2024年3月17日发(作者：小教数学试卷教资)

2023年中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列计算正确的是（ ）

A．a6÷a2=a3 B．（﹣2）﹣1=2

C．（﹣3x2）•2x3=﹣6x6 D．（π﹣3）0=1

2．小明在九年级进行的六次数学测验成绩如下（单位：分）：76、82、91、85、84、85，则这次数学测验成绩的众数

和中位数分别为（ ）

A．91，88 B．85，88 C．85，85 D．85，84.5

3．下列计算正确的是（ ）

A．2x2+3x2＝5x4 B．2x2﹣3x2＝﹣1

2

C．2x2÷3x2＝

3

x2 D．2x2•3x2＝6x4

4．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）

24

12

A．

5

B．

5

C．12 D．24

5．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

3xa2

x1

1x

2x

2

6．若数a使关于x的不等式组

有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程

y5

a

1y

+3=

y1

有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

7．下列计算正确的是（ ）

A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a6﹣a2＝a4 D．a5+a5＝a10

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C，B，E在y轴上，Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，若点B的坐标为（0，

1），OD＝2，则这种变化可以是（ ）

A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度

B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度

C．△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度

D．△ABC绕点O逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度

9．直线y=3x+1不经过的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B（0,4），则直线l的

表达式是（ ）

A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=-2x+2 D．y=-2x-2

11．小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（ ）

111

2

A．

6

B．

3

C．

2

D．

3

1

的图像与反比例函数12．如图，正比例函数

1

时，x的取值范围是（ ）

ykx

y

2

k

2

yy

2

x

的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当

1

A．x＜-2或x＞2 B．x＜-2或0＜x＜2

C．-2＜x＜0或0＜x＜2 D．-2＜x＜0或x＞2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=

23

，

∠AEO=120°，则FC的长度为_____．

11

14．已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则

mn

＝_____．

a

2

ab(ab)

ab(ab)

，例如：因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8，则（﹣3）*（﹣2）15．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=

=___________.

x42①

3x48②

16．不等式组

的解集是_____．

17．分解因式：x2y﹣xy2=_____．

18．某校体育室里有球类数量如下表：

球类

数量

篮球

3

排球

5

足球

4

如果随机拿出一个球（每一个球被拿出来的可能性是一样的），那么拿出一个球是足球的可能性是_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），

AB=4

2

，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C

上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

20．（6分）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重

合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、

BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．

（1）求四边形OEBF的面积；

（2）求证：OG•BD=EF2；

（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．

21．（6分）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用

随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制

了如图统计图：

根据统计图所提供的倍息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中的学生人数是多少人；

（2 ）补全条形统计图；

（3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数；

（4）现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社，但只能选两名学生，请你用列表或画树状图的方法，求出正好

选到一男一女的概率．

22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB．

求证：∠ABE=∠EAD；若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．

23．（8分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，

点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．

（1）求证：AE•FD=AF•EC；

（2）求证：FC=FB；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

24．（10分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝1．若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；当a为何

值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．

25．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每

天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价x/(元/千克)

销售量y/千克

50

100

60

80

70

60

(1)求y与x之间的函数表达式；设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；试

说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？

26．（12分）画出二次函数y＝(x﹣1)2的图象．

2

L:yx2bx3

（

b

为常数）27．（12分）已知，抛物线．

（1）抛物线的顶点坐标为( ， )（用含

b

的代数式表示）；

（2）若抛物线

L

经过点

的函数表达式；

M

2,1

y

且与

kk

y

x

图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线

L

的简图，并求

x

（3）如图2，规矩

ABCD

的四条边分别平行于坐标轴，

AD1

，若抛物线

L

经过

A,C

两点，且矩形

ABCD

在其对

称轴的左侧，则对角线

AC

的最小值是 ．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、D

【解析】

解：A．a6÷a2=a4，故A错误；

1

B．（﹣2）﹣1=﹣

2

，故B错误；

C．（﹣3x2）•2x3=﹣6x5，故C错；

D．（π﹣3）0=1，故D正确．

故选D．

2、D

【解析】

试题分析：根据众数的定义：出现次数最多的数，中位数定义：把所有的数从小到大排列，位置处于中间的数，即可

得到答案．众数出现次数最多的数，85出现了2次，次数最多，所以众数是：85，

把所有的数从小到大排列：76，82，84，85，85，91，位置处于中间的数是：84，85，因此中位数是：（85+84）÷2=84.5，

故选D．

考点：众数，中位数

点评：此题主要考查了众数与中位数的意义，关键是正确把握两种数的定义，即可解决问题

3、D

【解析】

先利用合并同类项法则，单项式除以单项式，以及单项式乘以单项式法则计算即可得到结果．

【详解】

A、2x2+3x2=5x2，不符合题意；

B、2x2﹣3x2=﹣x2，不符合题意；

2

C、2x2÷3x2=

3

，不符合题意；

D、2x23x2=6x4，符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了合并同类项法则，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则，正确掌握运算法则是解题关键．

4、A

【解析】

解：如图，设对角线相交于点O，

1111

∵AC=8，DB=6，∴AO=

2

AC=

2

×8=4，BO=

2

BD=

2

×6=3，

2222

AOBO43

由勾股定理的，AB===5，

1

∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=

2

AC•BD，

124

即5DH=

2

×8×6，解得DH=

5

．

故选A．

【点睛】

本题考查菱形的性质．

5、C

【解析】

先将前两项提公因式，然后把a﹣b=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．

【详解】

a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．

故选C．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结

合．

6、D

【解析】

由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．

【详解】

xa1

x3

， 不等式组整理得：

由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，

即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，

a2

分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=

2

，

由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，

故选：D．

【点睛】

本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7、B

【解析】

根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解．

【详解】

A、a2•a3=a5，错误；

B、（a2）3=a6，正确；

C、不是同类项，不能合并，错误；

D、a5+a5=2a5，错误；

故选B．

【点睛】

本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，需熟练掌握且区分清楚，才不

容易出错．

8、C

【解析】

Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE,应先旋转然后平移即可

【详解】

∵Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，点B的坐标为（0，1），OD＝2，

∴DO＝BC＝2，CO＝3，

∴将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，即可得到△DOE；

或将△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，即可得到△DOE；

故选：C．

【点睛】

本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，解题的关键在于利用旋转和平移的概念和性质求坐标的变化

9、D

【解析】

利用两点法可画出函数图象，则可求得答案．

【详解】

1

在y=3x+1中，令y=0可得x=-

3

，令x=0可得y=1，

1

∴直线与x轴交于点（-

3

，0），与y轴交于点（0，1），

其函数图象如图所示，

∴函数图象不过第四象限，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查一次函数的性质，正确画出函数图象是解题的关键．

10、B

【解析】

先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析

式绕着原点旋转180°即可得到直线l．

【详解】

解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．

∵A（−2，0），B（0，1），

∴ ，

解得 ，

∴直线AB的解析式为y＝2x＋1．

将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋1，即y＝2x＋2，

再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，

所以直线l的表达式是y＝2x−2．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键．

11、D

【解析】

试题解析：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），

42

∴他的爸爸妈妈相邻的概率是：

63

，故选D．

12、D

【解析】

先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．

【详解】

解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，

∴A、B两点关于原点对称，

∵点A的横坐标为1，∴点B的横坐标为-1，

∵由函数图象可知，当-1＜x＜0或x＞1时函数y1=k1x的图象在

∴当y1＞y1时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y1时x的取值范围是解答此题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、1

【解析】

先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．

【详解】

解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，

∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，

∴∠FOC=60°-30°=30°，

∴OF=CF，

y

2

k

2

x

的上方，

11

又∵Rt△BOF中，BO=

2

BD=

2

AC=

3

，

∴OF=tan30°×BO=1，

∴CF=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查矩形的性质以及解直角三角形的运用，解题关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．

14、1

【解析】

11

m+n

先由根与系数的关系求出m•n及m+n的值，再把

mn

化为

mn

的形式代入进行计算即可．

【详解】

∵m、n是一元二次方程x2+1x﹣1＝0的两实数根，

∴m+n＝﹣1，m•n＝﹣1，

11

m+n-4

mn

＝

mn

＝

-1

＝1． ∴

故答案为1．

【点睛】

本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方

b

c

程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣

a

，x1•x2＝

a

．

15、-1．

【解析】

解：∵-3＜-2，∴（-3）*（-2）=（-3）-（-2）=-1．故答案为-1．

16、2＜x≤1

【解析】

本题可根据不等式组分别求出每一个不等式的解集，然后即可确定不等式组的解集．

【详解】

由①得x＞2，

由②得x≤1，

∴不等式组的解集为2＜x≤1．

故答案为：2＜x≤1．

【点睛】

此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同

小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

17、xy（x﹣y）

【解析】

原式=xy（x﹣y）．

故答案为xy（x﹣y）．

1

18、

3

【解析】

先求出球的总数,再用足球数除以总数即为所求.

【详解】

解：一共有球3+5+4=12（个）,其中足球有4个,

41

123

. ∴拿出一个球是足球的可能性=

【点睛】

本题考查了概率,属于简单题,熟悉概率概念,列出式子是解题关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1

yx

2

4

2

19、（1）；（2）2＜m＜

22

；（1）m=6或m=

17

﹣1．

【解析】

2

yax4

，把A（

22

，0）代入可得

22

（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为

1

a=

2

，由此即可解决问题；

1

2

yx4

2

1

2

1

2

yx2m4



y

x2m

4

2

2

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为，由

，

22

消去y得到

x2mx2m80

，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有


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