为减函数 2 变题8：讨论函数 f(x) 一题多解 一题多变（十四） 已知 a>b>0,m>0 ，求证： b + mb > a + ma 变 题 n ， n∈N * ，试比较 a n 与 a n+1 的大小 n +2 b + mb 2、已知 a>b>0,m<0 ，且 a+m>0,b+m>0 ，求证： < a + ma b + mb 3、已知 a>b>0,m>0 ，求证： < a + ma 1、已知数列 {a n } 满足 a n = 解： 原题：证明：作差- b + mbab + am-ab-bmm(a-b) - == ‘ a + maa(a + m)a(a + m) m(a-b) b + mb >0 ∴->0 a(a + m) a + ma a>b>0 ， m>0 ∴a-b>0 ∴ 1、 a n >0 ∴ ∴ a n < a n +1 a n a n + 1 n n(n + 3 )n 2 + 3 n n + 2 ===< 1 n + 1 (n + 2 )(n + 1 ) n 2 + 3 n + 2 n + 3 2、 b + mbab + am-ab-bmm(a-b) - == - a + maa(a + m)a(a + m) - 31 - a>b>0 ， ∴ a-b>0 ，又 a+m>0 ∴ m(a-b) <0 a ( a + m ) ， ∴ b + mb < - a + ma a + mab(a + m)-a(b + m)m(b-a) - == b + mbb(b + m)b(b + m) 3、作差 a>b>0 ， m>0 ∴ a + ma < b + mb ∴b-a<0 ∴ m(b-a) <0 b(b + m) 一 题 多 解 已知数列 {a n } 满足 a n = 方法一：作差 a n+1 - a n = 方法二：作商 a n >0 ∴ a n a n + 1 n n(n + 3 )n 2 + 3 n n + 2 ===< 1 n + 1 (n + 2 )(n + 1 ) n 2 + 3 n + 2 n + 3 n ， n∈N * ，试比较 a n 与 a n+1 的大小 n +2 n + 1 n 2 - => 0 ， ∴a n +1 >a n n + 3 n + 2(n + 2 )(n + 3 ) ∴ a n < a n +1 - 方法三：（单调性） a n = ∴ a n < a n +1 n n + 2 -22 ， a n 关于 n 单调递增 = = 1 - n + 2 n + 2n + 2 方法四：浓度法 把 a n = n 看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着 n 的 n +2 增大（相当于向溶液中加糖），浓度 当然增大，易得 a n < a n+1 - 32 - 一题多解 一题多变（十五） 例、 ax 2 - ax+≥ 0 恒成立，求 a 的取值范围 1 解：1、当 a=0 时 > 0 2 1 2 2、 a>0 ⇒0 Δ =a 2 - 4a× 1 ≤0 2 ∴ 0≤a≤2 变式1：已知函数 g x ax 2 ax 的定义域为 R ，求实数 a 的 取值范围。 解：由题意得 ax 2 -ax +≥ 0 恒成立， ∴1、当 a=0 时 > 0 2、 a>0 ⇒0 Δ =a 2 - 4a× 1 ≤0 2 1 2 1 2 1 2 ∴ 0≤a≤2 变式2、函数 g x ax 2 ax 的定义域为 R 的充要条件是什 么 解：由题意得 ax 2 -ax +≥ 0 恒成立， - 33 - 1 2 1 2 ∴1、当 a=0 时 > 0 2、 a>0 ⇒0 Δ =a 2 - 4a× 1 ≤0 2 1 2 ∴ 0≤a≤2 变式3、 y 1 1 ax 2 ax 2 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范 围。 1 解：由题意得 ax-ax +> 0 恒成立， 2 1 ∴1、当 a=0 时 > 0 2 2 2、 a>0 ⇒0 Δ =a 2 - 4a× 1 <0 2 ∴ 0≤a<2 变式4、 y 1 1 ax 2 ax 2 的定义域为R，求实数 a 的取值范围。 ax 2 解：由题意得 Δ <0,a 2 - 4a× 1 <0⇒0 2 - 1 ax+= 0 2 无解即 或 a=0 ∴ 0≤a<2 - 34 - 变式5、 y= log 2 (ax 2 - ax+ ) 的定义域为R，求 a 的取值范围 1 2 解：由题意得 ax 2 -ax + 1 2 > 0 恒成立， ∴1、当 a=0 时 1 2 > 0 2、 a>0 ⇒0 Δ =a 2 - 4a× 1 2 <0 ∴ 0≤a<2 一题多解 徐晓洲 y = x 2 求 + 1 x 2 + 2 的值域 法一：常数分离法 y = 1 - 1 x 2 + 2 ∴ x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 ≥ 2 ⇒ 0 < 1 x 2 + 2 ≤ 1 2 ⇒ - 1 2 ≤ - 1 x 2 + 2 < 0 1 1 2 ≤ 1 - x 2 + 2 <1 ∴值域为[ 1 2 ，1 ) 法二：反解法 - 35 - 即 x 2 + 1 1-2y 由 y = 2 ⇒ yx 2 + 2y = x 2 + 1 ⇒ x 2 =≥ 0 y-1 x + 2 ∴函数的值域为[，1 ) 法三：判别式法 x 2 + 1 ⇒ yx 2 + 2 y=x 2 + 1⇒ ( y -1)x 2 +2y -1 = 0 由 y = 2 1 2 x + 2 即：1、当 y=1 时 1≠0 故舍去 2、当 y≠1 时 Δ =0 -4(y-1)(2y-1) ≥ 0 ⇒ 1 2 ≤y≤1 所以函数的值域为[ 1 2 ，1 ) - 36 -
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